From 33eb679bf18fcc15f030fe6cdc0c22b831e8d92d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Crystal Date: Tue, 14 Nov 2023 22:53:33 +0100 Subject: Update --- src/org/uni_notes/analyse1.org | 25 +- uni_notes/analyse.html | 943 +++++++++++++++++++++-------------------- 2 files changed, 489 insertions(+), 479 deletions(-) diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index e98909a..88d06b1 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -497,6 +497,7 @@ c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge ** Théorème de Bolzano Weirstrass: On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée * Chapitre 3 : Les limites et la continuité /Nov 14/ +#+BEGIN_VERSE ** Fonction réelle à variable réelle : Soit f: I --> ℝ , I ⊂= ℝ x --> f(x) @@ -528,22 +529,23 @@ f: I --> ℝ Lim_{x --> x_{0}} f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x_{0} **** Lim_{x --> x_{0}} f(x) = l -\|x - x_{0}\| < ẟ , \|f(x) - l| < ε +=> |x - x_{0}| < ẟ , |f(x) - l| < ε *** La continuité : Soit f: I --> ℝ I = Df x --> f(x) x_{0} ∈ I f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f(x) = f(x_{0}) -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , \|x - x_{0}\| < ẟ ⇒ \|f(x) - f(x_{0})\| < ε +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x_{0}| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x_{0})| < ε *** Prolongement par continuité : -Soit f: I/\{x_{0}\} --> ℝ +Soit f: I/ {x_{0}} --> ℝ x --> f(x) Si lim_{x --> x_{0}} f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} -On défini : ⎡f(x) si x ≠ x_{0} - f~ = | - ⎣l si x = x_{0} +On défini : +f~ = f(x) si x ≠ x_{0} +ET +l si x = x_{0} f~ : I --> ℝ x --> f(x) *** Théorème des valeurs intermédiaires : @@ -551,9 +553,9 @@ f : [a,b] --> ℝ Si f est continue sur [a,b] Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x) -1. Si f est continue sur [a,b] ⎫ - ⎬ ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 -2. Si f(a) * f(b) < 0 ⎭ +1. Si f est continue sur [a,b] +2. Si f(a) * f(b) < 0 +Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 *** Fonction croissante : f: I --> J f est croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I @@ -573,5 +575,6 @@ Si f est injective et surjective, alors f est bijective f est bijective donc elle admet une bijection réciproque *** Théorème de bijection : Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective. -f admet une bijection réciproque f_{-1}. -f_{-1} a le même sens de variation que f. +f admet une bijection réciproque f{-1}. +f{-1} a le même sens de variation que f. +#+END_VERSE diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index 1a59ed8..e0f025f 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> - + Analyse 1 @@ -24,180 +24,180 @@

Table of Contents

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Contenu de la Matiére

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Contenu de la Matiére

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Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

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Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

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  • Structure algébrique de ℝ
  • L’ordre dans ℝ
    • @@ -219,9 +219,9 @@
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Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

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+

Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

+
  • Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes
  • Theoréme de convergence, Theoréme de _ suites, sans suites, extension au limites infinies
    • @@ -229,9 +229,9 @@
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Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle

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+
+

Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle

+
  • Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées
  • La continuité : définition, Theorémes fondamentaux
    • @@ -239,17 +239,17 @@
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-

Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

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Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

+
  • Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor
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Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

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Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

+
  • Comparaison asymptotique
  • Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes
    • @@ -260,13 +260,13 @@
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Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

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Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

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La loi de composition interne dans E :

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+

La loi de composition interne dans E :

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@ : E x E —> E
(x,y) —> x @ y
@@ -280,9 +280,9 @@ ∀ x,y ε E

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Example : Addition

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+

Example : Addition

+

Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?

@@ -304,9 +304,9 @@ Donc : + est L.C.I dans ℕ

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Example : soustraction

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+
+

Example : soustraction

+

Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?

@@ -326,9 +326,9 @@ Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?
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-

La loi de composition externe dans E :

-
+
+

La loi de composition externe dans E :

+

@ est L.C.E dans E, K est un corps

@@ -346,9 +346,9 @@ K x E —> E

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Groupes :

-
+
+

Groupes :

+

Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E

@@ -357,9 +357,9 @@ K x E —> E
(E, @) est un groupe Si :

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Il contiens un élement neutre

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+

Il contiens un élement neutre

+

∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E

@@ -377,9 +377,9 @@ On appelle e élement neutre

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Il contiens un élément symétrique

-
+
+

Il contiens un élément symétrique

+

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e

@@ -401,9 +401,9 @@ On appelle x’ élèment symétrique

-
-

@ est cummutative :

-
+
+

@ est cummutative :

+

∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x

@@ -414,19 +414,19 @@ On appelle x’ élèment symétrique
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Anneaux :

-
+
+

Anneaux :

+

Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

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(E ; @) est un groupe cummutatif

+
+

(E ; @) est un groupe cummutatif

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! est une loi associative :

-
+
+

! est une loi associative :

+

∀ x , y , z ∈ E

@@ -436,9 +436,9 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

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-

Distribution de ! par rapport à @ :

-
+
+

Distribution de ! par rapport à @ :

+

∀ x , y , z ∈ E

@@ -448,33 +448,33 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

-
-

L’existance d’un élèment neutre de ! :

-
+
+

L’existance d’un élèment neutre de ! :

+

∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x

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! est cummutative :

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+
+

! est cummutative :

+

∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x

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Corps :

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+
+

Corps :

+

(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :

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La symétrie :

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+
+

La symétrie :

+

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e

@@ -486,13 +486,13 @@ x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !
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-

Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

-
+
+

Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

+
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Est-ce un Anneau ?

-
+
+

Est-ce un Anneau ?

+
  • (ℝ, +) est un groupe commutatif
  • x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)
    • @@ -506,9 +506,9 @@ Oui c’est un anneau

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-

Est-ce un corps ?

-
+
+

Est-ce un corps ?

+
  • Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1
@@ -516,13 +516,13 @@ Oui c’est un anneau
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2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

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+
+

2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

+
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L’ordre dans ℝ

-
+
+

L’ordre dans ℝ

+

(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :

@@ -548,13 +548,13 @@ R est reflexive :
∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z
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-

Exemples :

-
+
+

Exemples :

+
    -
  • Exemple numéro 1:
    -
    +
  • Exemple numéro 1:
    +

    (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?

    @@ -565,8 +565,8 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <

    • -
  • Exemple numéro 2:
    -
    +
  • Exemple numéro 2:
    +

    (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?

    @@ -581,13 +581,13 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <
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-

Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

-
+
+

Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

+
-
-

Majorant:

-
+
+

Majorant:

+

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

@@ -598,9 +598,9 @@ Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a

-
-

Minorant:

-
+
+

Minorant:

+

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

@@ -611,41 +611,41 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b

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Borne supérieure:

-
+
+

Borne supérieure:

+

La borne supérieure est le plus petit des majorants Sup(E) = Borne supérieure

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Borne inférieure:

-
+
+

Borne inférieure:

+

La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf(E) = Borne inférieure

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Maximum :

-
+
+

Maximum :

+

E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.

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Minimum :

-
+
+

Minimum :

+

E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.

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-

Remarques :

-
+
+

Remarques :

+

A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :

@@ -661,13 +661,13 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :
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3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :

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+
+

3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :

+
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-

Définition :

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+
+

Définition :

+

Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:

@@ -688,8 +688,8 @@ n -—> U(n) = Un
    -
  • Exemple :
    -
    +
  • Exemple :
    +

    U : ℕ* -—> ℝ

    @@ -707,16 +707,16 @@ n -—> 1/n
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-

Définition N°2 :

-
+
+

Définition N°2 :

+

On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.

    -
  • Exemple :
    -
    +
  • Exemple :
    +

    U(n+1) = Un /2

    @@ -729,37 +729,37 @@ U(1)= 1
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-

Opérations sur les suites :

-
+
+

Opérations sur les suites :

+
-
-

La somme :

-
+
+

La somme :

+

Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn

-
-

Le produit :

-
+
+

Le produit :

+

Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn

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-

Inverse d’une suite :

-
+
+

Inverse d’une suite :

+

Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un

-
-

Produit d’une suite par un scalaire :

-
+
+

Produit d’une suite par un scalaire :

+

Soit (Un) une suite de T.G Un

@@ -771,17 +771,17 @@ Soit (Un) une suite de T.G Un
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Suite bornée :

-
+
+

Suite bornée :

+

Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée

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-

Suite majorée :

-
+
+

Suite majorée :

+

Soit (Un) une suite

@@ -792,9 +792,9 @@ U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M
-
-

Suite minorée :

-
+
+

Suite minorée :

+

Soit (Un) une suite

@@ -805,13 +805,13 @@ U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M
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Suites monotones :

-
+
+

Suites monotones :

+
-
-

Les suites croissantes :

-
+
+

Les suites croissantes :

+

Soit (Un)n est une suite

@@ -822,9 +822,9 @@ Soit (Un)n est une suite

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Les suites décroissantes :

-
+
+

Les suites décroissantes :

+

Soit (Un)n est une suite

@@ -837,45 +837,45 @@ Soit (Un)n est une suite
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Série TD N°1 : Oct 6

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+
+

Série TD N°1 : Oct 6

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Exo 1 :

-
+
+

Exo 1 :

+
-
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Ensemble A :

-
+
+

Ensemble A :

+

A = {-1/n , n ∈ ℕ *}

    -
  • Borne inférieure
    -
    +
  • Borne inférieure
    +

    ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A

    • -
  • Minimum :
    -
    +
  • Minimum :
    +

    ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A

    • -
  • Borne supérieure :
    -
    +
  • Borne supérieure :
    +

    ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A

    • -
  • Maximum :
    -
    +
  • Maximum :
    +

    L’ensemble A n’as pas de maximum

    @@ -883,16 +883,16 @@ L’ensemble A n’as pas de maximum
-
-

Ensemble B :

-
+
+

Ensemble B :

+

B = [-1 , 3[ ∩ ℚ

    -
  • Borne inférieure :
    -
    +
  • Borne inférieure :
    +

    Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))

    @@ -908,8 +908,8 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’

    • -
  • Borne supérieure :
    -
    +
  • Borne supérieure :
    +

    Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))

    @@ -925,15 +925,15 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’

    • -
  • Minimum :
    -
    +
  • Minimum :
    +

    Min(B) = -1

    • -
  • Maximum :
    -
    +
  • Maximum :
    +

    L’ensemble B n’as pas de Maximum

    @@ -941,37 +941,37 @@ L’ensemble B n’as pas de Maximum
-
-

Ensemble C :

-
+
+

Ensemble C :

+

C = {3n ,n ∈ ℕ}

    -
  • Borne inférieure :
    -
    +
  • Borne inférieure :
    +

    Inf(C) = 0

    • -
  • Borne supérieure :
    -
    +
  • Borne supérieure :
    +

    Sup(C) = +∞

    • -
  • Minimum :
    -
    +
  • Minimum :
    +

    Min(C) = 0

    • -
  • Maximum :
    -
    +
  • Maximum :
    +

    L’ensemble C n’as pas de Maximum

    @@ -979,37 +979,37 @@ L’ensemble C n’as pas de Maximum
-
-

Ensemble D :

-
+
+

Ensemble D :

+

D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}

    -
  • Borne inférieure :
    -
    +
  • Borne inférieure :
    +

    Inf(D)= 0

    • -
  • Borne supérieure :
    -
    +
  • Borne supérieure :
    +

    Sup(D)= 1

    • -
  • Minimum :
    -
    +
  • Minimum :
    +

    Min(D)= 0

    • -
  • Maximum :
    -
    +
  • Maximum :
    +

    L’ensemble D n’as pas de Maximum

    @@ -1017,9 +1017,9 @@ L’ensemble D n’as pas de Maximum
-
-

Ensemble E :

-
+
+

Ensemble E :

+

E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

@@ -1040,8 +1040,8 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

    -
  • Borne inférieure :
    -
    +
  • Borne inférieure :
    +

    Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))

    @@ -1057,8 +1057,8 @@ Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1

    • -
  • Borne supérieure :
    -
    +
  • Borne supérieure :
    +

    Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))

    @@ -1074,15 +1074,15 @@ sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞

    • -
  • Minimum :
    -
    +
  • Minimum :
    +

    Min(E)= -1

    • -
  • Maximum :
    -
    +
  • Maximum :
    +

    E n’as pas de maximum

    @@ -1091,20 +1091,20 @@ E n’as pas de maximum
-
-

Exo 2 :

-
+
+

Exo 2 :

+
-
-

Ensemble A :

-
+
+

Ensemble A :

+

A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}

    -
  • Borné
    -
    +
  • Borné
    +

    Oui, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3

    @@ -1112,16 +1112,16 @@ A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}
-
-

Ensemble B :

-
+
+

Ensemble B :

+

B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;

    -
  • Borné
    -
    +
  • Borné
    +

    ∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2

    @@ -1134,16 +1134,16 @@ B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;
-
-

Ensemble C :

-
+
+

Ensemble C :

+

C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}

    -
  • Minoré
    -
    +
  • Minoré
    +

    ∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3

    @@ -1151,16 +1151,16 @@ C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}
-
-

Ensemble D :

-
+
+

Ensemble D :

+

D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}

    -
  • Borné
    -
    +
  • Borné
    +

    ∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0

    @@ -1173,16 +1173,16 @@ D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}
-
-

Ensemble E :

-
+
+

Ensemble E :

+

E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}

    -
  • Majoré
    -
    +
  • Majoré
    +

    p = √2/x . Donc : Sup(E)=1

    @@ -1191,16 +1191,16 @@ p = √2/x . Donc : Sup(E)=1
-
-

Exo 3 :

-
+
+

Exo 3 :

+

U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1

-
-

Question 1 :

-
+
+

Question 1 :

+

Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

@@ -1216,8 +1216,8 @@ Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

    -
  • Raisonnement par récurrence :
    -
    +
  • Raisonnement par récurrence :
    +

    P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2

    @@ -1240,9 +1240,9 @@ On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction
-
-

Question 2 :

-
+
+

Question 2 :

+

Montrer que (Un)n est strictement monotone :

@@ -1265,20 +1265,20 @@ On déduit que Un² - 3Un + 2 est négatif sur [1 , 2] et positif en deho
-
-

4th cours (Suite) : Oct 10

-
+
+

4th cours (Suite) : Oct 10

+
-
-

Les suites convergentes

-
+
+

Les suites convergentes

+

Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l

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-

Remarque :

-
+
+

Remarque :

+
  1. Un est une suite convergente alors Un est bornee
  2. Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|
    3. @@ -1295,32 +1295,32 @@ Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l
-
-

Theoreme d’encadrement

-
+
+

Theoreme d’encadrement

+

Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l

-
-

Suites arithmetiques

-
+
+

Suites arithmetiques

+

Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite

-
-

Forme general

-
+
+

Forme general

+

Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r

-
-

Somme des n premiers termes

-
+
+

Somme des n premiers termes

+

Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2

@@ -1332,21 +1332,21 @@ Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est
-
-

Suites géométriques

-
+
+

Suites géométriques

+
-
-

Forme general

-
+
+

Forme general

+

Un = U0 x r^n

-
-

Somme des n premiers termes

-
+
+

Somme des n premiers termes

+

n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r

@@ -1354,13 +1354,13 @@ n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r
-
-

5th cours (suite) : Oct 12

-
+
+

5th cours (suite) : Oct 12

+
-
-

Suites adjacentes:

-
+
+

Suites adjacentes:

+

Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:

@@ -1371,16 +1371,16 @@ Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:
-
-

Suites extraites (sous-suites):

-
+
+

Suites extraites (sous-suites):

+

Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.

-
-

Remarques:

-
+
+

Remarques:

+
  1. Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
  2. Mais le contraire n’es pas toujours vrais.
    3. @@ -1389,53 +1389,56 @@ Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -
-
-

Suites de Cauchy:

-
+
+

Suites de Cauchy:

+

(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε

-
-

Remarque :

-
+
+

Remarque :

+
  1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente
-
-

Théorème de Bolzano Weirstrass:

-
+
+

Théorème de Bolzano Weirstrass:

+

On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée

-
-

Chapitre 3 : Les limites et la continuité Nov 14

-
+
+

Chapitre 3 : Les limites et la continuité Nov 14

+
+

+#+BEGIN_VERSE
+

-
-

Fonction réelle à variable réelle :

-
+
+

Fonction réelle à variable réelle :

+

Soit f: I –> ℝ , I ⊂= ℝ
x –> f(x)

-
-

L’ensemble de départ :

-
+
+

L’ensemble de départ :

+

L’ensemble de définition (Df)

    -
  • Propriétés:
    -
    +
  • Propriétés:
    +

    Soit f et g deux fonctions :
    f : I –> ℝ
    @@ -1448,32 +1451,32 @@ g : I –> ℝ

      -
    • 1) f+g
      -
      +
    • 1) f+g
      +

      (g+f): I –> ℝ
      x –> (f+g)(x) = f(x) + g(x)

      • -
    • 2) λf
      -
      +
    • 2) λf
      +

      ∀λ ∈ ℝ : λf : I –> ℝ
      x –> (λf)(x) = λf(x)

      • -
    • 3) f*g
      -
      +
    • 3) f*g
      +

      (f*g): I –> ℝ
      x –> (f*g)(x) = f(x) x g(x)

      • -
    • 4) f/g
      -
      +
    • 4) f/g
      +

      f/g : I –> ℝ
      x –> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0
      @@ -1484,9 +1487,9 @@ f/g : I –> ℝ

-
-

Les Limites :

-
+
+

Les Limites :

+

f: I –> ℝ
x –> f(x)
@@ -1498,31 +1501,31 @@ Limx –> x0 f(x) est a Limite de f(x) quand x ten

    -
  • Limx –> x0 f(x) = l
    -
    +
  • Limx –> x0 f(x) = l
    +

    -\|x - x0\| < ẟ , \|f(x) - l| < ε
    +=> |x - x0| < ẟ , |f(x) - l| < ε

-
-

La continuité :

-
+
+

La continuité :

+

Soit f: I –> ℝ I = Df
x –> f(x) x0 ∈ I
f est continue en x0 ⇔ Limx –> x0 f(x) = f(x0)
-∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , \|x - x0\| < ẟ ⇒ \|f(x) - f(x0)\| < ε
+∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x0| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x0)| < ε

-
-

Prolongement par continuité :

-
+
+

Prolongement par continuité :

+

-Soit f: I/\{x0\} –> ℝ
+Soit f: I/ {x0} –> ℝ
x –> f(x)

@@ -1531,17 +1534,18 @@ Si limx –> x0 f(x) = l Alors f est prolongéable

-On défini : ⎡f(x) si x ≠ x0
- f~ = |
- ⎣l si x = x0
+On défini :
+f~ = f(x) si x ≠ x0
+ET
+l si x = x0
f~ : I –> ℝ
x –> f(x)

-
-

Théorème des valeurs intermédiaires :

-
+
+

Théorème des valeurs intermédiaires :

+

f : [a,b] –> ℝ
Si f est continue sur [a,b]
@@ -1549,15 +1553,17 @@ Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x)

    -
  1. Si f est continue sur [a,b] ⎫
    -⎬ ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0
    2. -
  2. Si f(a) * f(b) < 0 ⎭
    3. +
  3. Si f est continue sur [a,b]
    4. +
  4. Si f(a) * f(b) < 0
+

+Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0
+

-
-

Fonction croissante :

-
+
+

Fonction croissante :

+

f: I –> J
f est croissante si ∀ x1,x2 ∈ I
@@ -1574,39 +1580,40 @@ Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.

-
-

Injection = Strictement monotonne :

-
+
+

Injection = Strictement monotonne :

+

f: I –> J
f est injective si ∀ x1,x2 ∈ I , f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

-
-

Surjection = Continuité :

-
+
+

Surjection = Continuité :

+

f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x)

-
-

Bijection :

-
+
+

Bijection :

+

Si f est injective et surjective, alors f est bijective
f est bijective donc elle admet une bijection réciproque

-
-

Théorème de bijection :

-
+
+

Théorème de bijection :

+

Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.
-f admet une bijection réciproque f-1.
-f-1 a le même sens de variation que f.
+f admet une bijection réciproque f{-1}.
+f{-1} a le même sens de variation que f.
+#+END_VERSE

@@ -1615,7 +1622,7 @@ f-1 a le même sens de variation que f.

Author: Crystal

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Created: 2023-11-14 Tue 22:45

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Created: 2023-11-14 Tue 22:52

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