Analyse 1

Contenu de la Matiére

Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

Structure algébrique de ℝ
L’ordre dans ℝ

Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes
Theoréme de convergence, Theoréme de _ suites, sans suites, extension au limites infinies

Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle

Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées
La continuité : définition, Theorémes fondamentaux

Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor

Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

Comparaison asymptotique
Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes

Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

La loi de composition interne dans E :

@ : E x E —> E (x,y) —> x @ y @@ -90,9 +90,9 @@ ∀ x,y ε E

Example : Addition

Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?

@@ -114,9 +114,9 @@ Donc : + est L.C.I dans ℕ

Example : soustraction

Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?

@@ -136,9 +136,9 @@ Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?

La loi de composition externe dans E :

@ est L.C.E dans E, K est un corps

@@ -156,9 +156,9 @@ K x E —> E

Groupes :

Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E

@@ -167,9 +167,9 @@ K x E —> E (E, @) est un groupe Si :

Il contiens un élement neutre

∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E

@@ -187,9 +187,9 @@ On appelle e élement neutre

Il contiens un élément symétrique

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e

@@ -211,9 +211,9 @@ On appelle x’ élèment symétrique

@ est cummutative :

∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x

@@ -224,19 +224,19 @@ On appelle x’ élèment symétrique

Anneaux :

Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

(E ; @) est un groupe cummutatif

! est une loi associative :

∀ x , y , z ∈ E

@@ -246,9 +246,9 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

Distribution de ! par rapport à @ :

∀ x , y , z ∈ E

@@ -258,33 +258,33 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

L’existance d’un élèment neutre de ! :

∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x

! est cummutative :

∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x

Corps :

(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :

La symétrie :

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e

@@ -296,13 +296,13 @@ x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !

Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

Est-ce un Anneau ?

(ℝ, +) est un groupe commutatif
x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)

Est-ce un corps ?

Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1

@@ -326,13 +326,13 @@ Oui c’est un anneau

2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

L’ordre dans ℝ

(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :

@@ -358,13 +358,13 @@ R est reflexive : ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z

Exemples :

Exemple numéro 1:
-
+
Exemple numéro 1:
+

(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?
@@ -375,8 +375,8 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <

-
Exemple numéro 2:
-
+
Exemple numéro 2:
+

(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?
@@ -391,13 +391,13 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <

-
-
Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure
-
+
+
Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure
+

-
-
Majorant:
-
+
+
Majorant:
+

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)
@@ -408,9 +408,9 @@ Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a

-
-
Minorant:
-
+
+
Minorant:
+

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)
@@ -421,41 +421,41 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b

-
-
Borne supérieure:
-
+
+
Borne supérieure:
+

La borne supérieure est le plus petit des majorants Sup(E) = Borne supérieure

-
-
Borne inférieure:
-
+
+
Borne inférieure:
+

La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf(E) = Borne inférieure

-
-
Maximum :
-
+
+
Maximum :
+

E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.

-
-
Minimum :
-
+
+
Minimum :
+

E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.

-
-
Remarques :
-
+
+
Remarques :
+

A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :
@@ -471,13 +471,13 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :

-
-
3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :
-
+
+
3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :
+

-
-
Définition :
-
+
+
Définition :
+

Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:
@@ -498,8 +498,8 @@ n -—> U(n) = Un

-
Exemple :
-
+
Exemple :
+

U : ℕ* -—> ℝ
@@ -517,16 +517,16 @@ n -—> 1/n

-
-
Définition N°2 :
-
+
+
Définition N°2 :
+

On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.

-
Exemple :
-
+
Exemple :
+

U(n+1) = Un /2
@@ -539,37 +539,37 @@ U(1)= 1

-
-
Opérations sur les suites :
-
+
+
Opérations sur les suites :
+

-
-
La somme :
-
+
+
La somme :
+

Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn

-
-
Le produit :
-
+
+
Le produit :
+

Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn

-
-
Inverse d’une suite :
-
+
+
Inverse d’une suite :
+

Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un

-
-
Produit d’une suite par un scalaire :
-
+
+
Produit d’une suite par un scalaire :
+

Soit (Un) une suite de T.G Un
@@ -581,17 +581,17 @@ Soit (Un) une suite de T.G Un

-
-
Suite bornée :
-
+
+
Suite bornée :
+

Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée

-
-
Suite majorée :
-
+
+
Suite majorée :
+

Soit (Un) une suite
@@ -602,9 +602,9 @@ U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M

-
-
Suite minorée :
-
+
+
Suite minorée :
+

Soit (Un) une suite
@@ -615,13 +615,13 @@ U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M

-
-
Suites monotones :
-
+
+
Suites monotones :
+

-
-
Les suites croissantes :
-
+
+
Les suites croissantes :
+

Soit (Un)n est une suite
@@ -632,9 +632,9 @@ Soit (Un)n est une suite

-
-
Les suites décroissantes :
-
+
+
Les suites décroissantes :
+

Soit (Un)n est une suite
@@ -647,45 +647,45 @@ Soit (Un)n est une suite

-
-
Série TD N°1 : Oct 6
-
+
+
Série TD N°1 : Oct 6
+

-
-
Exo 1 :
-
+
+
Exo 1 :
+

-
-
Ensemble A :
-
+
+
Ensemble A :
+

A = {-1/n , n ∈ ℕ *}

-
Borne inférieure
-
+
Borne inférieure
+

∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

L’ensemble A n’as pas de maximum
@@ -693,16 +693,16 @@ L’ensemble A n’as pas de maximum

-
-
Ensemble B :
-
+
+
Ensemble B :
+

B = [-1 , 3[ ∩ ℚ

-
Borne inférieure :
-
+
Borne inférieure :
+

Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))
@@ -718,8 +718,8 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))
@@ -735,15 +735,15 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

Min(B) = -1

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

L’ensemble B n’as pas de Maximum
@@ -751,37 +751,37 @@ L’ensemble B n’as pas de Maximum

-
-
Ensemble C :
-
+
+
Ensemble C :
+

C = {3n ,n ∈ ℕ}

-
Borne inférieure :
-
+
Borne inférieure :
+

Inf(C) = 0

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

Sup(C) = +∞

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

Min(C) = 0

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

L’ensemble C n’as pas de Maximum
@@ -789,37 +789,37 @@ L’ensemble C n’as pas de Maximum

-
-
Ensemble D :
-
+
+
Ensemble D :
+

D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}

-
Borne inférieure :
-
+
Borne inférieure :
+

Inf(D)= 0

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

Sup(D)= 1

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

Min(D)= 0

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

L’ensemble D n’as pas de Maximum
@@ -827,9 +827,9 @@ L’ensemble D n’as pas de Maximum

-
-
Ensemble E :
-
+
+
Ensemble E :
+

E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }
@@ -850,8 +850,8 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

-
Borne inférieure :
-
+
Borne inférieure :
+

Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))
@@ -867,8 +867,8 @@ Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))
@@ -884,15 +884,15 @@ sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

Min(E)= -1

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

E n’as pas de maximum
@@ -901,20 +901,20 @@ E n’as pas de maximum

-
-
Exo 2 :
-
+
+
Exo 2 :
+

-
-
Ensemble A :
-
+
+
Ensemble A :
+

A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}

-
Borné
-
+
Borné
+

Oui, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3
@@ -922,16 +922,16 @@ A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}

-
-
Ensemble B :
-
+
+
Ensemble B :
+

B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;

-
Borné
-
+
Borné
+

∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2
@@ -944,16 +944,16 @@ B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;

-
-
Ensemble C :
-
+
+
Ensemble C :
+

C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}

-
Minoré
-
+
Minoré
+

∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3
@@ -961,16 +961,16 @@ C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}

-
-
Ensemble D :
-
+
+
Ensemble D :
+

D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}

-
Borné
-
+
Borné
+

∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0
@@ -983,16 +983,16 @@ D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}

-
-
Ensemble E :
-
+
+
Ensemble E :
+

E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}

-
Majoré
-
+
Majoré
+

p = √2/x . Donc : Sup(E)=1
@@ -1001,16 +1001,16 @@ p = √2/x . Donc : Sup(E)=1

-
-
Exo 3 :
-
+
+
Exo 3 :
+

U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1

-
-
Question 1 :
-
+
+
Question 1 :
+

Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .
@@ -1026,8 +1026,8 @@ Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

-
Raisonnement par récurrence :
-
+
Raisonnement par récurrence :
+

P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2
@@ -1050,9 +1050,9 @@ On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction

-
-
Question 2 :
-
+
+
Question 2 :
+

Montrer que (Un)n est strictement monotone :
@@ -1075,20 +1075,20 @@ On déduit que Un² - 3Un + 2 est négatif sur [1 , 2] et positif en deho

-
-
4th cours (Suite) : Oct 10
-
+
+
4th cours (Suite) : Oct 10
+

-
-
Les suites convergentes
-
+
+
Les suites convergentes
+

Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l

-
-
Remarque :
-
+
+
Remarque :
+

Un est une suite convergente alors Un est bornee

Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|
@@ -1105,19 +1105,141 @@ Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l

-
-
Theoreme d’encadrement
-
+
+
Theoreme d’encadrement
+

Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l

+
+
Suites arithmetiques
+
+
+Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite +
+
+
+
Forme general
+
+
+Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r +
+
+
+
+
Somme des n premiers termes
+
+
+Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2 +
+ + +
+Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie +
+
+
+
+
+
Suites géométriques
+
+
+
+
Forme general
+
+
+Un = U0 x r^n +
+
+
+
+
Somme des n premiers termes
+
+
+n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r +
+
+
+
+
+
+
5th cours (suite) : Oct 12
+
+
+
+
Suites adjacentes:
+
+
+Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si: +
+
+
(Un) est croissante et (Vn) est décroissante
+
Un ≤ Vn
+
lim (Un - Vn) n->+∞ = 0
+
+
+
+
+
Suites extraites (sous-suites):
+
+
+Soit (Un) une suite: +/ +U: ℕ -—> ℝ +/ + n -—> Un +/ +ϕ: ℕ -—> ℕ +/ + n -—> ϕn +// +(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite. +
+
+
+
Remarques:
+
+
+
Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
+
Mais le contraire n’es pas toujours vrais.
+
U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l
+
+
+
+
+
+
Suites de Cauchy:
+
+
+(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; +// +∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε +
+
+
+
Remarque :
+
+
+
Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente
+
+
+
+
+
+
Théorème de Bolzano Weirstrass:
+
+
+On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée +
+
+

Author: Crystal
-
Created: 2023-10-11 Wed 19:18
+
Created: 2023-10-18 Wed 20:20

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Analyse 1

Contenu de la Matiére

Contenu de la Matiére

Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle

Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle

Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

La loi de composition interne dans E :

La loi de composition interne dans E :

Example : Addition

Example : Addition

Example : soustraction

Example : soustraction

La loi de composition externe dans E :

La loi de composition externe dans E :

Groupes :

Groupes :

Il contiens un élement neutre

Il contiens un élement neutre

Il contiens un élément symétrique

Il contiens un élément symétrique

@ est cummutative :

@ est cummutative :

Anneaux :

Anneaux :

(E ; @) est un groupe cummutatif

(E ; @) est un groupe cummutatif

! est une loi associative :

! est une loi associative :

Distribution de ! par rapport à @ :

Distribution de ! par rapport à @ :

L’existance d’un élèment neutre de ! :

L’existance d’un élèment neutre de ! :

! est cummutative :

! est cummutative :

Corps :

Corps :

La symétrie :

La symétrie :

Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

Est-ce un Anneau ?

Est-ce un Anneau ?

Est-ce un corps ?

Est-ce un corps ?

2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

L’ordre dans ℝ

L’ordre dans ℝ

Exemples :

Exemples :

Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

Majorant:

Majorant:

Minorant:

Minorant:

Borne supérieure:

Borne supérieure:

Borne inférieure:

Borne inférieure:

Maximum :

Maximum :

Minimum :

Minimum :

Remarques :

Remarques :

3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :

3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :

Définition :

Définition :

Définition N°2 :