From c8a03dc5342c6de67f9d808ae02979e591b96d26 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Crystal Date: Tue, 14 Nov 2023 23:07:08 +0100 Subject: Update --- src/org/uni_notes/analyse1.org | 91 ++-- uni_notes/analyse.html | 1004 ++++++++++++++++++++-------------------- 2 files changed, 545 insertions(+), 550 deletions(-) diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index 88d06b1..c2c0a60 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -202,7 +202,7 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b La borne supérieure est le plus petit des majorants /Sup(E) = Borne supérieure/ *** Borne inférieure: -La borne inférieure est le plus grand des minorant /Inf(E) = Borne inférieure/ +La borne inférieure est le plus grand des minorant /Inf (E) = Borne inférieure/ *** Maximum : E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a. @@ -214,9 +214,9 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : 1. A ∪ B est borné 2. A ∩ B est borné 3. Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B) -4. Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B) +4. Inf (A ∩ B)= Min(inf A, inf B) 5. Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) /Le plus petit des Supérieur de A et B/ -6. Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) /Le plus grand des inférieur de A et B/ +6. Inf (A ∩ B)= Max(inf A, inf B) /Le plus grand des inférieur de A et B/ * 3rd cours :Les suites numériques /Oct 5/ : *** Définition : @@ -307,13 +307,13 @@ L'ensemble A n'as pas de maximum *** Ensemble B : B = [-1 , 3[ ∩ ℚ **** Borne inférieure : -Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ)) +Inf (B) = Max(inf ([-1 , 3[) , inf (ℚ)) Puisse que ℚ n'as pas de Borne inférieure, donc par convention c'est *-∞*, -*Inf(B) = -1* +*Inf (B) = -1* **** Borne supérieure : Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ)) @@ -333,7 +333,7 @@ L'ensemble B n'as pas de Maximum C = {3n ,n ∈ ℕ} **** Borne inférieure : -Inf(C) = 0 +Inf (C) = 0 **** Borne supérieure : Sup(C) = +∞ @@ -345,7 +345,7 @@ L'ensemble C n'as pas de Maximum *** Ensemble D : D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*} **** Borne inférieure : -Inf(D)= 0 +Inf (D)= 0 **** Borne supérieure : Sup(D)= 1 **** Minimum : @@ -366,13 +366,13 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ } *Donc E = F ∪ G* **** Borne inférieure : -Inf(E) = Min(inf(F), inf(G)) +Inf (E) = Min(inf (F), inf (G)) -Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1 +Inf (F) = 1 ; Inf (G) = -1 -*Inf(E)= -1* +*Inf (E)= -1* **** Borne supérieure : Sup(E) = Max(sup(F), sup(G)) @@ -391,22 +391,22 @@ E n'as pas de maximum A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3} **** Borné -*Oui*, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3 +*Oui*, Inf (A)= 0 ; Sup(A)=√3 *** Ensemble B : B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ; **** Borné -*∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2* +*∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf (B)= 1/2* *∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2* *** Ensemble C : C = {x ∈ ℝ , x³ > 3} **** Minoré -*∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3* +*∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf (C)= 3* *** Ensemble D : D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2} **** Borné -*∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0* +*∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf (C)= 0* *∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2* @@ -497,79 +497,78 @@ c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge ** Théorème de Bolzano Weirstrass: On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée * Chapitre 3 : Les limites et la continuité /Nov 14/ -#+BEGIN_VERSE ** Fonction réelle à variable réelle : -Soit f: I --> ℝ , I ⊂= ℝ - x --> f(x) +Soit f : I --> ℝ , I ⊂= ℝ + x --> f (x) *** L'ensemble de départ : L'ensemble de définition (Df) **** Propriétés: Soit f et g deux fonctions : f : I --> ℝ - x --> f(x) + x --> f (x) g : I --> ℝ x --> g(x) ***** 1) f+g (g+f): I --> ℝ - x --> (f+g)(x) = f(x) + g(x) + x --> (f+g)(x) = f (x) + g(x) ***** 2) λf ∀λ ∈ ℝ : λf : I --> ℝ - x --> (λf)(x) = λf(x) + x --> (λf)(x) = λf (x) ***** 3) f*g (f*g): I --> ℝ - x --> (f*g)(x) = f(x) x g(x) + x --> (f*g)(x) = f (x) x g(x) ***** 4) f/g f/g : I --> ℝ - x --> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0 + x --> f (x)/g(x) , g(x) ≠ 0 *** Les Limites : -f: I --> ℝ - x --> f(x) +f : I --> ℝ + x --> f (x) x_{0} ∈ I ; x_{0} extrémité de l'intervalle. - Lim_{x --> x_{0}} f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x_{0} -**** Lim_{x --> x_{0}} f(x) = l -=> |x - x_{0}| < ẟ , |f(x) - l| < ε + Lim_{x --> x_{0}} f (x) est a Limite de f (x) quand x tend vers x_{0} +**** Lim_{x --> x_{0}} f (x) = l +=> |x - x_{0}| < ẟ , |f (x) - l| < ε *** La continuité : -Soit f: I --> ℝ I = Df - x --> f(x) x_{0} ∈ I -f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f(x) = f(x_{0}) -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x_{0}| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x_{0})| < ε +Soit f : I --> ℝ I = Df + x --> f (x) x_{0} ∈ I +f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f (x) = f (x_{0}) +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x_{0}| < ẟ ⇒ |f (x) - f (x_{0})| < ε *** Prolongement par continuité : -Soit f: I/ {x_{0}} --> ℝ - x --> f(x) +Soit f : I/ {x_{0}} --> ℝ + x --> f (x) -Si lim_{x --> x_{0}} f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} +Si lim_{x --> x_{0}} f (x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} On défini : -f~ = f(x) si x ≠ x_{0} +f~ = f (x) si x ≠ x_{0} ET l si x = x_{0} f~ : I --> ℝ - x --> f(x) + x --> f (x) *** Théorème des valeurs intermédiaires : f : [a,b] --> ℝ Si f est continue sur [a,b] -Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x) +Alors ∀y ∈ f ([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f (x) 1. Si f est continue sur [a,b] -2. Si f(a) * f(b) < 0 -Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 +2. Si f (a) * f (b) < 0 +Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f (c) = 0 *** Fonction croissante : -f: I --> J +f : I --> J f est croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I - x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) ≤ f(x_{2}) + x_{1} < x_{2} ⇒ f (x_{1}) ≤ f (x_{2}) f est strictement croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I - x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) < f(x_{2}) + x_{1} < x_{2} ⇒ f (x_{1}) < f (x_{2}) Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée. *** Injection = Strictement monotonne : -f: I --> J -f est injective si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I , f(x_{1}) = f(x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} +f : I --> J +f est injective si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I , f (x_{1}) = f (x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} *** Surjection = Continuité : -f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x) +f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f (x) *** Bijection : Si f est injective et surjective, alors f est bijective f est bijective donc elle admet une bijection réciproque @@ -577,4 +576,4 @@ f est bijective donc elle admet une bijection réciproque Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective. f admet une bijection réciproque f{-1}. f{-1} a le même sens de variation que f. -#+END_VERSE + diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index e0f025f..0c2f952 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> - + Analyse 1 @@ -24,180 +24,180 @@

Table of Contents

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Contenu de la Matiére

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Contenu de la Matiére

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Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

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Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

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  • Structure algébrique de ℝ
  • L’ordre dans ℝ
    • @@ -219,9 +219,9 @@
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Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

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Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

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  • Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes
  • Theoréme de convergence, Theoréme de _ suites, sans suites, extension au limites infinies
    • @@ -229,9 +229,9 @@
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Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle

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Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle

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  • Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées
  • La continuité : définition, Theorémes fondamentaux
    • @@ -239,17 +239,17 @@
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Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

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Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

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  • Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor
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Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

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Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

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  • Comparaison asymptotique
  • Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes
    • @@ -260,13 +260,13 @@
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Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

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Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

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La loi de composition interne dans E :

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La loi de composition interne dans E :

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@ : E x E —> E
(x,y) —> x @ y
@@ -280,9 +280,9 @@ ∀ x,y ε E

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Example : Addition

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Example : Addition

+

Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?

@@ -304,9 +304,9 @@ Donc : + est L.C.I dans ℕ

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Example : soustraction

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Example : soustraction

+

Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?

@@ -326,9 +326,9 @@ Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?
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La loi de composition externe dans E :

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La loi de composition externe dans E :

+

@ est L.C.E dans E, K est un corps

@@ -346,9 +346,9 @@ K x E —> E

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Groupes :

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+

Groupes :

+

Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E

@@ -357,9 +357,9 @@ K x E —> E
(E, @) est un groupe Si :

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Il contiens un élement neutre

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Il contiens un élement neutre

+

∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E

@@ -377,9 +377,9 @@ On appelle e élement neutre

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Il contiens un élément symétrique

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Il contiens un élément symétrique

+

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e

@@ -401,9 +401,9 @@ On appelle x’ élèment symétrique

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@ est cummutative :

-
+
+

@ est cummutative :

+

∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x

@@ -414,19 +414,19 @@ On appelle x’ élèment symétrique
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Anneaux :

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+

Anneaux :

+

Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

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(E ; @) est un groupe cummutatif

+
+

(E ; @) est un groupe cummutatif

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! est une loi associative :

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! est une loi associative :

+

∀ x , y , z ∈ E

@@ -436,9 +436,9 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

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Distribution de ! par rapport à @ :

-
+
+

Distribution de ! par rapport à @ :

+

∀ x , y , z ∈ E

@@ -448,33 +448,33 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

-
-

L’existance d’un élèment neutre de ! :

-
+
+

L’existance d’un élèment neutre de ! :

+

∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x

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! est cummutative :

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! est cummutative :

+

∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x

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Corps :

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+
+

Corps :

+

(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :

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La symétrie :

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+

La symétrie :

+

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e

@@ -486,13 +486,13 @@ x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !
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Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

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Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

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Est-ce un Anneau ?

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+

Est-ce un Anneau ?

+
  • (ℝ, +) est un groupe commutatif
  • x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)
    • @@ -506,9 +506,9 @@ Oui c’est un anneau

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Est-ce un corps ?

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+
+

Est-ce un corps ?

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  • Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1
@@ -516,13 +516,13 @@ Oui c’est un anneau
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2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

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2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

+
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L’ordre dans ℝ

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+

L’ordre dans ℝ

+

(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :

@@ -548,13 +548,13 @@ R est reflexive :
∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z
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-

Exemples :

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+
+

Exemples :

+
    -
  • Exemple numéro 1:
    -
    +
  • Exemple numéro 1:
    +

    (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?

    @@ -565,8 +565,8 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <

    • -
  • Exemple numéro 2:
    -
    +
  • Exemple numéro 2:
    +

    (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?

    @@ -581,13 +581,13 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <
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Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

-
+
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Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

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Majorant:

-
+
+

Majorant:

+

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

@@ -598,9 +598,9 @@ Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a

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-

Minorant:

-
+
+

Minorant:

+

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

@@ -611,41 +611,41 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b

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-

Borne supérieure:

-
+
+

Borne supérieure:

+

La borne supérieure est le plus petit des majorants Sup(E) = Borne supérieure

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Borne inférieure:

-
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+

Borne inférieure:

+

-La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf(E) = Borne inférieure
+La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf (E) = Borne inférieure

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Maximum :

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+
+

Maximum :

+

E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.

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Minimum :

-
+
+

Minimum :

+

E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.

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Remarques :

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Remarques :

+

A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :

@@ -653,21 +653,21 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :
  • A ∪ B est borné
  • A ∩ B est borné
  • Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)
    • -
  • Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)
    • +
  • Inf (A ∩ B)= Min(inf A, inf B)
  • Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) Le plus petit des Supérieur de A et B
    • -
  • Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) Le plus grand des inférieur de A et B
    • +
  • Inf (A ∩ B)= Max(inf A, inf B) Le plus grand des inférieur de A et B
    • -
    -

    3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :

    -
    +
    +

    3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :

    +
    -
    -

    Définition :

    -
    +
    +

    Définition :

    +

    Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:

    @@ -688,8 +688,8 @@ n -—> U(n) = Un
      -
    • Exemple :
      -
      +
    • Exemple :
      +

      U : ℕ* -—> ℝ

      @@ -707,16 +707,16 @@ n -—> 1/n
    -
    -

    Définition N°2 :

    -
    +
    +

    Définition N°2 :

    +

    On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.

      -
    • Exemple :
      -
      +
    • Exemple :
      +

      U(n+1) = Un /2

      @@ -729,37 +729,37 @@ U(1)= 1
    -
    -

    Opérations sur les suites :

    -
    +
    +

    Opérations sur les suites :

    +
    -
    -

    La somme :

    -
    +
    +

    La somme :

    +

    Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn

    -
    -

    Le produit :

    -
    +
    +

    Le produit :

    +

    Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn

    -
    -

    Inverse d’une suite :

    -
    +
    +

    Inverse d’une suite :

    +

    Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un

    -
    -

    Produit d’une suite par un scalaire :

    -
    +
    +

    Produit d’une suite par un scalaire :

    +

    Soit (Un) une suite de T.G Un

    @@ -771,17 +771,17 @@ Soit (Un) une suite de T.G Un
    -
    -

    Suite bornée :

    -
    +
    +

    Suite bornée :

    +

    Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée

    -
    -

    Suite majorée :

    -
    +
    +

    Suite majorée :

    +

    Soit (Un) une suite

    @@ -792,9 +792,9 @@ U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M
    -
    -

    Suite minorée :

    -
    +
    +

    Suite minorée :

    +

    Soit (Un) une suite

    @@ -805,13 +805,13 @@ U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M
    -
    -

    Suites monotones :

    -
    +
    +

    Suites monotones :

    +
    -
    -

    Les suites croissantes :

    -
    +
    +

    Les suites croissantes :

    +

    Soit (Un)n est une suite

    @@ -822,9 +822,9 @@ Soit (Un)n est une suite

    -
    -

    Les suites décroissantes :

    -
    +
    +

    Les suites décroissantes :

    +

    Soit (Un)n est une suite

    @@ -837,45 +837,45 @@ Soit (Un)n est une suite
    -
    -

    Série TD N°1 : Oct 6

    -
    +
    +

    Série TD N°1 : Oct 6

    +
    -
    -

    Exo 1 :

    -
    +
    +

    Exo 1 :

    +
    -
    -

    Ensemble A :

    -
    +
    +

    Ensemble A :

    +

    A = {-1/n , n ∈ ℕ *}

      -
    • Borne inférieure
      -
      +
    • Borne inférieure
      +

      ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A

      • -
    • Minimum :
      -
      +
    • Minimum :
      +

      ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A

      • -
    • Borne supérieure :
      -
      +
    • Borne supérieure :
      +

      ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A

      • -
    • Maximum :
      -
      +
    • Maximum :
      +

      L’ensemble A n’as pas de maximum

      @@ -883,18 +883,18 @@ L’ensemble A n’as pas de maximum
    -
    -

    Ensemble B :

    -
    +
    +

    Ensemble B :

    +

    B = [-1 , 3[ ∩ ℚ

      -
    • Borne inférieure :
      -
      +
    • Borne inférieure :
      +

      -Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))
      +Inf (B) = Max(inf ([-1 , 3[) , inf (ℚ))

      @@ -904,12 +904,12 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’

      -Inf(B) = -1
      +Inf (B) = -1

      • -
    • Borne supérieure :
      -
      +
    • Borne supérieure :
      +

      Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))

      @@ -925,15 +925,15 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’

      • -
    • Minimum :
      -
      +
    • Minimum :
      +

      Min(B) = -1

      • -
    • Maximum :
      -
      +
    • Maximum :
      +

      L’ensemble B n’as pas de Maximum

      @@ -941,37 +941,37 @@ L’ensemble B n’as pas de Maximum
    -
    -

    Ensemble C :

    -
    +
    +

    Ensemble C :

    +

    C = {3n ,n ∈ ℕ}

      -
    • Borne inférieure :
      -
      +
    • Borne inférieure :
      +

      -Inf(C) = 0
      +Inf (C) = 0

      • -
    • Borne supérieure :
      -
      +
    • Borne supérieure :
      +

      Sup(C) = +∞

      • -
    • Minimum :
      -
      +
    • Minimum :
      +

      Min(C) = 0

      • -
    • Maximum :
      -
      +
    • Maximum :
      +

      L’ensemble C n’as pas de Maximum

      @@ -979,37 +979,37 @@ L’ensemble C n’as pas de Maximum
    -
    -

    Ensemble D :

    -
    +
    +

    Ensemble D :

    +

    D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}

      -
    • Borne inférieure :
      -
      +
    • Borne inférieure :
      +

      -Inf(D)= 0
      +Inf (D)= 0

      • -
    • Borne supérieure :
      -
      +
    • Borne supérieure :
      +

      Sup(D)= 1

      • -
    • Minimum :
      -
      +
    • Minimum :
      +

      Min(D)= 0

      • -
    • Maximum :
      -
      +
    • Maximum :
      +

      L’ensemble D n’as pas de Maximum

      @@ -1017,9 +1017,9 @@ L’ensemble D n’as pas de Maximum
    -
    -

    Ensemble E :

    -
    +
    +

    Ensemble E :

    +

    E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

    @@ -1040,25 +1040,25 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

      -
    • Borne inférieure :
      -
      +
    • Borne inférieure :
      +

      -Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))
      +Inf (E) = Min(inf (F), inf (G))

      -Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1
      +Inf (F) = 1 ; Inf (G) = -1

      -Inf(E)= -1
      +Inf (E)= -1

      • -
    • Borne supérieure :
      -
      +
    • Borne supérieure :
      +

      Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))

      @@ -1074,15 +1074,15 @@ sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞

      • -
    • Minimum :
      -
      +
    • Minimum :
      +

      Min(E)= -1

      • -
    • Maximum :
      -
      +
    • Maximum :
      +

      E n’as pas de maximum

      @@ -1091,39 +1091,39 @@ E n’as pas de maximum
    -
    -

    Exo 2 :

    -
    +
    +

    Exo 2 :

    +
    -
    -

    Ensemble A :

    -
    +
    +

    Ensemble A :

    +

    A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}

      -
    • Borné
      -
      +
    • Borné
      +

      -Oui, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3
      +Oui, Inf (A)= 0 ; Sup(A)=√3

    -
    -

    Ensemble B :

    -
    +
    +

    Ensemble B :

    +

    B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;

      -
    • Borné
      -
      +
    • Borné
      +

      -∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2
      +∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf (B)= 1/2

      @@ -1134,35 +1134,35 @@ B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;
    -
    -

    Ensemble C :

    -
    +
    +

    Ensemble C :

    +

    C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}

      -
    • Minoré
      -
      +
    • Minoré
      +

      -∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3
      +∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf (C)= 3

    -
    -

    Ensemble D :

    -
    +
    +

    Ensemble D :

    +

    D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}

      -
    • Borné
      -
      +
    • Borné
      +

      -∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0
      +∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf (C)= 0

      @@ -1173,16 +1173,16 @@ D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}
    -
    -

    Ensemble E :

    -
    +
    +

    Ensemble E :

    +

    E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}

      -
    • Majoré
      -
      +
    • Majoré
      +

      p = √2/x . Donc : Sup(E)=1

      @@ -1191,16 +1191,16 @@ p = √2/x . Donc : Sup(E)=1
    -
    -

    Exo 3 :

    -
    +
    +

    Exo 3 :

    +

    U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1

    -
    -

    Question 1 :

    -
    +
    +

    Question 1 :

    +

    Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

    @@ -1216,8 +1216,8 @@ Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

      -
    • Raisonnement par récurrence :
      -
      +
    • Raisonnement par récurrence :
      +

      P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2

      @@ -1240,9 +1240,9 @@ On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction
    -
    -

    Question 2 :

    -
    +
    +

    Question 2 :

    +

    Montrer que (Un)n est strictement monotone :

    @@ -1265,20 +1265,20 @@ On déduit que Un² - 3Un + 2 est négatif sur [1 , 2] et positif en deho
    -
    -

    4th cours (Suite) : Oct 10

    -
    +
    +

    4th cours (Suite) : Oct 10

    +
    -
    -

    Les suites convergentes

    -
    +
    +

    Les suites convergentes

    +

    Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l

    -
    -

    Remarque :

    -
    +
    +

    Remarque :

    +
    1. Un est une suite convergente alors Un est bornee
    2. Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|
      3. @@ -1295,32 +1295,32 @@ Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l
    -
    -

    Theoreme d’encadrement

    -
    +
    +

    Theoreme d’encadrement

    +

    Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l

    -
    -

    Suites arithmetiques

    -
    +
    +

    Suites arithmetiques

    +

    Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite

    -
    -

    Forme general

    -
    +
    +

    Forme general

    +

    Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r

    -
    -

    Somme des n premiers termes

    -
    +
    +

    Somme des n premiers termes

    +

    Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2

    @@ -1332,21 +1332,21 @@ Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est
    -
    -

    Suites géométriques

    -
    +
    +

    Suites géométriques

    +
    -
    -

    Forme general

    -
    +
    +

    Forme general

    +

    Un = U0 x r^n

    -
    -

    Somme des n premiers termes

    -
    +
    +

    Somme des n premiers termes

    +

    n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r

    @@ -1354,13 +1354,13 @@ n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r
    -
    -

    5th cours (suite) : Oct 12

    -
    +
    +

    5th cours (suite) : Oct 12

    +
    -
    -

    Suites adjacentes:

    -
    +
    +

    Suites adjacentes:

    +

    Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:

    @@ -1371,16 +1371,16 @@ Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:
    -
    -

    Suites extraites (sous-suites):

    -
    +
    +

    Suites extraites (sous-suites):

    +

    Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.

    -
    -

    Remarques:

    -
    +
    +

    Remarques:

    +
    1. Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
    2. Mais le contraire n’es pas toujours vrais.
      3. @@ -1389,60 +1389,57 @@ Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -
    -
    -

    Suites de Cauchy:

    -
    +
    +

    Suites de Cauchy:

    +

    (Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε

    -
    -

    Remarque :

    -
    +
    +

    Remarque :

    +
    1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente
    -
    -

    Théorème de Bolzano Weirstrass:

    -
    +
    +

    Théorème de Bolzano Weirstrass:

    +

    On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée

    -
    -

    Chapitre 3 : Les limites et la continuité Nov 14

    -
    -

    -#+BEGIN_VERSE
    -

    +
    +

    Chapitre 3 : Les limites et la continuité Nov 14

    +
    -
    -

    Fonction réelle à variable réelle :

    -
    +
    +

    Fonction réelle à variable réelle :

    +

    -Soit f: I –> ℝ , I ⊂= ℝ
    - x –> f(x)
    +Soit f : I –> ℝ , I ⊂= ℝ
    + x –> f (x)

    -
    -

    L’ensemble de départ :

    -
    +
    +

    L’ensemble de départ :

    +

    L’ensemble de définition (Df)

      -
    • Propriétés:
      -
      +
    • Propriétés:
      +

      Soit f et g deux fonctions :
      f : I –> ℝ
      - x –> f(x)
      + x –> f (x)

      @@ -1451,35 +1448,35 @@ g : I –> ℝ

        -
      • 1) f+g
        -
        +
      • 1) f+g
        +

        (g+f): I –> ℝ
        - x –> (f+g)(x) = f(x) + g(x)
        + x –> (f+g)(x) = f (x) + g(x)

        • -
      • 2) λf
        -
        +
      • 2) λf
        +

        ∀λ ∈ ℝ : λf : I –> ℝ
        - x –> (λf)(x) = λf(x)
        + x –> (λf)(x) = λf (x)

        • -
      • 3) f*g
        -
        +
      • 3) f*g
        +

        (f*g): I –> ℝ
        - x –> (f*g)(x) = f(x) x g(x)
        + x –> (f*g)(x) = f (x) x g(x)

        • -
      • 4) f/g
        -
        +
      • 4) f/g
        +

        f/g : I –> ℝ
        - x –> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0
        + x –> f (x)/g(x) , g(x) ≠ 0

        • @@ -1487,92 +1484,92 @@ f/g : I –> ℝ
    -
    -

    Les Limites :

    -
    +
    +

    Les Limites :

    +

    -f: I –> ℝ
    - x –> f(x)
    +f : I –> ℝ
    + x –> f (x)
    x0 ∈ I ; x0 extrémité de l’intervalle.

    -Limx –> x0 f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x0
    +Limx –> x0 f (x) est a Limite de f (x) quand x tend vers x0

      -
    • Limx –> x0 f(x) = l
      -
      +
    • Limx –> x0 f (x) = l
      +

      -=> |x - x0| < ẟ , |f(x) - l| < ε
      +=> |x - x0| < ẟ , |f (x) - l| < ε

    -
    -

    La continuité :

    -
    +
    +

    La continuité :

    +

    -Soit f: I –> ℝ I = Df
    - x –> f(x) x0 ∈ I
    -f est continue en x0 ⇔ Limx –> x0 f(x) = f(x0)
    -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x0| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x0)| < ε
    +Soit f : I –> ℝ I = Df
    + x –> f (x) x0 ∈ I
    +f est continue en x0 ⇔ Limx –> x0 f (x) = f (x0)
    +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x0| < ẟ ⇒ |f (x) - f (x0)| < ε

    -
    -

    Prolongement par continuité :

    -
    +
    +

    Prolongement par continuité :

    +

    -Soit f: I/ {x0} –> ℝ
    - x –> f(x)
    +Soit f : I/ {x0} –> ℝ
    + x –> f (x)

    -Si limx –> x0 f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x0
    +Si limx –> x0 f (x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x0

    On défini :
    -f~ = f(x) si x ≠ x0
    +f~ = f (x) si x ≠ x0
    ET
    l si x = x0
    f~ : I –> ℝ
    - x –> f(x)
    + x –> f (x)

    -
    -

    Théorème des valeurs intermédiaires :

    -
    +
    +

    Théorème des valeurs intermédiaires :

    +

    f : [a,b] –> ℝ
    Si f est continue sur [a,b]
    -Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x)
    +Alors ∀y ∈ f ([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f (x)

    1. Si f est continue sur [a,b]
      2. -
    2. Si f(a) * f(b) < 0
      3. +
    3. Si f (a) * f (b) < 0

    -Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0
    +Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f (c) = 0

    -
    -

    Fonction croissante :

    -
    +
    +

    Fonction croissante :

    +

    -f: I –> J
    +f : I –> J
    f est croissante si ∀ x1,x2 ∈ I
    - x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)
    + x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)

    f est strictement croissante si ∀ x1,x2 ∈ I
    - x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
    + x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

    @@ -1580,40 +1577,39 @@ Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.

    -
    -

    Injection = Strictement monotonne :

    -
    +
    +

    Injection = Strictement monotonne :

    +

    -f: I –> J
    -f est injective si ∀ x1,x2 ∈ I , f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
    +f : I –> J
    +f est injective si ∀ x1,x2 ∈ I , f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

    -
    -

    Surjection = Continuité :

    -
    +
    +

    Surjection = Continuité :

    +

    -f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x)
    +f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f (x)

    -
    -

    Bijection :

    -
    +
    +

    Bijection :

    +

    Si f est injective et surjective, alors f est bijective
    f est bijective donc elle admet une bijection réciproque

    -
    -

    Théorème de bijection :

    -
    +
    +

    Théorème de bijection :

    +

    Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.
    f admet une bijection réciproque f{-1}.
    f{-1} a le même sens de variation que f.
    -#+END_VERSE

    @@ -1622,7 +1618,7 @@ f{-1} a le même sens de variation que f.

    Author: Crystal

    -

    Created: 2023-11-14 Tue 22:52

    +

    Created: 2023-11-14 Tue 23:06

    \ No newline at end of file -- cgit 1.4.1-2-gfad0