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Algebra 1

Contenu de la Matiére

Contenu de la Matiére +
+
Premier cours : Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique Sep 25 : +
- Properties: +
  +
- Some exercices I found online : +
  - USTHB 2022/2023 Section B :
  +
+
2éme cours Oct 2 +
- Quantifiers +
  - Proprieties
  +
- Multi-parameter proprieties :
- Methods of mathematical reasoning : +
  +
+
3eme Cours : Oct 9 +
- +
  - Reasoning by recurrence :
  +
+
4eme Cours : Chapitre 2 : Sets and Operations +
- Definition of a set :
- Belonging, inclusion, and equality :
- Intersections and reunions : +
  - Intersection:
  - Union:
  - Difference between two sets:
  - Complimentary set:
  - Symentrical difference
  +
- Proprieties : +
  - Commutativity:
  - Associativity:
  - Distributivity:
  - Lois de Morgan:
  - An other one:
  - An other one:
  - And an other one:
  - And the last one:
  +
+
5eme cours: L’ensemble des parties d’un ensemble Oct 16 +
- +
  - Notes :
  - Examples :
  +
- Partition of a set :
- Cartesian products : +
  - Example :
  - Some proprieties:
  +
+
Binary relations in a set : +
- Definition :
- Proprieties :
- Equivalence relationship : +
  - Equivalence class :
  +
- Order relationship : +
  - TODO Examples :
  +
+
TP exercices Oct 20 : +
- Exercice 3 : +
  - Question 3
  +
- Exercice 4 : +
  - DONE Question 1 :
  +
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Contenu de la Matiére

Rappels et compléments (11H)

Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique
Ensembles et Relations
Applications
Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique
Ensembles et Relations
Applications

Structures Algébriques (11H)

Groupes et morphisme de groupes
Anneaux et morphisme d’anneaux
Les corps
Groupes et morphisme de groupes
Anneaux et morphisme d’anneaux
Les corps

Polynômes et fractions rationnelles

Notion du polynôme à une indéterminée á coefficients dans un anneau
Opérations Algébriques sur les polynômes
Arithmétique dans l’anneau des polynômes
Polynôme dérivé et formule de Taylor
Notion de racine d’un polynôme
Notion de Fraction rationelle á une indéterminée
Décomposition des fractions rationelles en éléments simples
Notion du polynôme à une indéterminée á coefficients dans un anneau
Opérations Algébriques sur les polynômes
Arithmétique dans l’anneau des polynômes
Polynôme dérivé et formule de Taylor
Notion de racine d’un polynôme
Notion de Fraction rationelle á une indéterminée
Décomposition des fractions rationelles en éléments simples

Premier cours : Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique Sep 25 :

-Let P Q and R be propositions which can either be True or False. And let’s also give the value 1 to each True proposition and 0 to each false one. +Let P Q and R be propositions which can either be True or False. And let’s also give the value 1 to each True proposition and 0 to each false one.

-Ex: +Ex:

5 ≥ 2 is a proposition, a correct one !!!
The webmaster is a girl is also a proposition, which is also correct.
x is always bigger than 5 is not a proposition, because we CAN’T determine if it’s correct or not as x changes.
5 ≥ 2 is a proposition, a correct one !!!
The webmaster is a girl is also a proposition, which is also correct.
x is always bigger than 5 is not a proposition, because we CAN’T determine if it’s correct or not as x changes.

-…etc +…etc

-In order to avoid repetition, and rewriting the proposition over and over, we just assign a capital letter to them such as P Q or R. +In order to avoid repetition, and rewriting the proposition over and over, we just assign a capital letter to them such as P Q or R.

-So now we could write : -Let the proposition P be 5 ≥ 2, we notice that P is always True, therefor its validity is 1 +So now we could write :
+Let the proposition P be 5 ≥ 2, we notice that P is always True, therefor its validity is 1

-We also have the opposite of P, which is not(P) but for simplicity we use P̅ (A P with a bar on top, in case it doesn’t load for you), now let’s go back to the previous example: +We also have the opposite of P, which is not(P) but for simplicity we use P̅ (A P with a bar on top, in case it doesn’t load for you), now let’s go back to the previous example:

-Since we know that the proposition P is true, we can conclude that P̅ is false. As P and P̅ can NOT be true at the same time. It’s like saying 5 is greater and also lesser than 2…doesn’t make sense, does it ? +Since we know that the proposition P is true, we can conclude that P̅ is false. As P and P̅ can NOT be true at the same time. It’s like saying 5 is greater and also lesser than 2…doesn’t make sense, does it ?

-Now let’s say we have two propositions, and we want to test the validity of their disjunction….. Okay what is this “disjunction” ? Great Question Billy !!! A disjunction is true if either propositions are true +Now let’s say we have two propositions, and we want to test the validity of their disjunction….. Okay what is this “disjunction” ? Great Question Billy !!! A disjunction is true if either propositions are true

-Ex: -Let proposition P be “The webmaster is asleep”, and Q be “The reader loves pufferfishes”. The disjunction of these two propositions can have 4 different values showed in this Table of truth (such a badass name): +Ex:
+Let proposition P be “The webmaster is asleep”, and Q be “The reader loves pufferfishes”. The disjunction of these two propositions can have 4 different values showed in this Table of truth (such a badass name):

@@ -176,23 +285,23 @@ Ex:

-What the hell is this ? -The first colomn is equivalent to saying : “The webmaster is asleep AND The reader loves pufferfishes” -The second one means : “The webmaster is asleep AND The reader DOESN’T love pufferfishes (if you are in this case, then I HATE YOU)” -The third one… zzzzzzz +What the hell is this ?
+The first colomn is equivalent to saying : “The webmaster is asleep AND The reader loves pufferfishes”
+The second one means : “The webmaster is asleep AND The reader DOESN’T love pufferfishes (if you are in this case, then I HATE YOU)”
+The third one… zzzzzzz

-You got the idea !!! -And since we are talking about a disjunction here, one of the propositions need to be true in order for this disjunction to be true. +You got the idea !!!
+And since we are talking about a disjunction here, one of the propositions need to be true in order for this disjunction to be true.

-You may be wondering…. Crystal, can’t we write a disjunction in magical math symbols ? And to this I respond with a big YES. A disjunction is symbolized by a ∨ . So the disjunction between proposition P & Q can be written this way : P ∨ Q +You may be wondering…. Crystal, can’t we write a disjunction in magical math symbols ? And to this I respond with a big YES. A disjunction is symbolized by a ∨ . So the disjunction between proposition P & Q can be written this way : P ∨ Q

-What if, we want to test whether or not two propositions are true AT THE SAME TIME ? Long story short, we can, it’s called a conjunction, same concept, as before, only this time the symbol is P ∧ Q, and is only true if P and Q are true. So we get a Table like this : +What if, we want to test whether or not two propositions are true AT THE SAME TIME ? Long story short, we can, it’s called a conjunction, same concept, as before, only this time the symbol is P ∧ Q, and is only true if P and Q are true. So we get a Table like this :

@@ -247,28 +356,28 @@ What if, we want to test whether or not two propositions are true AT THE SAME TI

-Always remember: 1 means true and 0 means false +Always remember: 1 means true and 0 means false

-There are two more basics to cover here before going to some properties, the first one is implication symbolized by the double arrow ⇒ +There are two more basics to cover here before going to some properties, the first one is implication symbolized by the double arrow ⇒

-Implication is kinda hard for my little brain to explain, so I will just say what it means: +Implication is kinda hard for my little brain to explain, so I will just say what it means:

-If P implies Q, this means that either Q, or the opposite of P are correct +If P implies Q, this means that either Q, or the opposite of P are correct

-or in math terms +or in math terms

-P ⇒ Q translates to P̅ ∨ Q -Let’s illustrate : +P ⇒ Q translates to P̅ ∨ Q
+Let’s illustrate :

@@ -344,15 +453,15 @@ Let’s illustrate :

-If you look clearly, there is only one case where an implication is false. therefor you just need to find it, and blindly say that the others are correct. A rule of thumb is that: “A correct never implies a false”, or “If a 1 tries to imply a 0, the implication is a 0” +If you look clearly, there is only one case where an implication is false. therefor you just need to find it, and blindly say that the others are correct. A rule of thumb is that: “A correct never implies a false”, or “If a 1 tries to imply a 0, the implication is a 0”

-Aight, a last one and we are done!!! Equivalence, which is fairly easy, symbolized by a ⇔ symbol. +Aight, a last one and we are done!!! Equivalence, which is fairly easy, symbolized by a ⇔ symbol.

-A proposition is equivalent to another only when both of them have the same value of truth AKA: both true or both false. a little table will help demonstrate what i mean. +A proposition is equivalent to another only when both of them have the same value of truth AKA: both true or both false. a little table will help demonstrate what i mean.

@@ -435,332 +544,332 @@ A proposition is equivalent to another only when both of them have the same v

-Note: P implying Q is equivalent to P̅ implying Q̅, or: (P ⇒ Q) ⇔ (P̅ ⇒ Q̅) +Note: P implying Q is equivalent to P̅ implying Q̅, or: (P ⇒ Q) ⇔ (P̅ ⇒ Q̅)

-
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Properties:
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+
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Properties:
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-
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Absorption:
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+
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Absorption:
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-(P ∨ P) ⇔ P +(P ∨ P) ⇔ P

-(P ∧ P) ⇔ P +(P ∧ P) ⇔ P

-
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Commutativity:
-
+
+
Commutativity:
+

-(P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P) +(P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P)

-(P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P) +(P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P)

-
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Associativity:
-
+
+
Associativity:
+

-P ∧ (Q ∧ R) ⇔ (P ∧ Q) ∧ R +P ∧ (Q ∧ R) ⇔ (P ∧ Q) ∧ R

-P ∨ (Q ∨ R) ⇔ (P ∨ Q) ∨ R +P ∨ (Q ∨ R) ⇔ (P ∨ Q) ∨ R

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Distributivity:
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+
+
Distributivity:
+

-P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) +P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

-P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) +P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

-
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Neutral element:
-
+
+
Neutral element:
+

-We define proposition T to be always true and F to be always false +We define proposition T to be always true and F to be always false

-P ∧ T ⇔ P +P ∧ T ⇔ P

-P ∨ F ⇔ P +P ∨ F ⇔ P

-
-
Negation of a conjunction & a disjunction:
-
+
+
Negation of a conjunction & a disjunction:
+

-Now we won’t use bars here because my lazy ass doesn’t know how, so instead I will use not()!!! +Now we won’t use bars here because my lazy ass doesn’t know how, so instead I will use not()!!!

-not(P ∧ Q) ⇔ P̅ ∨ Q̅ +not(P ∧ Q) ⇔ P̅ ∨ Q̅

-not(P ∨ Q) ⇔ P̅ ∧ Q̅ +not(P ∨ Q) ⇔ P̅ ∧ Q̅

-A rule I really like to use here is: Break and Invert. Basically you break the bar into the three characters of the propositions, so you get not(P) not(∧ or ∨) NOT AN ACTUAL MATH WRITING. DONT USE IT ANYWHERE ELSE OTHER THAN YOUR BRAIN and not(Q) +A rule I really like to use here is: Break and Invert. Basically you break the bar into the three characters of the propositions, so you get not(P) not(∧ or ∨) NOT AN ACTUAL MATH WRITING. DONT USE IT ANYWHERE ELSE OTHER THAN YOUR BRAIN and not(Q)

-
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Transitivity:
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+
+
Transitivity:
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-[(P ⇒ Q) AND (Q ⇒ R)] ⇔ P ⇒ R +[(P ⇒ Q) AND (Q ⇒ R)] ⇔ P ⇒ R

-
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Contraposition:
-
+
+
Contraposition:
+

-(P ⇒ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅) +(P ⇒ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅)

-
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God only knows what this property is called:
-
+
+
God only knows what this property is called:
+

-If +If

-(P ⇒ Q) is true +(P ⇒ Q) is true

-and +and

-(P̅ ⇒ Q) is true +(P̅ ⇒ Q) is true

-then +then

-Q is always true +Q is always true

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Some exercices I found online :
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Some exercices I found online :
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USTHB 2022/2023 Section B :
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USTHB 2022/2023 Section B :
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Exercice 1: Démontrer les équivalences suivantes:
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Exercice 1: Démontrer les équivalences suivantes:
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-(P ⇒ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅) +(P ⇒ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅)

-Basically we are asked to prove contraposition, so here we have ( P ⇒ Q ) which is equivalent to P̅ ∨ Q By definition : (P ⇒ Q) ⇔ (P̅ ∨ Q) +Basically we are asked to prove contraposition, so here we have ( P ⇒ Q ) which is equivalent to P̅ ∨ Q By definition : (P ⇒ Q) ⇔ (P̅ ∨ Q)

-So we end up with : (P̅ ∨ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅), now we just do the same with the second part of the contraposition. (Q̅ ⇒ P̅) ⇔ (Q ∨ P̅) therefor : +So we end up with : (P̅ ∨ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅), now we just do the same with the second part of the contraposition. (Q̅ ⇒ P̅) ⇔ (Q ∨ P̅) therefor :

-(Q ∨ P̅) ⇔ (P̅ ∨ Q), which is true because of commutativity +(Q ∨ P̅) ⇔ (P̅ ∨ Q), which is true because of commutativity

-
not(P ⇒ Q) ⇔ P ∧ Q̅
+
not(P ⇒ Q) ⇔ P ∧ Q̅

-Okaaaay so, let’s first get rid of the implication, because I don’t like it : not(P̅ ∨ Q) +Okaaaay so, let’s first get rid of the implication, because I don’t like it : not(P̅ ∨ Q)

-Now that we got rid of it, we can negate the whole disjunction not(P̅ ∨ Q) ⇔ (P ∧ Q̅). Which is the equivalence we needed to prove +Now that we got rid of it, we can negate the whole disjunction not(P̅ ∨ Q) ⇔ (P ∧ Q̅). Which is the equivalence we needed to prove

-P ⇒ (Q ∧ R) ⇔ (P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ R) +P ⇒ (Q ∧ R) ⇔ (P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ R)

-One might be tempted to replace P with P̅ to get rid of the implication…sadly this isnt it. All we have to do here is resort to Distributivity, because yeah, we can distribute an implication across a {con/dis}junction +One might be tempted to replace P with P̅ to get rid of the implication…sadly this isnt it. All we have to do here is resort to Distributivity, because yeah, we can distribute an implication across a {con/dis}junction

-P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) +P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)

-Literally the same as above 🩷 +Literally the same as above 🩷

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Exercice 2: Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses, et les nier:
-
+
Exercice 2: Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses, et les nier:
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-∀x ∈ ℝ ,∃y ∈ ℝ*+, tels que e^x = y +∀x ∈ ℝ ,∃y ∈ ℝ*+, tels que e^x = y

-For each x from the set of Real numbers, there exists a number y from the set of non-zero positive Real numbers that satisfies the equation : e^x = y +For each x from the set of Real numbers, there exists a number y from the set of non-zero positive Real numbers that satisfies the equation : e^x = y

-“The function f(x)=e^x is always positive and non-null”, the very definition of an exponential function !!!! +“The function f(x)=e^x is always positive and non-null”, the very definition of an exponential function !!!!

-So the proposition is true +So the proposition is true

-
∃x ∈ ℝ, tels que x^2 < x < x^3
+
∃x ∈ ℝ, tels que x^2 < x < x^3

-We just need to find a value that satisifies this condition…thankfully its easy…. +We just need to find a value that satisifies this condition…thankfully its easy….

-x² < x < x³ , we divide the three terms by x so we get : +x² < x < x³ , we divide the three terms by x so we get :

-x < 1 < x² , or : +x < 1 < x² , or :

-x < 1 ; 1 < x² ⇔ x < 1 ; 1 < x We square root both sides +x < 1 ; 1 < x² ⇔ x < 1 ; 1 < x We square root both sides

-We end up with a contradiction, therefor its wrong +We end up with a contradiction, therefor its wrong

-
∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ tels que y = 3x - 8
+
∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ tels que y = 3x - 8

-I dont really understand this one, so let me translate it “For any value of x from the set of Real numbers, 3x - 8 is a Real number”…. i mean….yeah, we are substracting a Real number from an other real number… +I dont really understand this one, so let me translate it “For any value of x from the set of Real numbers, 3x - 8 is a Real number”…. i mean….yeah, we are substracting a Real number from an other real number…

-Since substraction is an Internal composition law in ℝ, therefor all results of a substraction between two Real numbers is…Real +Since substraction is an Internal composition law in ℝ, therefor all results of a substraction between two Real numbers is…Real

-∃x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℕ, x > y ⇒ x + y < 8 +∃x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℕ, x > y ⇒ x + y < 8

-“There exists a number x from the set of Natural numbers such as for all values of y from the set of Natural numbers, x > y implies x + y < 8” +“There exists a number x from the set of Natural numbers such as for all values of y from the set of Natural numbers, x > y implies x + y < 8”

-Let’s get rid of the implication : +Let’s get rid of the implication :

-∃x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℕ, (y > x) ∨ (x + y < 8) There exists a number x from the set of Natural numbers such as for all values of y from the set of Natural numbers y > x OR x + y < 8 +∃x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℕ, (y > x) ∨ (x + y < 8) There exists a number x from the set of Natural numbers such as for all values of y from the set of Natural numbers y > x OR x + y < 8

-This proposition is true, because there exists a value of x that satisfies this condition, it’s all numbers under 8 let’s take 3 as an example: +This proposition is true, because there exists a value of x that satisfies this condition, it’s all numbers under 8 let’s take 3 as an example:

-x = 3 , if y > 3 then the first condition is true ; if y < 3 then the second one is true +x = 3 , if y > 3 then the first condition is true ; if y < 3 then the second one is true

-Meaning that the two propositions CAN NOT BE WRONG TOGETHER, either one is wrong, or the other +Meaning that the two propositions CAN NOT BE WRONG TOGETHER, either one is wrong, or the other

-y > x +y > x

-y - x > 0 +y - x > 0

-y + x < 8 +y + x < 8

-y < 8 - x This one is always true for all values of x below 8, since we are working in the set ℕ +y < 8 - x This one is always true for all values of x below 8, since we are working in the set ℕ

-∀x ∈ ℝ, x² ≥ 1 ⇔ x ≥ 1 +∀x ∈ ℝ, x² ≥ 1 ⇔ x ≥ 1

-….This is getting stupid. of course it’s true it’s part of the definition of the power of 2 +….This is getting stupid. of course it’s true it’s part of the definition of the power of 2

@@ -769,684 +878,745 @@ y + x < 8

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2éme cours Oct 2
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2éme cours Oct 2
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Quantifiers
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Quantifiers
+

-A propriety P can depend on a parameter x +A propriety P can depend on a parameter x

-∀ is the universal quantifier which stands for “For any value of…” +∀ is the universal quantifier which stands for “For any value of…”

-∃ is the existential quantifier which stands for “There exists at least one…” +∃ is the existential quantifier which stands for “There exists at least one…”

-
Example
-
+
Example
+

-P(x) : x+1≥0 +P(x) : x+1≥0

-P(X) is True or False depending on the values of x +P(X) is True or False depending on the values of x

-
-
Proprieties
-
+
+
Proprieties
+

-
Propriety Number 1:
-
+
Propriety Number 1:
+

-The negation of the universal quantifier is the existential quantifier, and vice-versa : +The negation of the universal quantifier is the existential quantifier, and vice-versa :

-
not(∀x ∈ E , P(x)) ⇔ ∃ x ∈ E, not(P(x))
-
not(∃x ∈ E , P(x)) ⇔ ∀ x ∈ E, not(P(x))
+
not(∀x ∈ E , P(x)) ⇔ ∃ x ∈ E, not(P(x))
+
not(∃x ∈ E , P(x)) ⇔ ∀ x ∈ E, not(P(x))

-
Example:
-
+
Example:
+

-∀ x ≥ 1 x² > 5 ⇔ ∃ x ≥ 1 x² < 5 +∀ x ≥ 1 x² > 5 ⇔ ∃ x ≥ 1 x² < 5

-
Propriety Number 2:
-
+
Propriety Number 2:
+

-∀x ∈ E, [P(x) ∧ Q(x)] ⇔ [∀ x ∈ E, P(x)] ∧ [∀ x ∈ E, Q(x)] +∀x ∈ E, [P(x) ∧ Q(x)] ⇔ [∀ x ∈ E, P(x)] ∧ [∀ x ∈ E, Q(x)]

-The propriety “For any value of x from a set E , P(x) and Q(x)” is equivalent to “For any value of x from a set E, P(x) AND for any value of x from a set E, Q(x)” +The propriety “For any value of x from a set E , P(x) and Q(x)” is equivalent to “For any value of x from a set E, P(x) AND for any value of x from a set E, Q(x)”

-
Example :
-
+
Example :
+

-P(x) : sqrt(x) > 0 ; Q(x) : x ≥ 1 +P(x) : sqrt(x) > 0 ; Q(x) : x ≥ 1

-∀x ∈ ℝ*+, [sqrt(x) > 0 , x ≥ 1] ⇔ [∀x ∈ R*+, sqrt(x) > 0] ∧ [∀x ∈ R*+, x ≥ 1] +∀x ∈ ℝ*+, [sqrt(x) > 0 , x ≥ 1] ⇔ [∀x ∈ R*+, sqrt(x) > 0] ∧ [∀x ∈ R*+, x ≥ 1]

-Which is true +Which is true

-
Propriety Number 3:
-
+
Propriety Number 3:
+

-∃ x ∈ E, [P(x) ∧ Q(x)] ⇒ [∃ x ∈ E, P(x)] ∧ [∃ x ∈ E, Q(x)] +∃ x ∈ E, [P(x) ∧ Q(x)] ⇒ [∃ x ∈ E, P(x)] ∧ [∃ x ∈ E, Q(x)]

-Here its an implication and not an equivalence +Here its an implication and not an equivalence

-
Example of why it’s NOT an equivalence :
-
+
Example of why it’s NOT an equivalence :
+

-P(x) : x > 5 ; Q(x) : x < 5 +P(x) : x > 5 ; Q(x) : x < 5

-Of course there is no value of x such as its inferior and superior to 5 at the same time, so obviously the proposition is false. However, the two propositions separated are correct on their own, because there is a value of x such as its superior to 5, and there is also a value of x such as its inferior to 5. This is why it’s an implication and NOT AN EQUIVALENCE!!! +Of course there is no value of x such as its inferior and superior to 5 at the same time, so obviously the proposition is false. However, the two propositions separated are correct on their own, because there is a value of x such as its superior to 5, and there is also a value of x such as its inferior to 5. This is why it’s an implication and NOT AN EQUIVALENCE!!!

-
Propriety Number 4:
-
+
Propriety Number 4:
+

-[∀ x ∈ E, P(x)] ∨ [∀ x ∈ E, Q(x)] ⇒ ∀x ∈ E, [P(x) ∨ Q(x)] +[∀ x ∈ E, P(x)] ∨ [∀ x ∈ E, Q(x)] ⇒ ∀x ∈ E, [P(x) ∨ Q(x)]

-Same here, implication and NOT en equivalence +Same here, implication and NOT en equivalence

-
-
Multi-parameter proprieties :
-
+
+
Multi-parameter proprieties :
+

-A propriety P can depend on two or more parameters, for convenience we call them x,y,z…etc +A propriety P can depend on two or more parameters, for convenience we call them x,y,z…etc

-
Example :
-
+
Example :
+

-P(x,y): x+y > 0 +P(x,y): x+y > 0

-P(0,1) is a True proposition +P(0,1) is a True proposition

-P(-2,-1) is a False one +P(-2,-1) is a False one

-
WARNING :
-
+
WARNING :
+

-∀x ∈ E, ∃y ∈ F , P(x,y) +∀x ∈ E, ∃y ∈ F , P(x,y)

-∃y ∈ F, ∀x ∈ E , P(x,y) +∃y ∈ F, ∀x ∈ E , P(x,y)

-Are different because in the first one y depends on x, while in the second one, it doesn’t +Are different because in the first one y depends on x, while in the second one, it doesn’t

-
Example :
-
+
Example :
+

-∀ x ∈ ℕ , ∃ y ∈ ℕ y > x -–— True +∀ x ∈ ℕ , ∃ y ∈ ℕ y > x -–— True

-∃ y ∈ ℕ , ∀ x ∈ ℕ y > x -–— False +∃ y ∈ ℕ , ∀ x ∈ ℕ y > x -–— False

-
Proprieties :
-
+
Proprieties :
+

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not(∀x ∈ E ,∃y ∈ F P(x,y)) ⇔ ∃x ∈ E, ∀y ∈ F not(P(x,y))
-
not(∃x ∈ E ,∀y ∈ F P(x,y)) ⇔ ∀x ∈ E, ∃y ∈ F not(P(x,y))
+
not(∀x ∈ E ,∃y ∈ F P(x,y)) ⇔ ∃x ∈ E, ∀y ∈ F not(P(x,y))
+
not(∃x ∈ E ,∀y ∈ F P(x,y)) ⇔ ∀x ∈ E, ∃y ∈ F not(P(x,y))

-
-
Methods of mathematical reasoning :
-
+
+
Methods of mathematical reasoning :
+

-
-
Direct reasoning :
-
+
+
Direct reasoning :
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-To show that an implication P ⇒ Q is true, we suppose that P is true and we show that Q is true +To show that an implication P ⇒ Q is true, we suppose that P is true and we show that Q is true

-
Example:
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Example:
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-Let a,b be two Real numbers, we have to prove that a² + b² = 1 ⇒ |a + b| ≤ 2 +Let a,b be two Real numbers, we have to prove that a² + b² = 1 ⇒ |a + b| ≤ 2

-We suppose that a²+b² = 1 and we prove that |a + b| ≤ 2 +We suppose that a²+b² = 1 and we prove that |a + b| ≤ 2

-a²+b²=1 ⇒ b² = 1 - a² ; a² = 1 - b² +a²+b²=1 ⇒ b² = 1 - a² ; a² = 1 - b²

-a²+b²=1 ⇒ 1 - a² ≥ 0 ; 1 - b² ≥ 0 +a²+b²=1 ⇒ 1 - a² ≥ 0 ; 1 - b² ≥ 0

-a²+b²=1 ⇒ a² ≤ 1 ; b² ≤ 1 +a²+b²=1 ⇒ a² ≤ 1 ; b² ≤ 1

-a²+b²=1 ⇒ -1 ≤ a ≤ 1 ; -1 ≤ b ≤ 1 +a²+b²=1 ⇒ -1 ≤ a ≤ 1 ; -1 ≤ b ≤ 1

-a²+b²=1 ⇒ -2 ≤ a + b ≤ 2 +a²+b²=1 ⇒ -2 ≤ a + b ≤ 2

-a²+b²=1 ⇒ |a + b| ≤ 2 Which is what we wanted to prove, therefor the implication is correct +a²+b²=1 ⇒ |a + b| ≤ 2 Which is what we wanted to prove, therefor the implication is correct

-
-
Reasoning by the Absurd:
-
+
+
Reasoning by the Absurd:
+

-To prove that a proposition is True, we suppose that it’s False and we must come to a contradiction +To prove that a proposition is True, we suppose that it’s False and we must come to a contradiction

-And to prove that an implication P ⇒ Q is true using the reasoning by the absurd, we suppose that P ∧ not(Q) is true, and then we come to a contradiction as well +And to prove that an implication P ⇒ Q is true using the reasoning by the absurd, we suppose that P ∧ not(Q) is true, and then we come to a contradiction as well

-
Example:
-
+
Example:
+

-Prove that this proposition is correct using the reasoning by the absurd : ∀x ∈ ℝ* , sqrt(1+x²) ≠ 1 + x²/2 +Prove that this proposition is correct using the reasoning by the absurd : ∀x ∈ ℝ* , sqrt(1+x²) ≠ 1 + x²/2

-We assume that ∃ x ℝ* , sqrt(1+x²) = 1 + x²/2 +We assume that ∃ x ℝ* , sqrt(1+x²) = 1 + x²/2

-sqrt(1+x²) = 1 + x²/2 ; 1 + x² = (1+x²/2)² ; 1 + x² = 1 + x^4/4 + x² ; x^(4)/4 = 0 … Which contradicts with our proposition, since x = 4 and we are working on the ℝ* set +sqrt(1+x²) = 1 + x²/2 ; 1 + x² = (1+x²/2)² ; 1 + x² = 1 + x^4/4 + x² ; x^(4)/4 = 0 … Which contradicts with our proposition, since x = 4 and we are working on the ℝ* set

-
-
Reasoning by contraposition:
-
+
+
Reasoning by contraposition:
+

-If an implication P ⇒ Q is too hard to prove, we just have to prove not(Q) ⇒ not(P) is true !!! or in other words that both not(P) and not(Q) are true +If an implication P ⇒ Q is too hard to prove, we just have to prove not(Q) ⇒ not(P) is true !!! or in other words that both not(P) and not(Q) are true

-
-
Reasoning by counter example:
-
+
+
Reasoning by counter example:
+

-To prove that a proposition ∀x ∈ E, P(x) is false, all we have to do is find a single value of x from E such as not(P(x)) is true +To prove that a proposition ∀x ∈ E, P(x) is false, all we have to do is find a single value of x from E such as not(P(x)) is true

-
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3eme Cours : Oct 9
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3eme Cours : Oct 9
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-
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Reasoning by recurrence :
-
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+
Reasoning by recurrence :
+

-P is a propriety dependent of n ∈ ℕ. If for n0 ∈ ℕ P(n0) is true, and if for n ≥ n0 (P(n) ⇒ P(n+1)) is true. Then P(n) is true for n ≥ n0 +P is a propriety dependent of n ∈ ℕ. If for n0 ∈ ℕ P(n0) is true, and if for n ≥ n0 (P(n) ⇒ P(n+1)) is true. Then P(n) is true for n ≥ n0

-
Example:
-
+
Example:
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-Let’s prove that ∀ n ≥ 1 , (n,k=1)Σk = [n(n+1)]/2 +Let’s prove that ∀ n ≥ 1 , (n,k=1)Σk = [n(n+1)]/2

-P(n) : (n,k=1)Σk = [n(n+1)]/2 +P(n) : (n,k=1)Σk = [n(n+1)]/2

-Pour n = 1: (1,k=1)Σk = 1 ; [n(n+1)]/2 = 1 . So P(1) is true +Pour n = 1: (1,k=1)Σk = 1 ; [n(n+1)]/2 = 1 . So P(1) is true

-For n ≥ 1. We assume that P(n) is true, OR : (n, k=1)Σk = n(n+1)/2. We now have to prove that P(n+1) is true, Or : (n+1, k=1)Σk = (n+1)(n+2)/2 +For n ≥ 1. We assume that P(n) is true, OR : (n, k=1)Σk = n(n+1)/2. We now have to prove that P(n+1) is true, Or : (n+1, k=1)Σk = (n+1)(n+2)/2

-(n+1, k=1)Σk = 1 + 2 + …. + n + (n+1) ; (n+1, k=1)Σk = (n, k=1)Σk + (n+1) ; = n(n+1)/2 + (n+1) ; = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 ; = [(n+2)(n+1)]/2 WHICH IS WHAT WE NEEDED TO FIND +(n+1, k=1)Σk = 1 + 2 + …. + n + (n+1) ; (n+1, k=1)Σk = (n, k=1)Σk + (n+1) ; = n(n+1)/2 + (n+1) ; = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 ; = [(n+2)(n+1)]/2 WHICH IS WHAT WE NEEDED TO FIND

-Conclusion: ∀n ≥ 1 , (n,k=1)Σk = n(n+1)/2 +Conclusion: ∀n ≥ 1 , (n,k=1)Σk = n(n+1)/2

-
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4eme Cours : Chapitre 2 : Sets and Operations
-
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4eme Cours : Chapitre 2 : Sets and Operations
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-
Definition of a set :
-
+
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Definition of a set :
+

-A set is a collection of objects that share the sane propriety +A set is a collection of objects that share the sane propriety

-
-
Belonging, inclusion, and equality :
-
+
+
Belonging, inclusion, and equality :
+

-
Let E be a set. If x is an element of E, we say that x belongs to E we write x ∈ E, and if it doesn’t, we write x ∉ E
-
A set E is included in a set F if all elements of E are elements of F and we write E ⊂ F ⇔ (∀x , x ∈ E ⇒ x ∈ F). We say that E is a subset of F, or a part of F. The negation of this propriety is : E ⊄ F ⇔ ∃x , x ∈ E and x ⊄ F
-
E and F are equal if E is included in F and F is included in E, and we write E = F ⇔ (E ⊂ F) et (F ⊂ E)
-
The empty set (symbolized by ∅) is a set without elements, and is included in all sets (by convention) : ∅ ⊂ E
+
Let E be a set. If x is an element of E, we say that x belongs to E we write x ∈ E, and if it doesn’t, we write x ∉ E
+
A set E is included in a set F if all elements of E are elements of F and we write E ⊂ F ⇔ (∀x , x ∈ E ⇒ x ∈ F). We say that E is a subset of F, or a part of F. The negation of this propriety is : E ⊄ F ⇔ ∃x , x ∈ E and x ⊄ F
+
E and F are equal if E is included in F and F is included in E, and we write E = F ⇔ (E ⊂ F) et (F ⊂ E)
+
The empty set (symbolized by ∅) is a set without elements, and is included in all sets (by convention) : ∅ ⊂ E

-
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Intersections and reunions :
-
+
+
Intersections and reunions :
+

-
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Intersection:
-
+
+
Intersection:
+

-E ∩ F = {x / x ∈ E AND x ∈ F} ; x ∈ E ∩ F ⇔ x ∈ F AND x ∈ F +E ∩ F = {x / x ∈ E AND x ∈ F} ; x ∈ E ∩ F ⇔ x ∈ F AND x ∈ F

-x ∉ E ∩ F ⇔ x ∉ E OR x ∉ F +x ∉ E ∩ F ⇔ x ∉ E OR x ∉ F

-
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Union:
-
+
+
Union:
+

-E ∪ F = {x / x ∈ E OR x ∈ F} ; x ∈ E ∪ F ⇔ x ∈ F OR x ∈ F +E ∪ F = {x / x ∈ E OR x ∈ F} ; x ∈ E ∪ F ⇔ x ∈ F OR x ∈ F

-x ∉ E ∪ F ⇔ x ∉ E AND x ∉ F +x ∉ E ∪ F ⇔ x ∉ E AND x ∉ F

-
-
Difference between two sets:
-
+
+
Difference between two sets:
+

-E\F(Which is also written as : E - F) = {x / x ∈ E and x ∉ F} +E(Which is also written as : E - F) = {x / x ∈ E and x ∉ F}

-
-
Complimentary set:
-
+
+
Complimentary set:
+

-If F ⊂ E. E - F is the complimentary of F in E. +If F ⊂ E. E - F is the complimentary of F in E.

-FCE = {x /x ∈ E AND x ∉ F} ONLY WHEN F IS A SUBSET OF E +FCE = {x /x ∈ E AND x ∉ F} ONLY WHEN F IS A SUBSET OF E

-
-
Symentrical difference
-
+
+
Symentrical difference
+

-E Δ F = (E - F) ∪ (F - E) ; = (E ∪ F) - (E ∩ F) +E Δ F = (E - F) ∪ (F - E) ; = (E ∪ F) - (E ∩ F)

-
-
Proprieties :
-
+
+
Proprieties :
+

-Let E,F and G be 3 sets. We have : +Let E,F and G be 3 sets. We have :

-
-
Commutativity:
-
+
+
Commutativity:
+

-E ∩ F = F ∩ E -E ∪ F = F ∪ E +E ∩ F = F ∩ E
+E ∪ F = F ∪ E

-
-
Associativity:
-
+
+
Associativity:
+

-E ∩ (F ∩ G) = (E ∩ F) ∩ G -E ∪ (F ∪ G) = (E ∪ F) ∪ G +E ∩ (F ∩ G) = (E ∩ F) ∩ G
+E ∪ (F ∪ G) = (E ∪ F) ∪ G

-
-
Distributivity:
-
+
+
Distributivity:
+

-E ∩ (F ∪ G) = (E ∩ F) ∪ (E ∩ G) -E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G) +E ∩ (F ∪ G) = (E ∩ F) ∪ (E ∩ G)
+E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G)

-
-
Lois de Morgan:
-
+
+
Lois de Morgan:
+

-If E ⊂ G and F ⊂ G ; +If E ⊂ G and F ⊂ G ;

-(E ∩ F)CG = ECG ∪ FCG ; (E ∪ F)CG = ECG ∩ FCG +(E ∩ F)CG = ECG ∪ FCG ; (E ∪ F)CG = ECG ∩ FCG

-
-
An other one:
-
+
+
An other one:
+

-E - (F ∩ G) = (E-F) ∪ (E-G) ; E - (F ∪ G) = (E-F) ∩ (E-G) +E - (F ∩ G) = (E-F) ∪ (E-G) ; E - (F ∪ G) = (E-F) ∩ (E-G)

-
-
An other one:
-
+
+
An other one:
+

-E ∩ ∅ = ∅ ; E ∪ ∅ = E +E ∩ ∅ = ∅ ; E ∪ ∅ = E

-
-
And an other one:
-
+
+
And an other one:
+

-E ∩ (F Δ G) = (E ∩ F) Δ (E ∩ G) +E ∩ (F Δ G) = (E ∩ F) Δ (E ∩ G)

-
-
And the last one:
-
+
+
And the last one:
+

-E Δ ∅ = E ; E Δ E = ∅ +E Δ ∅ = E ; E Δ E = ∅

-
-
5eme cours: L’ensemble des parties d’un ensemble Oct 16
-
+
+
5eme cours: L’ensemble des parties d’un ensemble Oct 16
+

-Let E be a set. We define P(E) as the set of all parts of E : P(E) = {X/X ⊂ E} +Let E be a set. We define P(E) as the set of all parts of E : P(E) = {X/X ⊂ E}

-
-
Notes :
-
+
+
Notes :
+

-∅ ∈ P(E) ; E ∈ P(E) +∅ ∈ P(E) ; E ∈ P(E)

-cardinal E = n The number of terms in E , cardinal P(E) = 2^n The number of all parts of E +cardinal E = n The number of terms in E , cardinal P(E) = 2^n The number of all parts of E

-
-
Examples :
-
+
+
Examples :
+

-E = {a,b,c} // P(E)={∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}} +E = {a,b,c} ; P(E)={∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}}

-
-
Partition of a set :
-
+
+
Partition of a set :
+

-We say that A is a partition of E if: +We say that A is a partition of E if:

-
∀ x ∈ A , x ≠ 0
-
All the elements of A are two by two disjoint. Or in other terms, there should not be two elements that intersects with each other.
-
The reunion of all elements of A is equal to E
+
∀ x ∈ A , x ≠ 0
+
All the elements of A are two by two disjoint. Or in other terms, there should not be two elements that intersects with each other.
+
The reunion of all elements of A is equal to E

-
-
Cartesian products :
-
+
+
Cartesian products :
+

-Let E and F be two sets, the set EXF = {(x,y)/ x ∈ E AND y ∈ F} is called the Cartesian product of E and F +Let E and F be two sets, the set EXF = {(x,y)/ x ∈ E AND y ∈ F} is called the Cartesian product of E and F

-
-
Example :
-
+
+
Example :
+

-A = {4,5} ; B= {4,5,6} // AxB = {(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6)} +A = {4,5} ; B= {4,5,6} ; AxB = {(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6)}

-BxA = {(4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (6,4), (6,5)} // Therefore AxB ≠ BxA +BxA = {(4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (6,4), (6,5)} ; Therefore AxB ≠ BxA

-
-
Some proprieties:
-
+
+
Some proprieties:
+

-
ExF = ∅ ⇔ E=∅ OR F=∅
-
ExF = FxE ⇔ E=F OR E=∅ OR F=∅
-
E x (F∪G) = (ExF) ∪ (ExG)
-
(E∪F) x G = (ExG) ∪ (FxG)
-
(E∪F) ∩ (GxH) = (E ∩ G) x (F ∩ H)
-
Generally speaking : (ExF) ∪ (GxH) ≠ (E∪G) x (F∪H)
+
ExF = ∅ ⇔ E=∅ OR F=∅
+
ExF = FxE ⇔ E=F OR E=∅ OR F=∅
+
E x (F∪G) = (ExF) ∪ (ExG)
+
(E∪F) x G = (ExG) ∪ (FxG)
+
(E∪F) ∩ (GxH) = (E ∩ G) x (F ∩ H)
+
Generally speaking : (ExF) ∪ (GxH) ≠ (E∪G) x (F∪H)

-
-
Binary relations in a set :
-
+
+
Binary relations in a set :
+

-
-
Definition :
-
+
+
Definition :
+

-Let E be a set and x,y ∈ E. If there exists a link between x and y, we say that they are tied by a relation R and we write xRy +Let E be a set and x,y ∈ E. If there exists a link between x and y, we say that they are tied by a relation R and we write xRy

-
-
Proprieties :
-
+
+
Proprieties :
+

-Let E be a set and R a relation defined in E +Let E be a set and R a relation defined in E

-
We say that R is reflexive if ∀ x ∈ E, xRx (for any element x in E,x is related to itself)
-
We say that R is symmetrical if ∀ x,y ∈ E , xRy ⇒ yRx
-
We say that R is transitive if ∀ x,y,z ∈ E (xRy , yRz) ⇒ xRz
-
We say that R is anti-symmetrical if ∀ x,y ∈ E xRy AND yRx ⇒ x = y
+
We say that R is reflexive if ∀ x ∈ E, xRx (for any element x in E,x is related to itself)
+
We say that R is symmetrical if ∀ x,y ∈ E , xRy ⇒ yRx
+
We say that R is transitive if ∀ x,y,z ∈ E (xRy , yRz) ⇒ xRz
+
We say that R is anti-symmetrical if ∀ x,y ∈ E xRy AND yRx ⇒ x = y

-
-
Equivalence relationship :
-
+
+
Equivalence relationship :
+

-We say that R is a relation of equivalence in E if its reflexive, symetrical and transitive +We say that R is a relation of equivalence in E if its reflexive, symetrical and transitive

-
-
Equivalence class :
-
+
+
Equivalence class :
+

-Let R be a relation of equivalence in E and a ∈ E, we call equivalence class of a, and we write ̅a or ȧ, or cl a the following set : +Let R be a relation of equivalence in E and a ∈ E, we call equivalence class of a, and we write ̅a or ȧ, or cl a the following set :

-a̅ = {y ∈ E/ y R a} +a̅ = {y ∈ E/ y R a}

-
The quotient set :
-
+
The quotient set :
+

-E/R = {̅a , a ∈ E} +E/R = {̅a , a ∈ E}

-
-
Order relationship :
-
+
+
Order relationship :
+

-Let E be a set and R be a relation defined in E. We say that R is a relation of order if its reflexive, anti-symetrical and transitive. +Let E be a set and R be a relation defined in E. We say that R is a relation of order if its reflexive, anti-symetrical and transitive.

-
The order R is called total if ∀ x,y ∈ E xRy OR yRx
-
The order R is called partial if ∃ x,y ∈ E xR̅y AND yR̅x
+
The order R is called total if ∀ x,y ∈ E xRy OR yRx
+
The order R is called partial if ∃ x,y ∈ E xR̅y AND yR̅x

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TODO Examples :
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+
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TODO Examples :
+

-∀x,y ∈ ℝ , xRy ⇔ x²-y²=x-y +∀x,y ∈ ℝ , xRy ⇔ x²-y²=x-y

-
Prove that R is an equivalence relation
-
Let a ∈ ℝ, find ̅a
+
Prove that R is an equivalence relation
+
Let a ∈ ℝ, find ̅a

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TP exercices Oct 20 :
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Exercice 3 :
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Question 3
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+Montrer par l’absurde que P : ∀x ∈ ℝ*, √(4+x³) ≠ 2 + x³/4 est vraies
+
+ +
+On suppose que ∃ x ∈ ℝ* , √(4+x³) = 2 + x³/4
+4+x³ = (2 + x³/4)²
+4+x³ = 4 + x⁶/16 + 4*(x³/4)
+4+x³ = 4 + x⁶/16 + x³
+x⁶/16 = 0
+x⁶ = 0
+x = 0 . Or, x appartiens a ℝ\{0}, donc P̅ est fausse. Ce qui est equivalent a dire que P est vraie
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Exercice 4 :
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DONE Question 1 :
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+∀ n ∈ ℕ* , (n ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/1+n
+P(n) : (n ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/1+n
+1. On vérifie P(n) pour n = 1
+(1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1/1(1+1)
+ = 1/2 — (1)
+1 - 1/1+1 = 1 - 1/2
+ = 1/2 — (2)
+De (1) et (2), P(0) est vraie -— (a)
+
+2. On suppose que P(n) est vraie pour n ≥ n1 puis on vérifie pour n+1
+(n ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/1+n
+(n ,k=1)Σ1/k(k+1) + 1/(n+1)(n+2) = 1 - (1/(1+n)) + 1/(n+1)(n+2)
+(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/(n+1) + 1/[(n+1)(n+2)]
+(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 + 1/[(n+1)(n+2)] - (n+2)/[(n+1)(n+2)]
+(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 + [1-(n+2)]/[(n+1)(n+2)]
+(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 + [-n-1]/[(n+1)(n+2)]
+(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - [n+1]/[(n+1)(n+2)]
+(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/(n+1+1) CQFD
+
+Donc P(n+1) est vraie. -— (b)
+De (a) et (b) on conclus que la proposition de départ est vraie
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Author: Crystal
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Created: 2023-10-17 Tue 22:32
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Created: 2023-10-20 Fri 15:12

\ No newline at end of file diff --git a/uni_notes/alsd.html b/uni_notes/alsd.html index 9b0fa1c..e064d19 100755 --- a/uni_notes/alsd.html +++ b/uni_notes/alsd.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> - + ALSD1 @@ -13,62 +13,86 @@ -
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ALSD1
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Contenu de la Matiére
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Chapitre 1: Elements de Base
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Table of Contents
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Contenu de la Matiére +
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Chapitre 1: Elements de Base
+
Chapitre 2: Présentation du formalisme Algorithmique
+
Chapitre 3: Eléments de base du language C
+
Chapitre 4: Modularité( Fonction et Procédure )
+
Chapitre 5: Les structures des données statiques
+
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+
Premier cours : Algorithmes Oct 1 : +
+
Définition d’un algorithm : +
+
Example d’un Algo : Résolution d’une équation du second ordre (ax²+bx+c=0)
+
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Contenu de la Matiére
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Chapitre 1: Elements de Base
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Algorithmique, procésseur, action.
-
Programme et languages de programmation.
-
Analyse des problémes.
+
Algorithmique, procésseur, action.
+
Programme et languages de programmation.
+
Analyse des problémes.

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Chapitre 2: Présentation du formalisme Algorithmique
+
+
Chapitre 2: Présentation du formalisme Algorithmique

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Chapitre 3: Eléments de base du language C
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+
Chapitre 3: Eléments de base du language C

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Chapitre 4: Modularité( Fonction et Procédure )
+
+
Chapitre 4: Modularité( Fonction et Procédure )

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Chapitre 5: Les structures des données statiques
+
+
Chapitre 5: Les structures des données statiques

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Premier cours : Algorithmes Oct 1 :
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Premier cours : Algorithmes Oct 1 :
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Définition d’un algorithm :
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+
+
Définition d’un algorithm :
+

-Un ensemble d’opérations ecrites dans le language naturel. +Un ensemble d’opérations ecrites dans le language naturel.

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Example d’un Algo : Résolution d’une équation du second ordre (ax²+bx+c=0)
-
+
+
Example d’un Algo : Résolution d’une équation du second ordre (ax²+bx+c=0)
+

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Si a=0 ET b=0 alors l’équation n’est pas du 2nd ordre.
-
Si a=0 et b≠0 alors x= -c/5 .
-
Si a≠0 alors calculer Δ= b²-4ac : +
Si a=0 ET b=0 alors l’équation n’est pas du 2nd ordre.
+
Si a=0 et b≠0 alors x= -c/5 .
+
Si a≠0 alors calculer Δ= b²-4ac :

-
Si Δ=0 alors x=-b/2a.
-
Si Δ<0 alors l’équation n’as pas de solution.
-
Si Δ>0 alors x=[-b±sqrt(Δ)]/2a
+
Si Δ=0 alors x=-b/2a.
+
Si Δ<0 alors l’équation n’as pas de solution.
+
Si Δ>0 alors x=[-b±sqrt(Δ)]/2a

@@ -78,7 +102,7 @@ Un ensemble d’opérations ecrites dans le language naturel.

Author: Crystal
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Created: 2023-10-01 Sun 20:23
+
Created: 2023-10-20 Fri 14:44

\ No newline at end of file diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index 158fb05..6ee822b 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> - + Analyse 1 @@ -13,1225 +13,1384 @@ -
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+ UP + | + HOME +

Analyse 1
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-
Contenu de la Matiére
-
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+
Table of Contents
+
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+
Contenu de la Matiére +
+
Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ
+
Chapitre 2 : Les suites numériques réelles
+
Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle
+
Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique
+
Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques
+
+
+
Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 : +
+
La loi de composition interne dans E : +
+
Example : Addition
+
Example : soustraction
+
+
+
La loi de composition externe dans E :
+
Groupes : +
+
Il contiens un élement neutre
+
Il contiens un élément symétrique
+
@ est cummutative :
+
+
+
Anneaux : +
+
(E ; @) est un groupe cummutatif
+
! est une loi associative :
+
Distribution de ! par rapport à @ :
+
L’existance d’un élèment neutre de ! :
+
! est cummutative :
+
+
+
Corps : +
+
La symétrie :
+
+
+
Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ? +
+
Est-ce un Anneau ?
+
Est-ce un corps ?
+
+
+
+
+
2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 : +
+
L’ordre dans ℝ +
+
Exemples :
+
+
+
Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure +
+
Majorant:
+
Minorant:
+
Borne supérieure:
+
Borne inférieure:
+
Maximum :
+
Minimum :
+
Remarques :
+
+
+
+
+
3rd cours :Les suites numériques Oct 5 : +
+
+
+
Définition :
+
Définition N°2 :
+
+
+
Opérations sur les suites : +
+
La somme :
+
Le produit :
+
Inverse d’une suite :
+
Produit d’une suite par un scalaire :
+
+
+
Suite bornée :
+
Suite majorée :
+
Suite minorée :
+
Suites monotones : +
+
Les suites croissantes :
+
Les suites décroissantes :
+
+
+
+
+
Série TD N°1 : Oct 6 +
+
Exo 1 : +
+
Ensemble A :
+
Ensemble B :
+
Ensemble C :
+
Ensemble D :
+
Ensemble E :
+
+
+
Exo 2 : +
+
Ensemble A :
+
Ensemble B :
+
Ensemble C :
+
Ensemble D :
+
Ensemble E :
+
+
+
Exo 3 : +
+
Question 1 :
+
Question 2 :
+
+
+
+
+
4th cours (Suite) : Oct 10 +
+
Les suites convergentes +
+
Remarque :
+
+
+
Theoreme d’encadrement
+
Suites arithmetiques +
+
Forme general
+
Somme des n premiers termes
+
+
+
Suites géométriques +
+
Forme general
+
Somme des n premiers termes
+
+
+
+
+
5th cours (suite) : Oct 12 +
+
Suites adjacentes:
+
Suites extraites (sous-suites): +
+
Remarques:
+
+
+
Suites de Cauchy: +
+
Remarque :
+
+
+
Théorème de Bolzano Weirstrass:
+
+
+
+
+
+
+
Contenu de la Matiére
+

-
-
Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ
-
+
+
Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ
+

-
Structure algébrique de ℝ
-
L’ordre dans ℝ
-
Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure
+
Structure algébrique de ℝ
+
L’ordre dans ℝ
+
Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure

-
-
Chapitre 2 : Les suites numériques réelles
-
+
+
Chapitre 2 : Les suites numériques réelles
+

-
Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes
-
Theoréme de convergence, Theoréme de _ suites, sans suites, extension au limites infinies
-
Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes
+
Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes
+
Theoréme de convergence, Theoréme de _ suites, sans suites, extension au limites infinies
+
Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes

-
-
Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle
-
+
+
Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle
+

-
Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées
-
La continuité : définition, Theorémes fondamentaux
-
La continuité informe les fonctions Lepchitziennes
+
Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées
+
La continuité : définition, Theorémes fondamentaux
+
La continuité informe les fonctions Lepchitziennes

-
-
Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique
-
+
+
Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique
+

-
Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor
+
Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor

-
-
Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques
-
+
+
Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques
+

-
Comparaison asymptotique
-
Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes
-
Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L
-
Généralisations des D.L
-
Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies
+
Comparaison asymptotique
+
Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes
+
Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L
+
Généralisations des D.L
+
Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies

-
-
Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :
-
+
+
Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :
+

-
-
La loi de composition interne dans E :
-
+
+
La loi de composition interne dans E :
+

-@ : E x E —> E - (x,y) —> x @ y +@ : E x E —> E
+ (x,y) —> x @ y

-@ est une lois de composition interne seulement si : +@ est une lois de composition interne seulement si :

-∀ x,y ε E +∀ x,y ε E

-
-
Example : Addition
-
+
+
Example : Addition
+

-Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ? +Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?

-ℕ x ℕ —> ℕ +ℕ x ℕ —> ℕ

-(x,y) —> x + y ? En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne n’importe quel chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ +(x,y) —> x + y ? En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne n’importe quel chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ

-∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ +∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ

-Donc : + est L.C.I dans ℕ +Donc : + est L.C.I dans ℕ

-
-
Example : soustraction
-
+
+
Example : soustraction
+

-Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ? +Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?

-ℕ x ℕ —> ℕ +ℕ x ℕ —> ℕ

-(x,y) —> x - y ? +(x,y) —> x - y ?

-∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est PAS dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ +∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est PAS dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ

-
-
La loi de composition externe dans E :
-
+
+
La loi de composition externe dans E :
+

-@ est L.C.E dans E, K est un corps +@ est L.C.E dans E, K est un corps

-K x E —> E +K x E —> E

-(a,x) —> a @ x +(a,x) —> a @ x

-∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E +∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E

-
-
Groupes :
-
+
+
Groupes :
+

-Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E +Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E

-(E, @) est un groupe Si : +(E, @) est un groupe Si :

-
-
Il contiens un élement neutre
-
+
+
Il contiens un élement neutre
+

-∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E +∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E

-x @ e = e @ x = x +x @ e = e @ x = x

-On appelle e élement neutre +On appelle e élement neutre

-Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition +Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition

-
-
Il contiens un élément symétrique
-
+
+
Il contiens un élément symétrique
+

-∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e +∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e

-On appelle x’ élèment symétrique +On appelle x’ élèment symétrique

-Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car: +Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:

-x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’ +x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’

-Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs +Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs

-
-
@ est cummutative :
-
+
+
@ est cummutative :
+

-∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x +∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x

-L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents +L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents

-
-
Anneaux :
-
+
+
Anneaux :
+

-Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si : +Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

-
-
(E ; @) est un groupe cummutatif
+
+
(E ; @) est un groupe cummutatif

-
-
! est une loi associative :
-
+
+
! est une loi associative :
+

-∀ x , y , z ∈ E +∀ x , y , z ∈ E

-(x ! y) ! z = x ! (y ! z) +(x ! y) ! z = x ! (y ! z)

-
-
Distribution de ! par rapport à @ :
-
+
+
Distribution de ! par rapport à @ :
+

-∀ x , y , z ∈ E +∀ x , y , z ∈ E

-(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z ) +(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )

-
-
L’existance d’un élèment neutre de ! :
-
+
+
L’existance d’un élèment neutre de ! :
+

-∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x +∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x

-
-
! est cummutative :
-
+
+
! est cummutative :
+

-∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x +∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x

-
-
Corps :
-
+
+
Corps :
+

-(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition : +(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :

-
-
La symétrie :
-
+
+
La symétrie :
+

-∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e +∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e

-x’ est l’élément symétrique de x par rapport à ! -(sauf élément neutre première lois ) +x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !
+(sauf élément neutre première lois )

-
-
Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?
-
+
+
Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?
+

-
-
Est-ce un Anneau ?
-
+
+
Est-ce un Anneau ?
+

-
(ℝ, +) est un groupe commutatif
-
x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)
-
On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
-
Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a
-
La multiplication est commutative : a x b = b x a
+
(ℝ, +) est un groupe commutatif
+
x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)
+
On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
+
Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a
+
La multiplication est commutative : a x b = b x a

-Oui c’est un anneau +Oui c’est un anneau

-
-
Est-ce un corps ?
-
+
+
Est-ce un corps ?
+

-
Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1
+
Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1

-
-
2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :
-
+
+
2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :
+

-
-
L’ordre dans ℝ
-
+
+
L’ordre dans ℝ
+

-(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si : +(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :

-R est antisymétrique : +R est antisymétrique :

-∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y) +∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)

-R est reflexive : +R est reflexive :

-∀ x ∈ ℝ ; x R x +∀ x ∈ ℝ ; x R x

-
R est transitive : -∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z
+
R est transitive :
+∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z

-
-
Exemples :
-
+
+
Exemples :
+

-
Exemple numéro 1:
-
+
Exemple numéro 1:
+

-(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ? +(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?

-Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x is obviously false +Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x is obviously false

-
Exemple numéro 2:
-
+
Exemple numéro 2:
+

-(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ? +(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?

-
(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true
-
(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true
-
(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true
+
(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true
+
(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true
+
(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true

-
-
Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure
-
+
+
Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure
+

-
-
Majorant:
-
+
+
Majorant:
+

-Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) +Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

-Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a +Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a

-
-
Minorant:
-
+
+
Minorant:
+

-Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) +Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

-Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b +Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b

-
-
Borne supérieure:
-
+
+
Borne supérieure:
+

-La borne supérieure est le plus petit des majorants Sup(E) = Borne supérieure +La borne supérieure est le plus petit des majorants Sup(E) = Borne supérieure

-
-
Borne inférieure:
-
+
+
Borne inférieure:
+

-La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf(E) = Borne inférieure +La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf(E) = Borne inférieure

-
-
Maximum :
-
+
+
Maximum :
+

-E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a. +E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.

-
-
Minimum :
-
+
+
Minimum :
+

-E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b. +E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.

-
-
Remarques :
-
+
+
Remarques :
+

-A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : +A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :

-
A ∪ B est borné
-
A ∩ B est borné
-
Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)
-
Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)
-
Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) Le plus petit des Supérieur de A et B
-
Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) Le plus grand des inférieur de A et B
+
A ∪ B est borné
+
A ∩ B est borné
+
Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)
+
Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)
+
Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) Le plus petit des Supérieur de A et B
+
Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) Le plus grand des inférieur de A et B

-
-
3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :
-
+
+
3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :
+

-
-
Définition :
-
+
+
Définition :
+

-Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ: +Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:

-ℕ -—> ℝ +ℕ -—> ℝ

-n -—> U(n) = Un +n -—> U(n) = Un

-
(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite
-
Un : terme général
+
(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite
+
Un : terme général

-
Exemple :
-
+
Exemple :
+

-U : ℕ* -—> ℝ +U : ℕ* -—> ℝ

-n -—> 1/n +n -—> 1/n

-(Un) est une suite définit par Un = 1/n +(Un) est une suite définit par Un = 1/n

-
-
Définition N°2 :
-
+
+
Définition N°2 :
+

-On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme. +On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.

-
Exemple :
-
+
Exemple :
+

-U(n+1) = Un /2 +U(n+1) = Un /2

-U(1)= 1 +U(1)= 1

-
-
Opérations sur les suites :
-
+
+
Opérations sur les suites :
+

-
-
La somme :
-
+
+
La somme :
+

-Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn +Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn

-
-
Le produit :
-
+
+
Le produit :
+

-Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn +Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn

-
-
Inverse d’une suite :
-
+
+
Inverse d’une suite :
+

-Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un +Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un

-
-
Produit d’une suite par un scalaire :
-
+
+
Produit d’une suite par un scalaire :
+

-Soit (Un) une suite de T.G Un +Soit (Un) une suite de T.G Un

-∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn +∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn

-
-
Suite bornée :
-
+
+
Suite bornée :
+

-Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée +Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée

-
-
Suite majorée :
-
+
+
Suite majorée :
+

-Soit (Un) une suite +Soit (Un) une suite

-U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M +U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M

-
-
Suite minorée :
-
+
+
Suite minorée :
+

-Soit (Un) une suite +Soit (Un) une suite

-U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M +U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M

-
-
Suites monotones :
-
+
+
Suites monotones :
+

-
-
Les suites croissantes :
-
+
+
Les suites croissantes :
+

-Soit (Un)n est une suite +Soit (Un)n est une suite

-(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un +(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un

-
-
Les suites décroissantes :
-
+
+
Les suites décroissantes :
+

-Soit (Un)n est une suite +Soit (Un)n est une suite

-(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un +(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un

-
-
Série TD N°1 : Oct 6
-
+
+
Série TD N°1 : Oct 6
+

-
-
Exo 1 :
-
+
+
Exo 1 :
+

-
-
Ensemble A :
-
+
+
Ensemble A :
+

-A = {-1/n , n ∈ ℕ *} +A = {-1/n , n ∈ ℕ *}

-
Borne inférieure
-
+
Borne inférieure
+

-∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

-∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

-∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

-L’ensemble A n’as pas de maximum +L’ensemble A n’as pas de maximum

-
-
Ensemble B :
-
+
+
Ensemble B :
+

-B = [-1 , 3[ ∩ ℚ +B = [-1 , 3[ ∩ ℚ

-
Borne inférieure :
-
+
Borne inférieure :
+

-Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ)) +Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))

-Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est -∞, +Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est -∞,

-Inf(B) = -1 +Inf(B) = -1

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

-Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ)) +Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))

-Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est +∞, +Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est +∞,

-Sup(B) = 3 +Sup(B) = 3

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

-Min(B) = -1 +Min(B) = -1

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

-L’ensemble B n’as pas de Maximum +L’ensemble B n’as pas de Maximum

-
-
Ensemble C :
-
+
+
Ensemble C :
+

-C = {3n ,n ∈ ℕ} +C = {3n ,n ∈ ℕ}

-
Borne inférieure :
-
+
Borne inférieure :
+

-Inf(C) = 0 +Inf(C) = 0

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

-Sup(C) = +∞ +Sup(C) = +∞

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

-Min(C) = 0 +Min(C) = 0

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

-L’ensemble C n’as pas de Maximum +L’ensemble C n’as pas de Maximum

-
-
Ensemble D :
-
+
+
Ensemble D :
+

-D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*} +D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}

-
Borne inférieure :
-
+
Borne inférieure :
+

-Inf(D)= 0 +Inf(D)= 0

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

-Sup(D)= 1 +Sup(D)= 1

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

-Min(D)= 0 +Min(D)= 0

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

-L’ensemble D n’as pas de Maximum +L’ensemble D n’as pas de Maximum

-
-
Ensemble E :
-
+
+
Ensemble E :
+

-E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ } +E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

-Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair +Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair

-On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1} +On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}

-Donc E = F ∪ G +Donc E = F ∪ G

-
Borne inférieure :
-
+
Borne inférieure :
+

-Inf(E) = Min(inf(F), inf(G)) +Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))

-Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1 +Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1

-Inf(E)= -1 +Inf(E)= -1

-
Borne supérieure :
-
+
Borne supérieure :
+

-Sup(E) = Max(sup(F), sup(G)) +Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))

-sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞ +sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞

-Sup(E)= +∞ +Sup(E)= +∞

-
Minimum :
-
+
Minimum :
+

-Min(E)= -1 +Min(E)= -1

-
Maximum :
-
+
Maximum :
+

-E n’as pas de maximum +E n’as pas de maximum

-
-
Exo 2 :
-
+
+
Exo 2 :
+

-
-
Ensemble A :
-
+
+
Ensemble A :
+

-A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3} +A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}

-
Borné
-
+
Borné
+

-Oui, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3 +Oui, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3

-
-
Ensemble B :
-
+
+
Ensemble B :
+

-B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ; +B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;

-
Borné
-
+
Borné
+

-∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2 +∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2

-∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2 +∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2

-
-
Ensemble C :
-
+
+
Ensemble C :
+

-C = {x ∈ ℝ , x³ > 3} +C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}

-
Minoré
-
+
Minoré
+

-∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3 +∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3

-
-
Ensemble D :
-
+
+
Ensemble D :
+

-D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2} +D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}

-
Borné
-
+
Borné
+

-∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0 +∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0

-∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2 +∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2

-
-
Ensemble E :
-
+
+
Ensemble E :
+

-E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p} +E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}

-
Majoré
-
+
Majoré
+

-p = √2/x . Donc : Sup(E)=1 +p = √2/x . Donc : Sup(E)=1

-
-
Exo 3 :
-
+
+
Exo 3 :
+

-U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1 +U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1

-
-
Question 1 :
-
+
+
Question 1 :
+

-Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 . +Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

-(Un - 1)² ≥ 0 Parce que c’est un carré +(Un - 1)² ≥ 0 Parce que c’est un carré

-(Un - 1)² + 1 > 1 ; U(n+1) ≥ 1 +(Un - 1)² + 1 > 1 ; U(n+1) ≥ 1

-
Raisonnement par récurrence :
-
+
Raisonnement par récurrence :
+

-P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2 +P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2

-P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2 +P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2

-On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction +On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction

-1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; 1 < U(n+1) < 2 Donc elle est correcte +1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; 1 < U(n+1) < 2 Donc elle est correcte

-
-
Question 2 :
-
+
+
Question 2 :
+

-Montrer que (Un)n est strictement monotone : +Montrer que (Un)n est strictement monotone :

-U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2 +U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2

-On étudie Un² - 3Un + 2 sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, Δ = 1 , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2 +On étudie Un² - 3Un + 2 sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, Δ = 1 , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2

-On déduit que Un² - 3Un + 2 est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc ∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante +On déduit que Un² - 3Un + 2 est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc ∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante

-
-
4th cours (Suite) : Oct 10
-
+
+
4th cours (Suite) : Oct 10
+

-
-
Les suites convergentes
-
+
+
Les suites convergentes
+

-Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l +Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l

-
-
Remarque :
-
+
+
Remarque :
+

-
Un est une suite convergente alors Un est bornee
-
Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|
-
Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge
-
Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge
-
Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors +
Un est une suite convergente alors Un est bornee
+
Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|
+
Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge
+
Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge
+
Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors

-
Un + Vn est convergente
-
Un * Vn est convergente
-
∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge
+
Un + Vn est convergente
+
Un * Vn est convergente
+
∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge

-
Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0
+
Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0

-
-
Theoreme d’encadrement
-
+
+
Theoreme d’encadrement
+

-Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l +Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l

-
-
Suites arithmetiques
-
+
+
Suites arithmetiques
+

-Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite +Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite

-
-
Forme general
-
+
+
Forme general
+

-Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r +Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r

-
-
Somme des n premiers termes
-
+
+
Somme des n premiers termes
+

-Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2 +Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2

-Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie +Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie

-
-
Suites géométriques
-
+
+
Suites géométriques
+

-
-
Forme general
-
+
+
Forme general
+

-Un = U0 x r^n +Un = U0 x r^n

-
-
Somme des n premiers termes
-
+
+
Somme des n premiers termes
+

-n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r +n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r

-
-
5th cours (suite) : Oct 12
-
+
+
5th cours (suite) : Oct 12
+

-
-
Suites adjacentes:
-
+
+
Suites adjacentes:
+

-Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si: +Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:

-
(Un) est croissante et (Vn) est décroissante
-
Un ≤ Vn
-
lim (Un - Vn) n->+∞ = 0
+
(Un) est croissante et (Vn) est décroissante
+
Un ≤ Vn
+
lim (Un - Vn) n->+∞ = 0

-
-
Suites extraites (sous-suites):
-
+
+
Suites extraites (sous-suites):
+

-Soit (Un) une suite: -/ -U: ℕ -—> ℝ -/ - n -—> Un -/ -ϕ: ℕ -—> ℕ -/ - n -—> ϕn -// -(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite. +Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.

-
-
Remarques:
-
+
+
Remarques:
+

-
Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
-
Mais le contraire n’es pas toujours vrais.
-
U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l
+
Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
+
Mais le contraire n’es pas toujours vrais.
+
U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l

-
-
Suites de Cauchy:
-
+
+
Suites de Cauchy:
+

-(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; -// -∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε +(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε

-
-
Remarque :
-
+
+
Remarque :
+

-
Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente
+
Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente

-
-
Théorème de Bolzano Weirstrass:
-
+
+
Théorème de Bolzano Weirstrass:
+

-On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée +On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée

@@ -1239,7 +1398,7 @@ On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée

Author: Crystal
-
Created: 2023-10-18 Wed 20:20
+
Created: 2023-10-20 Fri 14:43

\ No newline at end of file diff --git a/uni_notes/architecture.html b/uni_notes/architecture.html index b5ba235..40df923 100755 --- a/uni_notes/architecture.html +++ b/uni_notes/architecture.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> - + Architecture 1 @@ -13,201 +13,269 @@ -
+
+ UP + | + HOME +

Architecture 1
-
-
Premier cours : Les systémes de numération Sep 27 :
-
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+
Table of Contents
+
+
+
Premier cours : Les systémes de numération Sep 27 : +
+
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+
Examples :
+
+
+
Comment passer d’un systéme a base 10 a un autre +
+
Pour les chiffres entiers :
+
Pour les chiffres non entiers :
+
+
+
+
+
2nd cours : Les systèmes de numération (Suite) Oct 3 : +
+
Comment passer d’une base N a la base 10 :
+
Comment passer d’une base N a une base N^(n) : +
+
Exemple :
+
+
+
L’arithmétique binaire : +
+
L’addition :
+
La soustraction :
+
+
+
TP N°1 : +
+
Exo1:
+
Exo2:
+
Exo3:
+
+
+
L’arithmétique binaire (Suite): Oct 4 +
+
La multiplication :
+
La division :
+
+
+
+
+
4th cours : Le codage Oct 10 +
+
Le codage des entiers positifs
+
Le codage des nombres relatifs +
+
Remarque
+
Le codage en signe + valeur absolue (SVA):
+
Codage en compliment a 1 (CR):
+
Codage en compliment a 2 (CV):
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Premier cours : Les systémes de numération Sep 27 :
+

-Un système de numération est une méthode pour représenter des nombres à l’aide de symboles et de règles. Chaque système, comme le décimal (base 10) ou le binaire (base 2), utilise une base définie pour représenter des valeurs numériques. Il est caractérisé par 3 entitiés mathématiques importantes: +Un système de numération est une méthode pour représenter des nombres à l’aide de symboles et de règles. Chaque système, comme le décimal (base 10) ou le binaire (base 2), utilise une base définie pour représenter des valeurs numériques. Il est caractérisé par 3 entitiés mathématiques importantes:

-
Une base (genre 10, ou 2)
-
Un ensemble de chiffres
-
Des régles de représentations des nombres
+
Une base (genre 10, ou 2)
+
Un ensemble de chiffres
+
Des régles de représentations des nombres

-
-
Examples :
-
+
+
Examples :
+

-B10 est un systéme de numération caractérisé par: +B10 est un systéme de numération caractérisé par:

-
Base = 10
-
Un ensemble de chiffres : (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
+
Base = 10
+
Un ensemble de chiffres : (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

-B16 est un autre systéme de numération caractérisé par: +B16 est un autre systéme de numération caractérisé par:

-
Base = 16
+
Base = 16

-Un ensemble de chiffres : (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) +Un ensemble de chiffres : (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

-Puisse-qu’on peut pas utiliser des nombres a deux chiffres, on utilise des lettres aprés 9, en leur donnant des valeurs tel que : +Puisse-qu’on peut pas utiliser des nombres a deux chiffres, on utilise des lettres aprés 9, en leur donnant des valeurs tel que :

-A : 10 ; B : 11 ; C : 12 ; D : 13 ; E : 14 ; F : 15 +A : 10 ; B : 11 ; C : 12 ; D : 13 ; E : 14 ; F : 15

-
-
Comment passer d’un systéme a base 10 a un autre
-
+
+
Comment passer d’un systéme a base 10 a un autre
+

-On symbolise un chiffre dans la base x par : (Nombre)x +On symbolise un chiffre dans la base x par : (Nombre)x

-
-
Pour les chiffres entiers :
-
+
+
Pour les chiffres entiers :
+

-On fait une division successive, on prends le nombre 3257 comme exemple, on veut le faire passer d’une base décimale á une base 16: +On fait une division successive, on prends le nombre 3257 comme exemple, on veut le faire passer d’une base décimale á une base 16:

-(3257)10 -—> (?)16 +(3257)10 -—> (?)16

-On dévise 3257 par 16, et les restants de la division serra la valeur en base16: +On dévise 3257 par 16, et les restants de la division serra la valeur en base16:

-3257/16 = 203 + 9 / 16 +3257/16 = 203 + 9 / 16

-203/16 = 12 + B / 16 REMARQUE, 11 N’APPARTIENS PAS A L’ENSEMBLE DES CHIFFRES EN BASE16, CE QUI VEUT DIRE QU’ON LE REMPLACE PAR SON EQUIVALENT, DANS CE CAS LA: B +203/16 = 12 + B / 16 REMARQUE, 11 N’APPARTIENS PAS A L’ENSEMBLE DES CHIFFRES EN BASE16, CE QUI VEUT DIRE QU’ON LE REMPLACE PAR SON EQUIVALENT, DANS CE CAS LA: B

-12/16 = 0 + C / 16 Pareil ici, 12 n’existe pas, donc c’est C. Autre note : La division s’arréte quand le résultat de la division est nul +12/16 = 0 + C / 16 Pareil ici, 12 n’existe pas, donc c’est C. Autre note : La division s’arréte quand le résultat de la division est nul

-
Conclusion:
-
+
Conclusion:
+

-(3257)10 -—> (CB9)16 +(3257)10 -—> (CB9)16

-
-
Pour les chiffres non entiers :
-
+
+
Pour les chiffres non entiers :
+

-On fait la division successive pour la partie entiére, et une multiplication successive pour la partie rationelle: +On fait la division successive pour la partie entiére, et une multiplication successive pour la partie rationelle:

-(3257,32)10 -—> (?)16 +(3257,32)10 -—> (?)16

-On a déja la partie entiére donc on s’occupe de la partie aprés la virgule: +On a déja la partie entiére donc on s’occupe de la partie aprés la virgule:

-0,32 x 16 = 5,12 +0,32 x 16 = 5,12

-0,12 x 16 = 1,92 +0,12 x 16 = 1,92

-0,92 x 16 = E,72 On a pas de 15 donc c’est un E +0,92 x 16 = E,72 On a pas de 15 donc c’est un E

-0,72 x 16 = B,52 +0,72 x 16 = B,52

-0,52 x 16 = 8,32 +0,52 x 16 = 8,32

-0,32 x 16 = 5,12 +0,32 x 16 = 5,12

-… +…

-On s’arréte quand on trouve un chiffre entier, et si on trouve pas, on s’arréte quand on remarque une répetition, dans ce cas la, la séquance 51EB8 vas se répéter indéfiniment, donc on se contente d’écrire la partie qui se répéte avec une barre en haut +On s’arréte quand on trouve un chiffre entier, et si on trouve pas, on s’arréte quand on remarque une répetition, dans ce cas la, la séquance 51EB8 vas se répéter indéfiniment, donc on se contente d’écrire la partie qui se répéte avec une barre en haut

-(3257,32)10 -—> (CB9, 51EB8)16 +(3257,32)10 -—> (CB9, 51EB8)16

-
-
2nd cours : Les systèmes de numération (Suite) Oct 3 :
-
+
+
2nd cours : Les systèmes de numération (Suite) Oct 3 :
+

-
-
Comment passer d’une base N a la base 10 :
-
+
+
Comment passer d’une base N a la base 10 :
+

-Prenons comme exemple le nombre (11210,0011)3 , chaque chiffre dans ce nombre a un rang qui commence par 0 au premier chiffre (a gauche de la virgule) et qui augmente d’un plus qu’on avance a gauche, et diminue si on part a droite. Dans ce cas la : +Prenons comme exemple le nombre (11210,0011)3 , chaque chiffre dans ce nombre a un rang qui commence par 0 au premier chiffre (a gauche de la virgule) et qui augmente d’un plus qu’on avance a gauche, et diminue si on part a droite. Dans ce cas la :

-(11210,0011)3 ; le 0 est de rang 0, le 1 est de rang 1, le 2 est de rang 2, le 1 est de rang 3, le 1 est de rang 4. Et si on part du coté de la virgule, 0 est de rang -1, 0 est de rang -2, le 1 est de rang -3, et le 1 est de rang -4. +(11210,0011)3 ; le 0 est de rang 0, le 1 est de rang 1, le 2 est de rang 2, le 1 est de rang 3, le 1 est de rang 4. Et si on part du coté de la virgule, 0 est de rang -1, 0 est de rang -2, le 1 est de rang -3, et le 1 est de rang -4.

-Et pour passer a la base 10, il suffit d’appliquer cette formule : Chiffre x Base^(rang) + 2emeChiffre x Base^(rang)… etc, donc dans notre example: +Et pour passer a la base 10, il suffit d’appliquer cette formule : Chiffre x Base^(rang) + 2emeChiffre x Base^(rang)… etc, donc dans notre example:

-0 x 3° + 1 x 3¹ + 2 x 3² + 1 x 3³ + 1 x 3^4 + 0 x 3¯¹ + 0 x 3¯² + 1 x 3¯³ + 1 x 3^(-4) ≈ (129,05)10 +0 x 3° + 1 x 3¹ + 2 x 3² + 1 x 3³ + 1 x 3^4 + 0 x 3¯¹ + 0 x 3¯² + 1 x 3¯³ + 1 x 3^(-4) ≈ (129,05)10

-
-
Comment passer d’une base N a une base N^(n) :
-
+
+
Comment passer d’une base N a une base N^(n) :
+

-Si il ya une relation entre une base et une autre, on peut directement transformer vers cette base. +Si il ya une relation entre une base et une autre, on peut directement transformer vers cette base.

-
-
Exemple :
-
+
+
Exemple :
+

-Pour passer de la base 2 a la base 8 (8 qui est 2³) on découpe les chiffres 3 par 3 +Pour passer de la base 2 a la base 8 (8 qui est 2³) on découpe les chiffres 3 par 3

-(1 101 011, 011)2 ; Pour le dernier 1 qui est seul tout comme moi il suffit d’ajouter des 0 à gauche (car on peut) pour compléter le découpage. +(1 101 011, 011)2 ; Pour le dernier 1 qui est seul tout comme moi il suffit d’ajouter des 0 à gauche (car on peut) pour compléter le découpage.

-(001 101 011, 011)2; Next step c’est de dessiner le tableau de conversion de la base 2 a la base 8 ( un tableau a 3 bits ) +(001 101 011, 011)2; Next step c’est de dessiner le tableau de conversion de la base 2 a la base 8 ( un tableau a 3 bits )

@@ -292,89 +360,89 @@ Pour passer de la base 2 a la base 8 (8 qui est 2³) on découpe les chiffres 3
-Pour remplir on a qu’a diviser les chiffres en deux, et mettre des 0 dans la première partie et des 1 dans la 2éme, et en faire de même pour les autres colonnes . +Pour remplir on a qu’a diviser les chiffres en deux, et mettre des 0 dans la première partie et des 1 dans la 2éme, et en faire de même pour les autres colonnes .

-Maintenant il suffit de trouver l’équivalent de la base2 en base8 : +Maintenant il suffit de trouver l’équivalent de la base2 en base8 :

-001 c’est 1 ; 101 c’est 5 ; 011 c’est 3 ; donc (1101011,011)2 —> (153,3)8 +001 c’est 1 ; 101 c’est 5 ; 011 c’est 3 ; donc (1101011,011)2 —> (153,3)8

-
-
L’arithmétique binaire :
-
+
+
L’arithmétique binaire :
+

-
-
L’addition :
-
+
+
L’addition :
+

-0 + 0 = 0 On retiens 0 +0 + 0 = 0 On retiens 0

-1 + 0 = 1 On retiens 0 +1 + 0 = 1 On retiens 0

-0 + 1 = 1 On retiens 0 +0 + 1 = 1 On retiens 0

-1 + 1 = 0 On retiens 1 +1 + 1 = 0 On retiens 1

-1 + 1 + 1 = 1 On retiens 1 +1 + 1 + 1 = 1 On retiens 1

-Donc 0110 + 1101 = 10011 +Donc 0110 + 1101 = 10011

-
-
La soustraction :
-
+
+
La soustraction :
+

-0 - 0 = 0 On emprunt = 0 +0 - 0 = 0 On emprunt = 0

-1 - 0 = 1 On emprunt = 0 +1 - 0 = 1 On emprunt = 0

-0 - 1 = 1 On emprunt = 1 +0 - 1 = 1 On emprunt = 1

-1 - 1 = 0 On emprunt = 0 +1 - 1 = 0 On emprunt = 0

-
-
TP N°1 :
-
+
+
TP N°1 :
+

-
-
Exo1:
-
+
+
Exo1:
+
@@ -442,300 +510,300 @@ Donc 0110 + 1101 = 10011

-
(10110,11)2
-
+
(10110,11)2
+

-0 x 2° + 1 x 2¹ + 1 x 2² + 0 x 2³ + 1 x 2^(4) + 1 x 2¯¹ + 1 x 2¯² = (22.75)10 +0 x 2° + 1 x 2¹ + 1 x 2² + 0 x 2³ + 1 x 2^(4) + 1 x 2¯¹ + 1 x 2¯² = (22.75)10

-
(22,75)10 -—> (3)
-
+
(22,75)10 -—> (3)
+

-22/3 = 7 R 1 ; 7/3 = 2 R 1 ; 2/3 = 0 R 2 +22/3 = 7 R 1 ; 7/3 = 2 R 1 ; 2/3 = 0 R 2

-0,75 x 3 = 2.25 ; 0,25 x 3 = 0.75 ….. +0,75 x 3 = 2.25 ; 0,25 x 3 = 0.75 …..

-(22,75)10 -—> (211, 20) +(22,75)10 -—> (211, 20)

-
(10110,11)2 -—> (8)
-
+
(10110,11)2 -—> (8)
+

-8 = 2³ ; (010 110,110)2 -—> (?)8 +8 = 2³ ; (010 110,110)2 -—> (?)8

-En utilisant le tableau 3bits : +En utilisant le tableau 3bits :

-010 : 2 ; 110 : 6 ; 110 : 6 +010 : 2 ; 110 : 6 ; 110 : 6

-(10110,11)2 -—> (26,6)8 +(10110,11)2 -—> (26,6)8

-
(22,75)10 -—> (16)
-
+
(22,75)10 -—> (16)
+

-22/16 = 1 R 6 ; 1/16 : 0 R F +22/16 = 1 R 6 ; 1/16 : 0 R F

-0,75 x 16 = C +0,75 x 16 = C

-(22,75)10 -—> (F6,C)16 +(22,75)10 -—> (F6,C)16

-
(1254,1)8
-
+
(1254,1)8
+

-4 x 8° + 5 x 8¹ + 2 x 8² + 1 x 8³ + 1 x 8¯¹ = (684,125)10 +4 x 8° + 5 x 8¹ + 2 x 8² + 1 x 8³ + 1 x 8¯¹ = (684,125)10

-
(1254,1)8 -—> (?)2
-
+
(1254,1)8 -—> (?)2
+

-En utilisant le tableau 3bits : +En utilisant le tableau 3bits :

-001 010 101 100,001 We will get rid of the leading zeros +001 010 101 100,001 We will get rid of the leading zeros

-(1010101100,001)2 +(1010101100,001)2

-
(684,125)10 -—> (?)3
-
+
(684,125)10 -—> (?)3
+

-684/3 = 228 R 0 ; 228/3 = 76 R 0 ; 76/3 = 25 R 1 ; 25/3 = 8 R 1 ; 8/3 = 2 R 2 ; 2/3 = 0 R 2 +684/3 = 228 R 0 ; 228/3 = 76 R 0 ; 76/3 = 25 R 1 ; 25/3 = 8 R 1 ; 8/3 = 2 R 2 ; 2/3 = 0 R 2

-0,125 x 3 = 0,375 ; 0,375 x 3 = 1,125 +0,125 x 3 = 0,375 ; 0,375 x 3 = 1,125

-(221100, 01)3 +(221100, 01)3

-
(684,125)10 -—> (?)16
-
+
(684,125)10 -—> (?)16
+

-684/16 = 42 R C ; 42/16 = 2 R A ; 2/16 0 R 2 +684/16 = 42 R C ; 42/16 = 2 R A ; 2/16 0 R 2

-0,125 x 16 = 2 +0,125 x 16 = 2

-(2AC,2)16 +(2AC,2)16

-
(F5B,A)16
-
+
(F5B,A)16
+

-11 x 16° + 5 x 16 + 15 x 16² + 10 x 16¯¹ = (3931,625)10 +11 x 16° + 5 x 16 + 15 x 16² + 10 x 16¯¹ = (3931,625)10

-
(3931,625)10 -—> (8)
-
+
(3931,625)10 -—> (8)
+

-3931/8 = 491 R 3 ; 491/8 = 61 R 3 ; 61/8 = 7 R 5 ; 7/8 = 0 R 7 +3931/8 = 491 R 3 ; 491/8 = 61 R 3 ; 61/8 = 7 R 5 ; 7/8 = 0 R 7

-0,625 x 8 = 5 +0,625 x 8 = 5

-(7533,5)8 +(7533,5)8

-
(7533,5)8 -—> (2)
-
+
(7533,5)8 -—> (2)
+

-En utilisant le tableau 3bits +En utilisant le tableau 3bits

-(111 101 011 011,101)2 +(111 101 011 011,101)2

-
(3931,625)10 -—> (3)
-
+
(3931,625)10 -—> (3)
+

-3931/3 = 1310 R 1 ; 1310/3 = 436 R 2 ; 436/3 = 145 R 1 ; 145/3 = 48 R 1 ; 48/3 = 16 R 0 ; 16/3 = 5 R 1 ; 5/3 = 1 R 2 ; 1/3 = 0 R 1 +3931/3 = 1310 R 1 ; 1310/3 = 436 R 2 ; 436/3 = 145 R 1 ; 145/3 = 48 R 1 ; 48/3 = 16 R 0 ; 16/3 = 5 R 1 ; 5/3 = 1 R 2 ; 1/3 = 0 R 1

-0.625 x 3 = 1,875 ; 0,875 x 3 = 2,625 +0.625 x 3 = 1,875 ; 0,875 x 3 = 2,625

-(1101121, 12)3 +(1101121, 12)3

-
(52,38)10
-
+
(52,38)10
+

-52/2 = 26 R 0 ; 26/2 = 13 R 0 ; 13/2 = 6 R 1 ; 6/2 = 3 R 0 ; 3/2 = 1 R 1 ; 1/2 = 0 R 1 +52/2 = 26 R 0 ; 26/2 = 13 R 0 ; 13/2 = 6 R 1 ; 6/2 = 3 R 0 ; 3/2 = 1 R 1 ; 1/2 = 0 R 1

-0,38 x 2 = 0,76 ; 0,76 x 2 = 1,52 ; 0,52 x 2 = 1,04 ; 0,04 x 2 = 0,08 …. +0,38 x 2 = 0,76 ; 0,76 x 2 = 1,52 ; 0,52 x 2 = 1,04 ; 0,04 x 2 = 0,08 ….

-(110100,0110)2 +(110100,0110)2

-
(52,38)10 -—> (3)
-
+
(52,38)10 -—> (3)
+

-52/3 = 17 R 1 ; 17/3 = 5 R 2 ; 5/3 = 1 R 2 ; 1/3 = 0 R 1 +52/3 = 17 R 1 ; 17/3 = 5 R 2 ; 5/3 = 1 R 2 ; 1/3 = 0 R 1

-0,38 x 3 = 1.14 ; 0,14 x 3 = 0.42 ; 0,42 x 3 = 1.26 ; 0.26 x 3 = 0.78 … +0,38 x 3 = 1.14 ; 0,14 x 3 = 0.42 ; 0,42 x 3 = 1.26 ; 0.26 x 3 = 0.78 …

-(1221,101)3 +(1221,101)3

-
(110100,011)2 -—> (8)
-
+
(110100,011)2 -—> (8)
+

-En utilisant le tableau 3bits: +En utilisant le tableau 3bits:

-(110 100,011)2 -—> (64,3)8 +(110 100,011)2 -—> (64,3)8

-
(52,38)10 -—> (16)
-
+
(52,38)10 -—> (16)
+

-52/16 = 3 R 4 ; 3/16 = 0 R 3 +52/16 = 3 R 4 ; 3/16 = 0 R 3

-0,38 x 16 = 6,08 ; 0,08 x 16 = 1,28 ; 0,28 x 16 = 4,48 ; 0,48 x 16 = 7,68 …. +0,38 x 16 = 6,08 ; 0,08 x 16 = 1,28 ; 0,28 x 16 = 4,48 ; 0,48 x 16 = 7,68 ….

-(34,6147)16 +(34,6147)16

-
(23,5)3
-
+
(23,5)3
+

-3 x 3° + 2 x 3 + 5 x 3¯¹ = (10.67)10 +3 x 3° + 2 x 3 + 5 x 3¯¹ = (10.67)10

-
(10,67)10 -—> (2)
-
+
(10,67)10 -—> (2)
+

-10/2 = 5 R 0 ; 5/2 = 2 R 1 ; 2/2 = 1 R 0 ; 1/2 = 0 R 1 +10/2 = 5 R 0 ; 5/2 = 2 R 1 ; 2/2 = 1 R 0 ; 1/2 = 0 R 1

-0,67 x 2 = 1,34 ; 0,34 x 2 = 0,68 ; 0,68 x 2 = 1,36 ; 0,36 x 2 = 0,72 … +0,67 x 2 = 1,34 ; 0,34 x 2 = 0,68 ; 0,68 x 2 = 1,36 ; 0,36 x 2 = 0,72 …

-(1010,101)2 +(1010,101)2

-
(001 010,101)2 -—> (8)
-
+
(001 010,101)2 -—> (8)
+

-Ô Magic 3bits table, save me soul, me children and me maiden: +Ô Magic 3bits table, save me soul, me children and me maiden:

-(12,5)8 +(12,5)8

-
(10,67)10 -—> (16)
-
+
(10,67)10 -—> (16)
+

-10/16 = 0 R A +10/16 = 0 R A

-0,67 x 16 = A,72 ; 0,72 x 16 = B,52 ; 0,52 x 16 = 8,32 ; 0,32 x 16 = 5,12 … +0,67 x 16 = A,72 ; 0,72 x 16 = B,52 ; 0,52 x 16 = 8,32 ; 0,32 x 16 = 5,12 …

-(A,AB85)16 +(A,AB85)16

@@ -743,148 +811,148 @@ En utilisant le tableau 3bits:

-
-
Exo2:
-
+
+
Exo2:
+

-
(34)? = (22)10
-
+
(34)? = (22)10
+

-(34)a = (22)10 ; 4 x a° + 3 x a = 22 ; 4 + 3a = 22 ; 3a = 18 +(34)a = (22)10 ; 4 x a° + 3 x a = 22 ; 4 + 3a = 22 ; 3a = 18

-a = 6 +a = 6

-
(75)? = (117)10
-
+
(75)? = (117)10
+

-(75)b = (117)10 ; 5 x b° + 7 x b¹ = 117 ; 5 + 7b = 117 ; 7b = 112 +(75)b = (117)10 ; 5 x b° + 7 x b¹ = 117 ; 5 + 7b = 117 ; 7b = 112

-b = 16 +b = 16

-
-
Exo3:
-
+
+
Exo3:
+

-
(101011)2 + (111011)2
-
+
(101011)2 + (111011)2
+

-101011 + 111011 = 1100110 +101011 + 111011 = 1100110

-
(1011,1101)2 + (11,1)2
-
+
(1011,1101)2 + (11,1)2
+

-1011,1101 + 11,1000 = 1111,0101 +1011,1101 + 11,1000 = 1111,0101

-
(1010,0101)2 - (110,1001)2
-
+
(1010,0101)2 - (110,1001)2
+

-1010,0101 - 110,1001 = 11,1100 +1010,0101 - 110,1001 = 11,1100

-
-
L’arithmétique binaire (Suite): Oct 4
-
+
+
L’arithmétique binaire (Suite): Oct 4
+

-
-
La multiplication :
-
+
+
La multiplication :
+

-0 x 0 = 0 +0 x 0 = 0

-0 x 1 = 0 +0 x 1 = 0

-1 x 0 = 0 +1 x 0 = 0

-1 x 1 = 1 +1 x 1 = 1

-
-
La division :
-
+
+
La division :
+

-On divise de la manière la plus normale du monde !!! +On divise de la manière la plus normale du monde !!!

-
-
4th cours : Le codage Oct 10
-
+
+
4th cours : Le codage Oct 10
+

-
-
Le codage des entiers positifs
-
+
+
Le codage des entiers positifs
+

-Le codage sur n bits permet de representer tout les entiers naturels compris entre [0, 2^n - 1]. On peut coder sur 8bits les entiers entre [0;2^8 - 1(255)] +Le codage sur n bits permet de representer tout les entiers naturels compris entre [0, 2^n - 1]. On peut coder sur 8bits les entiers entre [0;2^8 - 1(255)]

-
-
Le codage des nombres relatifs
-
+
+
Le codage des nombres relatifs
+

-
-
Remarque
-
+
+
Remarque
+

-Quelque soit le codage utilise, par convention le dernier bit est reserve pour le signe. ou 1 est negatif et 0 est positif. +Quelque soit le codage utilise, par convention le dernier bit est reserve pour le signe. ou 1 est negatif et 0 est positif.

-
-
Le codage en signe + valeur absolue (SVA):
-
+
+
Le codage en signe + valeur absolue (SVA):
+

-Avec n bits le n eme est reserve au signe : [-(2^n-1)-1 , 2^n-1 -1]. Sur 8bits [-127, 127] +Avec n bits le n eme est reserve au signe : [-(2^n-1)-1 , 2^n-1 -1]. Sur 8bits [-127, 127]

-
-
Codage en compliment a 1 (CR):
-
+
+
Codage en compliment a 1 (CR):
+

-On obtiens le compliment a 1 d’un nombre binaire en inversant chaqu’un de ses bits (1 -> 0 et 0-> 1) les nombres positifs sont la meme que SVA (il reste tel qu’il est) +On obtiens le compliment a 1 d’un nombre binaire en inversant chaqu’un de ses bits (1 -> 0 et 0-> 1) les nombres positifs sont la meme que SVA (il reste tel qu’il est)

-
-
Codage en compliment a 2 (CV):
-
+
+
Codage en compliment a 2 (CV):
+

-C’est literallement CR + 1 pour les negatifs et SVA pour les nombres positifs +C’est literallement CR + 1 pour les negatifs et SVA pour les nombres positifs

@@ -893,7 +961,7 @@ C’est literallement CR + 1 pour les negatifs et SVA pour les nombres posit

Author: Crystal
-
Created: 2023-10-11 Wed 19:53
+
Created: 2023-10-20 Fri 14:44

\ No newline at end of file -- cgit 1.4.1-2-gfad0

Algebra 1

Contenu de la Matiére

Table of Contents

Contenu de la Matiére

Rappels et compléments (11H)

Rappels et compléments (11H)

Structures Algébriques (11H)

Structures Algébriques (11H)

Polynômes et fractions rationnelles

Polynômes et fractions rationnelles

Premier cours : Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique Sep 25 :

Premier cours : Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique Sep 25 :

Properties:

Properties:

Absorption:

Absorption:

Commutativity:

Commutativity:

Associativity:

Associativity:

Distributivity:

Distributivity:

Neutral element:

Neutral element:

Negation of a conjunction & a disjunction:

Negation of a conjunction & a disjunction:

Transitivity:

Transitivity:

Contraposition:

Contraposition:

God only knows what this property is called:

God only knows what this property is called:

Some exercices I found online :

Some exercices I found online :

USTHB 2022/2023 Section B :

USTHB 2022/2023 Section B :

2éme cours Oct 2

2éme cours Oct 2

Quantifiers

Quantifiers

Proprieties

Proprieties

Multi-parameter proprieties :

Multi-parameter proprieties :

Methods of mathematical reasoning :

Methods of mathematical reasoning :

Direct reasoning :

Direct reasoning :

Reasoning by the Absurd:

Reasoning by the Absurd:

Reasoning by contraposition:

Reasoning by contraposition:

Reasoning by counter example:

Reasoning by counter example:

3eme Cours : Oct 9

3eme Cours : Oct 9

Reasoning by recurrence :

Reasoning by recurrence :

4eme Cours : Chapitre 2 : Sets and Operations

4eme Cours : Chapitre 2 : Sets and Operations

Definition of a set :

Definition of a set :

Belonging, inclusion, and equality :

Belonging, inclusion, and equality :

Intersections and reunions :

Intersections and reunions :

Intersection:

Intersection:

Union:

Union:

Difference between two sets:

Difference between two sets:

Complimentary set:

Complimentary set:

Symentrical difference

Symentrical difference

Proprieties :

Proprieties :

Commutativity:

Commutativity: