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Analyse 1

Table of Contents

Contenu de la Matiére

Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ

  • Structure algébrique de ℝ
  • L’ordre dans ℝ
  • Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure

Chapitre 2 : Les suites numériques réelles

  • Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes
  • Theoréme de convergence, Theoréme de _ suites, sans suites, extension au limites infinies
  • Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes

Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle

  • Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées
  • La continuité : définition, Theorémes fondamentaux
  • La continuité informe les fonctions Lepchitziennes

Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique

  • Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor

Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques

  • Comparaison asymptotique
  • Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes
  • Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L
  • Généralisations des D.L
  • Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies

Premier cours : Quelque propriétés de ℝ Sep 26 :

La loi de composition interne dans E :

@ : E x E —> E
(x,y) —> x @ y

@ est une lois de composition interne seulement si :

∀ x,y ε E

Example : Addition

Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?

ℕ x ℕ —> ℕ

(x,y) —> x + y ? En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne n’importe quel chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ

∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ

Donc : + est L.C.I dans ℕ

Example : soustraction

Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?

ℕ x ℕ —> ℕ

(x,y) —> x - y ?

∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est PAS dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ

La loi de composition externe dans E :

@ est L.C.E dans E, K est un corps

K x E —> E

(a,x) —> a @ x

∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E

Groupes :

Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E

(E, @) est un groupe Si :

Il contiens un élement neutre

∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E

x @ e = e @ x = x

On appelle e élement neutre

Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition

Il contiens un élément symétrique

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e

On appelle x’ élèment symétrique

Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:

x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’

Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs

@ est cummutative :

∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x

L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents

Anneaux :

Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :

(E ; @) est un groupe cummutatif

! est une loi associative :

∀ x , y , z ∈ E

(x ! y) ! z = x ! (y ! z)

Distribution de ! par rapport à @ :

∀ x , y , z ∈ E

(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )

L’existance d’un élèment neutre de ! :

∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x

! est cummutative :

∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x

Corps :

(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :

La symétrie :

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e

x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !
(sauf élément neutre première lois )

Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?

Est-ce un Anneau ?

  • (ℝ, +) est un groupe commutatif
  • x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)
  • On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
  • Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a
  • La multiplication est commutative : a x b = b x a

Oui c’est un anneau

Est-ce un corps ?

  • Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1

2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure Oct 3 :

L’ordre dans ℝ

(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :

  1. R est antisymétrique :

    ∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)

  2. R est reflexive :

    ∀ x ∈ ℝ ; x R x

  3. R est transitive :
    ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z

Exemples :

  • Exemple numéro 1:

    (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?

    Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x is obviously false

  • Exemple numéro 2:

    (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?

    1. (Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true
    2. (Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true
    3. (Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true

Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

Majorant:

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a

Minorant:

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b

Borne supérieure:

La borne supérieure est le plus petit des majorants Sup(E) = Borne supérieure

Borne inférieure:

La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf (E) = Borne inférieure

Maximum :

E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.

Minimum :

E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.

Remarques :

A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :

  1. A ∪ B est borné
  2. A ∩ B est borné
  3. Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)
  4. Inf (A ∩ B)= Min(inf A, inf B)
  5. Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) Le plus petit des Supérieur de A et B
  6. Inf (A ∩ B)= Max(inf A, inf B) Le plus grand des inférieur de A et B

3rd cours :Les suites numériques Oct 5 :

Définition :

Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:

ℕ -—> ℝ

n -—> U(n) = Un

  1. (Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite
  2. Un : terme général
  • Exemple :

    U : ℕ* -—> ℝ

    n -—> 1/n

    (Un) est une suite définit par Un = 1/n

Définition N°2 :

On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.

  • Exemple :

    U(n+1) = Un /2

    U(1)= 1

Opérations sur les suites :

La somme :

Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn

Le produit :

Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn

Inverse d’une suite :

Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un

Produit d’une suite par un scalaire :

Soit (Un) une suite de T.G Un

∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn

Suite bornée :

Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée

Suite majorée :

Soit (Un) une suite

U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M

Suite minorée :

Soit (Un) une suite

U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M

Suites monotones :

Les suites croissantes :

Soit (Un)n est une suite

(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un

Les suites décroissantes :

Soit (Un)n est une suite

(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un

Série TD N°1 : Oct 6

Exo 1 :

Ensemble A :

A = {-1/n , n ∈ ℕ *}

  • Borne inférieure

    ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A

  • Minimum :

    ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A

  • Borne supérieure :

    ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A

  • Maximum :

    L’ensemble A n’as pas de maximum

Ensemble B :

B = [-1 , 3[ ∩ ℚ

  • Borne inférieure :

    Inf (B) = Max(inf ([-1 , 3[) , inf (ℚ))

    Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est -∞,

    Inf (B) = -1

  • Borne supérieure :

    Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))

    Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est +∞,

    Sup(B) = 3

  • Minimum :

    Min(B) = -1

  • Maximum :

    L’ensemble B n’as pas de Maximum

Ensemble C :

C = {3n ,n ∈ ℕ}

  • Borne inférieure :

    Inf (C) = 0

  • Borne supérieure :

    Sup(C) = +∞

  • Minimum :

    Min(C) = 0

  • Maximum :

    L’ensemble C n’as pas de Maximum

Ensemble D :

D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}

  • Borne inférieure :

    Inf (D)= 0

  • Borne supérieure :

    Sup(D)= 1

  • Minimum :

    Min(D)= 0

  • Maximum :

    L’ensemble D n’as pas de Maximum

Ensemble E :

E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair

On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}

Donc E = F ∪ G

  • Borne inférieure :

    Inf (E) = Min(inf (F), inf (G))

    Inf (F) = 1 ; Inf (G) = -1

    Inf (E)= -1

  • Borne supérieure :

    Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))

    sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞

    Sup(E)= +∞

  • Minimum :

    Min(E)= -1

  • Maximum :

    E n’as pas de maximum

Exo 2 :

Ensemble A :

A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}

  • Borné

    Oui, Inf (A)= 0 ; Sup(A)=√3

Ensemble B :

B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;

  • Borné

    ∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf (B)= 1/2

    ∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2

Ensemble C :

C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}

  • Minoré

    ∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf (C)= 3

Ensemble D :

D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}

  • Borné

    ∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf (C)= 0

    ∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2

Ensemble E :

E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}

  • Majoré

    p = √2/x . Donc : Sup(E)=1

Exo 3 :

U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1

Question 1 :

Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

(Un - 1)² ≥ 0 Parce que c’est un carré

(Un - 1)² + 1 > 1 ; U(n+1) ≥ 1

  • Raisonnement par récurrence :

    P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2

    P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2

    On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction

    1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; 1 < U(n+1) < 2 Donc elle est correcte

Question 2 :

Montrer que (Un)n est strictement monotone :

U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2

On étudie Un² - 3Un + 2 sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, Δ = 1 , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2

On déduit que Un² - 3Un + 2 est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc ∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante

4th cours (Suite) : Oct 10

Les suites convergentes

Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l

Remarque :

  1. Un est une suite convergente alors Un est bornee
  2. Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|
  3. Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge
  4. Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge
  5. Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors
    1. Un + Vn est convergente
    2. Un * Vn est convergente
    3. ∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge
  6. Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0

Theoreme d’encadrement

Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l

Suites arithmetiques

Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite

Forme general

Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r

Somme des n premiers termes

Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2

Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie

Suites géométriques

Forme general

Un = U0 x r^n

Somme des n premiers termes

n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r

5th cours (suite) : Oct 12

Suites adjacentes:

Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:

  1. (Un) est croissante et (Vn) est décroissante
  2. Un ≤ Vn
  3. lim (Un - Vn) n->+∞ = 0

Suites extraites (sous-suites):

Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.

Remarques:

  1. Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
  2. Mais le contraire n’es pas toujours vrais.
  3. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l

Suites de Cauchy:

(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε

Remarque :

  1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente

Théorème de Bolzano Weirstrass:

On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée

Chapitre 3 : Les limites et la continuité Nov 14

Fonction réelle à variable réelle :

Soit f : I –> ℝ , I ⊂= ℝ
x –> f (x)

L’ensemble de départ :

L’ensemble de définition (Df)

  • Propriétés:

    Soit f et g deux fonctions :
    f : I –> ℝ
    x –> f (x)

    g : I –> ℝ
    x –> g(x)

    • 1) f+g

      (g+f): I –> ℝ
      x –> (f+g)(x) = f (x) + g(x)

    • 2) λf

      ∀λ ∈ ℝ : λf : I –> ℝ
      x –> (λf)(x) = λf (x)

    • 3) f*g

      (f*g): I –> ℝ
      x –> (f*g)(x) = f (x) x g(x)

    • 4) f/g

      f/g : I –> ℝ
      x –> f (x)/g(x) , g(x) ≠ 0

Les Limites :

f : I –> ℝ
x –> f (x)
x0 ∈ I ; x0 extrémité de l’intervalle.

Limx –> x0 f (x) est a Limite de f (x) quand x tend vers x0

  • Limx –> x0 f (x) = l

    => |x - x0| < ẟ , |f (x) - l| < ε

La continuité :

Soit f : I –> ℝ I = Df
x –> f (x) x0 ∈ I
f est continue en x0 ⇔ Limx –> x0 f (x) = f (x0)
∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x0| < ẟ ⇒ |f (x) - f (x0)| < ε

Prolongement par continuité :

Soit f : I/ {x0} –> ℝ
x –> f (x)

Si limx –> x0 f (x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x0

On défini :
f~ = f (x) si x ≠ x0
ET
l si x = x0
f~ : I –> ℝ
x –> f (x)

Théorème des valeurs intermédiaires :

f : [a,b] –> ℝ
Si f est continue sur [a,b]
Alors ∀y ∈ f ([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f (x)

  1. Si f est continue sur [a,b]
  2. Si f (a) * f (b) < 0

Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f (c) = 0

Fonction croissante :

f : I –> J
f est croissante si ∀ x1,x2 ∈ I
x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)

f est strictement croissante si ∀ x1,x2 ∈ I
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.

Injection = Strictement monotonne :

f : I –> J
f est injective si ∀ x1,x2 ∈ I , f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

Surjection = Continuité :

f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f (x)

Bijection :

Si f est injective et surjective, alors f est bijective
f est bijective donc elle admet une bijection réciproque

Théorème de bijection :

Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.
f admet une bijection réciproque f{-1}.
f{-1} a le même sens de variation que f.

Author: Crystal

Created: 2023-11-14 Tue 23:06