Analyse 1

Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?

ℕ x ℕ —> ℕ

(x,y) —> x + y ? En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne n’importe quel chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ

∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ

Donc : + est L.C.I dans ℕ

Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?

ℕ x ℕ —> ℕ

(x,y) —> x - y ?

∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est PAS dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ

∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E

x @ e = e @ x = x

On appelle e élement neutre

Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e

On appelle x’ élèment symétrique

Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:

x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’

Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs

∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x

L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents

∀ x , y , z ∈ E

(x ! y) ! z = x ! (y ! z)

∀ x , y , z ∈ E

(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )

∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x

∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x

∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e

x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !
(sauf élément neutre première lois )

• (ℝ, +) est un groupe commutatif
  
• x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)
  
• On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
  
• Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a
  
• La multiplication est commutative : a x b = b x a
  

Oui c’est un anneau

• Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1
  

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a

Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)

Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b

La borne supérieure est le plus petit des majorants Sup(E) = Borne supérieure

La borne inférieure est le plus grand des minorant Inf (E) = Borne inférieure

E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.

E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.

A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :

1. A ∪ B est borné
   
2. A ∩ B est borné
   
3. Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)
   
4. Inf (A ∩ B)= Min(inf A, inf B)
   
5. Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) Le plus petit des Supérieur de A et B
   
6. Inf (A ∩ B)= Max(inf A, inf B) Le plus grand des inférieur de A et B
   

Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn

Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn

Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un

Soit (Un) une suite de T.G Un

∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn

Soit (Un)n est une suite

(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un

Soit (Un)n est une suite

(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un

A = {-1/n , n ∈ ℕ *}

B = [-1 , 3[ ∩ ℚ

C = {3n ,n ∈ ℕ}

D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}

E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }

Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair

On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}

Donc E = F ∪ G

A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}

B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;

C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}

D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}

E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}

Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .

(Un - 1)² ≥ 0 Parce que c’est un carré

(Un - 1)² + 1 > 1 ; U(n+1) ≥ 1

Montrer que (Un)n est strictement monotone :

U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un ; U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2

On étudie Un² - 3Un + 2 sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, Δ = 1 , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2

On déduit que Un² - 3Un + 2 est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc ∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0 ; ∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante

1. Un est une suite convergente alors Un est bornee
   
2. Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|
   
3. Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge
   
4. Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge
   
5. Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors
   
   1. Un + Vn est convergente
      
   2. Un * Vn est convergente
      
   3. ∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge
      
6. Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0
   

Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r

Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2

Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie

Un = U0 x r^n

n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r

1. Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
   
2. Mais le contraire n’es pas toujours vrais.
   
3. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l
   

1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente
   

L’ensemble de définition (Df)

f : I –> ℝ
x –> f (x)
x₀ ∈ I ; x₀ extrémité de l’intervalle.

Lim_{x –> x0} f (x) est a Limite de f (x) quand x tend vers x₀

Soit f : I –> ℝ I = Df
x –> f (x) x₀ ∈ I
f est continue en x₀ ⇔ Lim_{x –> x0} f (x) = f (x₀)
∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x₀| < ẟ ⇒ |f (x) - f (x₀)| < ε

Soit f : I/ {x₀} –> ℝ
x –> f (x)

Si lim_{x –> x0} f (x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x₀

On défini :
f~ = f (x) si x ≠ x₀
ET
l si x = x₀
f~ : I –> ℝ
x –> f (x)

f : [a,b] –> ℝ
Si f est continue sur [a,b]
Alors ∀y ∈ f ([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f (x)

1. Si f est continue sur [a,b]
   
2. Si f (a) * f (b) < 0
   

Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f (c) = 0

f : I –> J
f est croissante si ∀ x₁,x₂ ∈ I
x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) ≤ f (x₂)

f est strictement croissante si ∀ x₁,x₂ ∈ I
x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) < f (x₂)

Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.

f : I –> J
f est injective si ∀ x₁,x₂ ∈ I , f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂

f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f (x)

Si f est injective et surjective, alors f est bijective
f est bijective donc elle admet une bijection réciproque

Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.
f admet une bijection réciproque f{-1}.
f{-1} a le même sens de variation que f.