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<!-- 2023-11-14 Tue 22:45 -->
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<title>Analyse 1</title>
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</div><div id="content" class="content">
<h1 class="title">Analyse 1</h1>
<div id="table-of-contents" role="doc-toc">
<h2>Table of Contents</h2>
<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc">
<ul>
<li><a href="#orgeaf8afd">Contenu de la Matiére</a>
<ul>
<li><a href="#org60493c9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li>
<li><a href="#org9298c05">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li>
<li><a href="#org84ae664">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li>
<li><a href="#org1133d4d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li>
<li><a href="#org451fa96">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgc1416af">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a>
<ul>
<li><a href="#org1e861f2">La loi de composition interne dans E :</a>
<ul>
<li><a href="#org5dd86eb"><b>Example : Addition</b></a></li>
<li><a href="#org9c87146"><b>Example : soustraction</b></a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org14c9dad">La loi de composition externe dans E :</a></li>
<li><a href="#org97b9be1">Groupes :</a>
<ul>
<li><a href="#org7a89d6e">Il contiens un élement neutre</a></li>
<li><a href="#org8d9b425">Il contiens un élément symétrique</a></li>
<li><a href="#orgee13975">@ est cummutative :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org9f8ce52">Anneaux :</a>
<ul>
<li><a href="#org9ba4ed7">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li>
<li><a href="#org01c0cac">! est une loi associative :</a></li>
<li><a href="#org128b9ba">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li>
<li><a href="#orgbb22207">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li>
<li><a href="#org35e765f">! est cummutative :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org4c3e23d">Corps :</a>
<ul>
<li><a href="#org287426e">La symétrie :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org3e4111f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a>
<ul>
<li><a href="#org510dbc3">Est-ce un Anneau ?</a></li>
<li><a href="#orgea9e72f">Est-ce un corps ?</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org348c9dc">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a>
<ul>
<li><a href="#orgb495a3f">L’ordre dans ℝ</a>
<ul>
<li><a href="#orgb30fa8b">Exemples :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org9797df4">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a>
<ul>
<li><a href="#org945d778">Majorant:</a></li>
<li><a href="#org8be15b0">Minorant:</a></li>
<li><a href="#org8dce575">Borne supérieure:</a></li>
<li><a href="#org1e6b0d9">Borne inférieure:</a></li>
<li><a href="#org009fa9a">Maximum :</a></li>
<li><a href="#org52198cb">Minimum :</a></li>
<li><a href="#orgccc12e8">Remarques :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org59cb914">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a>
<ul>
<li>
<ul>
<li><a href="#orgb0dc89c">Définition :</a></li>
<li><a href="#org9475529">Définition N°2 :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org8a8d1d3">Opérations sur les suites :</a>
<ul>
<li><a href="#orgf4e0a6d">La somme :</a></li>
<li><a href="#org3a5f183">Le produit :</a></li>
<li><a href="#orgb278785">Inverse d’une suite :</a></li>
<li><a href="#org14eeccd">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org1cf9196">Suite bornée :</a></li>
<li><a href="#orgc2da8da">Suite majorée :</a></li>
<li><a href="#orga0d43ce">Suite minorée :</a></li>
<li><a href="#org40d1f38">Suites monotones :</a>
<ul>
<li><a href="#orgf7df4a9">Les suites croissantes :</a></li>
<li><a href="#orgd895f98">Les suites décroissantes :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org1aa6640">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a>
<ul>
<li><a href="#orgd87b22d">Exo 1 :</a>
<ul>
<li><a href="#org5f6303c">Ensemble A :</a></li>
<li><a href="#org90b78ba">Ensemble B :</a></li>
<li><a href="#orgab077c5">Ensemble C :</a></li>
<li><a href="#orga05bed3">Ensemble D :</a></li>
<li><a href="#orgab9a959">Ensemble E :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org2cefd43">Exo 2 :</a>
<ul>
<li><a href="#orgbaa1183">Ensemble A :</a></li>
<li><a href="#org03e8649">Ensemble B :</a></li>
<li><a href="#org8cc31a5">Ensemble C :</a></li>
<li><a href="#org4b422ef">Ensemble D :</a></li>
<li><a href="#org0031576">Ensemble E :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org23d3aa9">Exo 3 :</a>
<ul>
<li><a href="#org8f4db0d">Question 1 :</a></li>
<li><a href="#org88560e9">Question 2 :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org4970134">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a>
<ul>
<li><a href="#org5c60eae">Les suites convergentes</a>
<ul>
<li><a href="#orga236792">Remarque :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org3d47a4f">Theoreme d’encadrement</a></li>
<li><a href="#org77a6269">Suites arithmetiques</a>
<ul>
<li><a href="#org41f14af">Forme general</a></li>
<li><a href="#orge969e67">Somme des n premiers termes</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org20c5c6c">Suites géométriques</a>
<ul>
<li><a href="#orga1b0a76">Forme general</a></li>
<li><a href="#org2cf893f">Somme des n premiers termes</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orge46a49e">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a>
<ul>
<li><a href="#org43d5be5">Suites adjacentes:</a></li>
<li><a href="#org71762d4">Suites extraites (sous-suites):</a>
<ul>
<li><a href="#orgc5524fb">Remarques:</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org43ca2f6">Suites de Cauchy:</a>
<ul>
<li><a href="#org452a0a9">Remarque :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org6164449">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgde4cc4a">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></a>
<ul>
<li><a href="#orgcf38f4d">Fonction réelle à variable réelle :</a>
<ul>
<li><a href="#org7714aa5">L’ensemble de départ :</a></li>
<li><a href="#orgace65ab">Les Limites :</a></li>
<li><a href="#orgb435746">La continuité :</a></li>
<li><a href="#org8f8345e">Prolongement par continuité :</a></li>
<li><a href="#orge3fed44">Théorème des valeurs intermédiaires :</a></li>
<li><a href="#orgc40e618">Fonction croissante :</a></li>
<li><a href="#org2be852d">Injection = Strictement monotonne :</a></li>
<li><a href="#org22072c4">Surjection = Continuité :</a></li>
<li><a href="#orgebeba8b">Bijection :</a></li>
<li><a href="#orge61507c">Théorème de bijection :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgeaf8afd" class="outline-2">
<h2 id="orgeaf8afd">Contenu de la Matiére</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgeaf8afd">
</div>
<div id="outline-container-org60493c9" class="outline-3">
<h3 id="org60493c9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org60493c9">
<ul class="org-ul">
<li>Structure algébrique de ℝ<br /></li>
<li>L’ordre dans ℝ<br /></li>
<li>Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9298c05" class="outline-3">
<h3 id="org9298c05">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org9298c05">
<ul class="org-ul">
<li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li>
<li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li>
<li>Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org84ae664" class="outline-3">
<h3 id="org84ae664">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org84ae664">
<ul class="org-ul">
<li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li>
<li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li>
<li>La continuité informe les fonctions Lepchitziennes<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1133d4d" class="outline-3">
<h3 id="org1133d4d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org1133d4d">
<ul class="org-ul">
<li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org451fa96" class="outline-3">
<h3 id="org451fa96">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org451fa96">
<ul class="org-ul">
<li>Comparaison asymptotique<br /></li>
<li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li>
<li>Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L<br /></li>
<li>Généralisations des D.L<br /></li>
<li>Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgc1416af" class="outline-2">
<h2 id="orgc1416af">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgc1416af">
</div>
<div id="outline-container-org1e861f2" class="outline-3">
<h3 id="org1e861f2">La loi de composition interne dans E :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org1e861f2">
<p>
@ : E x E —> E<br />
(x,y) —> x @ y<br />
</p>
<p>
@ est une lois de composition interne seulement si :<br />
</p>
<p>
<b>∀ x,y ε E</b><br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org5dd86eb" class="outline-4">
<h4 id="org5dd86eb"><b>Example : Addition</b></h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org5dd86eb">
<p>
Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br />
</p>
<p>
ℕ x ℕ —> ℕ<br />
</p>
<p>
(x,y) —> x + y ? <i>En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne <b>n’importe quel</b> chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ</i><br />
</p>
<p>
∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ <i>En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ</i><br />
</p>
<p>
Donc : + est L.C.I dans ℕ<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9c87146" class="outline-4">
<h4 id="org9c87146"><b>Example : soustraction</b></h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org9c87146">
<p>
Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br />
</p>
<p>
ℕ x ℕ —> ℕ<br />
</p>
<p>
(x,y) —> x - y ?<br />
</p>
<p>
∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ <i>En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est <b>PAS</b> dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ</i><br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org14c9dad" class="outline-3">
<h3 id="org14c9dad">La loi de composition externe dans E :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org14c9dad">
<p>
@ est L.C.E dans E, K est un corps<br />
</p>
<p>
K x E —> E<br />
</p>
<p>
(a,x) —> a @ x<br />
</p>
<p>
∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org97b9be1" class="outline-3">
<h3 id="org97b9be1">Groupes :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org97b9be1">
<p>
<i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br />
</p>
<p>
(E, @) est un groupe Si :<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org7a89d6e" class="outline-4">
<h4 id="org7a89d6e">Il contiens un élement neutre</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org7a89d6e">
<p>
∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br />
</p>
<p>
x @ e = e @ x = x<br />
</p>
<p>
On appelle <b>e</b> élement neutre<br />
</p>
<p>
<i>Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition</i><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org8d9b425" class="outline-4">
<h4 id="org8d9b425">Il contiens un élément symétrique</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org8d9b425">
<p>
∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br />
</p>
<p>
On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br />
</p>
<p>
<i>Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:</i><br />
</p>
<p>
<i>x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’</i><br />
</p>
<p>
<b>Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs</b><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgee13975" class="outline-4">
<h4 id="orgee13975">@ est cummutative :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgee13975">
<p>
∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br />
</p>
<p>
<i>L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents</i><br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9f8ce52" class="outline-3">
<h3 id="org9f8ce52">Anneaux :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org9f8ce52">
<p>
Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org9ba4ed7" class="outline-4">
<h4 id="org9ba4ed7">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4>
</div>
<div id="outline-container-org01c0cac" class="outline-4">
<h4 id="org01c0cac">! est une loi associative :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org01c0cac">
<p>
∀ x , y , z ∈ E<br />
</p>
<p>
(x ! y) ! z = x ! (y ! z)<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org128b9ba" class="outline-4">
<h4 id="org128b9ba">Distribution de ! par rapport à @ :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org128b9ba">
<p>
∀ x , y , z ∈ E<br />
</p>
<p>
(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbb22207" class="outline-4">
<h4 id="orgbb22207">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgbb22207">
<p>
∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org35e765f" class="outline-4">
<h4 id="org35e765f">! est cummutative :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org35e765f">
<p>
∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org4c3e23d" class="outline-3">
<h3 id="org4c3e23d">Corps :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org4c3e23d">
<p>
(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org287426e" class="outline-4">
<h4 id="org287426e">La symétrie :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org287426e">
<p>
∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br />
</p>
<p>
x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br />
(sauf élément neutre première lois )<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org3e4111f" class="outline-3">
<h3 id="org3e4111f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org3e4111f">
</div>
<div id="outline-container-org510dbc3" class="outline-4">
<h4 id="org510dbc3">Est-ce un Anneau ?</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org510dbc3">
<ul class="org-ul">
<li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li>
<li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li>
<li>On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)<br /></li>
<li>Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a<br /></li>
<li>La multiplication est commutative : a x b = b x a<br /></li>
</ul>
<p>
Oui c’est un anneau<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgea9e72f" class="outline-4">
<h4 id="orgea9e72f">Est-ce un corps ?</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgea9e72f">
<ul class="org-ul">
<li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org348c9dc" class="outline-2">
<h2 id="org348c9dc">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org348c9dc">
</div>
<div id="outline-container-orgb495a3f" class="outline-3">
<h3 id="orgb495a3f">L’ordre dans ℝ</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgb495a3f">
<p>
(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li><p>
R est antisymétrique :<br />
</p>
<p>
∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)<br />
</p></li>
<li><p>
R est reflexive :<br />
</p>
<p>
∀ x ∈ ℝ ; x R x<br />
</p></li>
<li>R est transitive :<br />
∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li>
</ol>
</div>
<div id="outline-container-orgb30fa8b" class="outline-4">
<h4 id="orgb30fa8b">Exemples :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgb30fa8b">
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org0024cf5"></a>Exemple numéro 1:<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org0024cf5">
<p>
(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br />
</p>
<p>
Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b><b>is obviously false</b></b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgec13690"></a>Exemple numéro 2:<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgec13690">
<p>
(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true<br /></li>
<li>(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true<br /></li>
<li>(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true<br /></li>
</ol>
</div>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9797df4" class="outline-3">
<h3 id="org9797df4">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org9797df4">
</div>
<div id="outline-container-org945d778" class="outline-4">
<h4 id="org945d778">Majorant:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org945d778">
<p>
Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br />
</p>
<p>
Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org8be15b0" class="outline-4">
<h4 id="org8be15b0">Minorant:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org8be15b0">
<p>
Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br />
</p>
<p>
Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org8dce575" class="outline-4">
<h4 id="org8dce575">Borne supérieure:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org8dce575">
<p>
La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1e6b0d9" class="outline-4">
<h4 id="org1e6b0d9">Borne inférieure:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org1e6b0d9">
<p>
La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org009fa9a" class="outline-4">
<h4 id="org009fa9a">Maximum :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org009fa9a">
<p>
E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org52198cb" class="outline-4">
<h4 id="org52198cb">Minimum :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org52198cb">
<p>
E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgccc12e8" class="outline-4">
<h4 id="orgccc12e8">Remarques :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgccc12e8">
<p>
A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>A ∪ B est borné<br /></li>
<li>A ∩ B est borné<br /></li>
<li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)<br /></li>
<li>Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)<br /></li>
<li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i><br /></li>
<li>Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i><br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org59cb914" class="outline-2">
<h2 id="org59cb914">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org59cb914">
</div>
<div id="outline-container-orgb0dc89c" class="outline-4">
<h4 id="orgb0dc89c">Définition :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgb0dc89c">
<p>
Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br />
</p>
<p>
ℕ -—> ℝ<br />
</p>
<p>
n -—> U(n) = Un<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite<br /></li>
<li>Un : terme général<br /></li>
</ol>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgc7177a3"></a>Exemple :<br />
<div class="outline-text-6" id="text-orgc7177a3">
<p>
U : ℕ* -—> ℝ<br />
</p>
<p>
n -—> 1/n<br />
</p>
<p>
(Un) est une suite définit par Un = 1/n<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org9475529" class="outline-4">
<h4 id="org9475529">Définition N°2 :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org9475529">
<p>
On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org7aca821"></a>Exemple :<br />
<div class="outline-text-6" id="text-org7aca821">
<p>
U(n+1) = Un /2<br />
</p>
<p>
U(1)= 1<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org8a8d1d3" class="outline-3">
<h3 id="org8a8d1d3">Opérations sur les suites :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org8a8d1d3">
</div>
<div id="outline-container-orgf4e0a6d" class="outline-4">
<h4 id="orgf4e0a6d">La somme :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgf4e0a6d">
<p>
Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org3a5f183" class="outline-4">
<h4 id="org3a5f183">Le produit :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org3a5f183">
<p>
Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgb278785" class="outline-4">
<h4 id="orgb278785">Inverse d’une suite :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgb278785">
<p>
Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org14eeccd" class="outline-4">
<h4 id="org14eeccd">Produit d’une suite par un scalaire :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org14eeccd">
<p>
Soit (Un) une suite de T.G Un<br />
</p>
<p>
∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1cf9196" class="outline-3">
<h3 id="org1cf9196">Suite bornée :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org1cf9196">
<p>
Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgc2da8da" class="outline-3">
<h3 id="orgc2da8da">Suite majorée :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgc2da8da">
<p>
Soit (Un) une suite<br />
</p>
<p>
U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orga0d43ce" class="outline-3">
<h3 id="orga0d43ce">Suite minorée :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orga0d43ce">
<p>
Soit (Un) une suite<br />
</p>
<p>
U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org40d1f38" class="outline-3">
<h3 id="org40d1f38">Suites monotones :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org40d1f38">
</div>
<div id="outline-container-orgf7df4a9" class="outline-4">
<h4 id="orgf7df4a9">Les suites croissantes :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgf7df4a9">
<p>
Soit (Un)n est une suite<br />
</p>
<p>
(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgd895f98" class="outline-4">
<h4 id="orgd895f98">Les suites décroissantes :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgd895f98">
<p>
Soit (Un)n est une suite<br />
</p>
<p>
(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1aa6640" class="outline-2">
<h2 id="org1aa6640">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org1aa6640">
</div>
<div id="outline-container-orgd87b22d" class="outline-3">
<h3 id="orgd87b22d">Exo 1 :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgd87b22d">
</div>
<div id="outline-container-org5f6303c" class="outline-4">
<h4 id="org5f6303c">Ensemble A :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org5f6303c">
<p>
A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgf6ed584"></a>Borne inférieure<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgf6ed584">
<p>
∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org4167b5f"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org4167b5f">
<p>
∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org7070119"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org7070119">
<p>
∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org682d2b5"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org682d2b5">
<p>
L’ensemble A n’as pas de maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org90b78ba" class="outline-4">
<h4 id="org90b78ba">Ensemble B :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org90b78ba">
<p>
B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orge1736f7"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orge1736f7">
<p>
Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))<br />
</p>
<p>
Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est <b>-∞</b>,<br />
</p>
<p>
<b>Inf(B) = -1</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org7e945cc"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org7e945cc">
<p>
Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br />
</p>
<p>
Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est <b>+∞</b>,<br />
</p>
<p>
<b>Sup(B) = 3</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org2cb0b85"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org2cb0b85">
<p>
<b>Min(B) = -1</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org7ba6e83"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org7ba6e83">
<p>
L’ensemble B n’as pas de Maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgab077c5" class="outline-4">
<h4 id="orgab077c5">Ensemble C :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgab077c5">
<p>
C = {3n ,n ∈ ℕ}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org39da55d"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org39da55d">
<p>
Inf(C) = 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgfdfb07e"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgfdfb07e">
<p>
Sup(C) = +∞<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgf972835"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgf972835">
<p>
Min(C) = 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org4c30360"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org4c30360">
<p>
L’ensemble C n’as pas de Maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orga05bed3" class="outline-4">
<h4 id="orga05bed3">Ensemble D :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orga05bed3">
<p>
D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org352bc4d"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org352bc4d">
<p>
Inf(D)= 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org54cba2c"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org54cba2c">
<p>
Sup(D)= 1<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org83ebf6c"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org83ebf6c">
<p>
Min(D)= 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org2400862"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org2400862">
<p>
L’ensemble D n’as pas de Maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgab9a959" class="outline-4">
<h4 id="orgab9a959">Ensemble E :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgab9a959">
<p>
E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br />
</p>
<p>
<b>Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair</b><br />
</p>
<p>
<b>On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}</b><br />
</p>
<p>
<b>Donc E = F ∪ G</b><br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org06c91a3"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org06c91a3">
<p>
Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))<br />
</p>
<p>
Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1<br />
</p>
<p>
<b>Inf(E)= -1</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgb7b6f4c"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgb7b6f4c">
<p>
Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br />
</p>
<p>
sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br />
</p>
<p>
<b>Sup(E)= +∞</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org8727a13"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org8727a13">
<p>
Min(E)= -1<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgb3e2612"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgb3e2612">
<p>
E n’as pas de maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2cefd43" class="outline-3">
<h3 id="org2cefd43">Exo 2 :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org2cefd43">
</div>
<div id="outline-container-orgbaa1183" class="outline-4">
<h4 id="orgbaa1183">Ensemble A :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgbaa1183">
<p>
A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgc824f04"></a>Borné<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgc824f04">
<p>
<b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org03e8649" class="outline-4">
<h4 id="org03e8649">Ensemble B :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org03e8649">
<p>
B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org92c43ca"></a>Borné<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org92c43ca">
<p>
<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b><br />
</p>
<p>
<b>∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org8cc31a5" class="outline-4">
<h4 id="org8cc31a5">Ensemble C :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org8cc31a5">
<p>
C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgfd47ee2"></a>Minoré<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgfd47ee2">
<p>
<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org4b422ef" class="outline-4">
<h4 id="org4b422ef">Ensemble D :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org4b422ef">
<p>
D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgdb47cb3"></a>Borné<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgdb47cb3">
<p>
<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b><br />
</p>
<p>
<b>∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org0031576" class="outline-4">
<h4 id="org0031576">Ensemble E :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org0031576">
<p>
E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org48b2db0"></a>Majoré<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org48b2db0">
<p>
p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org23d3aa9" class="outline-3">
<h3 id="org23d3aa9">Exo 3 :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org23d3aa9">
<p>
U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org8f4db0d" class="outline-4">
<h4 id="org8f4db0d">Question 1 :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org8f4db0d">
<p>
Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br />
</p>
<p>
<b>(Un - 1)² ≥ 0 <i>Parce que c’est un carré</i></b><br />
</p>
<p>
<b>(Un - 1)² + 1 > 1</b> ; <b>U(n+1) ≥ 1</b><br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgf5b4a1b"></a>Raisonnement par récurrence :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgf5b4a1b">
<p>
P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br />
</p>
<p>
P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2<br />
</p>
<p>
On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br />
</p>
<p>
1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; <b>1 < U(n+1) < 2</b> Donc elle est correcte<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org88560e9" class="outline-4">
<h4 id="org88560e9">Question 2 :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org88560e9">
<p>
Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br />
</p>
<p>
<b>U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2</b><br />
</p>
<p>
On étudie <b>Un² - 3Un + 2</b> sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, <b>Δ = 1</b> , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2<br />
</p>
<p>
On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc <b>∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un</b> Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org4970134" class="outline-2">
<h2 id="org4970134">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org4970134">
</div>
<div id="outline-container-org5c60eae" class="outline-3">
<h3 id="org5c60eae">Les suites convergentes</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org5c60eae">
<p>
Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-orga236792" class="outline-4">
<h4 id="orga236792">Remarque :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orga236792">
<ol class="org-ol">
<li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li>
<li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li>
<li>Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge<br /></li>
<li>Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge<br /></li>
<li>Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors<br />
<ol class="org-ol">
<li>Un + Vn est convergente<br /></li>
<li>Un * Vn est convergente<br /></li>
<li>∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge<br /></li>
</ol></li>
<li>Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org3d47a4f" class="outline-3">
<h3 id="org3d47a4f">Theoreme d’encadrement</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org3d47a4f">
<p>
Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org77a6269" class="outline-3">
<h3 id="org77a6269">Suites arithmetiques</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org77a6269">
<p>
Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org41f14af" class="outline-4">
<h4 id="org41f14af">Forme general</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org41f14af">
<p>
<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge969e67" class="outline-4">
<h4 id="orge969e67">Somme des n premiers termes</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge969e67">
<p>
Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br />
</p>
<p>
Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org20c5c6c" class="outline-3">
<h3 id="org20c5c6c">Suites géométriques</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org20c5c6c">
</div>
<div id="outline-container-orga1b0a76" class="outline-4">
<h4 id="orga1b0a76">Forme general</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orga1b0a76">
<p>
<b>Un = U0 x r^n</b><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2cf893f" class="outline-4">
<h4 id="org2cf893f">Somme des n premiers termes</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2cf893f">
<p>
n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge46a49e" class="outline-2">
<h2 id="orge46a49e">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orge46a49e">
</div>
<div id="outline-container-org43d5be5" class="outline-3">
<h3 id="org43d5be5">Suites adjacentes:</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org43d5be5">
<p>
Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante<br /></li>
<li>Un ≤ Vn<br /></li>
<li>lim (Un - Vn) n->+∞ = 0<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org71762d4" class="outline-3">
<h3 id="org71762d4">Suites extraites (sous-suites):</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org71762d4">
<p>
Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-orgc5524fb" class="outline-4">
<h4 id="orgc5524fb">Remarques:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgc5524fb">
<ol class="org-ol">
<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li>
<li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li>
<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org43ca2f6" class="outline-3">
<h3 id="org43ca2f6">Suites de Cauchy:</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org43ca2f6">
<p>
(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org452a0a9" class="outline-4">
<h4 id="org452a0a9">Remarque :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org452a0a9">
<ol class="org-ol">
<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org6164449" class="outline-3">
<h3 id="org6164449">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org6164449">
<p>
On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgde4cc4a" class="outline-2">
<h2 id="orgde4cc4a">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgde4cc4a">
</div>
<div id="outline-container-orgcf38f4d" class="outline-3">
<h3 id="orgcf38f4d">Fonction réelle à variable réelle :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgcf38f4d">
<p>
Soit f: I –> ℝ , I ⊂= ℝ<br />
x –> f(x)<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org7714aa5" class="outline-4">
<h4 id="org7714aa5">L’ensemble de départ :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org7714aa5">
<p>
L’ensemble de définition (Df)<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orga4111dd"></a>Propriétés:<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orga4111dd">
<p>
Soit f et g deux fonctions :<br />
f : I –> ℝ<br />
x –> f(x)<br />
</p>
<p>
g : I –> ℝ<br />
x –> g(x)<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgd750242"></a>1) f+g<br />
<div class="outline-text-6" id="text-orgd750242">
<p>
(g+f): I –> ℝ<br />
x –> (f+g)(x) = f(x) + g(x)<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgec6b0ef"></a>2) λf<br />
<div class="outline-text-6" id="text-orgec6b0ef">
<p>
∀λ ∈ ℝ : λf : I –> ℝ<br />
x –> (λf)(x) = λf(x)<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org2597b94"></a>3) f*g<br />
<div class="outline-text-6" id="text-org2597b94">
<p>
(f*g): I –> ℝ<br />
x –> (f*g)(x) = f(x) x g(x)<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgdfe3e5d"></a>4) f/g<br />
<div class="outline-text-6" id="text-orgdfe3e5d">
<p>
f/g : I –> ℝ<br />
x –> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgace65ab" class="outline-4">
<h4 id="orgace65ab">Les Limites :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgace65ab">
<p>
f: I –> ℝ<br />
x –> f(x)<br />
x<sub>0</sub> ∈ I ; x<sub>0</sub> extrémité de l’intervalle.<br />
</p>
<p>
Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x<sub>0</sub><br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org96f1c0b"></a>Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = l<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org96f1c0b">
<p>
\|x - x<sub>0</sub>\| < ẟ , \|f(x) - l| < ε<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgb435746" class="outline-4">
<h4 id="orgb435746">La continuité :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgb435746">
<p>
Soit f: I –> ℝ I = Df<br />
x –> f(x) x<sub>0</sub> ∈ I<br />
f est continue en x<sub>0</sub> ⇔ Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = f(x<sub>0</sub>)<br />
∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , \|x - x<sub>0</sub>\| < ẟ ⇒ \|f(x) - f(x<sub>0</sub>)\| < ε<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org8f8345e" class="outline-4">
<h4 id="org8f8345e">Prolongement par continuité :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org8f8345e">
<p>
Soit f: I/\{x<sub>0</sub>\} –> ℝ<br />
x –> f(x)<br />
</p>
<p>
Si lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x<sub>0</sub><br />
</p>
<p>
On défini : ⎡f(x) si x ≠ x<sub>0</sub><br />
f~ = |<br />
⎣l si x = x<sub>0</sub><br />
f~ : I –> ℝ<br />
x –> f(x)<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge3fed44" class="outline-4">
<h4 id="orge3fed44">Théorème des valeurs intermédiaires :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge3fed44">
<p>
f : [a,b] –> ℝ<br />
Si f est continue sur [a,b]<br />
Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x)<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>Si f est continue sur [a,b] ⎫<br />
⎬ ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0<br /></li>
<li>Si f(a) * f(b) < 0 ⎭<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgc40e618" class="outline-4">
<h4 id="orgc40e618">Fonction croissante :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgc40e618">
<p>
f: I –> J<br />
f est croissante si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I<br />
x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f(x<sub>1</sub>) ≤ f(x<sub>2</sub>)<br />
</p>
<p>
f est strictement croissante si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I<br />
x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f(x<sub>1</sub>) < f(x<sub>2</sub>)<br />
</p>
<p>
Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2be852d" class="outline-4">
<h4 id="org2be852d">Injection = Strictement monotonne :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2be852d">
<p>
f: I –> J<br />
f est injective si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I , f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>) ⇒ x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org22072c4" class="outline-4">
<h4 id="org22072c4">Surjection = Continuité :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org22072c4">
<p>
f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x)<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgebeba8b" class="outline-4">
<h4 id="orgebeba8b">Bijection :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgebeba8b">
<p>
Si f est injective et surjective, alors f est bijective<br />
f est bijective donc elle admet une bijection réciproque<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge61507c" class="outline-4">
<h4 id="orge61507c">Théorème de bijection :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge61507c">
<p>
Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.<br />
f admet une bijection réciproque f<sub>-1</sub>.<br />
f<sub>-1</sub> a le même sens de variation que f.<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="postamble" class="status">
<p class="author">Author: Crystal</p>
<p class="date">Created: 2023-11-14 Tue 22:45</p>
</div>
</body>
</html>