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| author | Crystal <crystal@wizard.tower> | 2023-10-20 18:06:12 +0100 |
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It’s all about those heartwarming moments and the joy of simplicity. +Imagine us sitting together, sipping hot cocoa, and having a delightful chat. It’s all about those heartwarming moments and the joy of simplicity.<br /> </p> <p> -I’m over the moon that you’re here, adding even more sweetness to this corner! 💕 +I’m over the moon that you’re here, adding even more sweetness to this corner! 💕<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org3c05a7a" class="outline-2"> -<h2 id="org3c05a7a">Articles ( NEW !!!! )</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org3c05a7a"> +<div id="outline-container-org6f68b1c" class="outline-2"> +<h2 id="org6f68b1c">Articles ( NEW !!!! )</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org6f68b1c"> <ul class="org-ul"> -<li><b><a href="./articles/discord.html">Discord : an internet cancer</a></b> <i>Sun Sep 10 15:25:22 2023</i></li> +<li><b><a href="./articles/discord.html">Discord : an internet cancer</a></b> <i>Sun Sep 10 15:25:22 2023</i><br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org493fdf8" class="outline-2"> -<h2 id="org493fdf8">root@localhost $ whoami</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org493fdf8"> +<div id="outline-container-orgb1b9a05" class="outline-2"> +<h2 id="orgb1b9a05">root@localhost $ whoami</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgb1b9a05"> <p> -I’m <b>Crystal</b>, your 18 y/o Algerian anarchist transfem, who’s also a geek for some reason…and surprisingly still alive!!! +I’m <b>Crystal</b>, your 18 y/o Algerian anarchist transfem, who’s also a geek for some reason…and surprisingly still alive!!!<br /> </p> <p> -My current setup is : +My current setup is :<br /> </p> <ul class="org-ul"> -<li>Primary OS: <b>OpenBSD -current</b></li> -<li>Text Editor: <b>Doom Emacs</b></li> -<li>Web Browser: <b>Ungoogled-chromium</b></li> -<li>Desktop Environment: <b>NsCDE</b></li> -<li>Shell: <b>Historic Ksh93</b></li> -<li>Secondary OS(For proprietary shit): <b>Windows 11(Ewww)</b> with <b>Rectify11</b></li> -<li>Games I play: <b>Hollow Knight</b>, <b>Cult of the lamb</b>, <b>Dead Cells</b> & Rythm games(like <b>Phigros</b> and <b>A dance of fire and ice</b>)</li> +<li>Primary OS: <b>OpenBSD -current</b><br /></li> +<li>Text Editor: <b>Doom Emacs</b><br /></li> +<li>Web Browser: <b>Ungoogled-chromium</b><br /></li> +<li>Desktop Environment: <b>NsCDE</b><br /></li> +<li>Shell: <b>Historic Ksh93</b><br /></li> +<li>Secondary OS(For proprietary shit): <b>Windows 11(Ewww)</b> with <b>Rectify11</b><br /></li> +<li>Games I play: <b>Hollow Knight</b>, <b>Cult of the lamb</b>, <b>Dead Cells</b> & Rythm games(like <b>Phigros</b> and <b>A dance of fire and ice</b>)<br /></li> </ul> <p> -I also host this website on the <a href="https://tilde.institute">https://tilde.institute</a> <b>pubNIX</b> which also runs <b>OpenBSD</b> -This might surprise you, but I also listen to music (A shocker, right?) though I mostly listen to <b>vaporwave</b> <b>glitchore</b> <b>weirdcore</b> <b>synthwave</b> and <b>dreamcore</b> +I also host this website on the <a href="https://tilde.institute">https://tilde.institute</a> <b>pubNIX</b> which also runs <b>OpenBSD</b><br /> +This might surprise you, but I also listen to music (A shocker, right?) though I mostly listen to <b>vaporwave</b> <b>glitchore</b> <b>weirdcore</b> <b>synthwave</b> and <b>dreamcore</b><br /> </p> <p> -If you want to contact me (which would be really surprising) contact me via <a href="mailto:crystal@danwin1210.de">mailto:crystal@danwin1210.de</a> +If you want to contact me (which would be really surprising) contact me via <a href="mailto:crystal@danwin1210.de">mailto:crystal@danwin1210.de</a><br /> </p> <p> -My GNUPG (GPG) public key <a href="./src/txt/pubkey.asc">./src/txt/pubkey.asc</a> +My GNUPG (GPG) public key <a href="./src/txt/pubkey.asc">./src/txt/pubkey.asc</a><br /> </p> <p> -<a href="https://git.tilde.institute/crystal/www">This website is fully open-source with no licensing restrictions, check the source code and feel free to reuse everything!!!</a> +<a href="https://git.tilde.institute/crystal/www">This website is fully open-source with no licensing restrictions, check the source code and feel free to reuse everything!!!</a><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org8dfe0b5" class="outline-2"> -<h2 id="org8dfe0b5">Sign my Guestbook (External website warning)</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org8dfe0b5"> +<div id="outline-container-orgcbd6318" class="outline-2"> +<h2 id="orgcbd6318">Sign my Guestbook (External website warning)</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgcbd6318"> <p> -Want to leave a message, opinion, review or a salty insult ? 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If you don’t want to, then no pressure 💜 I still love you and I hope that this small shrine of mine will impress you in the future!!! +If you enjoyed my website, you could link me on your personal website using this banner. 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If you want to be added, go to the <a href="https://lainchan.org/%CE%A9/res/70358.html">Lainchan thread</a> and post your website there, together with a 240x60 button image. +Lainring is a decentralized <a href="https://indieweb.org/webring">webring</a> created by the users of <a href="https://www.lainchan.org">Lainchan</a>, an anonymous image board. If you want to be added, go to the <a href="https://lainchan.org/%CE%A9/res/70358.html">Lainchan thread</a> and post your website there, together with a 240x60 button image.<br /> </p> <div id="lainring">... Loading, please wait ...</div> @@ -89,7 +88,7 @@ document.addEventListener("DOMContentLoaded", function(event) { </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-09-15 Fri 20:23</p> +<p class="date">Created: 2023-10-20 Fri 14:30</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file diff --git a/src/org/index.org b/src/org/index.org index 98fa821..a067e01 100755 --- a/src/org/index.org +++ b/src/org/index.org @@ -5,7 +5,7 @@ #+EXPORT_FILE_NAME: ../../index.html #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="src/css/colors.css"/> #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="src/css/style.css"/> - +#+OPTIONS: \n:y #+OPTIONS: html-style:nil #+OPTIONS: toc:nil * Welcome to Crystal's Cozy Nook! diff --git a/src/org/links.org b/src/org/links.org index 610b667..a9bec00 100755 --- a/src/org/links.org +++ b/src/org/links.org @@ -5,6 +5,7 @@ #+EXPORT_FILE_NAME: ../../links.html #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="src/css/colors.css"/> #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="src/css/style.css"/> +#+OPTIONS: \n:y #+OPTIONS: html-style:nil #+OPTIONS: toc:nil * Webrings & Links diff --git a/src/org/uni_notes/algebra1.org b/src/org/uni_notes/algebra1.org index 21e41ef..865d5b1 100755 --- a/src/org/uni_notes/algebra1.org +++ b/src/org/uni_notes/algebra1.org @@ -1,13 +1,16 @@ #+title: Algebra 1 #+AUTHOR: Crystal #+OPTIONS: ^:{} +#+OPTIONS: \n:y #+OPTIONS: num:nil #+EXPORT_FILE_NAME: ../../../uni_notes/algebra.html #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/colors.css"/> #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> #+OPTIONS: html-style:nil -#+OPTIONS: toc:nil - +#+OPTIONS: toc:4 +#+HTML_LINK_HOME: https://crystal.tilde.institute/ +#+HTML_LINK_UP: ../../../uni_notes/ +#+OPTIONS: tex:imagemagick * Contenu de la Matiére ** Rappels et compléments (11H) - Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique @@ -505,7 +508,7 @@ Let E be a set. We define P(E) as the set of all parts of E : *P(E) = {X/X ⊂ E cardinal E = n /The number of terms in E/ , cardinal P(E) = 2^n /The number of all parts of E/ *** Examples : -E = {a,b,c} // P(E)={∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}} +E = {a,b,c} ; P(E)={∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}} ** Partition of a set : We say that *A* is a partition of E if: @@ -515,10 +518,10 @@ c. The reunion of all elements of *A* is equal to E ** Cartesian products : Let E and F be two sets, the set EXF = {(x,y)/ x ∈ E AND y ∈ F} is called the Cartesian product of E and F *** Example : -A = {4,5} ; B= {4,5,6} // AxB = {(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6)} +A = {4,5} ; B= {4,5,6} ; AxB = {(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6)} -BxA = {(4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (6,4), (6,5)} // Therefore AxB ≠ BxA +BxA = {(4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (6,4), (6,5)} ; Therefore AxB ≠ BxA *** Some proprieties: 1. ExF = ∅ ⇔ E=∅ OR F=∅ 2. ExF = FxE ⇔ E=F OR E=∅ OR F=∅ @@ -552,3 +555,42 @@ Let E be a set and R be a relation defined in E. We say that R is a relation of ∀x,y ∈ ℝ , xRy ⇔ x²-y²=x-y 1. Prove that R is an equivalence relation 2. Let a ∈ ℝ, find ̅a +* TP exercices /Oct 20/ : +** Exercice 3 : +*** Question 3 +Montrer par l'absurde que P : ∀x ∈ ℝ*, √(4+x³) ≠ 2 + x³/4 est vraies + +#+BEGIN_VERSE +On suppose que ∃ x ∈ ℝ* , √(4+x³) = 2 + x³/4 +4+x³ = (2 + x³/4)² +4+x³ = 4 + x⁶/16 + 4*(x³/4) +4+x³ = 4 + x⁶/16 + x³ +x⁶/16 = 0 +x⁶ = 0 +x = 0 . Or, x appartiens a ℝ\{0}, donc P̅ est fausse. Ce qui est equivalent a dire que P est vraie +#+END_VERSE +** Exercice 4 : +*** DONE Question 1 : +#+BEGIN_VERSE +∀ n ∈ ℕ* , (n ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/1+n +P(n) : (n ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/1+n +1. *On vérifie P(n) pour n = 1* +(1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1/1(1+1) + = 1/2 --- (1) +1 - 1/1+1 = 1 - 1/2 + = 1/2 --- (2) +De (1) et (2), P(0) est vraie ---- (a) + +2. *On suppose que P(n) est vraie pour n ≥ n1 puis on vérifie pour n+1* +(n ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/1+n +(n ,k=1)Σ1/k(k+1) + 1/(n+1)(n+2) = 1 - (1/(1+n)) + 1/(n+1)(n+2) +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/(n+1) + 1/[(n+1)(n+2)] +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 + 1/[(n+1)(n+2)] - (n+2)/[(n+1)(n+2)] +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 + [1-(n+2)]/[(n+1)(n+2)] +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 + [-n-1]/[(n+1)(n+2)] +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - [n+1]/[(n+1)(n+2)] +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/(n+1+1) *CQFD* + +Donc P(n+1) est vraie. ---- (b) +De (a) et (b) on conclus que la proposition de départ est vraie +#+END_VERSE diff --git a/src/org/uni_notes/alsd1.org b/src/org/uni_notes/alsd1.org index 2619592..316f2a6 100755 --- a/src/org/uni_notes/alsd1.org +++ b/src/org/uni_notes/alsd1.org @@ -6,8 +6,10 @@ #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/colors.css"/> #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> #+OPTIONS: html-style:nil -#+OPTIONS: toc:nil - +#+OPTIONS: toc:4 +#+HTML_LINK_HOME: https://crystal.tilde.institute/ +#+HTML_LINK_UP: ../../../uni_notes/ +#+OPTIONS: \n:y * Contenu de la Matiére ** Chapitre 1: Elements de Base - Algorithmique, procésseur, action. diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index 2a49a05..a554d90 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -5,9 +5,11 @@ #+EXPORT_FILE_NAME: ../../../uni_notes/analyse.html #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/colors.css"/> #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> +#+HTML_LINK_HOME: https://crystal.tilde.institute/ +#+HTML_LINK_UP: ../../../uni_notes/ #+OPTIONS: html-style:nil -#+OPTIONS: toc:nil - +#+OPTIONS: toc:4 +#+OPTIONS: \n:y * Contenu de la Matiére ** Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ - Structure algébrique de ℝ @@ -482,25 +484,13 @@ Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si: 2. Un ≤ Vn 3. lim (Un - Vn) n->+∞ = 0 ** Suites extraites (sous-suites): -Soit (Un) une suite: -// -U: ℕ ----> ℝ -// - n ----> Un -// -ϕ: ℕ ----> ℕ -// - n ----> ϕn -// -(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite. +Soit (Un) une suite: ;U: ℕ ----> ℝ ; n ----> Un ;ϕ: ℕ ----> ℕ ; n ----> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite. *** Remarques: a. Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi. b. Mais le contraire n'es pas toujours vrais. c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l ** Suites de Cauchy: -(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; -// -∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε +(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε *** Remarque : 1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente ** Théorème de Bolzano Weirstrass: diff --git a/src/org/uni_notes/architecture1.org b/src/org/uni_notes/architecture1.org index 3dde87d..38ad631 100755 --- a/src/org/uni_notes/architecture1.org +++ b/src/org/uni_notes/architecture1.org @@ -6,8 +6,10 @@ #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/colors.css"/> #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> #+OPTIONS: html-style:nil -#+OPTIONS: toc:nil - +#+OPTIONS: toc:4 +#+OPTIONS: \n:y +#+HTML_LINK_HOME: https://crystal.tilde.institute/ +#+HTML_LINK_UP: ../../../uni_notes/ * Premier cours : Les systémes de numération /Sep 27/ : Un système de numération est une méthode pour représenter des nombres à l'aide de symboles et de règles. Chaque système, comme le décimal (base 10) ou le binaire (base 2), utilise une base définie pour représenter des valeurs numériques. Il est caractérisé par 3 entitiés mathématiques importantes: diff --git a/uni_notes/algebra.html b/uni_notes/algebra.html index 2129e72..fd6602c 100755 --- a/uni_notes/algebra.html +++ b/uni_notes/algebra.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-10-17 Tue 22:32 --> +<!-- 2023-10-20 Fri 15:12 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>Algebra 1</title> @@ -11,124 +11,233 @@ <meta name="generator" content="Org Mode" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/colors.css"/> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> -<script> - window.MathJax = { - tex: { - ams: { - multlineWidth: '85%' - }, - tags: 'ams', - tagSide: 'right', - tagIndent: '.8em' - }, - chtml: { - scale: 1.0, - displayAlign: 'center', - displayIndent: '0em' - 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href="#org1ae59da">Structures Algébriques (11H)</a></li> +<li><a href="#orgdcb51e0">Polynômes et fractions rationnelles</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org8356dfb">Premier cours : Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique <i>Sep 25</i> :</a> +<ul> +<li><a href="#org4521340">Properties:</a> +<ul> +<li><a href="#org84e1ec3"><b>Absorption</b>:</a></li> +<li><a href="#org2345992"><b>Commutativity</b>:</a></li> +<li><a href="#orgfee557e"><b>Associativity</b>:</a></li> +<li><a href="#orgb55cfb2"><b>Distributivity</b>:</a></li> +<li><a href="#orgb0de2bb"><b>Neutral element</b>:</a></li> +<li><a href="#orgb51e625"><b>Negation of a conjunction & a disjunction</b>:</a></li> +<li><a href="#org4e29124"><b>Transitivity</b>:</a></li> +<li><a href="#org520b7b0"><b>Contraposition</b>:</a></li> +<li><a href="#org8159635">God only knows what this property is called:</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org4210e18">Some exercices I found online :</a> +<ul> +<li><a href="#org46d1ee6">USTHB 2022/2023 Section B :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org732b9dd">2éme cours <i>Oct 2</i></a> +<ul> +<li><a href="#orgdfba00a">Quantifiers</a> +<ul> +<li><a href="#org93d5891">Proprieties</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgf21a239">Multi-parameter proprieties :</a></li> +<li><a href="#org779f917">Methods of mathematical reasoning :</a> +<ul> +<li><a href="#orgc6832c3">Direct reasoning :</a></li> +<li><a href="#orgf140b16">Reasoning by the Absurd:</a></li> +<li><a href="#org320dc57">Reasoning by contraposition:</a></li> +<li><a href="#org27943b2">Reasoning by counter example:</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgfddd579">3eme Cours : <i>Oct 9</i></a> +<ul> +<li> +<ul> +<li><a href="#org21eab57">Reasoning by recurrence :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org155c9a9">4eme Cours : Chapitre 2 : Sets and Operations</a> +<ul> +<li><a href="#org5bb0b39">Definition of a set :</a></li> +<li><a href="#org469078a">Belonging, inclusion, and equality :</a></li> +<li><a href="#org1461e60">Intersections and reunions :</a> +<ul> +<li><a href="#orgd9db499">Intersection:</a></li> +<li><a href="#org0946751">Union:</a></li> +<li><a href="#org8fb5e39">Difference between two sets:</a></li> +<li><a href="#org17ec98b">Complimentary set:</a></li> +<li><a href="#org61d7d25">Symentrical difference</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org1e0c21a">Proprieties :</a> +<ul> +<li><a href="#orgaed74b7">Commutativity:</a></li> +<li><a href="#org1d74822">Associativity:</a></li> +<li><a href="#org667f4dd">Distributivity:</a></li> +<li><a href="#org31c4f57">Lois de Morgan:</a></li> +<li><a href="#orgc30ba1d">An other one:</a></li> +<li><a href="#orgac52c86">An other one:</a></li> +<li><a href="#orge0de23e">And an other one:</a></li> +<li><a href="#org8277b0b">And the last one:</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgeb2675e">5eme cours: L’ensemble des parties d’un ensemble <i>Oct 16</i></a> +<ul> +<li> +<ul> +<li><a href="#org2c7d514">Notes :</a></li> +<li><a href="#org76da8f4">Examples :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org3da3de1">Partition of a set :</a></li> +<li><a href="#org077b994">Cartesian products :</a> +<ul> +<li><a href="#org72822f5">Example :</a></li> +<li><a href="#org04e1be3">Some proprieties:</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org416c1e1">Binary relations in a set :</a> +<ul> +<li><a href="#org5ea795f">Definition :</a></li> +<li><a href="#orgb9d678f">Proprieties :</a></li> +<li><a href="#org6df8952">Equivalence relationship :</a> +<ul> +<li><a href="#orgfbd9232">Equivalence class :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org9a36dc1">Order relationship :</a> +<ul> +<li><a href="#orgb496cba"><span class="todo TODO">TODO</span> Examples :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org54d5489">TP exercices <i>Oct 20</i> :</a> +<ul> +<li><a href="#orgdfd55ca">Exercice 3 :</a> +<ul> +<li><a href="#org4100fe3">Question 3</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org019b5e0">Exercice 4 :</a> +<ul> +<li><a href="#org2ae1181"><span class="done DONE">DONE</span> Question 1 :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgdb6601b" class="outline-2"> +<h2 id="orgdb6601b">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgdb6601b"> </div> -<div id="outline-container-org2a89be2" class="outline-3"> -<h3 id="org2a89be2">Rappels et compléments (11H)</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2a89be2"> +<div id="outline-container-orgc89165c" class="outline-3"> +<h3 id="orgc89165c">Rappels et compléments (11H)</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgc89165c"> <ul class="org-ul"> -<li>Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique</li> -<li>Ensembles et Relations</li> -<li>Applications</li> +<li>Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique<br /></li> +<li>Ensembles et Relations<br /></li> +<li>Applications<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfcd7f3f" class="outline-3"> -<h3 id="orgfcd7f3f">Structures Algébriques (11H)</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgfcd7f3f"> +<div id="outline-container-org1ae59da" class="outline-3"> +<h3 id="org1ae59da">Structures Algébriques (11H)</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1ae59da"> <ul class="org-ul"> -<li>Groupes et morphisme de groupes</li> -<li>Anneaux et morphisme d’anneaux</li> -<li>Les corps</li> +<li>Groupes et morphisme de groupes<br /></li> +<li>Anneaux et morphisme d’anneaux<br /></li> +<li>Les corps<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org03cbf05" class="outline-3"> -<h3 id="org03cbf05">Polynômes et fractions rationnelles</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org03cbf05"> +<div id="outline-container-orgdcb51e0" class="outline-3"> +<h3 id="orgdcb51e0">Polynômes et fractions rationnelles</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgdcb51e0"> <ul class="org-ul"> -<li>Notion du polynôme à une indéterminée á coefficients dans un anneau</li> -<li>Opérations Algébriques sur les polynômes</li> -<li>Arithmétique dans l’anneau des polynômes</li> -<li>Polynôme dérivé et formule de Taylor</li> -<li>Notion de racine d’un polynôme</li> -<li>Notion de Fraction rationelle á une indéterminée</li> -<li>Décomposition des fractions rationelles en éléments simples</li> +<li>Notion du polynôme à une indéterminée á coefficients dans un anneau<br /></li> +<li>Opérations Algébriques sur les polynômes<br /></li> +<li>Arithmétique dans l’anneau des polynômes<br /></li> +<li>Polynôme dérivé et formule de Taylor<br /></li> +<li>Notion de racine d’un polynôme<br /></li> +<li>Notion de Fraction rationelle á une indéterminée<br /></li> +<li>Décomposition des fractions rationelles en éléments simples<br /></li> </ul> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org7db21e0" class="outline-2"> -<h2 id="org7db21e0">Premier cours : Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique <i>Sep 25</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org7db21e0"> +<div id="outline-container-org8356dfb" class="outline-2"> +<h2 id="org8356dfb">Premier cours : Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique <i>Sep 25</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org8356dfb"> <p> -Let <b>P</b> <b>Q</b> and <b>R</b> be propositions which can either be <b>True</b> or <b>False</b>. And let’s also give the value <b>1</b> to each <b>True</b> proposition and <b>0</b> to each false one. +Let <b>P</b> <b>Q</b> and <b>R</b> be propositions which can either be <b>True</b> or <b>False</b>. And let’s also give the value <b>1</b> to each <b>True</b> proposition and <b>0</b> to each false one.<br /> </p> <p> -<i>Ex:</i> +<i>Ex:</i><br /> </p> <ul class="org-ul"> -<li><b>5 ≥ 2</b> is a proposition, a correct one !!!</li> -<li><b>The webmaster is a girl</b> is also a proposition, which is also correct.</li> -<li><b>x is always bigger than 5</b> is <b>not</b> a proposition, because we CAN’T determine if it’s correct or not as <b>x</b> changes.</li> +<li><b>5 ≥ 2</b> is a proposition, a correct one !!!<br /></li> +<li><b>The webmaster is a girl</b> is also a proposition, which is also correct.<br /></li> +<li><b>x is always bigger than 5</b> is <b>not</b> a proposition, because we CAN’T determine if it’s correct or not as <b>x</b> changes.<br /></li> </ul> <p> -…etc +…etc<br /> </p> <p> -In order to avoid repetition, and rewriting the proposition over and over, we just assign a capital letter to them such as <b>P Q</b> or <b>R</b>. +In order to avoid repetition, and rewriting the proposition over and over, we just assign a capital letter to them such as <b>P Q</b> or <b>R</b>.<br /> </p> <p> -So now we could write : -<b>Let the proposition P be 5 ≥ 2, we notice that P is always True, therefor its validity is 1</b> +So now we could write :<br /> +<b>Let the proposition P be 5 ≥ 2, we notice that P is always True, therefor its validity is 1</b><br /> </p> <p> -We also have the opposite of <b>P</b>, which is <b>not(P)</b> but for simplicity we use <b>P̅</b> (A P with a bar on top, in case it doesn’t load for you), now let’s go back to the previous example: +We also have the opposite of <b>P</b>, which is <b>not(P)</b> but for simplicity we use <b>P̅</b> (A P with a bar on top, in case it doesn’t load for you), now let’s go back to the previous example:<br /> </p> <p> -<b>Since we know that the proposition P is true, we can conclude that P̅ is false. As P and P̅ can NOT be true at the same time. It’s like saying 5 is greater and also lesser than 2…doesn’t make sense, does it ?</b> +<b>Since we know that the proposition P is true, we can conclude that P̅ is false. As P and P̅ can NOT be true at the same time. It’s like saying 5 is greater and also lesser than 2…doesn’t make sense, does it ?</b><br /> </p> <p> -Now let’s say we have two propositions, and we want to test the validity of their disjunction….. Okay what is this “disjunction” ? <b>Great Question Billy !!!</b> A disjunction is true if either propositions are true +Now let’s say we have two propositions, and we want to test the validity of their disjunction….. Okay what is this “disjunction” ? <b>Great Question Billy !!!</b> A disjunction is true if either propositions are true<br /> </p> <p> -Ex: -<b>Let proposition P be “The webmaster is asleep”, and Q be “The reader loves pufferfishes”. The disjunction of these two propositions can have 4 different values showed in this Table of truth (such a badass name):</b> +Ex:<br /> +<b>Let proposition P be “The webmaster is asleep”, and Q be “The reader loves pufferfishes”. The disjunction of these two propositions can have 4 different values showed in this Table of truth (such a badass name):</b><br /> </p> <table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides"> @@ -176,23 +285,23 @@ Ex: </table> <p> -<i>What the hell is this ?</i> -The first colomn is equivalent to saying : “The webmaster is asleep AND The reader loves pufferfishes” -The second one means : “The webmaster is asleep AND The reader DOESN’T love pufferfishes (if you are in this case, then <b>I HATE YOU</b>)” -The third one… <i>zzzzzzz</i> +<i>What the hell is this ?</i><br /> +The first colomn is equivalent to saying : “The webmaster is asleep AND The reader loves pufferfishes”<br /> +The second one means : “The webmaster is asleep AND The reader DOESN’T love pufferfishes (if you are in this case, then <b>I HATE YOU</b>)”<br /> +The third one… <i>zzzzzzz</i><br /> </p> <p> -You got the idea !!! -And since we are talking about a disjunction here, <b>one of the propositions</b> need to be true in order for this disjunction to be true. +You got the idea !!!<br /> +And since we are talking about a disjunction here, <b>one of the propositions</b> need to be true in order for this disjunction to be true.<br /> </p> <p> -You may be wondering…. Crystal, can’t we write a disjunction in magical math symbols ? And to this I respond with a big <b>YES</b>. A disjunction is symbolized by a <b>∨</b> . So the disjunction between proposition <b>P & Q</b> can be written this way : <b>P ∨ Q</b> +You may be wondering…. Crystal, can’t we write a disjunction in magical math symbols ? And to this I respond with a big <b>YES</b>. A disjunction is symbolized by a <b>∨</b> . So the disjunction between proposition <b>P & Q</b> can be written this way : <b>P ∨ Q</b><br /> </p> <p> -What if, we want to test whether or not two propositions are true AT THE SAME TIME ? Long story short, we can, it’s called a conjunction, same concept, as before, only this time the symbol is <b>P ∧ Q</b>, and is only true if <b>P</b> and <b>Q</b> are true. So we get a Table like this : +What if, we want to test whether or not two propositions are true AT THE SAME TIME ? Long story short, we can, it’s called a conjunction, same concept, as before, only this time the symbol is <b>P ∧ Q</b>, and is only true if <b>P</b> and <b>Q</b> are true. So we get a Table like this :<br /> </p> <table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides"> @@ -247,28 +356,28 @@ What if, we want to test whether or not two propositions are true AT THE SAME TI </table> <p> -<b>Always remember: 1 means true and 0 means false</b> +<b>Always remember: 1 means true and 0 means false</b><br /> </p> <p> -There are two more basics to cover here before going to some properties, the first one is implication symbolized by the double arrow <b>⇒</b> +There are two more basics to cover here before going to some properties, the first one is implication symbolized by the double arrow <b>⇒</b><br /> </p> <p> -Implication is kinda hard for my little brain to explain, so I will just say what it means: +Implication is kinda hard for my little brain to explain, so I will just say what it means:<br /> </p> <p> -<b>If P implies Q, this means that either Q, or the opposite of P are correct</b> +<b>If P implies Q, this means that either Q, or the opposite of P are correct</b><br /> </p> <p> -or in math terms +or in math terms<br /> </p> <p> -<b>P ⇒ Q translates to P̅ ∨ Q</b> -Let’s illustrate : +<b>P ⇒ Q translates to P̅ ∨ Q</b><br /> +Let’s illustrate :<br /> </p> <table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides"> @@ -344,15 +453,15 @@ Let’s illustrate : </table> <p> -<b>If you look clearly, there is only one case where an implication is false. therefor you just need to find it, and blindly say that the others are correct. A rule of thumb is that: “A correct never implies a false”, or “If a 1 tries to imply a 0, the implication is a 0”</b> +<b>If you look clearly, there is only one case where an implication is false. therefor you just need to find it, and blindly say that the others are correct. A rule of thumb is that: “A correct never implies a false”, or “If a 1 tries to imply a 0, the implication is a 0”</b><br /> </p> <p> -Aight, a last one and we are done!!! Equivalence, which is fairly easy, symbolized by a <b>⇔</b> symbol. +Aight, a last one and we are done!!! Equivalence, which is fairly easy, symbolized by a <b>⇔</b> symbol.<br /> </p> <p> -A proposition is equivalent to another only when both of them have <b>the same value of truth</b> AKA: both true or both false. a little table will help demonstrate what i mean. +A proposition is equivalent to another only when both of them have <b>the same value of truth</b> AKA: both true or both false. a little table will help demonstrate what i mean.<br /> </p> <table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides"> @@ -435,332 +544,332 @@ A proposition is equivalent to another only when both of them have <b>the same v </table> <p> -<i>Note: P implying Q is equivalent to P̅ implying Q̅, or: (P ⇒ Q) ⇔ (P̅ ⇒ Q̅)</i> +<i>Note: P implying Q is equivalent to P̅ implying Q̅, or: (P ⇒ Q) ⇔ (P̅ ⇒ Q̅)</i><br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org5604636" class="outline-3"> -<h3 id="org5604636">Properties:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5604636"> +<div id="outline-container-org4521340" class="outline-3"> +<h3 id="org4521340">Properties:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4521340"> </div> -<div id="outline-container-orgfffc23d" class="outline-4"> -<h4 id="orgfffc23d"><b>Absorption</b>:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfffc23d"> +<div id="outline-container-org84e1ec3" class="outline-4"> +<h4 id="org84e1ec3"><b>Absorption</b>:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org84e1ec3"> <p> -(P ∨ P) ⇔ P +(P ∨ P) ⇔ P<br /> </p> <p> -(P ∧ P) ⇔ P +(P ∧ P) ⇔ P<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd43aeb7" class="outline-4"> -<h4 id="orgd43aeb7"><b>Commutativity</b>:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd43aeb7"> +<div id="outline-container-org2345992" class="outline-4"> +<h4 id="org2345992"><b>Commutativity</b>:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2345992"> <p> -(P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P) +(P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P)<br /> </p> <p> -(P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P) +(P ∨ Q) ⇔ (Q ∨ P)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org9e5868e" class="outline-4"> -<h4 id="org9e5868e"><b>Associativity</b>:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9e5868e"> +<div id="outline-container-orgfee557e" class="outline-4"> +<h4 id="orgfee557e"><b>Associativity</b>:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfee557e"> <p> -P ∧ (Q ∧ R) ⇔ (P ∧ Q) ∧ R +P ∧ (Q ∧ R) ⇔ (P ∧ Q) ∧ R<br /> </p> <p> -P ∨ (Q ∨ R) ⇔ (P ∨ Q) ∨ R +P ∨ (Q ∨ R) ⇔ (P ∨ Q) ∨ R<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orga530d13" class="outline-4"> -<h4 id="orga530d13"><b>Distributivity</b>:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga530d13"> +<div id="outline-container-orgb55cfb2" class="outline-4"> +<h4 id="orgb55cfb2"><b>Distributivity</b>:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb55cfb2"> <p> -P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) +P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)<br /> </p> <p> -P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) +P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org7d55048" class="outline-4"> -<h4 id="org7d55048"><b>Neutral element</b>:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7d55048"> +<div id="outline-container-orgb0de2bb" class="outline-4"> +<h4 id="orgb0de2bb"><b>Neutral element</b>:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb0de2bb"> <p> -<i>We define proposition <b>T</b> to be always <b>true</b> and <b>F</b> to be always <b>false</b></i> +<i>We define proposition <b>T</b> to be always <b>true</b> and <b>F</b> to be always <b>false</b></i><br /> </p> <p> -P ∧ T ⇔ P +P ∧ T ⇔ P<br /> </p> <p> -P ∨ F ⇔ P +P ∨ F ⇔ P<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org7422610" class="outline-4"> -<h4 id="org7422610"><b>Negation of a conjunction & a disjunction</b>:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7422610"> +<div id="outline-container-orgb51e625" class="outline-4"> +<h4 id="orgb51e625"><b>Negation of a conjunction & a disjunction</b>:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb51e625"> <p> -Now we won’t use bars here because my lazy ass doesn’t know how, so instead I will use not()!!! +Now we won’t use bars here because my lazy ass doesn’t know how, so instead I will use not()!!!<br /> </p> <p> -not(<b>P ∧ Q</b>) ⇔ P̅ ∨ Q̅ +not(<b>P ∧ Q</b>) ⇔ P̅ ∨ Q̅<br /> </p> <p> -not(<b>P ∨ Q</b>) ⇔ P̅ ∧ Q̅ +not(<b>P ∨ Q</b>) ⇔ P̅ ∧ Q̅<br /> </p> <p> -<b>A rule I really like to use here is: Break and Invert. Basically you break the bar into the three characters of the propositions, so you get not(P) not(∧ or ∨) <i>NOT AN ACTUAL MATH WRITING. DONT USE IT ANYWHERE ELSE OTHER THAN YOUR BRAIN</i> and not(Q)</b> +<b>A rule I really like to use here is: Break and Invert. Basically you break the bar into the three characters of the propositions, so you get not(P) not(∧ or ∨) <i>NOT AN ACTUAL MATH WRITING. DONT USE IT ANYWHERE ELSE OTHER THAN YOUR BRAIN</i> and not(Q)</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4145760" class="outline-4"> -<h4 id="org4145760"><b>Transitivity</b>:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4145760"> +<div id="outline-container-org4e29124" class="outline-4"> +<h4 id="org4e29124"><b>Transitivity</b>:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4e29124"> <p> -[(P ⇒ Q) AND (Q ⇒ R)] ⇔ P ⇒ R +[(P ⇒ Q) AND (Q ⇒ R)] ⇔ P ⇒ R<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org245af1d" class="outline-4"> -<h4 id="org245af1d"><b>Contraposition</b>:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org245af1d"> +<div id="outline-container-org520b7b0" class="outline-4"> +<h4 id="org520b7b0"><b>Contraposition</b>:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org520b7b0"> <p> -(P ⇒ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅) +(P ⇒ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orga47b617" class="outline-4"> -<h4 id="orga47b617">God only knows what this property is called:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga47b617"> +<div id="outline-container-org8159635" class="outline-4"> +<h4 id="org8159635">God only knows what this property is called:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8159635"> <p> -<i>If</i> +<i>If</i><br /> </p> <p> -(P ⇒ Q) is true +(P ⇒ Q) is true<br /> </p> <p> -and +and<br /> </p> <p> -(P̅ ⇒ Q) is true +(P̅ ⇒ Q) is true<br /> </p> <p> -then +then<br /> </p> <p> -Q is always true +Q is always true<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org3cfbd88" class="outline-3"> -<h3 id="org3cfbd88">Some exercices I found online :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3cfbd88"> +<div id="outline-container-org4210e18" class="outline-3"> +<h3 id="org4210e18">Some exercices I found online :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4210e18"> </div> -<div id="outline-container-orge60008b" class="outline-4"> -<h4 id="orge60008b">USTHB 2022/2023 Section B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge60008b"> +<div id="outline-container-org46d1ee6" class="outline-4"> +<h4 id="org46d1ee6">USTHB 2022/2023 Section B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org46d1ee6"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgd7d6ce9"></a>Exercice 1: Démontrer les équivalences suivantes:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd7d6ce9"> +<li><a id="orga6d3248"></a>Exercice 1: Démontrer les équivalences suivantes:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga6d3248"> <ol class="org-ol"> <li><p> -(P ⇒ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅) +(P ⇒ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅)<br /> </p> <p> -Basically we are asked to prove contraposition, so here we have ( P ⇒ Q ) which is equivalent to P̅ ∨ Q <b>By definition : (P ⇒ Q) ⇔ (P̅ ∨ Q)</b> +Basically we are asked to prove contraposition, so here we have ( P ⇒ Q ) which is equivalent to P̅ ∨ Q <b>By definition : (P ⇒ Q) ⇔ (P̅ ∨ Q)</b><br /> </p></li> </ol> <p> -So we end up with : <b>(P̅ ∨ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅)</b>, now we just do the same with the second part of the contraposition. <b>(Q̅ ⇒ P̅) ⇔ (Q ∨ P̅)</b> therefor : +So we end up with : <b>(P̅ ∨ Q) ⇔ (Q̅ ⇒ P̅)</b>, now we just do the same with the second part of the contraposition. <b>(Q̅ ⇒ P̅) ⇔ (Q ∨ P̅)</b> therefor :<br /> </p> <p> -<b>(Q ∨ P̅) ⇔ (P̅ ∨ Q)</b>, which is true because of commutativity +<b>(Q ∨ P̅) ⇔ (P̅ ∨ Q)</b>, which is true because of commutativity<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>not(P ⇒ Q) ⇔ P ∧ Q̅</li> +<li>not(P ⇒ Q) ⇔ P ∧ Q̅<br /></li> </ol> <p> -Okaaaay so, let’s first get rid of the implication, because I don’t like it : <b>not(P̅ ∨ Q)</b> +Okaaaay so, let’s first get rid of the implication, because I don’t like it : <b>not(P̅ ∨ Q)</b><br /> </p> <p> -Now that we got rid of it, we can negate the whole disjunction <b>not(P̅ ∨ Q) ⇔ (P ∧ Q̅)</b>. Which is the equivalence we needed to prove +Now that we got rid of it, we can negate the whole disjunction <b>not(P̅ ∨ Q) ⇔ (P ∧ Q̅)</b>. Which is the equivalence we needed to prove<br /> </p> <ol class="org-ol"> <li><p> -P ⇒ (Q ∧ R) ⇔ (P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ R) +P ⇒ (Q ∧ R) ⇔ (P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ R)<br /> </p> <p> -One might be tempted to replace P with P̅ to get rid of the implication…sadly this isnt it. All we have to do here is resort to <b>Distributivity</b>, because yeah, we can distribute an implication across a {con/dis}junction +One might be tempted to replace P with P̅ to get rid of the implication…sadly this isnt it. All we have to do here is resort to <b>Distributivity</b>, because yeah, we can distribute an implication across a {con/dis}junction<br /> </p></li> <li><p> -P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) +P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)<br /> </p> <p> -Literally the same as above 🩷 +Literally the same as above 🩷<br /> </p></li> </ol> </div> </li> -<li><a id="orgd64e49a"></a>Exercice 2: Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses, et les nier:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd64e49a"> +<li><a id="orgb4b0c43"></a>Exercice 2: Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses, et les nier:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgb4b0c43"> <ol class="org-ol"> <li><p> -∀x ∈ ℝ ,∃y ∈ ℝ*+, tels que e^x = y +∀x ∈ ℝ ,∃y ∈ ℝ*+, tels que e^x = y<br /> </p> <p> -For each x from the set of Real numbers, there exists a number y from the set of non-zero positive Real numbers that satisfies the equation : e^x = y +For each x from the set of Real numbers, there exists a number y from the set of non-zero positive Real numbers that satisfies the equation : e^x = y<br /> </p></li> </ol> <p> -“The function f(x)=e^x is always positive and non-null”, the very definition of an exponential function !!!! +“The function f(x)=e^x is always positive and non-null”, the very definition of an exponential function !!!!<br /> </p> <p> -<b>So the proposition is true</b> +<b>So the proposition is true</b><br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>∃x ∈ ℝ, tels que x^2 < x < x^3</li> +<li>∃x ∈ ℝ, tels que x^2 < x < x^3<br /></li> </ol> <p> -We just need to find a value that satisifies this condition…thankfully its easy…. +We just need to find a value that satisifies this condition…thankfully its easy….<br /> </p> <p> -x² < x < x³ , we divide the three terms by x so we get : +x² < x < x³ , we divide the three terms by x so we get :<br /> </p> <p> -x < 1 < x² , or : +x < 1 < x² , or :<br /> </p> <p> -<b>x < 1</b> ; <b>1 < x²</b> ⇔ <b>x < 1</b> ; <b>1 < x</b> <i>We square root both sides</i> +<b>x < 1</b> ; <b>1 < x²</b> ⇔ <b>x < 1</b> ; <b>1 < x</b> <i>We square root both sides</i><br /> </p> <p> -We end up with a contradiction, therefor its wrong +We end up with a contradiction, therefor its wrong<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ tels que y = 3x - 8</li> +<li>∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ tels que y = 3x - 8<br /></li> </ol> <p> -I dont really understand this one, so let me translate it “For any value of x from the set of Real numbers, 3x - 8 is a Real number”…. i mean….yeah, we are substracting a Real number from an other real number… +I dont really understand this one, so let me translate it “For any value of x from the set of Real numbers, 3x - 8 is a Real number”…. i mean….yeah, we are substracting a Real number from an other real number…<br /> </p> <p> -<b>Since substraction is an Internal composition law in ℝ, therefor all results of a substraction between two Real numbers is…Real</b> +<b>Since substraction is an Internal composition law in ℝ, therefor all results of a substraction between two Real numbers is…Real</b><br /> </p> <ol class="org-ol"> <li><p> -∃x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℕ, x > y ⇒ x + y < 8 +∃x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℕ, x > y ⇒ x + y < 8<br /> </p> <p> -“There exists a number x from the set of Natural numbers such as for all values of y from the set of Natural numbers, x > y implies x + y < 8” +“There exists a number x from the set of Natural numbers such as for all values of y from the set of Natural numbers, x > y implies x + y < 8”<br /> </p></li> </ol> <p> -Let’s get rid of the implication : +Let’s get rid of the implication :<br /> </p> <p> -∃x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℕ, (y > x) ∨ (x + y < 8) <i>There exists a number x from the set of Natural numbers such as for all values of y from the set of Natural numbers y > x OR x + y < 8</i> +∃x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℕ, (y > x) ∨ (x + y < 8) <i>There exists a number x from the set of Natural numbers such as for all values of y from the set of Natural numbers y > x OR x + y < 8</i><br /> </p> <p> -This proposition is true, because there exists a value of x that satisfies this condition, it’s <b>all numbers under 8</b> let’s take 3 as an example: +This proposition is true, because there exists a value of x that satisfies this condition, it’s <b>all numbers under 8</b> let’s take 3 as an example:<br /> </p> <p> -<b>x = 3 , if y > 3 then the first condition is true ; if y < 3 then the second one is true</b> +<b>x = 3 , if y > 3 then the first condition is true ; if y < 3 then the second one is true</b><br /> </p> <p> -Meaning that the two propositions CAN NOT BE WRONG TOGETHER, either one is wrong, or the other +Meaning that the two propositions CAN NOT BE WRONG TOGETHER, either one is wrong, or the other<br /> </p> <p> -y > x +y > x<br /> </p> <p> -<b>y - x > 0</b> +<b>y - x > 0</b><br /> </p> <p> -y + x < 8 +y + x < 8<br /> </p> <p> -<b>y < 8 - x</b> <i>This one is always true for all values of x below 8, since we are working in the set ℕ</i> +<b>y < 8 - x</b> <i>This one is always true for all values of x below 8, since we are working in the set ℕ</i><br /> </p> <ol class="org-ol"> <li><p> -∀x ∈ ℝ, x² ≥ 1 ⇔ x ≥ 1 +∀x ∈ ℝ, x² ≥ 1 ⇔ x ≥ 1<br /> </p> <p> -….This is getting stupid. of course it’s true it’s part of the definition of the power of 2 +….This is getting stupid. of course it’s true it’s part of the definition of the power of 2<br /> </p></li> </ol> </div> @@ -769,684 +878,745 @@ y + x < 8 </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org980d3be" class="outline-2"> -<h2 id="org980d3be">2éme cours <i>Oct 2</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org980d3be"> +<div id="outline-container-org732b9dd" class="outline-2"> +<h2 id="org732b9dd">2éme cours <i>Oct 2</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org732b9dd"> </div> -<div id="outline-container-org22b148b" class="outline-3"> -<h3 id="org22b148b">Quantifiers</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org22b148b"> +<div id="outline-container-orgdfba00a" class="outline-3"> +<h3 id="orgdfba00a">Quantifiers</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgdfba00a"> <p> -A propriety P can depend on a parameter x +A propriety P can depend on a parameter x<br /> </p> <p> -∀ is the universal quantifier which stands for “For any value of…” +∀ is the universal quantifier which stands for “For any value of…”<br /> </p> <p> -∃ is the existential quantifier which stands for “There exists at least one…” +∃ is the existential quantifier which stands for “There exists at least one…”<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org4afa1df"></a>Example<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org4afa1df"> +<li><a id="org9a107f8"></a>Example<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org9a107f8"> <p> -P(x) : x+1≥0 +P(x) : x+1≥0<br /> </p> <p> -P(X) is True or False depending on the values of x +P(X) is True or False depending on the values of x<br /> </p> </div> </li> </ul> -<div id="outline-container-org8b437f3" class="outline-4"> -<h4 id="org8b437f3">Proprieties</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8b437f3"> +<div id="outline-container-org93d5891" class="outline-4"> +<h4 id="org93d5891">Proprieties</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org93d5891"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org6d0c06f"></a>Propriety Number 1:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org6d0c06f"> +<li><a id="orgcc6c2bd"></a>Propriety Number 1:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgcc6c2bd"> <p> -The negation of the universal quantifier is the existential quantifier, and vice-versa : +The negation of the universal quantifier is the existential quantifier, and vice-versa :<br /> </p> <ul class="org-ul"> -<li>not(∀x ∈ E , P(x)) ⇔ ∃ x ∈ E, not(P(x))</li> -<li>not(∃x ∈ E , P(x)) ⇔ ∀ x ∈ E, not(P(x))</li> +<li>not(∀x ∈ E , P(x)) ⇔ ∃ x ∈ E, not(P(x))<br /></li> +<li>not(∃x ∈ E , P(x)) ⇔ ∀ x ∈ E, not(P(x))<br /></li> </ul> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgd242e81"></a>Example:<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgd242e81"> +<li><a id="org4d384a3"></a>Example:<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org4d384a3"> <p> -∀ x ≥ 1 x² > 5 ⇔ ∃ x ≥ 1 x² < 5 +∀ x ≥ 1 x² > 5 ⇔ ∃ x ≥ 1 x² < 5<br /> </p> </div> </li> </ul> </li> -<li><a id="orgd7c2c1d"></a>Propriety Number 2:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd7c2c1d"> +<li><a id="org372a28e"></a>Propriety Number 2:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org372a28e"> <p> -<b>∀x ∈ E, [P(x) ∧ Q(x)] ⇔ [∀ x ∈ E, P(x)] ∧ [∀ x ∈ E, Q(x)]</b> +<b>∀x ∈ E, [P(x) ∧ Q(x)] ⇔ [∀ x ∈ E, P(x)] ∧ [∀ x ∈ E, Q(x)]</b><br /> </p> <p> -The propriety “For any value of x from a set E , P(x) and Q(x)” is equivalent to “For any value of x from a set E, P(x) AND for any value of x from a set E, Q(x)” +The propriety “For any value of x from a set E , P(x) and Q(x)” is equivalent to “For any value of x from a set E, P(x) AND for any value of x from a set E, Q(x)”<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org5cb6921"></a>Example :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org5cb6921"> +<li><a id="org7649498"></a>Example :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org7649498"> <p> -P(x) : sqrt(x) > 0 ; Q(x) : x ≥ 1 +P(x) : sqrt(x) > 0 ; Q(x) : x ≥ 1<br /> </p> <p> -∀x ∈ ℝ*+, [sqrt(x) > 0 , x ≥ 1] ⇔ [∀x ∈ R*+, sqrt(x) > 0] ∧ [∀x ∈ R*+, x ≥ 1] +∀x ∈ ℝ*+, [sqrt(x) > 0 , x ≥ 1] ⇔ [∀x ∈ R*+, sqrt(x) > 0] ∧ [∀x ∈ R*+, x ≥ 1]<br /> </p> <p> -<b>Which is true</b> +<b>Which is true</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </li> -<li><a id="orgd56cb14"></a>Propriety Number 3:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd56cb14"> +<li><a id="orgbccb33f"></a>Propriety Number 3:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgbccb33f"> <p> -<b>∃ x ∈ E, [P(x) ∧ Q(x)] <i>⇒</i> [∃ x ∈ E, P(x)] ∧ [∃ x ∈ E, Q(x)]</b> +<b>∃ x ∈ E, [P(x) ∧ Q(x)] <i>⇒</i> [∃ x ∈ E, P(x)] ∧ [∃ x ∈ E, Q(x)]</b><br /> </p> <p> -<i>Here its an implication and not an equivalence</i> +<i>Here its an implication and not an equivalence</i><br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org52c3098"></a>Example of why it’s NOT an equivalence :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org52c3098"> +<li><a id="orgf623821"></a>Example of why it’s NOT an equivalence :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgf623821"> <p> -P(x) : x > 5 ; Q(x) : x < 5 +P(x) : x > 5 ; Q(x) : x < 5<br /> </p> <p> -Of course there is no value of x such as its inferior and superior to 5 at the same time, so obviously the proposition is false. However, the two propositions separated are correct on their own, because there is a value of x such as its superior to 5, and there is also a value of x such as its inferior to 5. This is why it’s an implication and NOT AN EQUIVALENCE!!! +Of course there is no value of x such as its inferior and superior to 5 at the same time, so obviously the proposition is false. However, the two propositions separated are correct on their own, because there is a value of x such as its superior to 5, and there is also a value of x such as its inferior to 5. This is why it’s an implication and NOT AN EQUIVALENCE!!!<br /> </p> </div> </li> </ul> </li> -<li><a id="org9439534"></a>Propriety Number 4:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9439534"> +<li><a id="orgda152b2"></a>Propriety Number 4:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgda152b2"> <p> -<b>[∀ x ∈ E, P(x)] ∨ [∀ x ∈ E, Q(x)] <i>⇒</i> ∀x ∈ E, [P(x) ∨ Q(x)]</b> +<b>[∀ x ∈ E, P(x)] ∨ [∀ x ∈ E, Q(x)] <i>⇒</i> ∀x ∈ E, [P(x) ∨ Q(x)]</b><br /> </p> <p> -<i>Same here, implication and NOT en equivalence</i> +<i>Same here, implication and NOT en equivalence</i><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcb2ff75" class="outline-3"> -<h3 id="orgcb2ff75">Multi-parameter proprieties :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcb2ff75"> +<div id="outline-container-orgf21a239" class="outline-3"> +<h3 id="orgf21a239">Multi-parameter proprieties :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgf21a239"> <p> -A propriety P can depend on two or more parameters, for convenience we call them x,y,z…etc +A propriety P can depend on two or more parameters, for convenience we call them x,y,z…etc<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org309a152"></a>Example :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org309a152"> +<li><a id="orgdda5feb"></a>Example :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgdda5feb"> <p> -P(x,y): x+y > 0 +P(x,y): x+y > 0<br /> </p> <p> -P(0,1) is a True proposition +P(0,1) is a True proposition<br /> </p> <p> -P(-2,-1) is a False one +P(-2,-1) is a False one<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgfbf5cee"></a>WARNING :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgfbf5cee"> +<li><a id="org08d728b"></a>WARNING :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org08d728b"> <p> -∀x ∈ E, ∃y ∈ F , P(x,y) +∀x ∈ E, ∃y ∈ F , P(x,y)<br /> </p> <p> -∃y ∈ F, ∀x ∈ E , P(x,y) +∃y ∈ F, ∀x ∈ E , P(x,y)<br /> </p> <p> -Are different because in the first one y depends on x, while in the second one, it doesn’t +Are different because in the first one y depends on x, while in the second one, it doesn’t<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org21332e2"></a>Example :<br /> -<div class="outline-text-7" id="text-org21332e2"> +<li><a id="org78dcf22"></a>Example :<br /> +<div class="outline-text-7" id="text-org78dcf22"> <p> -∀ x ∈ ℕ , ∃ y ∈ ℕ y > x -–— True +∀ x ∈ ℕ , ∃ y ∈ ℕ y > x -–— True<br /> </p> <p> -∃ y ∈ ℕ , ∀ x ∈ ℕ y > x -–— False +∃ y ∈ ℕ , ∀ x ∈ ℕ y > x -–— False<br /> </p> </div> </li> </ul> </li> </ul> -<li><a id="org2fad1a6"></a>Proprieties :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org2fad1a6"> +<li><a id="org088c862"></a>Proprieties :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org088c862"> <ol class="org-ol"> -<li>not(∀x ∈ E ,∃y ∈ F P(x,y)) ⇔ ∃x ∈ E, ∀y ∈ F not(P(x,y))</li> -<li>not(∃x ∈ E ,∀y ∈ F P(x,y)) ⇔ ∀x ∈ E, ∃y ∈ F not(P(x,y))</li> +<li>not(∀x ∈ E ,∃y ∈ F P(x,y)) ⇔ ∃x ∈ E, ∀y ∈ F not(P(x,y))<br /></li> +<li>not(∃x ∈ E ,∀y ∈ F P(x,y)) ⇔ ∀x ∈ E, ∃y ∈ F not(P(x,y))<br /></li> </ol> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org405d91a" class="outline-3"> -<h3 id="org405d91a">Methods of mathematical reasoning :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org405d91a"> +<div id="outline-container-org779f917" class="outline-3"> +<h3 id="org779f917">Methods of mathematical reasoning :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org779f917"> </div> -<div id="outline-container-org0e2120a" class="outline-4"> -<h4 id="org0e2120a">Direct reasoning :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0e2120a"> +<div id="outline-container-orgc6832c3" class="outline-4"> +<h4 id="orgc6832c3">Direct reasoning :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc6832c3"> <p> -To show that an implication P ⇒ Q is true, we suppose that P is true and we show that Q is true +To show that an implication P ⇒ Q is true, we suppose that P is true and we show that Q is true<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orge655791"></a>Example:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orge655791"> +<li><a id="org8dbaab8"></a>Example:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8dbaab8"> <p> -Let a,b be two Real numbers, we have to prove that <b>a² + b² = 1 ⇒ |a + b| ≤ 2</b> +Let a,b be two Real numbers, we have to prove that <b>a² + b² = 1 ⇒ |a + b| ≤ 2</b><br /> </p> <p> -We suppose that a²+b² = 1 and we prove that |a + b| ≤ 2 +We suppose that a²+b² = 1 and we prove that |a + b| ≤ 2<br /> </p> <p> -a²+b²=1 ⇒ b² = 1 - a² ; a² = 1 - b² +a²+b²=1 ⇒ b² = 1 - a² ; a² = 1 - b²<br /> </p> <p> -a²+b²=1 ⇒ 1 - a² ≥ 0 ; 1 - b² ≥ 0 +a²+b²=1 ⇒ 1 - a² ≥ 0 ; 1 - b² ≥ 0<br /> </p> <p> -a²+b²=1 ⇒ a² ≤ 1 ; b² ≤ 1 +a²+b²=1 ⇒ a² ≤ 1 ; b² ≤ 1<br /> </p> <p> -a²+b²=1 ⇒ -1 ≤ a ≤ 1 ; -1 ≤ b ≤ 1 +a²+b²=1 ⇒ -1 ≤ a ≤ 1 ; -1 ≤ b ≤ 1<br /> </p> <p> -a²+b²=1 ⇒ -2 ≤ a + b ≤ 2 +a²+b²=1 ⇒ -2 ≤ a + b ≤ 2<br /> </p> <p> -a²+b²=1 ⇒ |a + b| ≤ 2 <b>Which is what we wanted to prove, therefor the implication is correct</b> +a²+b²=1 ⇒ |a + b| ≤ 2 <b>Which is what we wanted to prove, therefor the implication is correct</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org3318c18" class="outline-4"> -<h4 id="org3318c18">Reasoning by the Absurd:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3318c18"> +<div id="outline-container-orgf140b16" class="outline-4"> +<h4 id="orgf140b16">Reasoning by the Absurd:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf140b16"> <p> -To prove that a proposition is True, we suppose that it’s False and we must come to a contradiction +To prove that a proposition is True, we suppose that it’s False and we must come to a contradiction<br /> </p> <p> -And to prove that an implication P ⇒ Q is true using the reasoning by the absurd, we suppose that P ∧ not(Q) is true, and then we come to a contradiction as well +And to prove that an implication P ⇒ Q is true using the reasoning by the absurd, we suppose that P ∧ not(Q) is true, and then we come to a contradiction as well<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org6217ba8"></a>Example:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org6217ba8"> +<li><a id="org1fefbfb"></a>Example:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org1fefbfb"> <p> -Prove that this proposition is correct using the reasoning by the absurd : ∀x ∈ ℝ* , sqrt(1+x²) ≠ 1 + x²/2 +Prove that this proposition is correct using the reasoning by the absurd : ∀x ∈ ℝ* , sqrt(1+x²) ≠ 1 + x²/2<br /> </p> <p> -We assume that ∃ x ℝ* , sqrt(1+x²) = 1 + x²/2 +We assume that ∃ x ℝ* , sqrt(1+x²) = 1 + x²/2<br /> </p> <p> -sqrt(1+x²) = 1 + x²/2 ; 1 + x² = (1+x²/2)² ; 1 + x² = 1 + x^4/4 + x² ; x^(4)/4 = 0 … Which contradicts with our proposition, since x = 4 and we are working on the ℝ* set +sqrt(1+x²) = 1 + x²/2 ; 1 + x² = (1+x²/2)² ; 1 + x² = 1 + x^4/4 + x² ; x^(4)/4 = 0 … Which contradicts with our proposition, since x = 4 and we are working on the ℝ* set<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgdca4b33" class="outline-4"> -<h4 id="orgdca4b33">Reasoning by contraposition:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgdca4b33"> +<div id="outline-container-org320dc57" class="outline-4"> +<h4 id="org320dc57">Reasoning by contraposition:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org320dc57"> <p> -If an implication P ⇒ Q is too hard to prove, we just have to prove not(Q) ⇒ not(P) is true !!! or in other words that both not(P) and not(Q) are true +If an implication P ⇒ Q is too hard to prove, we just have to prove not(Q) ⇒ not(P) is true !!! or in other words that both not(P) and not(Q) are true<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org45373bc" class="outline-4"> -<h4 id="org45373bc">Reasoning by counter example:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org45373bc"> +<div id="outline-container-org27943b2" class="outline-4"> +<h4 id="org27943b2">Reasoning by counter example:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org27943b2"> <p> -To prove that a proposition ∀x ∈ E, P(x) is false, all we have to do is find a single value of x from E such as not(P(x)) is true +To prove that a proposition ∀x ∈ E, P(x) is false, all we have to do is find a single value of x from E such as not(P(x)) is true<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org1ab01d8" class="outline-2"> -<h2 id="org1ab01d8">3eme Cours : <i>Oct 9</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org1ab01d8"> +<div id="outline-container-orgfddd579" class="outline-2"> +<h2 id="orgfddd579">3eme Cours : <i>Oct 9</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgfddd579"> </div> -<div id="outline-container-orgc3cdd55" class="outline-4"> -<h4 id="orgc3cdd55">Reasoning by recurrence :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc3cdd55"> +<div id="outline-container-org21eab57" class="outline-4"> +<h4 id="org21eab57">Reasoning by recurrence :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org21eab57"> <p> -P is a propriety dependent of <b>n ∈ ℕ</b>. If for n0 ∈ ℕ P(n0) is true, and if for n ≥ n0 (P(n) ⇒ P(n+1)) is true. Then P(n) is true for n ≥ n0 +P is a propriety dependent of <b>n ∈ ℕ</b>. If for n0 ∈ ℕ P(n0) is true, and if for n ≥ n0 (P(n) ⇒ P(n+1)) is true. Then P(n) is true for n ≥ n0<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org74698a3"></a>Example:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org74698a3"> +<li><a id="org2a3aa46"></a>Example:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2a3aa46"> <p> -Let’s prove that ∀ n ≥ 1 , (n,k=1)Σk = [n(n+1)]/2 +Let’s prove that ∀ n ≥ 1 , (n,k=1)Σk = [n(n+1)]/2<br /> </p> <p> -P(n) : (n,k=1)Σk = [n(n+1)]/2 +P(n) : (n,k=1)Σk = [n(n+1)]/2<br /> </p> <p> -<b>Pour n = 1:</b> (1,k=1)Σk = 1 ; [n(n+1)]/2 = 1 . <b>So P(1) is true</b> +<b>Pour n = 1:</b> (1,k=1)Σk = 1 ; [n(n+1)]/2 = 1 . <b>So P(1) is true</b><br /> </p> <p> -For n ≥ 1. We assume that P(n) is true, OR : <b>(n, k=1)Σk = n(n+1)/2</b>. We now have to prove that P(n+1) is true, Or : <b>(n+1, k=1)Σk = (n+1)(n+2)/2</b> +For n ≥ 1. We assume that P(n) is true, OR : <b>(n, k=1)Σk = n(n+1)/2</b>. We now have to prove that P(n+1) is true, Or : <b>(n+1, k=1)Σk = (n+1)(n+2)/2</b><br /> </p> <p> -(n+1, k=1)Σk = 1 + 2 + …. + n + (n+1) ; (n+1, k=1)Σk = (n, k=1)Σk + (n+1) ; = n(n+1)/2 + (n+1) ; = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 ; = <b>[(n+2)(n+1)]/2</b> <i>WHICH IS WHAT WE NEEDED TO FIND</i> +(n+1, k=1)Σk = 1 + 2 + …. + n + (n+1) ; (n+1, k=1)Σk = (n, k=1)Σk + (n+1) ; = n(n+1)/2 + (n+1) ; = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 ; = <b>[(n+2)(n+1)]/2</b> <i>WHICH IS WHAT WE NEEDED TO FIND</i><br /> </p> <p> -<b>Conclusion: ∀n ≥ 1 , (n,k=1)Σk = n(n+1)/2</b> +<b>Conclusion: ∀n ≥ 1 , (n,k=1)Σk = n(n+1)/2</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org62bfe2a" class="outline-2"> -<h2 id="org62bfe2a">4eme Cours : Chapitre 2 : Sets and Operations</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org62bfe2a"> +<div id="outline-container-org155c9a9" class="outline-2"> +<h2 id="org155c9a9">4eme Cours : Chapitre 2 : Sets and Operations</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org155c9a9"> </div> -<div id="outline-container-org5c29bea" class="outline-3"> -<h3 id="org5c29bea">Definition of a set :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5c29bea"> +<div id="outline-container-org5bb0b39" class="outline-3"> +<h3 id="org5bb0b39">Definition of a set :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5bb0b39"> <p> -A set is a collection of objects that share the sane propriety +A set is a collection of objects that share the sane propriety<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org7f4934f" class="outline-3"> -<h3 id="org7f4934f">Belonging, inclusion, and equality :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org7f4934f"> +<div id="outline-container-org469078a" class="outline-3"> +<h3 id="org469078a">Belonging, inclusion, and equality :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org469078a"> <ol class="org-ol"> -<li>Let E be a set. If x is an element of E, we say that x belongs to E we write <b>x ∈ E</b>, and if it doesn’t, we write <b>x ∉ E</b></li> -<li>A set E is included in a set F if all elements of E are elements of F and we write <b>E ⊂ F ⇔ (∀x , x ∈ E ⇒ x ∈ F)</b>. We say that E is a subset of F, or a part of F. The negation of this propriety is : <b>E ⊄ F ⇔ ∃x , x ∈ E and x ⊄ F</b></li> -<li>E and F are equal if E is included in F and F is included in E, and we write <b>E = F ⇔ (E ⊂ F) et (F ⊂ E)</b></li> -<li>The empty set (symbolized by ∅) is a set without elements, and is included in all sets (by convention) : <b>∅ ⊂ E</b></li> +<li>Let E be a set. If x is an element of E, we say that x belongs to E we write <b>x ∈ E</b>, and if it doesn’t, we write <b>x ∉ E</b><br /></li> +<li>A set E is included in a set F if all elements of E are elements of F and we write <b>E ⊂ F ⇔ (∀x , x ∈ E ⇒ x ∈ F)</b>. We say that E is a subset of F, or a part of F. The negation of this propriety is : <b>E ⊄ F ⇔ ∃x , x ∈ E and x ⊄ F</b><br /></li> +<li>E and F are equal if E is included in F and F is included in E, and we write <b>E = F ⇔ (E ⊂ F) et (F ⊂ E)</b><br /></li> +<li>The empty set (symbolized by ∅) is a set without elements, and is included in all sets (by convention) : <b>∅ ⊂ E</b><br /></li> </ol> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd439312" class="outline-3"> -<h3 id="orgd439312">Intersections and reunions :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgd439312"> +<div id="outline-container-org1461e60" class="outline-3"> +<h3 id="org1461e60">Intersections and reunions :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1461e60"> </div> -<div id="outline-container-org2eaf0a6" class="outline-4"> -<h4 id="org2eaf0a6">Intersection:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2eaf0a6"> +<div id="outline-container-orgd9db499" class="outline-4"> +<h4 id="orgd9db499">Intersection:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd9db499"> <p> -E ∩ F = {x / x ∈ E AND x ∈ F} ; x ∈ E ∩ F ⇔ x ∈ F AND x ∈ F +E ∩ F = {x / x ∈ E AND x ∈ F} ; x ∈ E ∩ F ⇔ x ∈ F AND x ∈ F<br /> </p> <p> -x ∉ E ∩ F ⇔ x ∉ E OR x ∉ F +x ∉ E ∩ F ⇔ x ∉ E OR x ∉ F<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org8bfbedf" class="outline-4"> -<h4 id="org8bfbedf">Union:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8bfbedf"> +<div id="outline-container-org0946751" class="outline-4"> +<h4 id="org0946751">Union:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0946751"> <p> -E ∪ F = {x / x ∈ E OR x ∈ F} ; x ∈ E ∪ F ⇔ x ∈ F OR x ∈ F +E ∪ F = {x / x ∈ E OR x ∈ F} ; x ∈ E ∪ F ⇔ x ∈ F OR x ∈ F<br /> </p> <p> -x ∉ E ∪ F ⇔ x ∉ E AND x ∉ F +x ∉ E ∪ F ⇔ x ∉ E AND x ∉ F<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf5d7c25" class="outline-4"> -<h4 id="orgf5d7c25">Difference between two sets:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf5d7c25"> +<div id="outline-container-org8fb5e39" class="outline-4"> +<h4 id="org8fb5e39">Difference between two sets:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8fb5e39"> <p> -E\F(Which is also written as : E - F) = {x / x ∈ E and x ∉ F} +E(Which is also written as : E - F) = {x / x ∈ E and x ∉ F}<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org16f26ee" class="outline-4"> -<h4 id="org16f26ee">Complimentary set:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org16f26ee"> +<div id="outline-container-org17ec98b" class="outline-4"> +<h4 id="org17ec98b">Complimentary set:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org17ec98b"> <p> -If F ⊂ E. E - F is the complimentary of F in E. +If F ⊂ E. E - F is the complimentary of F in E.<br /> </p> <p> -FCE = {x /x ∈ E AND x ∉ F} <b>ONLY WHEN F IS A SUBSET OF E</b> +FCE = {x /x ∈ E AND x ∉ F} <b>ONLY WHEN F IS A SUBSET OF E</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org67da9c0" class="outline-4"> -<h4 id="org67da9c0">Symentrical difference</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org67da9c0"> +<div id="outline-container-org61d7d25" class="outline-4"> +<h4 id="org61d7d25">Symentrical difference</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org61d7d25"> <p> -E Δ F = (E - F) ∪ (F - E) ; = (E ∪ F) - (E ∩ F) +E Δ F = (E - F) ∪ (F - E) ; = (E ∪ F) - (E ∩ F)<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org10858f6" class="outline-3"> -<h3 id="org10858f6">Proprieties :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org10858f6"> +<div id="outline-container-org1e0c21a" class="outline-3"> +<h3 id="org1e0c21a">Proprieties :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1e0c21a"> <p> -Let E,F and G be 3 sets. We have : +Let E,F and G be 3 sets. We have :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgdeeff37" class="outline-4"> -<h4 id="orgdeeff37">Commutativity:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgdeeff37"> +<div id="outline-container-orgaed74b7" class="outline-4"> +<h4 id="orgaed74b7">Commutativity:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgaed74b7"> <p> -E ∩ F = F ∩ E -E ∪ F = F ∪ E +E ∩ F = F ∩ E<br /> +E ∪ F = F ∪ E<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org6228f00" class="outline-4"> -<h4 id="org6228f00">Associativity:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org6228f00"> +<div id="outline-container-org1d74822" class="outline-4"> +<h4 id="org1d74822">Associativity:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org1d74822"> <p> -E ∩ (F ∩ G) = (E ∩ F) ∩ G -E ∪ (F ∪ G) = (E ∪ F) ∪ G +E ∩ (F ∩ G) = (E ∩ F) ∩ G<br /> +E ∪ (F ∪ G) = (E ∪ F) ∪ G<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org2523e0e" class="outline-4"> -<h4 id="org2523e0e">Distributivity:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2523e0e"> +<div id="outline-container-org667f4dd" class="outline-4"> +<h4 id="org667f4dd">Distributivity:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org667f4dd"> <p> -E ∩ (F ∪ G) = (E ∩ F) ∪ (E ∩ G) -E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G) +E ∩ (F ∪ G) = (E ∩ F) ∪ (E ∩ G)<br /> +E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F) ∩ (E ∪ G)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgeb0c0a3" class="outline-4"> -<h4 id="orgeb0c0a3">Lois de Morgan:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgeb0c0a3"> +<div id="outline-container-org31c4f57" class="outline-4"> +<h4 id="org31c4f57">Lois de Morgan:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org31c4f57"> <p> -If E ⊂ G and F ⊂ G ; +If E ⊂ G and F ⊂ G ;<br /> </p> <p> -(E ∩ F)CG = ECG ∪ FCG ; (E ∪ F)CG = ECG ∩ FCG +(E ∩ F)CG = ECG ∪ FCG ; (E ∪ F)CG = ECG ∩ FCG<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge638501" class="outline-4"> -<h4 id="orge638501">An other one:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge638501"> +<div id="outline-container-orgc30ba1d" class="outline-4"> +<h4 id="orgc30ba1d">An other one:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc30ba1d"> <p> -E - (F ∩ G) = (E-F) ∪ (E-G) ; E - (F ∪ G) = (E-F) ∩ (E-G) +E - (F ∩ G) = (E-F) ∪ (E-G) ; E - (F ∪ G) = (E-F) ∩ (E-G)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfe0b562" class="outline-4"> -<h4 id="orgfe0b562">An other one:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfe0b562"> +<div id="outline-container-orgac52c86" class="outline-4"> +<h4 id="orgac52c86">An other one:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgac52c86"> <p> -E ∩ ∅ = ∅ ; E ∪ ∅ = E +E ∩ ∅ = ∅ ; E ∪ ∅ = E<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org48afea2" class="outline-4"> -<h4 id="org48afea2">And an other one:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org48afea2"> +<div id="outline-container-orge0de23e" class="outline-4"> +<h4 id="orge0de23e">And an other one:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge0de23e"> <p> -E ∩ (F Δ G) = (E ∩ F) Δ (E ∩ G) +E ∩ (F Δ G) = (E ∩ F) Δ (E ∩ G)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1138be8" class="outline-4"> -<h4 id="org1138be8">And the last one:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1138be8"> +<div id="outline-container-org8277b0b" class="outline-4"> +<h4 id="org8277b0b">And the last one:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8277b0b"> <p> -E Δ ∅ = E ; E Δ E = ∅ +E Δ ∅ = E ; E Δ E = ∅<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf188863" class="outline-2"> -<h2 id="orgf188863">5eme cours: L’ensemble des parties d’un ensemble <i>Oct 16</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgf188863"> +<div id="outline-container-orgeb2675e" class="outline-2"> +<h2 id="orgeb2675e">5eme cours: L’ensemble des parties d’un ensemble <i>Oct 16</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgeb2675e"> <p> -Let E be a set. We define P(E) as the set of all parts of E : <b>P(E) = {X/X ⊂ E}</b> +Let E be a set. We define P(E) as the set of all parts of E : <b>P(E) = {X/X ⊂ E}</b><br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org6cfe0d7" class="outline-4"> -<h4 id="org6cfe0d7">Notes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org6cfe0d7"> +<div id="outline-container-org2c7d514" class="outline-4"> +<h4 id="org2c7d514">Notes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2c7d514"> <p> -∅ ∈ P(E) ; E ∈ P(E) +∅ ∈ P(E) ; E ∈ P(E)<br /> </p> <p> -cardinal E = n <i>The number of terms in E</i> , cardinal P(E) = 2^n <i>The number of all parts of E</i> +cardinal E = n <i>The number of terms in E</i> , cardinal P(E) = 2^n <i>The number of all parts of E</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd0b341d" class="outline-4"> -<h4 id="orgd0b341d">Examples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd0b341d"> +<div id="outline-container-org76da8f4" class="outline-4"> +<h4 id="org76da8f4">Examples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org76da8f4"> <p> -E = {a,b,c} // P(E)={∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}} +E = {a,b,c} ; P(E)={∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}}<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org7ec7b74" class="outline-3"> -<h3 id="org7ec7b74">Partition of a set :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org7ec7b74"> +<div id="outline-container-org3da3de1" class="outline-3"> +<h3 id="org3da3de1">Partition of a set :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3da3de1"> <p> -We say that <b>A</b> is a partition of E if: +We say that <b>A</b> is a partition of E if:<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>∀ x ∈ A , x ≠ 0</li> -<li>All the elements of <b>A</b> are two by two disjoint. Or in other terms, there should not be two elements that intersects with each other.</li> -<li>The reunion of all elements of <b>A</b> is equal to E</li> +<li>∀ x ∈ A , x ≠ 0<br /></li> +<li>All the elements of <b>A</b> are two by two disjoint. Or in other terms, there should not be two elements that intersects with each other.<br /></li> +<li>The reunion of all elements of <b>A</b> is equal to E<br /></li> </ol> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc0fd081" class="outline-3"> -<h3 id="orgc0fd081">Cartesian products :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgc0fd081"> +<div id="outline-container-org077b994" class="outline-3"> +<h3 id="org077b994">Cartesian products :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org077b994"> <p> -Let E and F be two sets, the set EXF = {(x,y)/ x ∈ E AND y ∈ F} is called the Cartesian product of E and F +Let E and F be two sets, the set EXF = {(x,y)/ x ∈ E AND y ∈ F} is called the Cartesian product of E and F<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org4b0f328" class="outline-4"> -<h4 id="org4b0f328">Example :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4b0f328"> +<div id="outline-container-org72822f5" class="outline-4"> +<h4 id="org72822f5">Example :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org72822f5"> <p> -A = {4,5} ; B= {4,5,6} // AxB = {(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6)} +A = {4,5} ; B= {4,5,6} ; AxB = {(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6)}<br /> </p> <p> -BxA = {(4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (6,4), (6,5)} // Therefore AxB ≠ BxA +BxA = {(4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (6,4), (6,5)} ; Therefore AxB ≠ BxA<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc924520" class="outline-4"> -<h4 id="orgc924520">Some proprieties:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc924520"> +<div id="outline-container-org04e1be3" class="outline-4"> +<h4 id="org04e1be3">Some proprieties:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org04e1be3"> <ol class="org-ol"> -<li>ExF = ∅ ⇔ E=∅ OR F=∅</li> -<li>ExF = FxE ⇔ E=F OR E=∅ OR F=∅</li> -<li>E x (F∪G) = (ExF) ∪ (ExG)</li> -<li>(E∪F) x G = (ExG) ∪ (FxG)</li> -<li>(E∪F) ∩ (GxH) = (E ∩ G) x (F ∩ H)</li> -<li>Generally speaking : (ExF) ∪ (GxH) ≠ (E∪G) x (F∪H)</li> +<li>ExF = ∅ ⇔ E=∅ OR F=∅<br /></li> +<li>ExF = FxE ⇔ E=F OR E=∅ OR F=∅<br /></li> +<li>E x (F∪G) = (ExF) ∪ (ExG)<br /></li> +<li>(E∪F) x G = (ExG) ∪ (FxG)<br /></li> +<li>(E∪F) ∩ (GxH) = (E ∩ G) x (F ∩ H)<br /></li> +<li>Generally speaking : (ExF) ∪ (GxH) ≠ (E∪G) x (F∪H)<br /></li> </ol> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org8f809af" class="outline-2"> -<h2 id="org8f809af">Binary relations in a set :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org8f809af"> +<div id="outline-container-org416c1e1" class="outline-2"> +<h2 id="org416c1e1">Binary relations in a set :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org416c1e1"> </div> -<div id="outline-container-orgeb6cba6" class="outline-3"> -<h3 id="orgeb6cba6">Definition :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgeb6cba6"> +<div id="outline-container-org5ea795f" class="outline-3"> +<h3 id="org5ea795f">Definition :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5ea795f"> <p> -Let E be a set and x,y ∈ E. If there exists a link between x and y, we say that they are tied by a relation <b>R</b> and we write <b>xRy</b> +Let E be a set and x,y ∈ E. If there exists a link between x and y, we say that they are tied by a relation <b>R</b> and we write <b>xRy</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1696189" class="outline-3"> -<h3 id="org1696189">Proprieties :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1696189"> +<div id="outline-container-orgb9d678f" class="outline-3"> +<h3 id="orgb9d678f">Proprieties :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb9d678f"> <p> -Let E be a set and R a relation defined in E +Let E be a set and R a relation defined in E<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>We say that R is reflexive if ∀ x ∈ E, xRx (for any element x in E,x is related to itself)</li> -<li>We say that R is symmetrical if ∀ x,y ∈ E , xRy ⇒ yRx</li> -<li>We say that R is transitive if ∀ x,y,z ∈ E (xRy , yRz) ⇒ xRz</li> -<li>We say that R is anti-symmetrical if ∀ x,y ∈ E xRy AND yRx ⇒ x = y</li> +<li>We say that R is reflexive if ∀ x ∈ E, xRx (for any element x in E,x is related to itself)<br /></li> +<li>We say that R is symmetrical if ∀ x,y ∈ E , xRy ⇒ yRx<br /></li> +<li>We say that R is transitive if ∀ x,y,z ∈ E (xRy , yRz) ⇒ xRz<br /></li> +<li>We say that R is anti-symmetrical if ∀ x,y ∈ E xRy AND yRx ⇒ x = y<br /></li> </ol> </div> </div> -<div id="outline-container-org38c5183" class="outline-3"> -<h3 id="org38c5183">Equivalence relationship :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org38c5183"> +<div id="outline-container-org6df8952" class="outline-3"> +<h3 id="org6df8952">Equivalence relationship :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org6df8952"> <p> -We say that R is a relation of equivalence in E if its reflexive, symetrical and transitive +We say that R is a relation of equivalence in E if its reflexive, symetrical and transitive<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org110e6fa" class="outline-4"> -<h4 id="org110e6fa">Equivalence class :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org110e6fa"> +<div id="outline-container-orgfbd9232" class="outline-4"> +<h4 id="orgfbd9232">Equivalence class :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfbd9232"> <p> -Let R be a relation of equivalence in E and a ∈ E, we call equivalence class of <b>a</b>, and we write ̅a or ȧ, or cl a the following set : +Let R be a relation of equivalence in E and a ∈ E, we call equivalence class of <b>a</b>, and we write ̅a or ȧ, or cl a the following set :<br /> </p> <p> -<b>a̅ = {y ∈ E/ y R a}</b> +<b>a̅ = {y ∈ E/ y R a}</b><br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org20e3b3b"></a>The quotient set :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org20e3b3b"> +<li><a id="org1572848"></a>The quotient set :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org1572848"> <p> -E/R = {̅a , a ∈ E} +E/R = {̅a , a ∈ E}<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org25fec1b" class="outline-3"> -<h3 id="org25fec1b">Order relationship :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org25fec1b"> +<div id="outline-container-org9a36dc1" class="outline-3"> +<h3 id="org9a36dc1">Order relationship :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9a36dc1"> <p> -Let E be a set and R be a relation defined in E. We say that R is a relation of order if its reflexive, anti-symetrical and transitive. +Let E be a set and R be a relation defined in E. We say that R is a relation of order if its reflexive, anti-symetrical and transitive.<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>The order R is called total if ∀ x,y ∈ E xRy OR yRx</li> -<li>The order R is called partial if ∃ x,y ∈ E xR̅y AND yR̅x</li> +<li>The order R is called total if ∀ x,y ∈ E xRy OR yRx<br /></li> +<li>The order R is called partial if ∃ x,y ∈ E xR̅y AND yR̅x<br /></li> </ol> </div> -<div id="outline-container-orgc094acc" class="outline-4"> -<h4 id="orgc094acc"><span class="todo TODO">TODO</span> Examples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc094acc"> +<div id="outline-container-orgb496cba" class="outline-4"> +<h4 id="orgb496cba"><span class="todo TODO">TODO</span> Examples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb496cba"> <p> -∀x,y ∈ ℝ , xRy ⇔ x²-y²=x-y +∀x,y ∈ ℝ , xRy ⇔ x²-y²=x-y<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>Prove that R is an equivalence relation</li> -<li>Let a ∈ ℝ, find ̅a</li> +<li>Prove that R is an equivalence relation<br /></li> +<li>Let a ∈ ℝ, find ̅a<br /></li> </ol> </div> </div> </div> </div> +<div id="outline-container-org54d5489" class="outline-2"> +<h2 id="org54d5489">TP exercices <i>Oct 20</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org54d5489"> +</div> +<div id="outline-container-orgdfd55ca" class="outline-3"> +<h3 id="orgdfd55ca">Exercice 3 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgdfd55ca"> +</div> +<div id="outline-container-org4100fe3" class="outline-4"> +<h4 id="org4100fe3">Question 3</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4100fe3"> +<p> +Montrer par l’absurde que P : ∀x ∈ ℝ*, √(4+x³) ≠ 2 + x³/4 est vraies<br /> +</p> + +<p class="verse"> +On suppose que ∃ x ∈ ℝ* , √(4+x³) = 2 + x³/4<br /> +4+x³ = (2 + x³/4)²<br /> +4+x³ = 4 + x⁶/16 + 4*(x³/4)<br /> +4+x³ = 4 + x⁶/16 + x³<br /> +x⁶/16 = 0<br /> +x⁶ = 0<br /> +x = 0 . Or, x appartiens a ℝ\{0}, donc P̅ est fausse. Ce qui est equivalent a dire que P est vraie<br /> +</p> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org019b5e0" class="outline-3"> +<h3 id="org019b5e0">Exercice 4 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org019b5e0"> +</div> +<div id="outline-container-org2ae1181" class="outline-4"> +<h4 id="org2ae1181"><span class="done DONE">DONE</span> Question 1 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2ae1181"> +<p class="verse"> +∀ n ∈ ℕ* , (n ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/1+n<br /> +P(n) : (n ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/1+n<br /> +1. <b>On vérifie P(n) pour n = 1</b><br /> +(1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1/1(1+1)<br /> +                  = 1/2 — (1)<br /> +1 - 1/1+1 = 1 - 1/2<br /> +                  = 1/2 — (2)<br /> +De (1) et (2), P(0) est vraie -— (a)<br /> +<br /> +2. <b>On suppose que P(n) est vraie pour n ≥ n1 puis on vérifie pour n+1</b><br /> +(n ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/1+n<br /> +(n ,k=1)Σ1/k(k+1) + 1/(n+1)(n+2) = 1 - (1/(1+n)) + 1/(n+1)(n+2)<br /> +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/(n+1) + 1/[(n+1)(n+2)]<br /> +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 + 1/[(n+1)(n+2)] - (n+2)/[(n+1)(n+2)]<br /> +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 + [1-(n+2)]/[(n+1)(n+2)]<br /> +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 + [-n-1]/[(n+1)(n+2)]<br /> +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - [n+1]/[(n+1)(n+2)]<br /> +(n+1 ,k=1)Σ1/k(k+1) = 1 - 1/(n+1+1) <b>CQFD</b><br /> +<br /> +Donc P(n+1) est vraie. -— (b)<br /> +De (a) et (b) on conclus que la proposition de départ est vraie<br /> +</p> +</div> +</div> +</div> +</div> </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-10-17 Tue 22:32</p> +<p class="date">Created: 2023-10-20 Fri 15:12</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file diff --git a/uni_notes/alsd.html b/uni_notes/alsd.html index 9b0fa1c..e064d19 100755 --- a/uni_notes/alsd.html +++ b/uni_notes/alsd.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-10-01 Sun 20:23 --> +<!-- 2023-10-20 Fri 14:44 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>ALSD1</title> @@ -13,62 +13,86 @@ <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> </head> <body> -<div id="content" class="content"> +<div id="org-div-home-and-up"> + <a accesskey="h" href="../../../uni_notes/"> UP </a> + | + <a accesskey="H" href="https://crystal.tilde.institute/"> HOME </a> +</div><div id="content" class="content"> <h1 class="title">ALSD1</h1> - -<div id="outline-container-org2b6a11d" class="outline-2"> -<h2 id="org2b6a11d">Contenu de la Matiére</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org2b6a11d"> -</div> -<div id="outline-container-org5340dec" class="outline-3"> -<h3 id="org5340dec">Chapitre 1: Elements de Base</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5340dec"> +<div id="table-of-contents" role="doc-toc"> +<h2>Table of Contents</h2> +<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc"> +<ul> +<li><a href="#org0813399">Contenu de la Matiére</a> +<ul> +<li><a href="#org314cf62">Chapitre 1: Elements de Base</a></li> +<li><a href="#org525fe65">Chapitre 2: Présentation du formalisme Algorithmique</a></li> +<li><a href="#org9ccdecf">Chapitre 3: Eléments de base du language C</a></li> +<li><a href="#org3ea3cf5">Chapitre 4: Modularité( Fonction et Procédure )</a></li> +<li><a href="#org5639f5d">Chapitre 5: Les structures des données statiques</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org861879b">Premier cours : Algorithmes <i>Oct 1</i> :</a> +<ul> +<li><a href="#org7e04a6b">Définition d’un algorithm :</a> +<ul> +<li><a href="#org0f022aa">Example d’un Algo : Résolution d’une équation du second ordre (ax²+bx+c=0)</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org0813399" class="outline-2"> +<h2 id="org0813399">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org0813399"> +</div> +<div id="outline-container-org314cf62" class="outline-3"> +<h3 id="org314cf62">Chapitre 1: Elements de Base</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org314cf62"> <ul class="org-ul"> -<li>Algorithmique, procésseur, action.</li> -<li>Programme et languages de programmation.</li> -<li>Analyse des problémes.</li> +<li>Algorithmique, procésseur, action.<br /></li> +<li>Programme et languages de programmation.<br /></li> +<li>Analyse des problémes.<br /></li> </ul> </div> </div> - -<div id="outline-container-org92c03d8" class="outline-3"> -<h3 id="org92c03d8">Chapitre 2: Présentation du formalisme Algorithmique</h3> +<div id="outline-container-org525fe65" class="outline-3"> +<h3 id="org525fe65">Chapitre 2: Présentation du formalisme Algorithmique</h3> </div> -<div id="outline-container-orgde3a680" class="outline-3"> -<h3 id="orgde3a680">Chapitre 3: Eléments de base du language C</h3> +<div id="outline-container-org9ccdecf" class="outline-3"> +<h3 id="org9ccdecf">Chapitre 3: Eléments de base du language C</h3> </div> -<div id="outline-container-org4eb24e1" class="outline-3"> -<h3 id="org4eb24e1">Chapitre 4: Modularité( Fonction et Procédure )</h3> +<div id="outline-container-org3ea3cf5" class="outline-3"> +<h3 id="org3ea3cf5">Chapitre 4: Modularité( Fonction et Procédure )</h3> </div> -<div id="outline-container-org6a31b85" class="outline-3"> -<h3 id="org6a31b85">Chapitre 5: Les structures des données statiques</h3> +<div id="outline-container-org5639f5d" class="outline-3"> +<h3 id="org5639f5d">Chapitre 5: Les structures des données statiques</h3> </div> </div> - - -<div id="outline-container-org7ccc87b" class="outline-2"> -<h2 id="org7ccc87b">Premier cours : Algorithmes <i>Oct 1</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org7ccc87b"> +<div id="outline-container-org861879b" class="outline-2"> +<h2 id="org861879b">Premier cours : Algorithmes <i>Oct 1</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org861879b"> </div> -<div id="outline-container-orge430c1a" class="outline-3"> -<h3 id="orge430c1a">Définition d’un algorithm :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orge430c1a"> +<div id="outline-container-org7e04a6b" class="outline-3"> +<h3 id="org7e04a6b">Définition d’un algorithm :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org7e04a6b"> <p> -Un ensemble d’opérations ecrites dans le language naturel. +Un ensemble d’opérations ecrites dans le language naturel.<br /> </p> </div> - -<div id="outline-container-orgbaecdfc" class="outline-4"> -<h4 id="orgbaecdfc">Example d’un Algo : Résolution d’une équation du second ordre (ax²+bx+c=0)</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbaecdfc"> +<div id="outline-container-org0f022aa" class="outline-4"> +<h4 id="org0f022aa">Example d’un Algo : Résolution d’une équation du second ordre (ax²+bx+c=0)</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0f022aa"> <ol class="org-ol"> -<li>Si a=0 ET b=0 alors <b>l’équation n’est pas du 2nd ordre</b>.</li> -<li>Si a=0 et b≠0 alors <b>x= -c/5</b> .</li> -<li>Si a≠0 alors <b>calculer Δ= b²-4ac</b> : +<li>Si a=0 ET b=0 alors <b>l’équation n’est pas du 2nd ordre</b>.<br /></li> +<li>Si a=0 et b≠0 alors <b>x= -c/5</b> .<br /></li> +<li>Si a≠0 alors <b>calculer Δ= b²-4ac</b> :<br /> <ol class="org-ol"> -<li>Si Δ=0 alors <b>x=-b/2a</b>.</li> -<li>Si Δ<0 alors <b>l’équation n’as pas de solution</b>.</li> -<li>Si Δ>0 alors <b>x=[-b±sqrt(Δ)]/2a</b></li> +<li>Si Δ=0 alors <b>x=-b/2a</b>.<br /></li> +<li>Si Δ<0 alors <b>l’équation n’as pas de solution</b>.<br /></li> +<li>Si Δ>0 alors <b>x=[-b±sqrt(Δ)]/2a</b><br /></li> </ol></li> </ol> </div> @@ -78,7 +102,7 @@ Un ensemble d’opérations ecrites dans le language naturel. </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-10-01 Sun 20:23</p> +<p class="date">Created: 2023-10-20 Fri 14:44</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index 158fb05..6ee822b 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-10-18 Wed 20:20 --> +<!-- 2023-10-20 Fri 14:43 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>Analyse 1</title> @@ -13,1225 +13,1384 @@ <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> </head> <body> -<div id="content" class="content"> +<div id="org-div-home-and-up"> + <a accesskey="h" href="../../../uni_notes/"> UP </a> + | + <a accesskey="H" href="https://crystal.tilde.institute/"> HOME </a> +</div><div id="content" class="content"> <h1 class="title">Analyse 1</h1> -<div id="outline-container-orge183e28" class="outline-2"> -<h2 id="orge183e28">Contenu de la Matiére</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orge183e28"> +<div id="table-of-contents" role="doc-toc"> +<h2>Table of Contents</h2> +<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc"> +<ul> +<li><a href="#orgbbf695d">Contenu de la Matiére</a> +<ul> +<li><a href="#orgfb1fb3c">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> +<li><a href="#org0ead48d">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> +<li><a href="#orgcf68cd8">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> +<li><a href="#org977c86a">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> +<li><a href="#org5338719">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org7b52577">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> +<ul> +<li><a href="#org03a96e2">La loi de composition interne dans E :</a> +<ul> +<li><a href="#org31d808e"><b>Example : Addition</b></a></li> +<li><a href="#orge9c2b76"><b>Example : soustraction</b></a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org1300309">La loi de composition externe dans E :</a></li> +<li><a href="#org1e58f4a">Groupes :</a> +<ul> +<li><a href="#org48addf8">Il contiens un élement neutre</a></li> +<li><a href="#org992635c">Il contiens un élément symétrique</a></li> +<li><a href="#org5785863">@ est cummutative :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org4e02115">Anneaux :</a> +<ul> +<li><a href="#org7b49b18">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> +<li><a href="#org9233885">! est une loi associative :</a></li> +<li><a href="#orgcd9cf0e">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> +<li><a href="#org23fc487">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> +<li><a href="#orge37cd6b">! est cummutative :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org02e686e">Corps :</a> +<ul> +<li><a href="#org83ed39f">La symétrie :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org9ad193d">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> +<ul> +<li><a href="#org782386d">Est-ce un Anneau ?</a></li> +<li><a href="#org6a25e48">Est-ce un corps ?</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org35d42a7">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> +<ul> +<li><a href="#org2bb031b">L’ordre dans ℝ</a> +<ul> +<li><a href="#org3a56f16">Exemples :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org3f6e272">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> +<ul> +<li><a href="#orgd342339">Majorant:</a></li> +<li><a href="#orgd881ae1">Minorant:</a></li> +<li><a href="#orgc83a99b">Borne supérieure:</a></li> +<li><a href="#orgbcc0d6a">Borne inférieure:</a></li> +<li><a href="#org2a83472">Maximum :</a></li> +<li><a href="#orge89d5ca">Minimum :</a></li> +<li><a href="#orgfde2451">Remarques :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org765f929">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> +<ul> +<li> +<ul> +<li><a href="#org68fffe8">Définition :</a></li> +<li><a href="#org47655c4">Définition N°2 :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org4866a4e">Opérations sur les suites :</a> +<ul> +<li><a href="#org71fa659">La somme :</a></li> +<li><a href="#orgb650686">Le produit :</a></li> +<li><a href="#org95147d2">Inverse d’une suite :</a></li> +<li><a href="#org47c3d7b">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org6f19e22">Suite bornée :</a></li> +<li><a href="#org2d45f23">Suite majorée :</a></li> +<li><a href="#org238c341">Suite minorée :</a></li> +<li><a href="#org161b254">Suites monotones :</a> +<ul> +<li><a href="#org6ea1478">Les suites croissantes :</a></li> +<li><a href="#org4d4a6c4">Les suites décroissantes :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgf49f5ce">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> +<ul> +<li><a href="#org9041b8f">Exo 1 :</a> +<ul> +<li><a href="#orgd05f78f">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#orga53cc3b">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#org3953e45">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#org5bd662a">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#org71f85cb">Ensemble E :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org5e55c46">Exo 2 :</a> +<ul> +<li><a href="#orgc6ae1c9">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#orgf7eccb2">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#orgbeddb63">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#org05e5cc7">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#org011ad53">Ensemble E :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org9c6a60f">Exo 3 :</a> +<ul> +<li><a href="#org687519a">Question 1 :</a></li> +<li><a href="#orge87653b">Question 2 :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org45e02ab">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> +<ul> +<li><a href="#org13b3871">Les suites convergentes</a> +<ul> +<li><a href="#orgf27c188">Remarque :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org0901f91">Theoreme d’encadrement</a></li> +<li><a href="#org60b983d">Suites arithmetiques</a> +<ul> +<li><a href="#org34e4fd2">Forme general</a></li> +<li><a href="#org2635231">Somme des n premiers termes</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgb0193c4">Suites géométriques</a> +<ul> +<li><a href="#org25b609d">Forme general</a></li> +<li><a href="#orgd6e52f8">Somme des n premiers termes</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org6be44bf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> +<ul> +<li><a href="#orgb8e4b97">Suites adjacentes:</a></li> +<li><a href="#org113db27">Suites extraites (sous-suites):</a> +<ul> +<li><a href="#org498c349">Remarques:</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgbac81d6">Suites de Cauchy:</a> +<ul> +<li><a href="#org9e7596a">Remarque :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgf3c9f3b">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgbbf695d" class="outline-2"> +<h2 id="orgbbf695d">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgbbf695d"> </div> -<div id="outline-container-org75fdd62" class="outline-3"> -<h3 id="org75fdd62">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org75fdd62"> +<div id="outline-container-orgfb1fb3c" class="outline-3"> +<h3 id="orgfb1fb3c">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgfb1fb3c"> <ul class="org-ul"> -<li>Structure algébrique de ℝ</li> -<li>L’ordre dans ℝ</li> -<li>Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure</li> +<li>Structure algébrique de ℝ<br /></li> +<li>L’ordre dans ℝ<br /></li> +<li>Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcf244f5" class="outline-3"> -<h3 id="orgcf244f5">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcf244f5"> +<div id="outline-container-org0ead48d" class="outline-3"> +<h3 id="org0ead48d">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org0ead48d"> <ul class="org-ul"> -<li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes</li> -<li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies</li> -<li>Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes</li> +<li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li> +<li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li> +<li>Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org3a6e95a" class="outline-3"> -<h3 id="org3a6e95a">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3a6e95a"> +<div id="outline-container-orgcf68cd8" class="outline-3"> +<h3 id="orgcf68cd8">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcf68cd8"> <ul class="org-ul"> -<li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées</li> -<li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux</li> -<li>La continuité informe les fonctions Lepchitziennes</li> +<li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li> +<li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li> +<li>La continuité informe les fonctions Lepchitziennes<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org62905ef" class="outline-3"> -<h3 id="org62905ef">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org62905ef"> +<div id="outline-container-org977c86a" class="outline-3"> +<h3 id="org977c86a">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org977c86a"> <ul class="org-ul"> -<li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor</li> +<li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org179b9bd" class="outline-3"> -<h3 id="org179b9bd">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org179b9bd"> +<div id="outline-container-org5338719" class="outline-3"> +<h3 id="org5338719">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5338719"> <ul class="org-ul"> -<li>Comparaison asymptotique</li> -<li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes</li> -<li>Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L</li> -<li>Généralisations des D.L</li> -<li>Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies</li> +<li>Comparaison asymptotique<br /></li> +<li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li> +<li>Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L<br /></li> +<li>Généralisations des D.L<br /></li> +<li>Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies<br /></li> </ul> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org06afb93" class="outline-2"> -<h2 id="org06afb93">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org06afb93"> +<div id="outline-container-org7b52577" class="outline-2"> +<h2 id="org7b52577">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org7b52577"> </div> -<div id="outline-container-org83efa3f" class="outline-3"> -<h3 id="org83efa3f">La loi de composition interne dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org83efa3f"> +<div id="outline-container-org03a96e2" class="outline-3"> +<h3 id="org03a96e2">La loi de composition interne dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org03a96e2"> <p> -@ : E x E —> E - (x,y) —> x @ y +@ : E x E —> E<br /> + (x,y) —> x @ y<br /> </p> <p> -@ est une lois de composition interne seulement si : +@ est une lois de composition interne seulement si :<br /> </p> <p> -<b>∀ x,y ε E</b> +<b>∀ x,y ε E</b><br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org34e1589" class="outline-4"> -<h4 id="org34e1589"><b>Example : Addition</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org34e1589"> +<div id="outline-container-org31d808e" class="outline-4"> +<h4 id="org31d808e"><b>Example : Addition</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org31d808e"> <p> -Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ? +Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br /> </p> <p> -ℕ x ℕ —> ℕ +ℕ x ℕ —> ℕ<br /> </p> <p> -(x,y) —> x + y ? <i>En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne <b>n’importe quel</b> chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ</i> +(x,y) —> x + y ? <i>En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne <b>n’importe quel</b> chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ</i><br /> </p> <p> -∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ <i>En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ</i> +∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ <i>En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ</i><br /> </p> <p> -Donc : + est L.C.I dans ℕ +Donc : + est L.C.I dans ℕ<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orga5170c1" class="outline-4"> -<h4 id="orga5170c1"><b>Example : soustraction</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga5170c1"> +<div id="outline-container-orge9c2b76" class="outline-4"> +<h4 id="orge9c2b76"><b>Example : soustraction</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge9c2b76"> <p> -Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ? +Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </p> <p> -ℕ x ℕ —> ℕ +ℕ x ℕ —> ℕ<br /> </p> <p> -(x,y) —> x - y ? +(x,y) —> x - y ?<br /> </p> <p> -∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ <i>En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est <b>PAS</b> dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ</i> +∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ <i>En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est <b>PAS</b> dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ</i><br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbb8eb3a" class="outline-3"> -<h3 id="orgbb8eb3a">La loi de composition externe dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbb8eb3a"> +<div id="outline-container-org1300309" class="outline-3"> +<h3 id="org1300309">La loi de composition externe dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1300309"> <p> -@ est L.C.E dans E, K est un corps +@ est L.C.E dans E, K est un corps<br /> </p> <p> -K x E —> E +K x E —> E<br /> </p> <p> -(a,x) —> a @ x +(a,x) —> a @ x<br /> </p> <p> -∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E +∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org5272600" class="outline-3"> -<h3 id="org5272600">Groupes :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5272600"> +<div id="outline-container-org1e58f4a" class="outline-3"> +<h3 id="org1e58f4a">Groupes :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1e58f4a"> <p> -<i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i> +<i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br /> </p> <p> -(E, @) est un groupe Si : +(E, @) est un groupe Si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org60264f8" class="outline-4"> -<h4 id="org60264f8">Il contiens un élement neutre</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org60264f8"> +<div id="outline-container-org48addf8" class="outline-4"> +<h4 id="org48addf8">Il contiens un élement neutre</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org48addf8"> <p> -∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E +∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br /> </p> <p> -x @ e = e @ x = x +x @ e = e @ x = x<br /> </p> <p> -On appelle <b>e</b> élement neutre +On appelle <b>e</b> élement neutre<br /> </p> <p> -<i>Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition</i> +<i>Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfc7c944" class="outline-4"> -<h4 id="orgfc7c944">Il contiens un élément symétrique</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfc7c944"> +<div id="outline-container-org992635c" class="outline-4"> +<h4 id="org992635c">Il contiens un élément symétrique</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org992635c"> <p> -∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e +∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br /> </p> <p> -On appelle <b>x’</b> élèment symétrique +On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </p> <p> -<i>Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:</i> +<i>Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:</i><br /> </p> <p> -<i>x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’</i> +<i>x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’</i><br /> </p> <p> -<b>Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs</b> +<b>Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org295b0ad" class="outline-4"> -<h4 id="org295b0ad">@ est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org295b0ad"> +<div id="outline-container-org5785863" class="outline-4"> +<h4 id="org5785863">@ est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org5785863"> <p> -∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x +∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br /> </p> <p> -<i>L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents</i> +<i>L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents</i><br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org16e85f4" class="outline-3"> -<h3 id="org16e85f4">Anneaux :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org16e85f4"> +<div id="outline-container-org4e02115" class="outline-3"> +<h3 id="org4e02115">Anneaux :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4e02115"> <p> -Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si : +Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org4f41a3e" class="outline-4"> -<h4 id="org4f41a3e">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> +<div id="outline-container-org7b49b18" class="outline-4"> +<h4 id="org7b49b18">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> </div> -<div id="outline-container-orgcd878d3" class="outline-4"> -<h4 id="orgcd878d3">! est une loi associative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgcd878d3"> +<div id="outline-container-org9233885" class="outline-4"> +<h4 id="org9233885">! est une loi associative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9233885"> <p> -∀ x , y , z ∈ E +∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> <p> -(x ! y) ! z = x ! (y ! z) +(x ! y) ! z = x ! (y ! z)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfdc3283" class="outline-4"> -<h4 id="orgfdc3283">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfdc3283"> +<div id="outline-container-orgcd9cf0e" class="outline-4"> +<h4 id="orgcd9cf0e">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgcd9cf0e"> <p> -∀ x , y , z ∈ E +∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> <p> -(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z ) +(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org81e790a" class="outline-4"> -<h4 id="org81e790a">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org81e790a"> +<div id="outline-container-org23fc487" class="outline-4"> +<h4 id="org23fc487">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org23fc487"> <p> -∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x +∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc47d01f" class="outline-4"> -<h4 id="orgc47d01f">! est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc47d01f"> +<div id="outline-container-orge37cd6b" class="outline-4"> +<h4 id="orge37cd6b">! est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge37cd6b"> <p> -∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x +∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcb42d27" class="outline-3"> -<h3 id="orgcb42d27">Corps :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcb42d27"> +<div id="outline-container-org02e686e" class="outline-3"> +<h3 id="org02e686e">Corps :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org02e686e"> <p> -(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition : +(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgda38e92" class="outline-4"> -<h4 id="orgda38e92">La symétrie :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgda38e92"> +<div id="outline-container-org83ed39f" class="outline-4"> +<h4 id="org83ed39f">La symétrie :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org83ed39f"> <p> -∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e +∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br /> </p> <p> -x’ est l’élément symétrique de x par rapport à ! -(sauf élément neutre première lois ) +x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br /> +(sauf élément neutre première lois )<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgaaaeb75" class="outline-3"> -<h3 id="orgaaaeb75">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgaaaeb75"> +<div id="outline-container-org9ad193d" class="outline-3"> +<h3 id="org9ad193d">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9ad193d"> </div> -<div id="outline-container-org7b08192" class="outline-4"> -<h4 id="org7b08192">Est-ce un Anneau ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7b08192"> +<div id="outline-container-org782386d" class="outline-4"> +<h4 id="org782386d">Est-ce un Anneau ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org782386d"> <ul class="org-ul"> -<li>(ℝ, +) est un groupe commutatif</li> -<li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)</li> -<li>On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)</li> -<li>Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a</li> -<li>La multiplication est commutative : a x b = b x a</li> +<li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li> +<li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li> +<li>On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)<br /></li> +<li>Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a<br /></li> +<li>La multiplication est commutative : a x b = b x a<br /></li> </ul> <p> -Oui c’est un anneau +Oui c’est un anneau<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org48407c7" class="outline-4"> -<h4 id="org48407c7">Est-ce un corps ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org48407c7"> +<div id="outline-container-org6a25e48" class="outline-4"> +<h4 id="org6a25e48">Est-ce un corps ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6a25e48"> <ul class="org-ul"> -<li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1</li> +<li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li> </ul> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgda25d9d" class="outline-2"> -<h2 id="orgda25d9d">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgda25d9d"> +<div id="outline-container-org35d42a7" class="outline-2"> +<h2 id="org35d42a7">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org35d42a7"> </div> -<div id="outline-container-org4e80ec3" class="outline-3"> -<h3 id="org4e80ec3">L’ordre dans ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4e80ec3"> +<div id="outline-container-org2bb031b" class="outline-3"> +<h3 id="org2bb031b">L’ordre dans ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2bb031b"> <p> -(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si : +(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br /> </p> <ol class="org-ol"> <li><p> -R est antisymétrique : +R est antisymétrique :<br /> </p> <p> -∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y) +∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)<br /> </p></li> <li><p> -R est reflexive : +R est reflexive :<br /> </p> <p> -∀ x ∈ ℝ ; x R x +∀ x ∈ ℝ ; x R x<br /> </p></li> -<li>R est transitive : -∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z</li> +<li>R est transitive :<br /> +∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li> </ol> </div> -<div id="outline-container-org093cc99" class="outline-4"> -<h4 id="org093cc99">Exemples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org093cc99"> +<div id="outline-container-org3a56f16" class="outline-4"> +<h4 id="org3a56f16">Exemples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3a56f16"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgaae6cc3"></a>Exemple numéro 1:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgaae6cc3"> +<li><a id="org9012b34"></a>Exemple numéro 1:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9012b34"> <p> -(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ? +(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> <p> -Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b><b>is obviously false</b></b> +Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b><b>is obviously false</b></b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org5abd4e2"></a>Exemple numéro 2:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org5abd4e2"> +<li><a id="org1804403"></a>Exemple numéro 2:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org1804403"> <p> -(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ? +(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true</li> -<li>(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true</li> -<li>(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true</li> +<li>(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true<br /></li> +<li>(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true<br /></li> +<li>(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true<br /></li> </ol> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd51e0fe" class="outline-3"> -<h3 id="orgd51e0fe">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgd51e0fe"> +<div id="outline-container-org3f6e272" class="outline-3"> +<h3 id="org3f6e272">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3f6e272"> </div> -<div id="outline-container-orgd3a8a46" class="outline-4"> -<h4 id="orgd3a8a46">Majorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd3a8a46"> +<div id="outline-container-orgd342339" class="outline-4"> +<h4 id="orgd342339">Majorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd342339"> <p> -Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) +Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> <p> -Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a +Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org2f70f76" class="outline-4"> -<h4 id="org2f70f76">Minorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2f70f76"> +<div id="outline-container-orgd881ae1" class="outline-4"> +<h4 id="orgd881ae1">Minorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd881ae1"> <p> -Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) +Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> <p> -Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b +Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgec5932c" class="outline-4"> -<h4 id="orgec5932c">Borne supérieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgec5932c"> +<div id="outline-container-orgc83a99b" class="outline-4"> +<h4 id="orgc83a99b">Borne supérieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc83a99b"> <p> -La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i> +La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org557a049" class="outline-4"> -<h4 id="org557a049">Borne inférieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org557a049"> +<div id="outline-container-orgbcc0d6a" class="outline-4"> +<h4 id="orgbcc0d6a">Borne inférieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbcc0d6a"> <p> -La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i> +La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org44a1e6f" class="outline-4"> -<h4 id="org44a1e6f">Maximum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org44a1e6f"> +<div id="outline-container-org2a83472" class="outline-4"> +<h4 id="org2a83472">Maximum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2a83472"> <p> -E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a. +E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org8212c6f" class="outline-4"> -<h4 id="org8212c6f">Minimum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8212c6f"> +<div id="outline-container-orge89d5ca" class="outline-4"> +<h4 id="orge89d5ca">Minimum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge89d5ca"> <p> -E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b. +E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc1f190f" class="outline-4"> -<h4 id="orgc1f190f">Remarques :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc1f190f"> +<div id="outline-container-orgfde2451" class="outline-4"> +<h4 id="orgfde2451">Remarques :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfde2451"> <p> -A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : +A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>A ∪ B est borné</li> -<li>A ∩ B est borné</li> -<li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)</li> -<li>Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)</li> -<li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i></li> -<li>Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i></li> +<li>A ∪ B est borné<br /></li> +<li>A ∩ B est borné<br /></li> +<li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)<br /></li> +<li>Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)<br /></li> +<li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i><br /></li> +<li>Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i><br /></li> </ol> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org5e6bac0" class="outline-2"> -<h2 id="org5e6bac0">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org5e6bac0"> +<div id="outline-container-org765f929" class="outline-2"> +<h2 id="org765f929">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org765f929"> </div> -<div id="outline-container-org4576609" class="outline-4"> -<h4 id="org4576609">Définition :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4576609"> +<div id="outline-container-org68fffe8" class="outline-4"> +<h4 id="org68fffe8">Définition :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org68fffe8"> <p> -Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ: +Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br /> </p> <p> -ℕ -—> ℝ +ℕ -—> ℝ<br /> </p> <p> -n -—> U(n) = Un +n -—> U(n) = Un<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite</li> -<li>Un : terme général</li> +<li>(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite<br /></li> +<li>Un : terme général<br /></li> </ol> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org2974480"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org2974480"> +<li><a id="org9224e2b"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org9224e2b"> <p> -U : ℕ* -—> ℝ +U : ℕ* -—> ℝ<br /> </p> <p> -n -—> 1/n +n -—> 1/n<br /> </p> <p> -(Un) est une suite définit par Un = 1/n +(Un) est une suite définit par Un = 1/n<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org1b2bc25" class="outline-4"> -<h4 id="org1b2bc25">Définition N°2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1b2bc25"> +<div id="outline-container-org47655c4" class="outline-4"> +<h4 id="org47655c4">Définition N°2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org47655c4"> <p> -On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme. +On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org3df976a"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org3df976a"> +<li><a id="orgf7302b5"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgf7302b5"> <p> -U(n+1) = Un /2 +U(n+1) = Un /2<br /> </p> <p> -U(1)= 1 +U(1)= 1<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org3a7a057" class="outline-3"> -<h3 id="org3a7a057">Opérations sur les suites :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3a7a057"> +<div id="outline-container-org4866a4e" class="outline-3"> +<h3 id="org4866a4e">Opérations sur les suites :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4866a4e"> </div> -<div id="outline-container-orgb2c866b" class="outline-4"> -<h4 id="orgb2c866b">La somme :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb2c866b"> +<div id="outline-container-org71fa659" class="outline-4"> +<h4 id="org71fa659">La somme :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org71fa659"> <p> -Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn +Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgea9f4ff" class="outline-4"> -<h4 id="orgea9f4ff">Le produit :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgea9f4ff"> +<div id="outline-container-orgb650686" class="outline-4"> +<h4 id="orgb650686">Le produit :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb650686"> <p> -Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn +Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org3d885f7" class="outline-4"> -<h4 id="org3d885f7">Inverse d’une suite :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3d885f7"> +<div id="outline-container-org95147d2" class="outline-4"> +<h4 id="org95147d2">Inverse d’une suite :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org95147d2"> <p> -Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un +Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb08b6d3" class="outline-4"> -<h4 id="orgb08b6d3">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb08b6d3"> +<div id="outline-container-org47c3d7b" class="outline-4"> +<h4 id="org47c3d7b">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org47c3d7b"> <p> -Soit (Un) une suite de T.G Un +Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </p> <p> -∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn +∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org1263651" class="outline-3"> -<h3 id="org1263651">Suite bornée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1263651"> +<div id="outline-container-org6f19e22" class="outline-3"> +<h3 id="org6f19e22">Suite bornée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org6f19e22"> <p> -Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée +Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1675132" class="outline-3"> -<h3 id="org1675132">Suite majorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1675132"> +<div id="outline-container-org2d45f23" class="outline-3"> +<h3 id="org2d45f23">Suite majorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2d45f23"> <p> -Soit (Un) une suite +Soit (Un) une suite<br /> </p> <p> -U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M +U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org87968e2" class="outline-3"> -<h3 id="org87968e2">Suite minorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org87968e2"> +<div id="outline-container-org238c341" class="outline-3"> +<h3 id="org238c341">Suite minorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org238c341"> <p> -Soit (Un) une suite +Soit (Un) une suite<br /> </p> <p> -U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M +U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc488475" class="outline-3"> -<h3 id="orgc488475">Suites monotones :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgc488475"> +<div id="outline-container-org161b254" class="outline-3"> +<h3 id="org161b254">Suites monotones :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org161b254"> </div> -<div id="outline-container-org2cc0b18" class="outline-4"> -<h4 id="org2cc0b18">Les suites croissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2cc0b18"> +<div id="outline-container-org6ea1478" class="outline-4"> +<h4 id="org6ea1478">Les suites croissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6ea1478"> <p> -Soit (Un)n est une suite +Soit (Un)n est une suite<br /> </p> <p> -(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un +(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org18bee3a" class="outline-4"> -<h4 id="org18bee3a">Les suites décroissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org18bee3a"> +<div id="outline-container-org4d4a6c4" class="outline-4"> +<h4 id="org4d4a6c4">Les suites décroissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4d4a6c4"> <p> -Soit (Un)n est une suite +Soit (Un)n est une suite<br /> </p> <p> -(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un +(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org4db9108" class="outline-2"> -<h2 id="org4db9108">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org4db9108"> +<div id="outline-container-orgf49f5ce" class="outline-2"> +<h2 id="orgf49f5ce">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgf49f5ce"> </div> -<div id="outline-container-org287eb0f" class="outline-3"> -<h3 id="org287eb0f">Exo 1 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org287eb0f"> +<div id="outline-container-org9041b8f" class="outline-3"> +<h3 id="org9041b8f">Exo 1 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9041b8f"> </div> -<div id="outline-container-orge2a122f" class="outline-4"> -<h4 id="orge2a122f">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge2a122f"> +<div id="outline-container-orgd05f78f" class="outline-4"> +<h4 id="orgd05f78f">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd05f78f"> <p> -A = {-1/n , n ∈ ℕ *} +A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org8380185"></a>Borne inférieure<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8380185"> +<li><a id="org05ec3df"></a>Borne inférieure<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org05ec3df"> <p> -∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org3306faf"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org3306faf"> +<li><a id="orgae8cbac"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgae8cbac"> <p> -∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgb6214c1"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgb6214c1"> +<li><a id="orga840fb9"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga840fb9"> <p> -∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org1181aa7"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org1181aa7"> +<li><a id="org314e7af"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org314e7af"> <p> -L’ensemble A n’as pas de maximum +L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgbb9e801" class="outline-4"> -<h4 id="orgbb9e801">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbb9e801"> +<div id="outline-container-orga53cc3b" class="outline-4"> +<h4 id="orga53cc3b">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga53cc3b"> <p> -B = [-1 , 3[ ∩ ℚ +B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org0cd302c"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0cd302c"> +<li><a id="org5a17877"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org5a17877"> <p> -Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ)) +Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))<br /> </p> <p> -Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est <b>-∞</b>, +Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est <b>-∞</b>,<br /> </p> <p> -<b>Inf(B) = -1</b> +<b>Inf(B) = -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org7ae05e0"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7ae05e0"> +<li><a id="org334a74a"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org334a74a"> <p> -Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ)) +Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br /> </p> <p> -Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est <b>+∞</b>, +Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est <b>+∞</b>,<br /> </p> <p> -<b>Sup(B) = 3</b> +<b>Sup(B) = 3</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org9cd2734"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9cd2734"> +<li><a id="org06ffe94"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org06ffe94"> <p> -<b>Min(B) = -1</b> +<b>Min(B) = -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org03c30da"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org03c30da"> +<li><a id="org52c9233"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org52c9233"> <p> -L’ensemble B n’as pas de Maximum +L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org802547c" class="outline-4"> -<h4 id="org802547c">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org802547c"> +<div id="outline-container-org3953e45" class="outline-4"> +<h4 id="org3953e45">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3953e45"> <p> -C = {3n ,n ∈ ℕ} +C = {3n ,n ∈ ℕ}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org9ce5bec"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9ce5bec"> +<li><a id="org61ee644"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org61ee644"> <p> -Inf(C) = 0 +Inf(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org9141711"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9141711"> +<li><a id="orgc54b253"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc54b253"> <p> -Sup(C) = +∞ +Sup(C) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org9caa8ca"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9caa8ca"> +<li><a id="org94ac2bd"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org94ac2bd"> <p> -Min(C) = 0 +Min(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org0ad948c"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0ad948c"> +<li><a id="org753fbce"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org753fbce"> <p> -L’ensemble C n’as pas de Maximum +L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org1be7f79" class="outline-4"> -<h4 id="org1be7f79">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1be7f79"> +<div id="outline-container-org5bd662a" class="outline-4"> +<h4 id="org5bd662a">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org5bd662a"> <p> -D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*} +D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org906a6df"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org906a6df"> +<li><a id="orgeda7d30"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgeda7d30"> <p> -Inf(D)= 0 +Inf(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orga274a2c"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga274a2c"> +<li><a id="org24fd992"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org24fd992"> <p> -Sup(D)= 1 +Sup(D)= 1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org320ea71"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org320ea71"> +<li><a id="org4e2f953"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org4e2f953"> <p> -Min(D)= 0 +Min(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org2a6a7cd"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org2a6a7cd"> +<li><a id="org284f936"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org284f936"> <p> -L’ensemble D n’as pas de Maximum +L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orge726053" class="outline-4"> -<h4 id="orge726053">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge726053"> +<div id="outline-container-org71f85cb" class="outline-4"> +<h4 id="org71f85cb">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org71f85cb"> <p> -E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ } +E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> <p> -<b>Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair</b> +<b>Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair</b><br /> </p> <p> -<b>On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}</b> +<b>On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}</b><br /> </p> <p> -<b>Donc E = F ∪ G</b> +<b>Donc E = F ∪ G</b><br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgd28a45e"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd28a45e"> +<li><a id="orgcd9e1fa"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgcd9e1fa"> <p> -Inf(E) = Min(inf(F), inf(G)) +Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))<br /> </p> <p> -Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1 +Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1<br /> </p> <p> -<b>Inf(E)= -1</b> +<b>Inf(E)= -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org68dffbe"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org68dffbe"> +<li><a id="orgcd2d59d"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgcd2d59d"> <p> -Sup(E) = Max(sup(F), sup(G)) +Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br /> </p> <p> -sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞ +sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br /> </p> <p> -<b>Sup(E)= +∞</b> +<b>Sup(E)= +∞</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org9d1e747"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9d1e747"> +<li><a id="orgc05d4fe"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc05d4fe"> <p> -Min(E)= -1 +Min(E)= -1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org0245cc4"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0245cc4"> +<li><a id="orgc819f92"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc819f92"> <p> -E n’as pas de maximum +E n’as pas de maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgdf3195e" class="outline-3"> -<h3 id="orgdf3195e">Exo 2 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgdf3195e"> +<div id="outline-container-org5e55c46" class="outline-3"> +<h3 id="org5e55c46">Exo 2 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5e55c46"> </div> -<div id="outline-container-org66f216f" class="outline-4"> -<h4 id="org66f216f">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org66f216f"> +<div id="outline-container-orgc6ae1c9" class="outline-4"> +<h4 id="orgc6ae1c9">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc6ae1c9"> <p> -A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3} +A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgbef5758"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgbef5758"> +<li><a id="org3b04e5b"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org3b04e5b"> <p> -<b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3 +<b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orga1b96b2" class="outline-4"> -<h4 id="orga1b96b2">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga1b96b2"> +<div id="outline-container-orgf7eccb2" class="outline-4"> +<h4 id="orgf7eccb2">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf7eccb2"> <p> -B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ; +B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org1de892f"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org1de892f"> +<li><a id="orgf895b3f"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf895b3f"> <p> -<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b> +<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b><br /> </p> <p> -<b>∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2</b> +<b>∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org225674e" class="outline-4"> -<h4 id="org225674e">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org225674e"> +<div id="outline-container-orgbeddb63" class="outline-4"> +<h4 id="orgbeddb63">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbeddb63"> <p> -C = {x ∈ ℝ , x³ > 3} +C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org69cad7e"></a>Minoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org69cad7e"> +<li><a id="orga2d87af"></a>Minoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga2d87af"> <p> -<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b> +<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org06c1813" class="outline-4"> -<h4 id="org06c1813">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org06c1813"> +<div id="outline-container-org05e5cc7" class="outline-4"> +<h4 id="org05e5cc7">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org05e5cc7"> <p> -D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2} +D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org00b7ccd"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org00b7ccd"> +<li><a id="orgf3bd221"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf3bd221"> <p> -<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b> +<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b><br /> </p> <p> -<b>∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2</b> +<b>∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org2b2fc87" class="outline-4"> -<h4 id="org2b2fc87">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2b2fc87"> +<div id="outline-container-org011ad53" class="outline-4"> +<h4 id="org011ad53">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org011ad53"> <p> -E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p} +E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgb4ae1f9"></a>Majoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgb4ae1f9"> +<li><a id="org9d823e4"></a>Majoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9d823e4"> <p> -p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b> +p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcbe32ea" class="outline-3"> -<h3 id="orgcbe32ea">Exo 3 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcbe32ea"> +<div id="outline-container-org9c6a60f" class="outline-3"> +<h3 id="org9c6a60f">Exo 3 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9c6a60f"> <p> -U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1 +U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org67ea433" class="outline-4"> -<h4 id="org67ea433">Question 1 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org67ea433"> +<div id="outline-container-org687519a" class="outline-4"> +<h4 id="org687519a">Question 1 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org687519a"> <p> -Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 . +Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> <p> -<b>(Un - 1)² ≥ 0 <i>Parce que c’est un carré</i></b> +<b>(Un - 1)² ≥ 0 <i>Parce que c’est un carré</i></b><br /> </p> <p> -<b>(Un - 1)² + 1 > 1</b> ; <b>U(n+1) ≥ 1</b> +<b>(Un - 1)² + 1 > 1</b> ; <b>U(n+1) ≥ 1</b><br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org59f4b30"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org59f4b30"> +<li><a id="org7a21400"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7a21400"> <p> -P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2 +P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br /> </p> <p> -P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2 +P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2<br /> </p> <p> -On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction +On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br /> </p> <p> -1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; <b>1 < U(n+1) < 2</b> Donc elle est correcte +1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; <b>1 < U(n+1) < 2</b> Donc elle est correcte<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org8de82ec" class="outline-4"> -<h4 id="org8de82ec">Question 2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8de82ec"> +<div id="outline-container-orge87653b" class="outline-4"> +<h4 id="orge87653b">Question 2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge87653b"> <p> -Montrer que (Un)n est strictement monotone : +Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br /> </p> <p> -<b>U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2</b> +<b>U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2</b><br /> </p> <p> -On étudie <b>Un² - 3Un + 2</b> sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, <b>Δ = 1</b> , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2 +On étudie <b>Un² - 3Un + 2</b> sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, <b>Δ = 1</b> , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2<br /> </p> <p> -On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc <b>∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un</b> Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante +On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc <b>∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un</b> Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf4235b5" class="outline-2"> -<h2 id="orgf4235b5">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgf4235b5"> +<div id="outline-container-org45e02ab" class="outline-2"> +<h2 id="org45e02ab">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org45e02ab"> </div> -<div id="outline-container-org45ddd99" class="outline-3"> -<h3 id="org45ddd99">Les suites convergentes</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org45ddd99"> +<div id="outline-container-org13b3871" class="outline-3"> +<h3 id="org13b3871">Les suites convergentes</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org13b3871"> <p> -Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l +Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org254e7d5" class="outline-4"> -<h4 id="org254e7d5">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org254e7d5"> +<div id="outline-container-orgf27c188" class="outline-4"> +<h4 id="orgf27c188">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf27c188"> <ol class="org-ol"> -<li>Un est une suite convergente alors Un est bornee</li> -<li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|</li> -<li>Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge</li> -<li>Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge</li> -<li>Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors +<li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li> +<li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li> +<li>Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge<br /></li> +<li>Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge<br /></li> +<li>Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors<br /> <ol class="org-ol"> -<li>Un + Vn est convergente</li> -<li>Un * Vn est convergente</li> -<li>∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge</li> +<li>Un + Vn est convergente<br /></li> +<li>Un * Vn est convergente<br /></li> +<li>∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge<br /></li> </ol></li> -<li>Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0</li> +<li>Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orga5ad20c" class="outline-3"> -<h3 id="orga5ad20c">Theoreme d’encadrement</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orga5ad20c"> +<div id="outline-container-org0901f91" class="outline-3"> +<h3 id="org0901f91">Theoreme d’encadrement</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org0901f91"> <p> -Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l +Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4c3bc49" class="outline-3"> -<h3 id="org4c3bc49">Suites arithmetiques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4c3bc49"> +<div id="outline-container-org60b983d" class="outline-3"> +<h3 id="org60b983d">Suites arithmetiques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org60b983d"> <p> -Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite +Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org804714b" class="outline-4"> -<h4 id="org804714b">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org804714b"> +<div id="outline-container-org34e4fd2" class="outline-4"> +<h4 id="org34e4fd2">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org34e4fd2"> <p> -<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b> +<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc7b0019" class="outline-4"> -<h4 id="orgc7b0019">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc7b0019"> +<div id="outline-container-org2635231" class="outline-4"> +<h4 id="org2635231">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2635231"> <p> -Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2 +Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br /> </p> <p> -Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie +Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org6cf3cdb" class="outline-3"> -<h3 id="org6cf3cdb">Suites géométriques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org6cf3cdb"> +<div id="outline-container-orgb0193c4" class="outline-3"> +<h3 id="orgb0193c4">Suites géométriques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb0193c4"> </div> -<div id="outline-container-orgae97eae" class="outline-4"> -<h4 id="orgae97eae">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgae97eae"> +<div id="outline-container-org25b609d" class="outline-4"> +<h4 id="org25b609d">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org25b609d"> <p> -<b>Un = U0 x r^n</b> +<b>Un = U0 x r^n</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org0771ee4" class="outline-4"> -<h4 id="org0771ee4">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0771ee4"> +<div id="outline-container-orgd6e52f8" class="outline-4"> +<h4 id="orgd6e52f8">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd6e52f8"> <p> -n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r +n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org3edcca2" class="outline-2"> -<h2 id="org3edcca2">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org3edcca2"> +<div id="outline-container-org6be44bf" class="outline-2"> +<h2 id="org6be44bf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org6be44bf"> </div> -<div id="outline-container-org3722e54" class="outline-3"> -<h3 id="org3722e54">Suites adjacentes:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3722e54"> +<div id="outline-container-orgb8e4b97" class="outline-3"> +<h3 id="orgb8e4b97">Suites adjacentes:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb8e4b97"> <p> -Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si: +Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante</li> -<li>Un ≤ Vn</li> -<li>lim (Un - Vn) n->+∞ = 0</li> +<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante<br /></li> +<li>Un ≤ Vn<br /></li> +<li>lim (Un - Vn) n->+∞ = 0<br /></li> </ol> </div> </div> -<div id="outline-container-org2f21a9f" class="outline-3"> -<h3 id="org2f21a9f">Suites extraites (sous-suites):</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2f21a9f"> +<div id="outline-container-org113db27" class="outline-3"> +<h3 id="org113db27">Suites extraites (sous-suites):</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org113db27"> <p> -Soit (Un) une suite: -<i>/ -U: ℕ -—> ℝ -/</i> - n -—> Un -<i>/ -ϕ: ℕ -—> ℕ -/</i> - n -—> ϕn -// -(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite. +Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgf667d53" class="outline-4"> -<h4 id="orgf667d53">Remarques:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf667d53"> +<div id="outline-container-org498c349" class="outline-4"> +<h4 id="org498c349">Remarques:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org498c349"> <ol class="org-ol"> -<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.</li> -<li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.</li> -<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l</li> +<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li> +<li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li> +<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcf99e48" class="outline-3"> -<h3 id="orgcf99e48">Suites de Cauchy:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcf99e48"> +<div id="outline-container-orgbac81d6" class="outline-3"> +<h3 id="orgbac81d6">Suites de Cauchy:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgbac81d6"> <p> -(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; -// -∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε +(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org2ee12ec" class="outline-4"> -<h4 id="org2ee12ec">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2ee12ec"> +<div id="outline-container-org9e7596a" class="outline-4"> +<h4 id="org9e7596a">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9e7596a"> <ol class="org-ol"> -<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente</li> +<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orga83a358" class="outline-3"> -<h3 id="orga83a358">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orga83a358"> +<div id="outline-container-orgf3c9f3b" class="outline-3"> +<h3 id="orgf3c9f3b">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgf3c9f3b"> <p> -On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée +On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br /> </p> </div> </div> @@ -1239,7 +1398,7 @@ On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-10-18 Wed 20:20</p> +<p class="date">Created: 2023-10-20 Fri 14:43</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file diff --git a/uni_notes/architecture.html b/uni_notes/architecture.html index b5ba235..40df923 100755 --- a/uni_notes/architecture.html +++ b/uni_notes/architecture.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-10-11 Wed 19:53 --> +<!-- 2023-10-20 Fri 14:44 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>Architecture 1</title> @@ -13,201 +13,269 @@ <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> </head> <body> -<div id="content" class="content"> +<div id="org-div-home-and-up"> + <a accesskey="h" href="../../../uni_notes/"> UP </a> + | + <a accesskey="H" href="https://crystal.tilde.institute/"> HOME </a> +</div><div id="content" class="content"> <h1 class="title">Architecture 1</h1> -<div id="outline-container-org644596f" class="outline-2"> -<h2 id="org644596f">Premier cours : Les systémes de numération <i>Sep 27</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org644596f"> +<div id="table-of-contents" role="doc-toc"> +<h2>Table of Contents</h2> +<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc"> +<ul> +<li><a href="#orgc01331c">Premier cours : Les systémes de numération <i>Sep 27</i> :</a> +<ul> +<li> +<ul> +<li><a href="#orgbd11f23"><b>Examples :</b></a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orge71cab1">Comment passer d’un systéme a base 10 a un autre</a> +<ul> +<li><a href="#org10fc1b7">Pour les chiffres entiers :</a></li> +<li><a href="#org3ea9cd2">Pour les chiffres non entiers :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org1297d63">2nd cours : Les systèmes de numération (Suite) <i>Oct 3</i> :</a> +<ul> +<li><a href="#orgb414094">Comment passer d’une base N a la base 10 :</a></li> +<li><a href="#org02da5b5">Comment passer d’une base N a une base N^(n) :</a> +<ul> +<li><a href="#org67dea37">Exemple :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgd3834cf">L’arithmétique binaire :</a> +<ul> +<li><a href="#org0eeb38b">L’addition :</a></li> +<li><a href="#org108565e">La soustraction :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org2954ef1">TP N°1 :</a> +<ul> +<li><a href="#org417d144">Exo1:</a></li> +<li><a href="#org252f0f1">Exo2:</a></li> +<li><a href="#org6eddf76">Exo3:</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org5dab3ee">L’arithmétique binaire (Suite): <i>Oct 4</i></a> +<ul> +<li><a href="#orgeef95ed">La multiplication :</a></li> +<li><a href="#org61d7a42">La division :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org13a09f6">4th cours : Le codage <i>Oct 10</i></a> +<ul> +<li><a href="#orga64db01">Le codage des entiers positifs</a></li> +<li><a href="#orgbadc2c8">Le codage des nombres relatifs</a> +<ul> +<li><a href="#org559b9bd">Remarque</a></li> +<li><a href="#org89e4ffc">Le codage en signe + valeur absolue (SVA):</a></li> +<li><a href="#orgd4a1b6d">Codage en compliment a 1 (CR):</a></li> +<li><a href="#org20bc2ba">Codage en compliment a 2 (CV):</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgc01331c" class="outline-2"> +<h2 id="orgc01331c">Premier cours : Les systémes de numération <i>Sep 27</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgc01331c"> <p> -Un système de numération est une méthode pour représenter des nombres à l’aide de symboles et de règles. Chaque système, comme le décimal (base 10) ou le binaire (base 2), utilise une base définie pour représenter des valeurs numériques. Il est caractérisé par 3 entitiés mathématiques importantes: +Un système de numération est une méthode pour représenter des nombres à l’aide de symboles et de règles. Chaque système, comme le décimal (base 10) ou le binaire (base 2), utilise une base définie pour représenter des valeurs numériques. Il est caractérisé par 3 entitiés mathématiques importantes:<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>Une base (genre 10, ou 2)</li> -<li>Un ensemble de chiffres</li> -<li>Des régles de représentations des nombres</li> +<li>Une base (genre 10, ou 2)<br /></li> +<li>Un ensemble de chiffres<br /></li> +<li>Des régles de représentations des nombres<br /></li> </ol> </div> -<div id="outline-container-org93dcedb" class="outline-4"> -<h4 id="org93dcedb"><b>Examples :</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org93dcedb"> +<div id="outline-container-orgbd11f23" class="outline-4"> +<h4 id="orgbd11f23"><b>Examples :</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbd11f23"> <p> -<i>B10 est un systéme de numération caractérisé par:</i> +<i>B10 est un systéme de numération caractérisé par:</i><br /> </p> <ul class="org-ul"> -<li>Base = 10</li> -<li>Un ensemble de chiffres : (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)</li> +<li>Base = 10<br /></li> +<li>Un ensemble de chiffres : (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)<br /></li> </ul> <p> -<i>B16 est un autre systéme de numération caractérisé par:</i> +<i>B16 est un autre systéme de numération caractérisé par:</i><br /> </p> <ul class="org-ul"> -<li>Base = 16</li> +<li>Base = 16<br /></li> <li><p> -Un ensemble de chiffres : (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) +Un ensemble de chiffres : (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)<br /> </p> <p> -<b>Puisse-qu’on peut pas utiliser des nombres a deux chiffres, on utilise des lettres aprés 9, en leur donnant des valeurs tel que :</b> +<b>Puisse-qu’on peut pas utiliser des nombres a deux chiffres, on utilise des lettres aprés 9, en leur donnant des valeurs tel que :</b><br /> </p> <p> -A : 10 ; B : 11 ; C : 12 ; D : 13 ; E : 14 ; F : 15 +A : 10 ; B : 11 ; C : 12 ; D : 13 ; E : 14 ; F : 15<br /> </p></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc27c000" class="outline-3"> -<h3 id="orgc27c000">Comment passer d’un systéme a base 10 a un autre</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgc27c000"> +<div id="outline-container-orge71cab1" class="outline-3"> +<h3 id="orge71cab1">Comment passer d’un systéme a base 10 a un autre</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orge71cab1"> <p> -On symbolise un chiffre dans la base x par : (Nombre)x +On symbolise un chiffre dans la base x par : (Nombre)x<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org54f4213" class="outline-4"> -<h4 id="org54f4213">Pour les chiffres entiers :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org54f4213"> +<div id="outline-container-org10fc1b7" class="outline-4"> +<h4 id="org10fc1b7">Pour les chiffres entiers :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org10fc1b7"> <p> -<b>On fait une division successive, on prends le nombre 3257 comme exemple, on veut le faire passer d’une base décimale á une base 16:</b> +<b>On fait une division successive, on prends le nombre 3257 comme exemple, on veut le faire passer d’une base décimale á une base 16:</b><br /> </p> <p> -(3257)10 -—> (?)16 +(3257)10 -—> (?)16<br /> </p> <p> -On dévise 3257 par 16, et les restants de la division serra la valeur en base16: +On dévise 3257 par 16, et les restants de la division serra la valeur en base16:<br /> </p> <p> -3257/16 = 203 + <b>9</b> / 16 +3257/16 = 203 + <b>9</b> / 16<br /> </p> <p> -203/16 = 12 + <b>B</b> / 16 <i>REMARQUE, 11 N’APPARTIENS PAS A L’ENSEMBLE DES CHIFFRES EN BASE16, CE QUI VEUT DIRE QU’ON LE REMPLACE PAR SON EQUIVALENT, DANS CE CAS LA: <b>B</b></i> +203/16 = 12 + <b>B</b> / 16 <i>REMARQUE, 11 N’APPARTIENS PAS A L’ENSEMBLE DES CHIFFRES EN BASE16, CE QUI VEUT DIRE QU’ON LE REMPLACE PAR SON EQUIVALENT, DANS CE CAS LA: <b>B</b></i><br /> </p> <p> -12/16 = 0 + <b>C</b> / 16 <i>Pareil ici, 12 n’existe pas, donc c’est C. Autre note : La division s’arréte quand le résultat de la division est nul</i> +12/16 = 0 + <b>C</b> / 16 <i>Pareil ici, 12 n’existe pas, donc c’est C. Autre note : La division s’arréte quand le résultat de la division est nul</i><br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgc41ba5c"></a><b>Conclusion:</b><br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc41ba5c"> +<li><a id="orgfffe86c"></a><b>Conclusion:</b><br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgfffe86c"> <p> -(3257)10 -—> (CB9)16 +(3257)10 -—> (CB9)16<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org6f8ff12" class="outline-4"> -<h4 id="org6f8ff12">Pour les chiffres non entiers :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org6f8ff12"> +<div id="outline-container-org3ea9cd2" class="outline-4"> +<h4 id="org3ea9cd2">Pour les chiffres non entiers :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3ea9cd2"> <p> -<b>On fait la division successive pour la partie entiére, et une multiplication successive pour la partie rationelle:</b> +<b>On fait la division successive pour la partie entiére, et une multiplication successive pour la partie rationelle:</b><br /> </p> <p> -(3257,32)10 -—> (?)16 +(3257,32)10 -—> (?)16<br /> </p> <p> -On a déja la partie entiére donc on s’occupe de la partie aprés la virgule: +On a déja la partie entiére donc on s’occupe de la partie aprés la virgule:<br /> </p> <p> -0,32 x 16 = <b>5</b>,12 +0,32 x 16 = <b>5</b>,12<br /> </p> <p> -0,12 x 16 = <b>1</b>,92 +0,12 x 16 = <b>1</b>,92<br /> </p> <p> -0,92 x 16 = <b>E</b>,72 <i>On a pas de 15 donc c’est un E</i> +0,92 x 16 = <b>E</b>,72 <i>On a pas de 15 donc c’est un E</i><br /> </p> <p> -0,72 x 16 = <b>B</b>,52 +0,72 x 16 = <b>B</b>,52<br /> </p> <p> -0,52 x 16 = <b>8</b>,32 +0,52 x 16 = <b>8</b>,32<br /> </p> <p> -0,32 x 16 = <b>5</b>,12 +0,32 x 16 = <b>5</b>,12<br /> </p> <p> -… +…<br /> </p> <p> -<i>On s’arréte quand on trouve un chiffre entier, et si on trouve pas, on s’arréte quand on remarque une répetition, dans ce cas la, la séquance 51EB8 vas se répéter indéfiniment, donc on se contente d’écrire la partie qui se répéte avec une barre en haut</i> +<i>On s’arréte quand on trouve un chiffre entier, et si on trouve pas, on s’arréte quand on remarque une répetition, dans ce cas la, la séquance 51EB8 vas se répéter indéfiniment, donc on se contente d’écrire la partie qui se répéte avec une barre en haut</i><br /> </p> <p> -(3257,32)10 -—> (CB9, <span class="underline">51EB8</span>)16 +(3257,32)10 -—> (CB9, <span class="underline">51EB8</span>)16<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orga79d939" class="outline-2"> -<h2 id="orga79d939">2nd cours : Les systèmes de numération (Suite) <i>Oct 3</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orga79d939"> +<div id="outline-container-org1297d63" class="outline-2"> +<h2 id="org1297d63">2nd cours : Les systèmes de numération (Suite) <i>Oct 3</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org1297d63"> </div> -<div id="outline-container-org3e165a8" class="outline-3"> -<h3 id="org3e165a8">Comment passer d’une base N a la base 10 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3e165a8"> +<div id="outline-container-orgb414094" class="outline-3"> +<h3 id="orgb414094">Comment passer d’une base N a la base 10 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb414094"> <p> -Prenons comme exemple le nombre (11210,0011)3 , chaque chiffre dans ce nombre a un rang qui commence par 0 au premier chiffre (a gauche de la virgule) et qui augmente d’un plus qu’on avance a gauche, et diminue si on part a droite. Dans ce cas la : +Prenons comme exemple le nombre (11210,0011)3 , chaque chiffre dans ce nombre a un rang qui commence par 0 au premier chiffre (a gauche de la virgule) et qui augmente d’un plus qu’on avance a gauche, et diminue si on part a droite. Dans ce cas la :<br /> </p> <p> -(11210,0011)3 ; le 0 est de rang 0, le 1 est de rang 1, le 2 est de rang 2, le 1 est de rang 3, le 1 est de rang 4. Et si on part du coté de la virgule, 0 est de rang -1, 0 est de rang -2, le 1 est de rang -3, et le 1 est de rang -4. +(11210,0011)3 ; le 0 est de rang 0, le 1 est de rang 1, le 2 est de rang 2, le 1 est de rang 3, le 1 est de rang 4. Et si on part du coté de la virgule, 0 est de rang -1, 0 est de rang -2, le 1 est de rang -3, et le 1 est de rang -4.<br /> </p> <p> -Et pour passer a la base 10, il suffit d’appliquer cette formule : <b>Chiffre x Base^(rang) + 2emeChiffre x Base^(rang)… etc</b>, donc dans notre example: +Et pour passer a la base 10, il suffit d’appliquer cette formule : <b>Chiffre x Base^(rang) + 2emeChiffre x Base^(rang)… etc</b>, donc dans notre example:<br /> </p> <p> -<i>0 x 3° + 1 x 3¹ + 2 x 3² + 1 x 3³ + 1 x 3^4 + 0 x 3¯¹ + 0 x 3¯² + 1 x 3¯³ + 1 x 3^(-4) ≈ (129,05)10</i> +<i>0 x 3° + 1 x 3¹ + 2 x 3² + 1 x 3³ + 1 x 3^4 + 0 x 3¯¹ + 0 x 3¯² + 1 x 3¯³ + 1 x 3^(-4) ≈ (129,05)10</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org5a3bcfe" class="outline-3"> -<h3 id="org5a3bcfe">Comment passer d’une base N a une base N^(n) :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5a3bcfe"> +<div id="outline-container-org02da5b5" class="outline-3"> +<h3 id="org02da5b5">Comment passer d’une base N a une base N^(n) :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org02da5b5"> <p> -Si il ya une relation entre une base et une autre, on peut directement transformer vers cette base. +Si il ya une relation entre une base et une autre, on peut directement transformer vers cette base.<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgab808d0" class="outline-4"> -<h4 id="orgab808d0">Exemple :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgab808d0"> +<div id="outline-container-org67dea37" class="outline-4"> +<h4 id="org67dea37">Exemple :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org67dea37"> <p> -Pour passer de la base 2 a la base 8 (8 qui est 2³) on découpe les chiffres 3 par 3 +Pour passer de la base 2 a la base 8 (8 qui est 2³) on découpe les chiffres 3 par 3<br /> </p> <p> -(1 101 011, 011)2 ; Pour le dernier 1 qui est seul <code>tout comme moi</code> il suffit d’ajouter des 0 à gauche (car on peut) pour compléter le découpage. +(1 101 011, 011)2 ; Pour le dernier 1 qui est seul <code>tout comme moi</code> il suffit d’ajouter des 0 à gauche (car on peut) pour compléter le découpage.<br /> </p> <p> -(001 101 011, 011)2; Next step c’est de dessiner le tableau de conversion de la base 2 a la base 8 ( un tableau a 3 bits ) +(001 101 011, 011)2; Next step c’est de dessiner le tableau de conversion de la base 2 a la base 8 ( un tableau a 3 bits )<br /> </p> @@ -292,89 +360,89 @@ Pour passer de la base 2 a la base 8 (8 qui est 2³) on découpe les chiffres 3 <p> -Pour remplir on a qu’a diviser les chiffres en deux, et mettre des 0 dans la première partie et des 1 dans la 2éme, et en faire de même pour les autres colonnes . +Pour remplir on a qu’a diviser les chiffres en deux, et mettre des 0 dans la première partie et des 1 dans la 2éme, et en faire de même pour les autres colonnes .<br /> </p> <p> -Maintenant il suffit de trouver l’équivalent de la base2 en base8 : +Maintenant il suffit de trouver l’équivalent de la base2 en base8 :<br /> </p> <p> -001 c’est 1 ; 101 c’est 5 ; 011 c’est 3 ; donc <b>(1101011,011)2 —> (153,3)8</b> +001 c’est 1 ; 101 c’est 5 ; 011 c’est 3 ; donc <b>(1101011,011)2 —> (153,3)8</b><br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbf931c5" class="outline-3"> -<h3 id="orgbf931c5">L’arithmétique binaire :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbf931c5"> +<div id="outline-container-orgd3834cf" class="outline-3"> +<h3 id="orgd3834cf">L’arithmétique binaire :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgd3834cf"> </div> -<div id="outline-container-orgbe5bb2f" class="outline-4"> -<h4 id="orgbe5bb2f">L’addition :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbe5bb2f"> +<div id="outline-container-org0eeb38b" class="outline-4"> +<h4 id="org0eeb38b">L’addition :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0eeb38b"> <p> -0 + 0 = 0 On retiens 0 +0 + 0 = 0 On retiens 0<br /> </p> <p> -1 + 0 = 1 On retiens 0 +1 + 0 = 1 On retiens 0<br /> </p> <p> -0 + 1 = 1 On retiens 0 +0 + 1 = 1 On retiens 0<br /> </p> <p> -1 + 1 = 0 On retiens 1 +1 + 1 = 0 On retiens 1<br /> </p> <p> -1 + 1 + 1 = 1 On retiens 1 +1 + 1 + 1 = 1 On retiens 1<br /> </p> <p> -Donc 0110 + 1101 = 10011 +Donc 0110 + 1101 = 10011<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org76fafea" class="outline-4"> -<h4 id="org76fafea">La soustraction :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org76fafea"> +<div id="outline-container-org108565e" class="outline-4"> +<h4 id="org108565e">La soustraction :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org108565e"> <p> -0 - 0 = 0 On emprunt = 0 +0 - 0 = 0 On emprunt = 0<br /> </p> <p> -1 - 0 = 1 On emprunt = 0 +1 - 0 = 1 On emprunt = 0<br /> </p> <p> -0 - 1 = 1 On emprunt = 1 +0 - 1 = 1 On emprunt = 1<br /> </p> <p> -1 - 1 = 0 On emprunt = 0 +1 - 1 = 0 On emprunt = 0<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org0db7791" class="outline-3"> -<h3 id="org0db7791">TP N°1 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org0db7791"> +<div id="outline-container-org2954ef1" class="outline-3"> +<h3 id="org2954ef1">TP N°1 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2954ef1"> </div> -<div id="outline-container-org602a6f4" class="outline-4"> -<h4 id="org602a6f4">Exo1:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org602a6f4"> +<div id="outline-container-org417d144" class="outline-4"> +<h4 id="org417d144">Exo1:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org417d144"> <table border="2" cellspacing="0" cellpadding="6" rules="groups" frame="hsides"> @@ -442,300 +510,300 @@ Donc 0110 + 1101 = 10011 </table> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org44fc05c"></a>(10110,11)2<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org44fc05c"> +<li><a id="org24ef803"></a>(10110,11)2<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org24ef803"> <p> -0 x 2° + 1 x 2¹ + 1 x 2² + 0 x 2³ + 1 x 2^(4) + 1 x 2¯¹ + 1 x 2¯² = (22.75)10 +0 x 2° + 1 x 2¹ + 1 x 2² + 0 x 2³ + 1 x 2^(4) + 1 x 2¯¹ + 1 x 2¯² = (22.75)10<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org6e587a2"></a>(22,75)10 -—> (3)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org6e587a2"> +<li><a id="org6c3dfc2"></a>(22,75)10 -—> (3)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org6c3dfc2"> <p> -22/3 = 7 R <b>1</b> ; 7/3 = 2 R <b>1</b> ; 2/3 = 0 R <b>2</b> +22/3 = 7 R <b>1</b> ; 7/3 = 2 R <b>1</b> ; 2/3 = 0 R <b>2</b><br /> </p> <p> -0,75 x 3 = <b>2</b>.25 ; 0,25 x 3 = <b>0</b>.75 ….. +0,75 x 3 = <b>2</b>.25 ; 0,25 x 3 = <b>0</b>.75 …..<br /> </p> <p> -(22,75)10 -—> (211, <span class="underline">20</span>) +(22,75)10 -—> (211, <span class="underline">20</span>)<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org5ed87ae"></a>(10110,11)2 -—> (8)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org5ed87ae"> +<li><a id="orge88c948"></a>(10110,11)2 -—> (8)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orge88c948"> <p> -8 = 2³ ; (010 110,110)2 -—> (?)8 +8 = 2³ ; (010 110,110)2 -—> (?)8<br /> </p> <p> -En utilisant le tableau 3bits : +En utilisant le tableau 3bits :<br /> </p> <p> -010 : 2 ; 110 : 6 ; 110 : 6 +010 : 2 ; 110 : 6 ; 110 : 6<br /> </p> <p> -(10110,11)2 -—> (26,6)8 +(10110,11)2 -—> (26,6)8<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org941eaad"></a>(22,75)10 -—> (16)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org941eaad"> +<li><a id="org4fb7e1d"></a>(22,75)10 -—> (16)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org4fb7e1d"> <p> -22/16 = 1 R <b>6</b> ; 1/16 : 0 R <b>F</b> +22/16 = 1 R <b>6</b> ; 1/16 : 0 R <b>F</b><br /> </p> <p> -0,75 x 16 = <b>C</b> +0,75 x 16 = <b>C</b><br /> </p> <p> -(22,75)10 -—> (F6,C)16 +(22,75)10 -—> (F6,C)16<br /> </p> </div> </li> </ul> </li> -<li><a id="org14d08d6"></a>(1254,1)8<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org14d08d6"> +<li><a id="org292d7d0"></a>(1254,1)8<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org292d7d0"> <p> -4 x 8° + 5 x 8¹ + 2 x 8² + 1 x 8³ + 1 x 8¯¹ = (684,125)10 +4 x 8° + 5 x 8¹ + 2 x 8² + 1 x 8³ + 1 x 8¯¹ = (684,125)10<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgd83dbd8"></a>(1254,1)8 -—> (?)2<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgd83dbd8"> +<li><a id="org99a3fe3"></a>(1254,1)8 -—> (?)2<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org99a3fe3"> <p> -En utilisant le tableau 3bits : +En utilisant le tableau 3bits :<br /> </p> <p> -001 010 101 100,001 <i>We will get rid of the leading zeros</i> +001 010 101 100,001 <i>We will get rid of the leading zeros</i><br /> </p> <p> -(1010101100,001)2 +(1010101100,001)2<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org1897d7c"></a>(684,125)10 -—> (?)3<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org1897d7c"> +<li><a id="orge446096"></a>(684,125)10 -—> (?)3<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orge446096"> <p> -684/3 = 228 R <b>0</b> ; 228/3 = 76 R <b>0</b> ; 76/3 = 25 R <b>1</b> ; 25/3 = 8 R <b>1</b> ; 8/3 = 2 R <b>2</b> ; 2/3 = 0 R <b>2</b> +684/3 = 228 R <b>0</b> ; 228/3 = 76 R <b>0</b> ; 76/3 = 25 R <b>1</b> ; 25/3 = 8 R <b>1</b> ; 8/3 = 2 R <b>2</b> ; 2/3 = 0 R <b>2</b><br /> </p> <p> -0,125 x 3 = <b>0</b>,375 ; 0,375 x 3 = <b>1</b>,125 +0,125 x 3 = <b>0</b>,375 ; 0,375 x 3 = <b>1</b>,125<br /> </p> <p> -(221100, <span class="underline">01</span>)3 +(221100, <span class="underline">01</span>)3<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org5d6fc0d"></a>(684,125)10 -—> (?)16<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org5d6fc0d"> +<li><a id="orge0fb548"></a>(684,125)10 -—> (?)16<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orge0fb548"> <p> -684/16 = 42 R <b>C</b> ; 42/16 = 2 R <b>A</b> ; 2/16 0 R <b>2</b> +684/16 = 42 R <b>C</b> ; 42/16 = 2 R <b>A</b> ; 2/16 0 R <b>2</b><br /> </p> <p> -0,125 x 16 = <b>2</b> +0,125 x 16 = <b>2</b><br /> </p> <p> -(2AC,2)16 +(2AC,2)16<br /> </p> </div> </li> </ul> </li> -<li><a id="orgdb748f1"></a>(F5B,A)16<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgdb748f1"> +<li><a id="orgfb0d2de"></a>(F5B,A)16<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgfb0d2de"> <p> -11 x 16° + 5 x 16 + 15 x 16² + 10 x 16¯¹ = (3931,625)10 +11 x 16° + 5 x 16 + 15 x 16² + 10 x 16¯¹ = (3931,625)10<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org68f19f3"></a>(3931,625)10 -—> (8)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org68f19f3"> +<li><a id="org6d462a6"></a>(3931,625)10 -—> (8)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org6d462a6"> <p> -3931/8 = 491 R <b>3</b> ; 491/8 = 61 R <b>3</b> ; 61/8 = 7 R <b>5</b> ; 7/8 = 0 R <b>7</b> +3931/8 = 491 R <b>3</b> ; 491/8 = 61 R <b>3</b> ; 61/8 = 7 R <b>5</b> ; 7/8 = 0 R <b>7</b><br /> </p> <p> -0,625 x 8 = <b>5</b> +0,625 x 8 = <b>5</b><br /> </p> <p> -(7533,5)8 +(7533,5)8<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org39a13c6"></a>(7533,5)8 -—> (2)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org39a13c6"> +<li><a id="orgd29b436"></a>(7533,5)8 -—> (2)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgd29b436"> <p> -En utilisant le tableau 3bits +En utilisant le tableau 3bits<br /> </p> <p> -(111 101 011 011,101)2 +(111 101 011 011,101)2<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org8613276"></a>(3931,625)10 -—> (3)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org8613276"> +<li><a id="org8bad2a2"></a>(3931,625)10 -—> (3)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org8bad2a2"> <p> -3931/3 = 1310 R <b>1</b> ; 1310/3 = 436 R <b>2</b> ; 436/3 = 145 R <b>1</b> ; 145/3 = 48 R <b>1</b> ; 48/3 = 16 R <b>0</b> ; 16/3 = 5 R <b>1</b> ; 5/3 = 1 R <b>2</b> ; 1/3 = 0 R <b>1</b> +3931/3 = 1310 R <b>1</b> ; 1310/3 = 436 R <b>2</b> ; 436/3 = 145 R <b>1</b> ; 145/3 = 48 R <b>1</b> ; 48/3 = 16 R <b>0</b> ; 16/3 = 5 R <b>1</b> ; 5/3 = 1 R <b>2</b> ; 1/3 = 0 R <b>1</b><br /> </p> <p> -0.625 x 3 = <b>1</b>,875 ; 0,875 x 3 = <b>2</b>,625 +0.625 x 3 = <b>1</b>,875 ; 0,875 x 3 = <b>2</b>,625<br /> </p> <p> -(1101121, <span class="underline">12</span>)3 +(1101121, <span class="underline">12</span>)3<br /> </p> </div> </li> </ul> </li> -<li><a id="orgf5ad2f0"></a>(52,38)10<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf5ad2f0"> +<li><a id="org57097a1"></a>(52,38)10<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org57097a1"> <p> -52/2 = 26 R <b>0</b> ; 26/2 = 13 R <b>0</b> ; 13/2 = 6 R <b>1</b> ; 6/2 = 3 R <b>0</b> ; 3/2 = 1 R <b>1</b> ; 1/2 = 0 R <b>1</b> +52/2 = 26 R <b>0</b> ; 26/2 = 13 R <b>0</b> ; 13/2 = 6 R <b>1</b> ; 6/2 = 3 R <b>0</b> ; 3/2 = 1 R <b>1</b> ; 1/2 = 0 R <b>1</b><br /> </p> <p> -0,38 x 2 = <b>0</b>,76 ; 0,76 x 2 = <b>1</b>,52 ; 0,52 x 2 = <b>1</b>,04 ; 0,04 x 2 = <b>0</b>,08 …. +0,38 x 2 = <b>0</b>,76 ; 0,76 x 2 = <b>1</b>,52 ; 0,52 x 2 = <b>1</b>,04 ; 0,04 x 2 = <b>0</b>,08 ….<br /> </p> <p> -(110100,0110)2 +(110100,0110)2<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org40d1958"></a>(52,38)10 -—> (3)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org40d1958"> +<li><a id="orgd025707"></a>(52,38)10 -—> (3)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgd025707"> <p> -52/3 = 17 R <b>1</b> ; 17/3 = 5 R <b>2</b> ; 5/3 = 1 R <b>2</b> ; 1/3 = 0 R <b>1</b> +52/3 = 17 R <b>1</b> ; 17/3 = 5 R <b>2</b> ; 5/3 = 1 R <b>2</b> ; 1/3 = 0 R <b>1</b><br /> </p> <p> -0,38 x 3 = <b>1</b>.14 ; 0,14 x 3 = <b>0</b>.42 ; 0,42 x 3 = <b>1</b>.26 ; 0.26 x 3 = <b>0</b>.78 … +0,38 x 3 = <b>1</b>.14 ; 0,14 x 3 = <b>0</b>.42 ; 0,42 x 3 = <b>1</b>.26 ; 0.26 x 3 = <b>0</b>.78 …<br /> </p> <p> -(1221,101)3 +(1221,101)3<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org15b5aba"></a>(110100,011)2 -—> (8)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org15b5aba"> +<li><a id="orgab973d1"></a>(110100,011)2 -—> (8)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgab973d1"> <p> -En utilisant le tableau 3bits: +En utilisant le tableau 3bits:<br /> </p> <p> -(110 100,011)2 -—> (64,3)8 +(110 100,011)2 -—> (64,3)8<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org495819e"></a>(52,38)10 -—> (16)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org495819e"> +<li><a id="org50d8d80"></a>(52,38)10 -—> (16)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org50d8d80"> <p> -52/16 = 3 R <b>4</b> ; 3/16 = 0 R <b>3</b> +52/16 = 3 R <b>4</b> ; 3/16 = 0 R <b>3</b><br /> </p> <p> -0,38 x 16 = <b>6</b>,08 ; 0,08 x 16 = <b>1</b>,28 ; 0,28 x 16 = <b>4</b>,48 ; 0,48 x 16 = <b>7</b>,68 …. +0,38 x 16 = <b>6</b>,08 ; 0,08 x 16 = <b>1</b>,28 ; 0,28 x 16 = <b>4</b>,48 ; 0,48 x 16 = <b>7</b>,68 ….<br /> </p> <p> -(34,6147)16 +(34,6147)16<br /> </p> </div> </li> </ul> </li> -<li><a id="orga49bba8"></a>(23,5)3<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga49bba8"> +<li><a id="org2bdeb3d"></a>(23,5)3<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2bdeb3d"> <p> -3 x 3° + 2 x 3 + 5 x 3¯¹ = (10.67)10 +3 x 3° + 2 x 3 + 5 x 3¯¹ = (10.67)10<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org2b7d27e"></a>(10,67)10 -—> (2)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org2b7d27e"> +<li><a id="orgf125330"></a>(10,67)10 -—> (2)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgf125330"> <p> -10/2 = 5 R <b>0</b> ; 5/2 = 2 R <b>1</b> ; 2/2 = 1 R <b>0</b> ; 1/2 = 0 R <b>1</b> +10/2 = 5 R <b>0</b> ; 5/2 = 2 R <b>1</b> ; 2/2 = 1 R <b>0</b> ; 1/2 = 0 R <b>1</b><br /> </p> <p> -0,67 x 2 = <b>1</b>,34 ; 0,34 x 2 = <b>0</b>,68 ; 0,68 x 2 = <b>1</b>,36 ; 0,36 x 2 = <b>0</b>,72 … +0,67 x 2 = <b>1</b>,34 ; 0,34 x 2 = <b>0</b>,68 ; 0,68 x 2 = <b>1</b>,36 ; 0,36 x 2 = <b>0</b>,72 …<br /> </p> <p> -(1010,101)2 +(1010,101)2<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org7aad862"></a>(001 010,101)2 -—> (8)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org7aad862"> +<li><a id="org01986b3"></a>(001 010,101)2 -—> (8)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org01986b3"> <p> -<b>Ô Magic 3bits table, save me soul, me children and me maiden:</b> +<b>Ô Magic 3bits table, save me soul, me children and me maiden:</b><br /> </p> <p> -(12,5)8 +(12,5)8<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgdb90500"></a>(10,67)10 -—> (16)<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgdb90500"> +<li><a id="orge9fb812"></a>(10,67)10 -—> (16)<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orge9fb812"> <p> -10/16 = 0 R <b>A</b> +10/16 = 0 R <b>A</b><br /> </p> <p> -0,67 x 16 = <b>A</b>,72 ; 0,72 x 16 = <b>B</b>,52 ; 0,52 x 16 = <b>8</b>,32 ; 0,32 x 16 = <b>5</b>,12 … +0,67 x 16 = <b>A</b>,72 ; 0,72 x 16 = <b>B</b>,52 ; 0,52 x 16 = <b>8</b>,32 ; 0,32 x 16 = <b>5</b>,12 …<br /> </p> <p> -(A,AB85)16 +(A,AB85)16<br /> </p> </div> </li> @@ -743,148 +811,148 @@ En utilisant le tableau 3bits: </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgd9aad1c" class="outline-4"> -<h4 id="orgd9aad1c">Exo2:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd9aad1c"> +<div id="outline-container-org252f0f1" class="outline-4"> +<h4 id="org252f0f1">Exo2:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org252f0f1"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org9a44306"></a>(34)? = (22)10<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9a44306"> +<li><a id="org78302fe"></a>(34)? = (22)10<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org78302fe"> <p> -(34)a = (22)10 ; 4 x a° + 3 x a = 22 ; 4 + 3a = 22 ; 3a = 18 +(34)a = (22)10 ; 4 x a° + 3 x a = 22 ; 4 + 3a = 22 ; 3a = 18<br /> </p> <p> -<b>a = 6</b> +<b>a = 6</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org621cd70"></a>(75)? = (117)10<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org621cd70"> +<li><a id="orgd4608a4"></a>(75)? = (117)10<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgd4608a4"> <p> -(75)b = (117)10 ; 5 x b° + 7 x b¹ = 117 ; 5 + 7b = 117 ; 7b = 112 +(75)b = (117)10 ; 5 x b° + 7 x b¹ = 117 ; 5 + 7b = 117 ; 7b = 112<br /> </p> <p> -<b>b = 16</b> +<b>b = 16</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org25943b2" class="outline-4"> -<h4 id="org25943b2">Exo3:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org25943b2"> +<div id="outline-container-org6eddf76" class="outline-4"> +<h4 id="org6eddf76">Exo3:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6eddf76"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orge98e1b3"></a>(101011)2 + (111011)2<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orge98e1b3"> +<li><a id="orgf77b9e1"></a>(101011)2 + (111011)2<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf77b9e1"> <p> -101011 + 111011 = 1100110 +101011 + 111011 = 1100110<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org9336956"></a>(1011,1101)2 + (11,1)2<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9336956"> +<li><a id="org5d8eb1f"></a>(1011,1101)2 + (11,1)2<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org5d8eb1f"> <p> -1011,1101 + 11,1000 = 1111,0101 +1011,1101 + 11,1000 = 1111,0101<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org8a605df"></a>(1010,0101)2 - (110,1001)2<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8a605df"> +<li><a id="org21abe9e"></a>(1010,0101)2 - (110,1001)2<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org21abe9e"> <p> -1010,0101 - 110,1001 = 11,1100 +1010,0101 - 110,1001 = 11,1100<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd1bb996" class="outline-3"> -<h3 id="orgd1bb996">L’arithmétique binaire (Suite): <i>Oct 4</i></h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgd1bb996"> +<div id="outline-container-org5dab3ee" class="outline-3"> +<h3 id="org5dab3ee">L’arithmétique binaire (Suite): <i>Oct 4</i></h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5dab3ee"> </div> -<div id="outline-container-org1a9b0f2" class="outline-4"> -<h4 id="org1a9b0f2">La multiplication :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1a9b0f2"> +<div id="outline-container-orgeef95ed" class="outline-4"> +<h4 id="orgeef95ed">La multiplication :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgeef95ed"> <p> -0 x 0 = 0 +0 x 0 = 0<br /> </p> <p> -0 x 1 = 0 +0 x 1 = 0<br /> </p> <p> -1 x 0 = 0 +1 x 0 = 0<br /> </p> <p> -1 x 1 = 1 +1 x 1 = 1<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org17f1eab" class="outline-4"> -<h4 id="org17f1eab">La division :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org17f1eab"> +<div id="outline-container-org61d7a42" class="outline-4"> +<h4 id="org61d7a42">La division :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org61d7a42"> <p> -On divise de la manière la plus normale du monde !!! +On divise de la manière la plus normale du monde !!!<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org4e457be" class="outline-2"> -<h2 id="org4e457be">4th cours : Le codage <i>Oct 10</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org4e457be"> +<div id="outline-container-org13a09f6" class="outline-2"> +<h2 id="org13a09f6">4th cours : Le codage <i>Oct 10</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org13a09f6"> </div> -<div id="outline-container-org8c7cda2" class="outline-3"> -<h3 id="org8c7cda2">Le codage des entiers positifs</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org8c7cda2"> +<div id="outline-container-orga64db01" class="outline-3"> +<h3 id="orga64db01">Le codage des entiers positifs</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orga64db01"> <p> -Le codage sur n bits permet de representer tout les entiers naturels compris entre [0, 2^n - 1]. On peut coder sur 8bits les entiers entre [0;2^8 - 1(255)] +Le codage sur n bits permet de representer tout les entiers naturels compris entre [0, 2^n - 1]. On peut coder sur 8bits les entiers entre [0;2^8 - 1(255)]<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1aa2cfc" class="outline-3"> -<h3 id="org1aa2cfc">Le codage des nombres relatifs</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1aa2cfc"> +<div id="outline-container-orgbadc2c8" class="outline-3"> +<h3 id="orgbadc2c8">Le codage des nombres relatifs</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgbadc2c8"> </div> -<div id="outline-container-orgc29141b" class="outline-4"> -<h4 id="orgc29141b">Remarque</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc29141b"> +<div id="outline-container-org559b9bd" class="outline-4"> +<h4 id="org559b9bd">Remarque</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org559b9bd"> <p> -Quelque soit le codage utilise, par convention le dernier bit est reserve pour le signe. ou 1 est negatif et 0 est positif. +Quelque soit le codage utilise, par convention le dernier bit est reserve pour le signe. ou 1 est negatif et 0 est positif.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4899ed4" class="outline-4"> -<h4 id="org4899ed4">Le codage en signe + valeur absolue (SVA):</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4899ed4"> +<div id="outline-container-org89e4ffc" class="outline-4"> +<h4 id="org89e4ffc">Le codage en signe + valeur absolue (SVA):</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org89e4ffc"> <p> -Avec n bits le n eme est reserve au signe : [-(2^n-1)-1 , 2^n-1 -1]. Sur 8bits [-127, 127] +Avec n bits le n eme est reserve au signe : [-(2^n-1)-1 , 2^n-1 -1]. Sur 8bits [-127, 127]<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc410845" class="outline-4"> -<h4 id="orgc410845">Codage en compliment a 1 (CR):</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc410845"> +<div id="outline-container-orgd4a1b6d" class="outline-4"> +<h4 id="orgd4a1b6d">Codage en compliment a 1 (CR):</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd4a1b6d"> <p> -On obtiens le compliment a 1 d’un nombre binaire en inversant chaqu’un de ses bits (1 -> 0 et 0-> 1) les nombres positifs sont la meme que SVA (il reste tel qu’il est) +On obtiens le compliment a 1 d’un nombre binaire en inversant chaqu’un de ses bits (1 -> 0 et 0-> 1) les nombres positifs sont la meme que SVA (il reste tel qu’il est)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb19633c" class="outline-4"> -<h4 id="orgb19633c">Codage en compliment a 2 (CV):</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb19633c"> +<div id="outline-container-org20bc2ba" class="outline-4"> +<h4 id="org20bc2ba">Codage en compliment a 2 (CV):</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org20bc2ba"> <p> -C’est literallement CR + 1 pour les negatifs et SVA pour les nombres positifs +C’est literallement CR + 1 pour les negatifs et SVA pour les nombres positifs<br /> </p> </div> </div> @@ -893,7 +961,7 @@ C’est literallement CR + 1 pour les negatifs et SVA pour les nombres posit </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-10-11 Wed 19:53</p> +<p class="date">Created: 2023-10-20 Fri 14:44</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file |