diff options
| -rwxr-xr-x | src/org/uni_notes/algebra1.org | 3 | ||||
| -rwxr-xr-x | src/org/uni_notes/analyse1.org | 79 | ||||
| -rwxr-xr-x | uni_notes/analyse.html | 1010 |
3 files changed, 694 insertions, 398 deletions
diff --git a/src/org/uni_notes/algebra1.org b/src/org/uni_notes/algebra1.org index bc4f529..db3ab4c 100755 --- a/src/org/uni_notes/algebra1.org +++ b/src/org/uni_notes/algebra1.org @@ -11,7 +11,8 @@ #+HTML_LINK_HOME: https://crystal.tilde.institute/ #+HTML_LINK_UP: ../../../uni_notes/ #+OPTIONS: tex:imagemagick -#+HTML_HEAD: <link rel="icon" type="image/x-icon" href="https://crystal.tilde.institute/favicon.png"> +#+HTML_HEAD: <link rel="icon" type="image/x-icon" href="favicon.ico"> + * Contenu de la Matiére ** Rappels et compléments (11H) - Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index 545ef2d..e98909a 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -496,3 +496,82 @@ c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge 1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente ** Théorème de Bolzano Weirstrass: On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée +* Chapitre 3 : Les limites et la continuité /Nov 14/ +** Fonction réelle à variable réelle : +Soit f: I --> ℝ , I ⊂= ℝ + x --> f(x) +*** L'ensemble de départ : +L'ensemble de définition (Df) +**** Propriétés: +Soit f et g deux fonctions : +f : I --> ℝ + x --> f(x) + +g : I --> ℝ + x --> g(x) +***** 1) f+g +(g+f): I --> ℝ + x --> (f+g)(x) = f(x) + g(x) +***** 2) λf +∀λ ∈ ℝ : λf : I --> ℝ + x --> (λf)(x) = λf(x) +***** 3) f*g +(f*g): I --> ℝ + x --> (f*g)(x) = f(x) x g(x) +***** 4) f/g +f/g : I --> ℝ + x --> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0 +*** Les Limites : +f: I --> ℝ + x --> f(x) + x_{0} ∈ I ; x_{0} extrémité de l'intervalle. + + Lim_{x --> x_{0}} f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x_{0} +**** Lim_{x --> x_{0}} f(x) = l +\|x - x_{0}\| < ẟ , \|f(x) - l| < ε + +*** La continuité : +Soit f: I --> ℝ I = Df + x --> f(x) x_{0} ∈ I +f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f(x) = f(x_{0}) +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , \|x - x_{0}\| < ẟ ⇒ \|f(x) - f(x_{0})\| < ε +*** Prolongement par continuité : +Soit f: I/\{x_{0}\} --> ℝ + x --> f(x) + +Si lim_{x --> x_{0}} f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} + +On défini : ⎡f(x) si x ≠ x_{0} + f~ = | + ⎣l si x = x_{0} + f~ : I --> ℝ + x --> f(x) +*** Théorème des valeurs intermédiaires : +f : [a,b] --> ℝ +Si f est continue sur [a,b] +Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x) + +1. Si f est continue sur [a,b] ⎫ + ⎬ ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 +2. Si f(a) * f(b) < 0 ⎭ +*** Fonction croissante : +f: I --> J + f est croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I + x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) ≤ f(x_{2}) + + f est strictement croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I + x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) < f(x_{2}) + +Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée. +*** Injection = Strictement monotonne : +f: I --> J +f est injective si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I , f(x_{1}) = f(x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} +*** Surjection = Continuité : +f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x) +*** Bijection : +Si f est injective et surjective, alors f est bijective +f est bijective donc elle admet une bijection réciproque +*** Théorème de bijection : +Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective. +f admet une bijection réciproque f_{-1}. +f_{-1} a le même sens de variation que f. diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index c0f1f20..1a59ed8 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-11-01 Wed 20:16 --> +<!-- 2023-11-14 Tue 22:45 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>Analyse 1</title> @@ -24,176 +24,194 @@ <h2>Table of Contents</h2> <div id="text-table-of-contents" role="doc-toc"> <ul> -<li><a href="#org96a1915">Contenu de la Matiére</a> +<li><a href="#orgeaf8afd">Contenu de la Matiére</a> <ul> -<li><a href="#org92a5c1e">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> -<li><a href="#org43abd6f">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> -<li><a href="#orgb7dbd4d">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> -<li><a href="#orgb39022d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> -<li><a href="#orgbfa8dc6">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> +<li><a href="#org60493c9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> +<li><a href="#org9298c05">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> +<li><a href="#org84ae664">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> +<li><a href="#org1133d4d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> +<li><a href="#org451fa96">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org0e8210e">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> +<li><a href="#orgc1416af">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> <ul> -<li><a href="#org4b5ef0e">La loi de composition interne dans E :</a> +<li><a href="#org1e861f2">La loi de composition interne dans E :</a> <ul> -<li><a href="#org26ad93c"><b>Example : Addition</b></a></li> -<li><a href="#org716f99d"><b>Example : soustraction</b></a></li> +<li><a href="#org5dd86eb"><b>Example : Addition</b></a></li> +<li><a href="#org9c87146"><b>Example : soustraction</b></a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgcd239ec">La loi de composition externe dans E :</a></li> -<li><a href="#org6aa8256">Groupes :</a> +<li><a href="#org14c9dad">La loi de composition externe dans E :</a></li> +<li><a href="#org97b9be1">Groupes :</a> <ul> -<li><a href="#org3a88117">Il contiens un élement neutre</a></li> -<li><a href="#orgf17cd87">Il contiens un élément symétrique</a></li> -<li><a href="#org541a8aa">@ est cummutative :</a></li> +<li><a href="#org7a89d6e">Il contiens un élement neutre</a></li> +<li><a href="#org8d9b425">Il contiens un élément symétrique</a></li> +<li><a href="#orgee13975">@ est cummutative :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org325ac76">Anneaux :</a> +<li><a href="#org9f8ce52">Anneaux :</a> <ul> -<li><a href="#orgb12d61b">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> -<li><a href="#org2f6c910">! est une loi associative :</a></li> -<li><a href="#org288714a">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> -<li><a href="#org92b8438">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> -<li><a href="#org12cac33">! est cummutative :</a></li> +<li><a href="#org9ba4ed7">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> +<li><a href="#org01c0cac">! est une loi associative :</a></li> +<li><a href="#org128b9ba">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> +<li><a href="#orgbb22207">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> +<li><a href="#org35e765f">! est cummutative :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgbdac47c">Corps :</a> +<li><a href="#org4c3e23d">Corps :</a> <ul> -<li><a href="#orgea3147a">La symétrie :</a></li> +<li><a href="#org287426e">La symétrie :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org012a6fe">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> +<li><a href="#org3e4111f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> <ul> -<li><a href="#org0934303">Est-ce un Anneau ?</a></li> -<li><a href="#orgb7020c8">Est-ce un corps ?</a></li> +<li><a href="#org510dbc3">Est-ce un Anneau ?</a></li> +<li><a href="#orgea9e72f">Est-ce un corps ?</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#orgabdfea2">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> +<li><a href="#org348c9dc">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> <ul> -<li><a href="#org30b59ae">L’ordre dans ℝ</a> +<li><a href="#orgb495a3f">L’ordre dans ℝ</a> <ul> -<li><a href="#org86a0035">Exemples :</a></li> +<li><a href="#orgb30fa8b">Exemples :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org43ad665">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> +<li><a href="#org9797df4">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> <ul> -<li><a href="#orgb6fd133">Majorant:</a></li> -<li><a href="#org186a70c">Minorant:</a></li> -<li><a href="#org64b766d">Borne supérieure:</a></li> -<li><a href="#org11d4c50">Borne inférieure:</a></li> -<li><a href="#orge205f5a">Maximum :</a></li> -<li><a href="#org1afad1e">Minimum :</a></li> -<li><a href="#orge3a6538">Remarques :</a></li> +<li><a href="#org945d778">Majorant:</a></li> +<li><a href="#org8be15b0">Minorant:</a></li> +<li><a href="#org8dce575">Borne supérieure:</a></li> +<li><a href="#org1e6b0d9">Borne inférieure:</a></li> +<li><a href="#org009fa9a">Maximum :</a></li> +<li><a href="#org52198cb">Minimum :</a></li> +<li><a href="#orgccc12e8">Remarques :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org286c633">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> +<li><a href="#org59cb914">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> <ul> <li> <ul> -<li><a href="#org2a95022">Définition :</a></li> -<li><a href="#org1bec8d7">Définition N°2 :</a></li> +<li><a href="#orgb0dc89c">Définition :</a></li> +<li><a href="#org9475529">Définition N°2 :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgf0c88cd">Opérations sur les suites :</a> +<li><a href="#org8a8d1d3">Opérations sur les suites :</a> <ul> -<li><a href="#org2163510">La somme :</a></li> -<li><a href="#org1ec5af6">Le produit :</a></li> -<li><a href="#orgbdb350d">Inverse d’une suite :</a></li> -<li><a href="#orge5cf6d9">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> +<li><a href="#orgf4e0a6d">La somme :</a></li> +<li><a href="#org3a5f183">Le produit :</a></li> +<li><a href="#orgb278785">Inverse d’une suite :</a></li> +<li><a href="#org14eeccd">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org2bab5af">Suite bornée :</a></li> -<li><a href="#org8aa293b">Suite majorée :</a></li> -<li><a href="#org83e8a37">Suite minorée :</a></li> -<li><a href="#org4a078cc">Suites monotones :</a> +<li><a href="#org1cf9196">Suite bornée :</a></li> +<li><a href="#orgc2da8da">Suite majorée :</a></li> +<li><a href="#orga0d43ce">Suite minorée :</a></li> +<li><a href="#org40d1f38">Suites monotones :</a> <ul> -<li><a href="#orgeb783d1">Les suites croissantes :</a></li> -<li><a href="#orgcc61cbf">Les suites décroissantes :</a></li> +<li><a href="#orgf7df4a9">Les suites croissantes :</a></li> +<li><a href="#orgd895f98">Les suites décroissantes :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org9be42e0">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> +<li><a href="#org1aa6640">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> <ul> -<li><a href="#orgd3e58b6">Exo 1 :</a> +<li><a href="#orgd87b22d">Exo 1 :</a> <ul> -<li><a href="#org0087dc5">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#org4c859a3">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#org2ad9bb3">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#orgde49b00">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#orgb857fc5">Ensemble E :</a></li> +<li><a href="#org5f6303c">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#org90b78ba">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#orgab077c5">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#orga05bed3">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#orgab9a959">Ensemble E :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org3241c28">Exo 2 :</a> +<li><a href="#org2cefd43">Exo 2 :</a> <ul> -<li><a href="#org77ffa3e">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#org151d601">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#orgbc1efd9">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#org0eda8d2">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#org9b9b691">Ensemble E :</a></li> +<li><a href="#orgbaa1183">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#org03e8649">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#org8cc31a5">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#org4b422ef">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#org0031576">Ensemble E :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org36dc1da">Exo 3 :</a> +<li><a href="#org23d3aa9">Exo 3 :</a> <ul> -<li><a href="#org7999092">Question 1 :</a></li> -<li><a href="#orgb9f7a15">Question 2 :</a></li> +<li><a href="#org8f4db0d">Question 1 :</a></li> +<li><a href="#org88560e9">Question 2 :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org3da135e">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> +<li><a href="#org4970134">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> <ul> -<li><a href="#org639877a">Les suites convergentes</a> +<li><a href="#org5c60eae">Les suites convergentes</a> <ul> -<li><a href="#orgce5e8f7">Remarque :</a></li> +<li><a href="#orga236792">Remarque :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orga659f1f">Theoreme d’encadrement</a></li> -<li><a href="#org4c1ed41">Suites arithmetiques</a> +<li><a href="#org3d47a4f">Theoreme d’encadrement</a></li> +<li><a href="#org77a6269">Suites arithmetiques</a> <ul> -<li><a href="#org5b887fd">Forme general</a></li> -<li><a href="#orgbd36410">Somme des n premiers termes</a></li> +<li><a href="#org41f14af">Forme general</a></li> +<li><a href="#orge969e67">Somme des n premiers termes</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orge060a6b">Suites géométriques</a> +<li><a href="#org20c5c6c">Suites géométriques</a> <ul> -<li><a href="#org7eb64b7">Forme general</a></li> -<li><a href="#org4a1c78c">Somme des n premiers termes</a></li> +<li><a href="#orga1b0a76">Forme general</a></li> +<li><a href="#org2cf893f">Somme des n premiers termes</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org9ad98cf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> +<li><a href="#orge46a49e">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> <ul> -<li><a href="#org3ef59f2">Suites adjacentes:</a></li> -<li><a href="#org05716a0">Suites extraites (sous-suites):</a> +<li><a href="#org43d5be5">Suites adjacentes:</a></li> +<li><a href="#org71762d4">Suites extraites (sous-suites):</a> <ul> -<li><a href="#org312cfda">Remarques:</a></li> +<li><a href="#orgc5524fb">Remarques:</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgbfa31ac">Suites de Cauchy:</a> +<li><a href="#org43ca2f6">Suites de Cauchy:</a> <ul> -<li><a href="#org60c9452">Remarque :</a></li> +<li><a href="#org452a0a9">Remarque :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org6164449">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgde4cc4a">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></a> +<ul> +<li><a href="#orgcf38f4d">Fonction réelle à variable réelle :</a> +<ul> +<li><a href="#org7714aa5">L’ensemble de départ :</a></li> +<li><a href="#orgace65ab">Les Limites :</a></li> +<li><a href="#orgb435746">La continuité :</a></li> +<li><a href="#org8f8345e">Prolongement par continuité :</a></li> +<li><a href="#orge3fed44">Théorème des valeurs intermédiaires :</a></li> +<li><a href="#orgc40e618">Fonction croissante :</a></li> +<li><a href="#org2be852d">Injection = Strictement monotonne :</a></li> +<li><a href="#org22072c4">Surjection = Continuité :</a></li> +<li><a href="#orgebeba8b">Bijection :</a></li> +<li><a href="#orge61507c">Théorème de bijection :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org678d2ef">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> </ul> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org96a1915" class="outline-2"> -<h2 id="org96a1915">Contenu de la Matiére</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org96a1915"> +<div id="outline-container-orgeaf8afd" class="outline-2"> +<h2 id="orgeaf8afd">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgeaf8afd"> </div> -<div id="outline-container-org92a5c1e" class="outline-3"> -<h3 id="org92a5c1e">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org92a5c1e"> +<div id="outline-container-org60493c9" class="outline-3"> +<h3 id="org60493c9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org60493c9"> <ul class="org-ul"> <li>Structure algébrique de ℝ<br /></li> <li>L’ordre dans ℝ<br /></li> @@ -201,9 +219,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org43abd6f" class="outline-3"> -<h3 id="org43abd6f">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org43abd6f"> +<div id="outline-container-org9298c05" class="outline-3"> +<h3 id="org9298c05">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9298c05"> <ul class="org-ul"> <li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li> <li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li> @@ -211,9 +229,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb7dbd4d" class="outline-3"> -<h3 id="orgb7dbd4d">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb7dbd4d"> +<div id="outline-container-org84ae664" class="outline-3"> +<h3 id="org84ae664">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org84ae664"> <ul class="org-ul"> <li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li> <li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li> @@ -221,17 +239,17 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb39022d" class="outline-3"> -<h3 id="orgb39022d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb39022d"> +<div id="outline-container-org1133d4d" class="outline-3"> +<h3 id="org1133d4d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1133d4d"> <ul class="org-ul"> <li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbfa8dc6" class="outline-3"> -<h3 id="orgbfa8dc6">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbfa8dc6"> +<div id="outline-container-org451fa96" class="outline-3"> +<h3 id="org451fa96">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org451fa96"> <ul class="org-ul"> <li>Comparaison asymptotique<br /></li> <li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li> @@ -242,13 +260,13 @@ </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org0e8210e" class="outline-2"> -<h2 id="org0e8210e">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org0e8210e"> +<div id="outline-container-orgc1416af" class="outline-2"> +<h2 id="orgc1416af">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgc1416af"> </div> -<div id="outline-container-org4b5ef0e" class="outline-3"> -<h3 id="org4b5ef0e">La loi de composition interne dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4b5ef0e"> +<div id="outline-container-org1e861f2" class="outline-3"> +<h3 id="org1e861f2">La loi de composition interne dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1e861f2"> <p> @ : E x E —> E<br /> (x,y) —> x @ y<br /> @@ -262,9 +280,9 @@ <b>∀ x,y ε E</b><br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org26ad93c" class="outline-4"> -<h4 id="org26ad93c"><b>Example : Addition</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org26ad93c"> +<div id="outline-container-org5dd86eb" class="outline-4"> +<h4 id="org5dd86eb"><b>Example : Addition</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org5dd86eb"> <p> Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br /> </p> @@ -286,9 +304,9 @@ Donc : + est L.C.I dans ℕ<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org716f99d" class="outline-4"> -<h4 id="org716f99d"><b>Example : soustraction</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org716f99d"> +<div id="outline-container-org9c87146" class="outline-4"> +<h4 id="org9c87146"><b>Example : soustraction</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9c87146"> <p> Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </p> @@ -308,9 +326,9 @@ Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcd239ec" class="outline-3"> -<h3 id="orgcd239ec">La loi de composition externe dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcd239ec"> +<div id="outline-container-org14c9dad" class="outline-3"> +<h3 id="org14c9dad">La loi de composition externe dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org14c9dad"> <p> @ est L.C.E dans E, K est un corps<br /> </p> @@ -328,9 +346,9 @@ K x E —> E<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org6aa8256" class="outline-3"> -<h3 id="org6aa8256">Groupes :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org6aa8256"> +<div id="outline-container-org97b9be1" class="outline-3"> +<h3 id="org97b9be1">Groupes :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org97b9be1"> <p> <i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br /> </p> @@ -339,9 +357,9 @@ K x E —> E<br /> (E, @) est un groupe Si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org3a88117" class="outline-4"> -<h4 id="org3a88117">Il contiens un élement neutre</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3a88117"> +<div id="outline-container-org7a89d6e" class="outline-4"> +<h4 id="org7a89d6e">Il contiens un élement neutre</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org7a89d6e"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br /> </p> @@ -359,9 +377,9 @@ On appelle <b>e</b> élement neutre<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf17cd87" class="outline-4"> -<h4 id="orgf17cd87">Il contiens un élément symétrique</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf17cd87"> +<div id="outline-container-org8d9b425" class="outline-4"> +<h4 id="org8d9b425">Il contiens un élément symétrique</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8d9b425"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br /> </p> @@ -383,9 +401,9 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org541a8aa" class="outline-4"> -<h4 id="org541a8aa">@ est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org541a8aa"> +<div id="outline-container-orgee13975" class="outline-4"> +<h4 id="orgee13975">@ est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgee13975"> <p> ∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br /> </p> @@ -396,19 +414,19 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org325ac76" class="outline-3"> -<h3 id="org325ac76">Anneaux :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org325ac76"> +<div id="outline-container-org9f8ce52" class="outline-3"> +<h3 id="org9f8ce52">Anneaux :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9f8ce52"> <p> Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgb12d61b" class="outline-4"> -<h4 id="orgb12d61b">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> +<div id="outline-container-org9ba4ed7" class="outline-4"> +<h4 id="org9ba4ed7">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> </div> -<div id="outline-container-org2f6c910" class="outline-4"> -<h4 id="org2f6c910">! est une loi associative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2f6c910"> +<div id="outline-container-org01c0cac" class="outline-4"> +<h4 id="org01c0cac">! est une loi associative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org01c0cac"> <p> ∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> @@ -418,9 +436,9 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org288714a" class="outline-4"> -<h4 id="org288714a">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org288714a"> +<div id="outline-container-org128b9ba" class="outline-4"> +<h4 id="org128b9ba">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org128b9ba"> <p> ∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> @@ -430,33 +448,33 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org92b8438" class="outline-4"> -<h4 id="org92b8438">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org92b8438"> +<div id="outline-container-orgbb22207" class="outline-4"> +<h4 id="orgbb22207">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbb22207"> <p> ∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org12cac33" class="outline-4"> -<h4 id="org12cac33">! est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org12cac33"> +<div id="outline-container-org35e765f" class="outline-4"> +<h4 id="org35e765f">! est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org35e765f"> <p> ∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbdac47c" class="outline-3"> -<h3 id="orgbdac47c">Corps :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbdac47c"> +<div id="outline-container-org4c3e23d" class="outline-3"> +<h3 id="org4c3e23d">Corps :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4c3e23d"> <p> (E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgea3147a" class="outline-4"> -<h4 id="orgea3147a">La symétrie :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgea3147a"> +<div id="outline-container-org287426e" class="outline-4"> +<h4 id="org287426e">La symétrie :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org287426e"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br /> </p> @@ -468,13 +486,13 @@ x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org012a6fe" class="outline-3"> -<h3 id="org012a6fe">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org012a6fe"> +<div id="outline-container-org3e4111f" class="outline-3"> +<h3 id="org3e4111f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3e4111f"> </div> -<div id="outline-container-org0934303" class="outline-4"> -<h4 id="org0934303">Est-ce un Anneau ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0934303"> +<div id="outline-container-org510dbc3" class="outline-4"> +<h4 id="org510dbc3">Est-ce un Anneau ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org510dbc3"> <ul class="org-ul"> <li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li> <li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li> @@ -488,9 +506,9 @@ Oui c’est un anneau<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb7020c8" class="outline-4"> -<h4 id="orgb7020c8">Est-ce un corps ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb7020c8"> +<div id="outline-container-orgea9e72f" class="outline-4"> +<h4 id="orgea9e72f">Est-ce un corps ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgea9e72f"> <ul class="org-ul"> <li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li> </ul> @@ -498,13 +516,13 @@ Oui c’est un anneau<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgabdfea2" class="outline-2"> -<h2 id="orgabdfea2">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgabdfea2"> +<div id="outline-container-org348c9dc" class="outline-2"> +<h2 id="org348c9dc">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org348c9dc"> </div> -<div id="outline-container-org30b59ae" class="outline-3"> -<h3 id="org30b59ae">L’ordre dans ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org30b59ae"> +<div id="outline-container-orgb495a3f" class="outline-3"> +<h3 id="orgb495a3f">L’ordre dans ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb495a3f"> <p> (ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br /> </p> @@ -530,13 +548,13 @@ R est reflexive :<br /> ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li> </ol> </div> -<div id="outline-container-org86a0035" class="outline-4"> -<h4 id="org86a0035">Exemples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org86a0035"> +<div id="outline-container-orgb30fa8b" class="outline-4"> +<h4 id="orgb30fa8b">Exemples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb30fa8b"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgeaa24ca"></a>Exemple numéro 1:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgeaa24ca"> +<li><a id="org0024cf5"></a>Exemple numéro 1:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org0024cf5"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> @@ -547,8 +565,8 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </p> </div> </li> -<li><a id="org13e92d7"></a>Exemple numéro 2:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org13e92d7"> +<li><a id="orgec13690"></a>Exemple numéro 2:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgec13690"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> @@ -563,13 +581,13 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org43ad665" class="outline-3"> -<h3 id="org43ad665">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org43ad665"> +<div id="outline-container-org9797df4" class="outline-3"> +<h3 id="org9797df4">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9797df4"> </div> -<div id="outline-container-orgb6fd133" class="outline-4"> -<h4 id="orgb6fd133">Majorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb6fd133"> +<div id="outline-container-org945d778" class="outline-4"> +<h4 id="org945d778">Majorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org945d778"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> @@ -580,9 +598,9 @@ Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org186a70c" class="outline-4"> -<h4 id="org186a70c">Minorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org186a70c"> +<div id="outline-container-org8be15b0" class="outline-4"> +<h4 id="org8be15b0">Minorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8be15b0"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> @@ -593,41 +611,41 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org64b766d" class="outline-4"> -<h4 id="org64b766d">Borne supérieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org64b766d"> +<div id="outline-container-org8dce575" class="outline-4"> +<h4 id="org8dce575">Borne supérieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8dce575"> <p> La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org11d4c50" class="outline-4"> -<h4 id="org11d4c50">Borne inférieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org11d4c50"> +<div id="outline-container-org1e6b0d9" class="outline-4"> +<h4 id="org1e6b0d9">Borne inférieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org1e6b0d9"> <p> La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge205f5a" class="outline-4"> -<h4 id="orge205f5a">Maximum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge205f5a"> +<div id="outline-container-org009fa9a" class="outline-4"> +<h4 id="org009fa9a">Maximum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org009fa9a"> <p> E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1afad1e" class="outline-4"> -<h4 id="org1afad1e">Minimum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1afad1e"> +<div id="outline-container-org52198cb" class="outline-4"> +<h4 id="org52198cb">Minimum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org52198cb"> <p> E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge3a6538" class="outline-4"> -<h4 id="orge3a6538">Remarques :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge3a6538"> +<div id="outline-container-orgccc12e8" class="outline-4"> +<h4 id="orgccc12e8">Remarques :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgccc12e8"> <p> A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> </p> @@ -643,13 +661,13 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org286c633" class="outline-2"> -<h2 id="org286c633">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org286c633"> +<div id="outline-container-org59cb914" class="outline-2"> +<h2 id="org59cb914">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org59cb914"> </div> -<div id="outline-container-org2a95022" class="outline-4"> -<h4 id="org2a95022">Définition :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2a95022"> +<div id="outline-container-orgb0dc89c" class="outline-4"> +<h4 id="orgb0dc89c">Définition :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb0dc89c"> <p> Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br /> </p> @@ -670,8 +688,8 @@ n -—> U(n) = Un<br /> </ol> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org4364064"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org4364064"> +<li><a id="orgc7177a3"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgc7177a3"> <p> U : ℕ* -—> ℝ<br /> </p> @@ -689,16 +707,16 @@ n -—> 1/n<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org1bec8d7" class="outline-4"> -<h4 id="org1bec8d7">Définition N°2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1bec8d7"> +<div id="outline-container-org9475529" class="outline-4"> +<h4 id="org9475529">Définition N°2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9475529"> <p> On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org0fd87c4"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org0fd87c4"> +<li><a id="org7aca821"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org7aca821"> <p> U(n+1) = Un /2<br /> </p> @@ -711,37 +729,37 @@ U(1)= 1<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgf0c88cd" class="outline-3"> -<h3 id="orgf0c88cd">Opérations sur les suites :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgf0c88cd"> +<div id="outline-container-org8a8d1d3" class="outline-3"> +<h3 id="org8a8d1d3">Opérations sur les suites :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org8a8d1d3"> </div> -<div id="outline-container-org2163510" class="outline-4"> -<h4 id="org2163510">La somme :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2163510"> +<div id="outline-container-orgf4e0a6d" class="outline-4"> +<h4 id="orgf4e0a6d">La somme :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf4e0a6d"> <p> Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1ec5af6" class="outline-4"> -<h4 id="org1ec5af6">Le produit :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1ec5af6"> +<div id="outline-container-org3a5f183" class="outline-4"> +<h4 id="org3a5f183">Le produit :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3a5f183"> <p> Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbdb350d" class="outline-4"> -<h4 id="orgbdb350d">Inverse d’une suite :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbdb350d"> +<div id="outline-container-orgb278785" class="outline-4"> +<h4 id="orgb278785">Inverse d’une suite :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb278785"> <p> Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge5cf6d9" class="outline-4"> -<h4 id="orge5cf6d9">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge5cf6d9"> +<div id="outline-container-org14eeccd" class="outline-4"> +<h4 id="org14eeccd">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org14eeccd"> <p> Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </p> @@ -753,17 +771,17 @@ Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org2bab5af" class="outline-3"> -<h3 id="org2bab5af">Suite bornée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2bab5af"> +<div id="outline-container-org1cf9196" class="outline-3"> +<h3 id="org1cf9196">Suite bornée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1cf9196"> <p> Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org8aa293b" class="outline-3"> -<h3 id="org8aa293b">Suite majorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org8aa293b"> +<div id="outline-container-orgc2da8da" class="outline-3"> +<h3 id="orgc2da8da">Suite majorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgc2da8da"> <p> Soit (Un) une suite<br /> </p> @@ -774,9 +792,9 @@ U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<b </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org83e8a37" class="outline-3"> -<h3 id="org83e8a37">Suite minorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org83e8a37"> +<div id="outline-container-orga0d43ce" class="outline-3"> +<h3 id="orga0d43ce">Suite minorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orga0d43ce"> <p> Soit (Un) une suite<br /> </p> @@ -787,13 +805,13 @@ U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<b </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4a078cc" class="outline-3"> -<h3 id="org4a078cc">Suites monotones :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4a078cc"> +<div id="outline-container-org40d1f38" class="outline-3"> +<h3 id="org40d1f38">Suites monotones :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org40d1f38"> </div> -<div id="outline-container-orgeb783d1" class="outline-4"> -<h4 id="orgeb783d1">Les suites croissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgeb783d1"> +<div id="outline-container-orgf7df4a9" class="outline-4"> +<h4 id="orgf7df4a9">Les suites croissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf7df4a9"> <p> Soit (Un)n est une suite<br /> </p> @@ -804,9 +822,9 @@ Soit (Un)n est une suite<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcc61cbf" class="outline-4"> -<h4 id="orgcc61cbf">Les suites décroissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgcc61cbf"> +<div id="outline-container-orgd895f98" class="outline-4"> +<h4 id="orgd895f98">Les suites décroissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd895f98"> <p> Soit (Un)n est une suite<br /> </p> @@ -819,45 +837,45 @@ Soit (Un)n est une suite<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org9be42e0" class="outline-2"> -<h2 id="org9be42e0">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org9be42e0"> +<div id="outline-container-org1aa6640" class="outline-2"> +<h2 id="org1aa6640">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org1aa6640"> </div> -<div id="outline-container-orgd3e58b6" class="outline-3"> -<h3 id="orgd3e58b6">Exo 1 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgd3e58b6"> +<div id="outline-container-orgd87b22d" class="outline-3"> +<h3 id="orgd87b22d">Exo 1 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgd87b22d"> </div> -<div id="outline-container-org0087dc5" class="outline-4"> -<h4 id="org0087dc5">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0087dc5"> +<div id="outline-container-org5f6303c" class="outline-4"> +<h4 id="org5f6303c">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org5f6303c"> <p> A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org0b6fb26"></a>Borne inférieure<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0b6fb26"> +<li><a id="orgf6ed584"></a>Borne inférieure<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf6ed584"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org62dc78e"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org62dc78e"> +<li><a id="org4167b5f"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org4167b5f"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgf29cc66"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf29cc66"> +<li><a id="org7070119"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7070119"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org754a088"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org754a088"> +<li><a id="org682d2b5"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org682d2b5"> <p> L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </p> @@ -865,16 +883,16 @@ L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org4c859a3" class="outline-4"> -<h4 id="org4c859a3">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4c859a3"> +<div id="outline-container-org90b78ba" class="outline-4"> +<h4 id="org90b78ba">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org90b78ba"> <p> B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org5b309e4"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org5b309e4"> +<li><a id="orge1736f7"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orge1736f7"> <p> Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))<br /> </p> @@ -890,8 +908,8 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’ </p> </div> </li> -<li><a id="org1f4610f"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org1f4610f"> +<li><a id="org7e945cc"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7e945cc"> <p> Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br /> </p> @@ -907,15 +925,15 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’ </p> </div> </li> -<li><a id="orge42ed6f"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orge42ed6f"> +<li><a id="org2cb0b85"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2cb0b85"> <p> <b>Min(B) = -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org6b202d0"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org6b202d0"> +<li><a id="org7ba6e83"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7ba6e83"> <p> L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -923,37 +941,37 @@ L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org2ad9bb3" class="outline-4"> -<h4 id="org2ad9bb3">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2ad9bb3"> +<div id="outline-container-orgab077c5" class="outline-4"> +<h4 id="orgab077c5">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgab077c5"> <p> C = {3n ,n ∈ ℕ}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org78a462a"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org78a462a"> +<li><a id="org39da55d"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org39da55d"> <p> Inf(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgd97c0b2"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd97c0b2"> +<li><a id="orgfdfb07e"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgfdfb07e"> <p> Sup(C) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org86f58f9"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org86f58f9"> +<li><a id="orgf972835"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf972835"> <p> Min(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgae16d77"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgae16d77"> +<li><a id="org4c30360"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org4c30360"> <p> L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -961,37 +979,37 @@ L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgde49b00" class="outline-4"> -<h4 id="orgde49b00">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgde49b00"> +<div id="outline-container-orga05bed3" class="outline-4"> +<h4 id="orga05bed3">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga05bed3"> <p> D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org820340a"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org820340a"> +<li><a id="org352bc4d"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org352bc4d"> <p> Inf(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org975f3e7"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org975f3e7"> +<li><a id="org54cba2c"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org54cba2c"> <p> Sup(D)= 1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org88d468a"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org88d468a"> +<li><a id="org83ebf6c"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org83ebf6c"> <p> Min(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org3aa5bd8"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org3aa5bd8"> +<li><a id="org2400862"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2400862"> <p> L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -999,9 +1017,9 @@ L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgb857fc5" class="outline-4"> -<h4 id="orgb857fc5">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb857fc5"> +<div id="outline-container-orgab9a959" class="outline-4"> +<h4 id="orgab9a959">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgab9a959"> <p> E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> @@ -1022,8 +1040,8 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org751c430"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org751c430"> +<li><a id="org06c91a3"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org06c91a3"> <p> Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))<br /> </p> @@ -1039,8 +1057,8 @@ Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgc22974d"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc22974d"> +<li><a id="orgb7b6f4c"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgb7b6f4c"> <p> Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br /> </p> @@ -1056,15 +1074,15 @@ sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orga73b811"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga73b811"> +<li><a id="org8727a13"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8727a13"> <p> Min(E)= -1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org1685ba6"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org1685ba6"> +<li><a id="orgb3e2612"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgb3e2612"> <p> E n’as pas de maximum<br /> </p> @@ -1073,20 +1091,20 @@ E n’as pas de maximum<br /> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org3241c28" class="outline-3"> -<h3 id="org3241c28">Exo 2 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3241c28"> +<div id="outline-container-org2cefd43" class="outline-3"> +<h3 id="org2cefd43">Exo 2 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2cefd43"> </div> -<div id="outline-container-org77ffa3e" class="outline-4"> -<h4 id="org77ffa3e">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org77ffa3e"> +<div id="outline-container-orgbaa1183" class="outline-4"> +<h4 id="orgbaa1183">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbaa1183"> <p> A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org3bdaec9"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org3bdaec9"> +<li><a id="orgc824f04"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc824f04"> <p> <b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3<br /> </p> @@ -1094,16 +1112,16 @@ A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org151d601" class="outline-4"> -<h4 id="org151d601">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org151d601"> +<div id="outline-container-org03e8649" class="outline-4"> +<h4 id="org03e8649">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org03e8649"> <p> B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgf630bc2"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf630bc2"> +<li><a id="org92c43ca"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org92c43ca"> <p> <b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b><br /> </p> @@ -1116,16 +1134,16 @@ B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgbc1efd9" class="outline-4"> -<h4 id="orgbc1efd9">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbc1efd9"> +<div id="outline-container-org8cc31a5" class="outline-4"> +<h4 id="org8cc31a5">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8cc31a5"> <p> C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orga289bfe"></a>Minoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga289bfe"> +<li><a id="orgfd47ee2"></a>Minoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgfd47ee2"> <p> <b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b><br /> </p> @@ -1133,16 +1151,16 @@ C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org0eda8d2" class="outline-4"> -<h4 id="org0eda8d2">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0eda8d2"> +<div id="outline-container-org4b422ef" class="outline-4"> +<h4 id="org4b422ef">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4b422ef"> <p> D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgeb91bff"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgeb91bff"> +<li><a id="orgdb47cb3"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgdb47cb3"> <p> <b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b><br /> </p> @@ -1155,16 +1173,16 @@ D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org9b9b691" class="outline-4"> -<h4 id="org9b9b691">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9b9b691"> +<div id="outline-container-org0031576" class="outline-4"> +<h4 id="org0031576">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0031576"> <p> E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org5f1feca"></a>Majoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org5f1feca"> +<li><a id="org48b2db0"></a>Majoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org48b2db0"> <p> p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </p> @@ -1173,16 +1191,16 @@ p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org36dc1da" class="outline-3"> -<h3 id="org36dc1da">Exo 3 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org36dc1da"> +<div id="outline-container-org23d3aa9" class="outline-3"> +<h3 id="org23d3aa9">Exo 3 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org23d3aa9"> <p> U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org7999092" class="outline-4"> -<h4 id="org7999092">Question 1 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7999092"> +<div id="outline-container-org8f4db0d" class="outline-4"> +<h4 id="org8f4db0d">Question 1 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8f4db0d"> <p> Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> @@ -1198,8 +1216,8 @@ Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgd5b9f21"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd5b9f21"> +<li><a id="orgf5b4a1b"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf5b4a1b"> <p> P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br /> </p> @@ -1222,9 +1240,9 @@ On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgb9f7a15" class="outline-4"> -<h4 id="orgb9f7a15">Question 2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb9f7a15"> +<div id="outline-container-org88560e9" class="outline-4"> +<h4 id="org88560e9">Question 2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org88560e9"> <p> Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br /> </p> @@ -1247,20 +1265,20 @@ On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en deho </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org3da135e" class="outline-2"> -<h2 id="org3da135e">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org3da135e"> +<div id="outline-container-org4970134" class="outline-2"> +<h2 id="org4970134">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org4970134"> </div> -<div id="outline-container-org639877a" class="outline-3"> -<h3 id="org639877a">Les suites convergentes</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org639877a"> +<div id="outline-container-org5c60eae" class="outline-3"> +<h3 id="org5c60eae">Les suites convergentes</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5c60eae"> <p> Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgce5e8f7" class="outline-4"> -<h4 id="orgce5e8f7">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgce5e8f7"> +<div id="outline-container-orga236792" class="outline-4"> +<h4 id="orga236792">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga236792"> <ol class="org-ol"> <li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li> <li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li> @@ -1277,32 +1295,32 @@ Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orga659f1f" class="outline-3"> -<h3 id="orga659f1f">Theoreme d’encadrement</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orga659f1f"> +<div id="outline-container-org3d47a4f" class="outline-3"> +<h3 id="org3d47a4f">Theoreme d’encadrement</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3d47a4f"> <p> Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4c1ed41" class="outline-3"> -<h3 id="org4c1ed41">Suites arithmetiques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4c1ed41"> +<div id="outline-container-org77a6269" class="outline-3"> +<h3 id="org77a6269">Suites arithmetiques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org77a6269"> <p> Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org5b887fd" class="outline-4"> -<h4 id="org5b887fd">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org5b887fd"> +<div id="outline-container-org41f14af" class="outline-4"> +<h4 id="org41f14af">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org41f14af"> <p> <b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbd36410" class="outline-4"> -<h4 id="orgbd36410">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbd36410"> +<div id="outline-container-orge969e67" class="outline-4"> +<h4 id="orge969e67">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge969e67"> <p> Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br /> </p> @@ -1314,21 +1332,21 @@ Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orge060a6b" class="outline-3"> -<h3 id="orge060a6b">Suites géométriques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orge060a6b"> +<div id="outline-container-org20c5c6c" class="outline-3"> +<h3 id="org20c5c6c">Suites géométriques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org20c5c6c"> </div> -<div id="outline-container-org7eb64b7" class="outline-4"> -<h4 id="org7eb64b7">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7eb64b7"> +<div id="outline-container-orga1b0a76" class="outline-4"> +<h4 id="orga1b0a76">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga1b0a76"> <p> <b>Un = U0 x r^n</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4a1c78c" class="outline-4"> -<h4 id="org4a1c78c">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4a1c78c"> +<div id="outline-container-org2cf893f" class="outline-4"> +<h4 id="org2cf893f">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2cf893f"> <p> n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </p> @@ -1336,13 +1354,13 @@ n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org9ad98cf" class="outline-2"> -<h2 id="org9ad98cf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org9ad98cf"> +<div id="outline-container-orge46a49e" class="outline-2"> +<h2 id="orge46a49e">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orge46a49e"> </div> -<div id="outline-container-org3ef59f2" class="outline-3"> -<h3 id="org3ef59f2">Suites adjacentes:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3ef59f2"> +<div id="outline-container-org43d5be5" class="outline-3"> +<h3 id="org43d5be5">Suites adjacentes:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org43d5be5"> <p> Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </p> @@ -1353,16 +1371,16 @@ Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </ol> </div> </div> -<div id="outline-container-org05716a0" class="outline-3"> -<h3 id="org05716a0">Suites extraites (sous-suites):</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org05716a0"> +<div id="outline-container-org71762d4" class="outline-3"> +<h3 id="org71762d4">Suites extraites (sous-suites):</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org71762d4"> <p> Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org312cfda" class="outline-4"> -<h4 id="org312cfda">Remarques:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org312cfda"> +<div id="outline-container-orgc5524fb" class="outline-4"> +<h4 id="orgc5524fb">Remarques:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc5524fb"> <ol class="org-ol"> <li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li> <li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li> @@ -1371,35 +1389,233 @@ Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ - </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbfa31ac" class="outline-3"> -<h3 id="orgbfa31ac">Suites de Cauchy:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbfa31ac"> +<div id="outline-container-org43ca2f6" class="outline-3"> +<h3 id="org43ca2f6">Suites de Cauchy:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org43ca2f6"> <p> (Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org60c9452" class="outline-4"> -<h4 id="org60c9452">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org60c9452"> +<div id="outline-container-org452a0a9" class="outline-4"> +<h4 id="org452a0a9">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org452a0a9"> <ol class="org-ol"> <li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org678d2ef" class="outline-3"> -<h3 id="org678d2ef">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org678d2ef"> +<div id="outline-container-org6164449" class="outline-3"> +<h3 id="org6164449">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org6164449"> <p> On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br /> </p> </div> </div> </div> +<div id="outline-container-orgde4cc4a" class="outline-2"> +<h2 id="orgde4cc4a">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgde4cc4a"> +</div> +<div id="outline-container-orgcf38f4d" class="outline-3"> +<h3 id="orgcf38f4d">Fonction réelle à variable réelle :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcf38f4d"> +<p> +Soit f: I –> ℝ , I ⊂= ℝ<br /> + x –> f(x)<br /> +</p> +</div> +<div id="outline-container-org7714aa5" class="outline-4"> +<h4 id="org7714aa5">L’ensemble de départ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org7714aa5"> +<p> +L’ensemble de définition (Df)<br /> +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="orga4111dd"></a>Propriétés:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga4111dd"> +<p> +Soit f et g deux fonctions :<br /> +f : I –> ℝ<br /> + x –> f(x)<br /> +</p> + +<p> +g : I –> ℝ<br /> + x –> g(x)<br /> +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="orgd750242"></a>1) f+g<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgd750242"> +<p> +(g+f): I –> ℝ<br /> + x –> (f+g)(x) = f(x) + g(x)<br /> +</p> +</div> +</li> +<li><a id="orgec6b0ef"></a>2) λf<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgec6b0ef"> +<p> +∀λ ∈ ℝ : λf : I –> ℝ<br /> + x –> (λf)(x) = λf(x)<br /> +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org2597b94"></a>3) f*g<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org2597b94"> +<p> +(f*g): I –> ℝ<br /> + x –> (f*g)(x) = f(x) x g(x)<br /> +</p> +</div> +</li> +<li><a id="orgdfe3e5d"></a>4) f/g<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgdfe3e5d"> +<p> +f/g : I –> ℝ<br /> + x –> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0<br /> +</p> +</div> +</li> +</ul> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-orgace65ab" class="outline-4"> +<h4 id="orgace65ab">Les Limites :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgace65ab"> +<p> +f: I –> ℝ<br /> + x –> f(x)<br /> + x<sub>0</sub> ∈ I ; x<sub>0</sub> extrémité de l’intervalle.<br /> +</p> + +<p> +Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x<sub>0</sub><br /> +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org96f1c0b"></a>Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = l<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org96f1c0b"> +<p> +\|x - x<sub>0</sub>\| < ẟ , \|f(x) - l| < ε<br /> +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-orgb435746" class="outline-4"> +<h4 id="orgb435746">La continuité :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb435746"> +<p> +Soit f: I –> ℝ I = Df<br /> + x –> f(x) x<sub>0</sub> ∈ I<br /> +f est continue en x<sub>0</sub> ⇔ Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = f(x<sub>0</sub>)<br /> +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , \|x - x<sub>0</sub>\| < ẟ ⇒ \|f(x) - f(x<sub>0</sub>)\| < ε<br /> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org8f8345e" class="outline-4"> +<h4 id="org8f8345e">Prolongement par continuité :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8f8345e"> +<p> +Soit f: I/\{x<sub>0</sub>\} –> ℝ<br /> + x –> f(x)<br /> +</p> + +<p> +Si lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x<sub>0</sub><br /> +</p> + +<p> +On défini : ⎡f(x) si x ≠ x<sub>0</sub><br /> + f~ = |<br /> + ⎣l si x = x<sub>0</sub><br /> + f~ : I –> ℝ<br /> + x –> f(x)<br /> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orge3fed44" class="outline-4"> +<h4 id="orge3fed44">Théorème des valeurs intermédiaires :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge3fed44"> +<p> +f : [a,b] –> ℝ<br /> +Si f est continue sur [a,b]<br /> +Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x)<br /> +</p> + +<ol class="org-ol"> +<li>Si f est continue sur [a,b] ⎫<br /> +⎬ ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0<br /></li> +<li>Si f(a) * f(b) < 0 ⎭<br /></li> +</ol> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgc40e618" class="outline-4"> +<h4 id="orgc40e618">Fonction croissante :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc40e618"> +<p> +f: I –> J<br /> + f est croissante si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I<br /> + x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f(x<sub>1</sub>) ≤ f(x<sub>2</sub>)<br /> +</p> + +<p> +f est strictement croissante si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I<br /> + x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f(x<sub>1</sub>) < f(x<sub>2</sub>)<br /> +</p> + +<p> +Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.<br /> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org2be852d" class="outline-4"> +<h4 id="org2be852d">Injection = Strictement monotonne :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2be852d"> +<p> +f: I –> J<br /> +f est injective si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I , f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>) ⇒ x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub><br /> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org22072c4" class="outline-4"> +<h4 id="org22072c4">Surjection = Continuité :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org22072c4"> +<p> +f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x)<br /> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgebeba8b" class="outline-4"> +<h4 id="orgebeba8b">Bijection :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgebeba8b"> +<p> +Si f est injective et surjective, alors f est bijective<br /> +f est bijective donc elle admet une bijection réciproque<br /> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orge61507c" class="outline-4"> +<h4 id="orge61507c">Théorème de bijection :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge61507c"> +<p> +Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.<br /> +f admet une bijection réciproque f<sub>-1</sub>.<br /> +f<sub>-1</sub> a le même sens de variation que f.<br /> +</p> +</div> +</div> +</div> +</div> </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-11-01 Wed 20:16</p> +<p class="date">Created: 2023-11-14 Tue 22:45</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file |