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diff --git a/src/org/uni_notes/algebra1.org b/src/org/uni_notes/algebra1.org index bc4f529..db3ab4c 100755 --- a/src/org/uni_notes/algebra1.org +++ b/src/org/uni_notes/algebra1.org @@ -11,7 +11,8 @@ #+HTML_LINK_HOME: https://crystal.tilde.institute/ #+HTML_LINK_UP: ../../../uni_notes/ #+OPTIONS: tex:imagemagick -#+HTML_HEAD: <link rel="icon" type="image/x-icon" href="https://crystal.tilde.institute/favicon.png"> +#+HTML_HEAD: <link rel="icon" type="image/x-icon" href="favicon.ico"> + * Contenu de la Matiére ** Rappels et compléments (11H) - Logique mathématique et méthodes du raisonnement mathématique diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index 545ef2d..e98909a 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -496,3 +496,82 @@ c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge 1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente ** Théorème de Bolzano Weirstrass: On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée +* Chapitre 3 : Les limites et la continuité /Nov 14/ +** Fonction réelle à variable réelle : +Soit f: I --> ℝ , I ⊂= ℝ + x --> f(x) +*** L'ensemble de départ : +L'ensemble de définition (Df) +**** Propriétés: +Soit f et g deux fonctions : +f : I --> ℝ + x --> f(x) + +g : I --> ℝ + x --> g(x) +***** 1) f+g +(g+f): I --> ℝ + x --> (f+g)(x) = f(x) + g(x) +***** 2) λf +∀λ ∈ ℝ : λf : I --> ℝ + x --> (λf)(x) = λf(x) +***** 3) f*g +(f*g): I --> ℝ + x --> (f*g)(x) = f(x) x g(x) +***** 4) f/g +f/g : I --> ℝ + x --> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0 +*** Les Limites : +f: I --> ℝ + x --> f(x) + x_{0} ∈ I ; x_{0} extrémité de l'intervalle. + + Lim_{x --> x_{0}} f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x_{0} +**** Lim_{x --> x_{0}} f(x) = l +\|x - x_{0}\| < ẟ , \|f(x) - l| < ε + +*** La continuité : +Soit f: I --> ℝ I = Df + x --> f(x) x_{0} ∈ I +f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f(x) = f(x_{0}) +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , \|x - x_{0}\| < ẟ ⇒ \|f(x) - f(x_{0})\| < ε +*** Prolongement par continuité : +Soit f: I/\{x_{0}\} --> ℝ + x --> f(x) + +Si lim_{x --> x_{0}} f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} + +On défini : ⎡f(x) si x ≠ x_{0} + f~ = | + ⎣l si x = x_{0} + f~ : I --> ℝ + x --> f(x) +*** Théorème des valeurs intermédiaires : +f : [a,b] --> ℝ +Si f est continue sur [a,b] +Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x) + +1. Si f est continue sur [a,b] ⎫ + ⎬ ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 +2. Si f(a) * f(b) < 0 ⎭ +*** Fonction croissante : +f: I --> J + f est croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I + x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) ≤ f(x_{2}) + + f est strictement croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I + x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) < f(x_{2}) + +Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée. +*** Injection = Strictement monotonne : +f: I --> J +f est injective si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I , f(x_{1}) = f(x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} +*** Surjection = Continuité : +f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x) +*** Bijection : +Si f est injective et surjective, alors f est bijective +f est bijective donc elle admet une bijection réciproque +*** Théorème de bijection : +Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective. +f admet une bijection réciproque f_{-1}. +f_{-1} a le même sens de variation que f. |