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diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index e98909a..88d06b1 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -497,6 +497,7 @@ c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge ** Théorème de Bolzano Weirstrass: On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée * Chapitre 3 : Les limites et la continuité /Nov 14/ +#+BEGIN_VERSE ** Fonction réelle à variable réelle : Soit f: I --> ℝ , I ⊂= ℝ x --> f(x) @@ -528,22 +529,23 @@ f: I --> ℝ Lim_{x --> x_{0}} f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x_{0} **** Lim_{x --> x_{0}} f(x) = l -\|x - x_{0}\| < ẟ , \|f(x) - l| < ε +=> |x - x_{0}| < ẟ , |f(x) - l| < ε *** La continuité : Soit f: I --> ℝ I = Df x --> f(x) x_{0} ∈ I f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f(x) = f(x_{0}) -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , \|x - x_{0}\| < ẟ ⇒ \|f(x) - f(x_{0})\| < ε +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x_{0}| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x_{0})| < ε *** Prolongement par continuité : -Soit f: I/\{x_{0}\} --> ℝ +Soit f: I/ {x_{0}} --> ℝ x --> f(x) Si lim_{x --> x_{0}} f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} -On défini : ⎡f(x) si x ≠ x_{0} - f~ = | - ⎣l si x = x_{0} +On défini : +f~ = f(x) si x ≠ x_{0} +ET +l si x = x_{0} f~ : I --> ℝ x --> f(x) *** Théorème des valeurs intermédiaires : @@ -551,9 +553,9 @@ f : [a,b] --> ℝ Si f est continue sur [a,b] Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x) -1. Si f est continue sur [a,b] ⎫ - ⎬ ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 -2. Si f(a) * f(b) < 0 ⎭ +1. Si f est continue sur [a,b] +2. Si f(a) * f(b) < 0 +Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 *** Fonction croissante : f: I --> J f est croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I @@ -573,5 +575,6 @@ Si f est injective et surjective, alors f est bijective f est bijective donc elle admet une bijection réciproque *** Théorème de bijection : Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective. -f admet une bijection réciproque f_{-1}. -f_{-1} a le même sens de variation que f. +f admet une bijection réciproque f{-1}. +f{-1} a le même sens de variation que f. +#+END_VERSE |