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diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html deleted file mode 100755 index 0c2f952..0000000 --- a/uni_notes/analyse.html +++ /dev/null @@ -1,1624 +0,0 @@ -<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?> -<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN" -"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> -<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> -<head> -<!-- 2023-11-14 Tue 23:06 --> -<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> -<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> -<title>Analyse 1</title> -<meta name="author" content="Crystal" /> -<meta name="generator" content="Org Mode" /> -<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/colors.css"/> -<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> -<link rel="icon" type="image/x-icon" href="https://crystal.tilde.institute/favicon.png"> -</head> -<body> -<div id="org-div-home-and-up"> - <a accesskey="h" href="../../../uni_notes/"> UP </a> - | - <a accesskey="H" href="https://crystal.tilde.institute/"> HOME </a> -</div><div id="content" class="content"> -<h1 class="title">Analyse 1</h1> -<div id="table-of-contents" role="doc-toc"> -<h2>Table of Contents</h2> -<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc"> -<ul> -<li><a href="#org51375f0">Contenu de la Matiére</a> -<ul> -<li><a href="#orgd074219">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> -<li><a href="#orgb5220df">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> -<li><a href="#orge7b80f9">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> -<li><a href="#orgcc6964b">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> -<li><a href="#orgea870f0">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org7dbe2a4">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> -<ul> -<li><a href="#org4b25f0c">La loi de composition interne dans E :</a> -<ul> -<li><a href="#orgc048164"><b>Example : Addition</b></a></li> -<li><a href="#orgadeeaa1"><b>Example : soustraction</b></a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#orge686f2a">La loi de composition externe dans E :</a></li> -<li><a href="#org96fc192">Groupes :</a> -<ul> -<li><a href="#org9cae959">Il contiens un élement neutre</a></li> -<li><a href="#orgfc1fc7b">Il contiens un élément symétrique</a></li> -<li><a href="#orge76674f">@ est cummutative :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#orgde40808">Anneaux :</a> -<ul> -<li><a href="#org6960733">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> -<li><a href="#org3dd13c2">! est une loi associative :</a></li> -<li><a href="#org96e7790">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> -<li><a href="#orgaaceb67">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> -<li><a href="#org07575e5">! est cummutative :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org4dde6a2">Corps :</a> -<ul> -<li><a href="#orga3ea966">La symétrie :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org316172f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> -<ul> -<li><a href="#org4ed9aef">Est-ce un Anneau ?</a></li> -<li><a href="#org248a5ea">Est-ce un corps ?</a></li> -</ul> -</li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org0b3fce2">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> -<ul> -<li><a href="#orga3c4b3c">L’ordre dans ℝ</a> -<ul> -<li><a href="#org9b04907">Exemples :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org824efff">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> -<ul> -<li><a href="#org34c228b">Majorant:</a></li> -<li><a href="#orgc832fb0">Minorant:</a></li> -<li><a href="#org3cb02e2">Borne supérieure:</a></li> -<li><a href="#orgef4458e">Borne inférieure:</a></li> -<li><a href="#org2b2908f">Maximum :</a></li> -<li><a href="#org1410a06">Minimum :</a></li> -<li><a href="#orgd1fcd4e">Remarques :</a></li> -</ul> -</li> -</ul> -</li> -<li><a href="#orgc939931">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> -<ul> -<li> -<ul> -<li><a href="#org8607984">Définition :</a></li> -<li><a href="#orgcc2100f">Définition N°2 :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org69f8c52">Opérations sur les suites :</a> -<ul> -<li><a href="#orgf01d039">La somme :</a></li> -<li><a href="#org770eaba">Le produit :</a></li> -<li><a href="#org7a41073">Inverse d’une suite :</a></li> -<li><a href="#orgd245f39">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#orgd7a311f">Suite bornée :</a></li> -<li><a href="#org2b180d2">Suite majorée :</a></li> -<li><a href="#org7b2e23f">Suite minorée :</a></li> -<li><a href="#orgb167fb6">Suites monotones :</a> -<ul> -<li><a href="#org28ff308">Les suites croissantes :</a></li> -<li><a href="#org89d3d3b">Les suites décroissantes :</a></li> -</ul> -</li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org65657c4">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> -<ul> -<li><a href="#orgac13612">Exo 1 :</a> -<ul> -<li><a href="#orgcb1b828">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#org886db21">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#org8444304">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#org655bbdc">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#orgf122a29">Ensemble E :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org5e26290">Exo 2 :</a> -<ul> -<li><a href="#org62a0c2c">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#orgdde4c67">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#org2abc744">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#orga2cb085">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#orgc6452f9">Ensemble E :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org479db70">Exo 3 :</a> -<ul> -<li><a href="#org9f28f97">Question 1 :</a></li> -<li><a href="#orgb2a312c">Question 2 :</a></li> -</ul> -</li> -</ul> -</li> -<li><a href="#orgbd1bb1e">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> -<ul> -<li><a href="#org9b40096">Les suites convergentes</a> -<ul> -<li><a href="#org6a22c62">Remarque :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#orga3baa03">Theoreme d’encadrement</a></li> -<li><a href="#orgbbda563">Suites arithmetiques</a> -<ul> -<li><a href="#orgb4756c6">Forme general</a></li> -<li><a href="#orga6494e4">Somme des n premiers termes</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org10d88d9">Suites géométriques</a> -<ul> -<li><a href="#orgfe286ce">Forme general</a></li> -<li><a href="#orgaa6b262">Somme des n premiers termes</a></li> -</ul> -</li> -</ul> -</li> -<li><a href="#orgeeb4832">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> -<ul> -<li><a href="#orge9160fd">Suites adjacentes:</a></li> -<li><a href="#orgaedf3ea">Suites extraites (sous-suites):</a> -<ul> -<li><a href="#org586e8c4">Remarques:</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org1ce447c">Suites de Cauchy:</a> -<ul> -<li><a href="#orgd06f7ae">Remarque :</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org392a346">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> -</ul> -</li> -<li><a href="#org91a748f">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></a> -<ul> -<li><a href="#orgde4196b">Fonction réelle à variable réelle :</a> -<ul> -<li><a href="#orgd68331d">L’ensemble de départ :</a></li> -<li><a href="#org3151412">Les Limites :</a></li> -<li><a href="#org287d826">La continuité :</a></li> -<li><a href="#orgc77ab14">Prolongement par continuité :</a></li> -<li><a href="#org8edfe47">Théorème des valeurs intermédiaires :</a></li> -<li><a href="#orgea41b1c">Fonction croissante :</a></li> -<li><a href="#orgd45a9b4">Injection = Strictement monotonne :</a></li> -<li><a href="#org189c903">Surjection = Continuité :</a></li> -<li><a href="#org07713a2">Bijection :</a></li> -<li><a href="#org7512d26">Théorème de bijection :</a></li> -</ul> -</li> -</ul> -</li> -</ul> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org51375f0" class="outline-2"> -<h2 id="org51375f0">Contenu de la Matiére</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org51375f0"> -</div> -<div id="outline-container-orgd074219" class="outline-3"> -<h3 id="orgd074219">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgd074219"> -<ul class="org-ul"> -<li>Structure algébrique de ℝ<br /></li> -<li>L’ordre dans ℝ<br /></li> -<li>Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure<br /></li> -</ul> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgb5220df" class="outline-3"> -<h3 id="orgb5220df">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb5220df"> -<ul class="org-ul"> -<li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li> -<li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li> -<li>Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes<br /></li> -</ul> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orge7b80f9" class="outline-3"> -<h3 id="orge7b80f9">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orge7b80f9"> -<ul class="org-ul"> -<li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li> -<li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li> -<li>La continuité informe les fonctions Lepchitziennes<br /></li> -</ul> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgcc6964b" class="outline-3"> -<h3 id="orgcc6964b">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcc6964b"> -<ul class="org-ul"> -<li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li> -</ul> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgea870f0" class="outline-3"> -<h3 id="orgea870f0">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgea870f0"> -<ul class="org-ul"> -<li>Comparaison asymptotique<br /></li> -<li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li> -<li>Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L<br /></li> -<li>Généralisations des D.L<br /></li> -<li>Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies<br /></li> -</ul> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org7dbe2a4" class="outline-2"> -<h2 id="org7dbe2a4">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org7dbe2a4"> -</div> -<div id="outline-container-org4b25f0c" class="outline-3"> -<h3 id="org4b25f0c">La loi de composition interne dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4b25f0c"> -<p> -@ : E x E —> E<br /> - (x,y) —> x @ y<br /> -</p> - -<p> -@ est une lois de composition interne seulement si :<br /> -</p> - -<p> -<b>∀ x,y ε E</b><br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-orgc048164" class="outline-4"> -<h4 id="orgc048164"><b>Example : Addition</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc048164"> -<p> -Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br /> -</p> - -<p> -ℕ x ℕ —> ℕ<br /> -</p> - -<p> -(x,y) —> x + y ? <i>En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne <b>n’importe quel</b> chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ</i><br /> -</p> - -<p> -∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ <i>En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ</i><br /> -</p> - -<p> -Donc : + est L.C.I dans ℕ<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgadeeaa1" class="outline-4"> -<h4 id="orgadeeaa1"><b>Example : soustraction</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgadeeaa1"> -<p> -Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> -</p> - -<p> -ℕ x ℕ —> ℕ<br /> -</p> - -<p> -(x,y) —> x - y ?<br /> -</p> - - -<p> -∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ <i>En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est <b>PAS</b> dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ</i><br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orge686f2a" class="outline-3"> -<h3 id="orge686f2a">La loi de composition externe dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orge686f2a"> -<p> -@ est L.C.E dans E, K est un corps<br /> -</p> - -<p> -K x E —> E<br /> -</p> - -<p> -(a,x) —> a @ x<br /> -</p> - -<p> -∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org96fc192" class="outline-3"> -<h3 id="org96fc192">Groupes :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org96fc192"> -<p> -<i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br /> -</p> - -<p> -(E, @) est un groupe Si :<br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-org9cae959" class="outline-4"> -<h4 id="org9cae959">Il contiens un élement neutre</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9cae959"> -<p> -∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br /> -</p> - -<p> -x @ e = e @ x = x<br /> -</p> - -<p> -On appelle <b>e</b> élement neutre<br /> -</p> - -<p> -<i>Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition</i><br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgfc1fc7b" class="outline-4"> -<h4 id="orgfc1fc7b">Il contiens un élément symétrique</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfc1fc7b"> -<p> -∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br /> -</p> - -<p> -On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> -</p> - -<p> -<i>Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:</i><br /> -</p> - -<p> -<i>x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’</i><br /> -</p> - -<p> -<b>Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs</b><br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orge76674f" class="outline-4"> -<h4 id="orge76674f">@ est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge76674f"> -<p> -∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br /> -</p> - -<p> -<i>L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents</i><br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgde40808" class="outline-3"> -<h3 id="orgde40808">Anneaux :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgde40808"> -<p> -Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-org6960733" class="outline-4"> -<h4 id="org6960733">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> -</div> -<div id="outline-container-org3dd13c2" class="outline-4"> -<h4 id="org3dd13c2">! est une loi associative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3dd13c2"> -<p> -∀ x , y , z ∈ E<br /> -</p> - -<p> -(x ! y) ! z = x ! (y ! z)<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org96e7790" class="outline-4"> -<h4 id="org96e7790">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org96e7790"> -<p> -∀ x , y , z ∈ E<br /> -</p> - -<p> -(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgaaceb67" class="outline-4"> -<h4 id="orgaaceb67">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgaaceb67"> -<p> -∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org07575e5" class="outline-4"> -<h4 id="org07575e5">! est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org07575e5"> -<p> -∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org4dde6a2" class="outline-3"> -<h3 id="org4dde6a2">Corps :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4dde6a2"> -<p> -(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-orga3ea966" class="outline-4"> -<h4 id="orga3ea966">La symétrie :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga3ea966"> -<p> -∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br /> -</p> - -<p> -x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br /> -(sauf élément neutre première lois )<br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org316172f" class="outline-3"> -<h3 id="org316172f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org316172f"> -</div> -<div id="outline-container-org4ed9aef" class="outline-4"> -<h4 id="org4ed9aef">Est-ce un Anneau ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4ed9aef"> -<ul class="org-ul"> -<li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li> -<li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li> -<li>On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)<br /></li> -<li>Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a<br /></li> -<li>La multiplication est commutative : a x b = b x a<br /></li> -</ul> - -<p> -Oui c’est un anneau<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org248a5ea" class="outline-4"> -<h4 id="org248a5ea">Est-ce un corps ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org248a5ea"> -<ul class="org-ul"> -<li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li> -</ul> -</div> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org0b3fce2" class="outline-2"> -<h2 id="org0b3fce2">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org0b3fce2"> -</div> -<div id="outline-container-orga3c4b3c" class="outline-3"> -<h3 id="orga3c4b3c">L’ordre dans ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orga3c4b3c"> -<p> -(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br /> -</p> - -<ol class="org-ol"> -<li><p> -R est antisymétrique :<br /> -</p> - -<p> -∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)<br /> -</p></li> - -<li><p> -R est reflexive :<br /> -</p> - -<p> -∀ x ∈ ℝ ; x R x<br /> -</p></li> - -<li>R est transitive :<br /> -∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li> -</ol> -</div> -<div id="outline-container-org9b04907" class="outline-4"> -<h4 id="org9b04907">Exemples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9b04907"> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org10940af"></a>Exemple numéro 1:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org10940af"> -<p> -(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> -</p> - - -<p> -Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b><b>is obviously false</b></b><br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org47b3e4d"></a>Exemple numéro 2:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org47b3e4d"> -<p> -(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> -</p> - -<ol class="org-ol"> -<li>(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true<br /></li> -<li>(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true<br /></li> -<li>(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true<br /></li> -</ol> -</div> -</li> -</ul> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org824efff" class="outline-3"> -<h3 id="org824efff">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org824efff"> -</div> -<div id="outline-container-org34c228b" class="outline-4"> -<h4 id="org34c228b">Majorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org34c228b"> -<p> -Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> -</p> - - -<p> -Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgc832fb0" class="outline-4"> -<h4 id="orgc832fb0">Minorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc832fb0"> -<p> -Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> -</p> - - -<p> -Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org3cb02e2" class="outline-4"> -<h4 id="org3cb02e2">Borne supérieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3cb02e2"> -<p> -La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgef4458e" class="outline-4"> -<h4 id="orgef4458e">Borne inférieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgef4458e"> -<p> -La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf (E) = Borne inférieure</i><br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org2b2908f" class="outline-4"> -<h4 id="org2b2908f">Maximum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2b2908f"> -<p> -E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org1410a06" class="outline-4"> -<h4 id="org1410a06">Minimum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1410a06"> -<p> -E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgd1fcd4e" class="outline-4"> -<h4 id="orgd1fcd4e">Remarques :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd1fcd4e"> -<p> -A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> -</p> -<ol class="org-ol"> -<li>A ∪ B est borné<br /></li> -<li>A ∩ B est borné<br /></li> -<li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)<br /></li> -<li>Inf (A ∩ B)= Min(inf A, inf B)<br /></li> -<li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i><br /></li> -<li>Inf (A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i><br /></li> -</ol> -</div> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgc939931" class="outline-2"> -<h2 id="orgc939931">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgc939931"> -</div> -<div id="outline-container-org8607984" class="outline-4"> -<h4 id="org8607984">Définition :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8607984"> -<p> -Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br /> -</p> - - -<p> -ℕ -—> ℝ<br /> -</p> - - -<p> -n -—> U(n) = Un<br /> -</p> - -<ol class="org-ol"> -<li>(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite<br /></li> -<li>Un : terme général<br /></li> -</ol> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org51d3f5d"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org51d3f5d"> -<p> -U : ℕ* -—> ℝ<br /> -</p> - - -<p> -n -—> 1/n<br /> -</p> - - -<p> -(Un) est une suite définit par Un = 1/n<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-orgcc2100f" class="outline-4"> -<h4 id="orgcc2100f">Définition N°2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgcc2100f"> -<p> -On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org6b68ae0"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org6b68ae0"> -<p> -U(n+1) = Un /2<br /> -</p> - - -<p> -U(1)= 1<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-org69f8c52" class="outline-3"> -<h3 id="org69f8c52">Opérations sur les suites :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org69f8c52"> -</div> -<div id="outline-container-orgf01d039" class="outline-4"> -<h4 id="orgf01d039">La somme :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf01d039"> -<p> -Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org770eaba" class="outline-4"> -<h4 id="org770eaba">Le produit :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org770eaba"> -<p> -Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org7a41073" class="outline-4"> -<h4 id="org7a41073">Inverse d’une suite :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7a41073"> -<p> -Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgd245f39" class="outline-4"> -<h4 id="orgd245f39">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd245f39"> -<p> -Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> -</p> - - -<p> -∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn<br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgd7a311f" class="outline-3"> -<h3 id="orgd7a311f">Suite bornée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgd7a311f"> -<p> -Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org2b180d2" class="outline-3"> -<h3 id="org2b180d2">Suite majorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2b180d2"> -<p> -Soit (Un) une suite<br /> -</p> - - -<p> -U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org7b2e23f" class="outline-3"> -<h3 id="org7b2e23f">Suite minorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org7b2e23f"> -<p> -Soit (Un) une suite<br /> -</p> - - -<p> -U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgb167fb6" class="outline-3"> -<h3 id="orgb167fb6">Suites monotones :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb167fb6"> -</div> -<div id="outline-container-org28ff308" class="outline-4"> -<h4 id="org28ff308">Les suites croissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org28ff308"> -<p> -Soit (Un)n est une suite<br /> -</p> - - -<p> -(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org89d3d3b" class="outline-4"> -<h4 id="org89d3d3b">Les suites décroissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org89d3d3b"> -<p> -Soit (Un)n est une suite<br /> -</p> - - -<p> -(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un<br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org65657c4" class="outline-2"> -<h2 id="org65657c4">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org65657c4"> -</div> -<div id="outline-container-orgac13612" class="outline-3"> -<h3 id="orgac13612">Exo 1 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgac13612"> -</div> -<div id="outline-container-orgcb1b828" class="outline-4"> -<h4 id="orgcb1b828">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgcb1b828"> -<p> -A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org47ef9df"></a>Borne inférieure<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org47ef9df"> -<p> -∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="orgd07d16e"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd07d16e"> -<p> -∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org04fdb17"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org04fdb17"> -<p> -∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org8029216"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8029216"> -<p> -L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-org886db21" class="outline-4"> -<h4 id="org886db21">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org886db21"> -<p> -B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="orgcde09bc"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgcde09bc"> -<p> -Inf (B) = Max(inf ([-1 , 3[) , inf (ℚ))<br /> -</p> - - -<p> -Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est <b>-∞</b>,<br /> -</p> - - -<p> -<b>Inf (B) = -1</b><br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="orgd0b46a7"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd0b46a7"> -<p> -Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br /> -</p> - - -<p> -Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est <b>+∞</b>,<br /> -</p> - - -<p> -<b>Sup(B) = 3</b><br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="orgdd05682"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgdd05682"> -<p> -<b>Min(B) = -1</b><br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org2f56d5c"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org2f56d5c"> -<p> -L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-org8444304" class="outline-4"> -<h4 id="org8444304">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8444304"> -<p> -C = {3n ,n ∈ ℕ}<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org71172ed"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org71172ed"> -<p> -Inf (C) = 0<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="orgd7dc786"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd7dc786"> -<p> -Sup(C) = +∞<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org48d58aa"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org48d58aa"> -<p> -Min(C) = 0<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org2f05d94"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org2f05d94"> -<p> -L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-org655bbdc" class="outline-4"> -<h4 id="org655bbdc">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org655bbdc"> -<p> -D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="orgcb1e6fa"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgcb1e6fa"> -<p> -Inf (D)= 0<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org865b9b0"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org865b9b0"> -<p> -Sup(D)= 1<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org9a1de73"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9a1de73"> -<p> -Min(D)= 0<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org1987362"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org1987362"> -<p> -L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-orgf122a29" class="outline-4"> -<h4 id="orgf122a29">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf122a29"> -<p> -E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> -</p> - - -<p> -<b>Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair</b><br /> -</p> - - -<p> -<b>On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}</b><br /> -</p> - - -<p> -<b>Donc E = F ∪ G</b><br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org45d0ef4"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org45d0ef4"> -<p> -Inf (E) = Min(inf (F), inf (G))<br /> -</p> - - -<p> -Inf (F) = 1 ; Inf (G) = -1<br /> -</p> - - -<p> -<b>Inf (E)= -1</b><br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org5ef627a"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org5ef627a"> -<p> -Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br /> -</p> - - -<p> -sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br /> -</p> - - -<p> -<b>Sup(E)= +∞</b><br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="orgef4c9c4"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgef4c9c4"> -<p> -Min(E)= -1<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org49b27f7"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org49b27f7"> -<p> -E n’as pas de maximum<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org5e26290" class="outline-3"> -<h3 id="org5e26290">Exo 2 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5e26290"> -</div> -<div id="outline-container-org62a0c2c" class="outline-4"> -<h4 id="org62a0c2c">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org62a0c2c"> -<p> -A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org89ac7fa"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org89ac7fa"> -<p> -<b>Oui</b>, Inf (A)= 0 ; Sup(A)=√3<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-orgdde4c67" class="outline-4"> -<h4 id="orgdde4c67">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgdde4c67"> -<p> -B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org2a13712"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org2a13712"> -<p> -<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf (B)= 1/2</b><br /> -</p> - - -<p> -<b>∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2</b><br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-org2abc744" class="outline-4"> -<h4 id="org2abc744">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2abc744"> -<p> -C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org6a12e74"></a>Minoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org6a12e74"> -<p> -<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf (C)= 3</b><br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-orga2cb085" class="outline-4"> -<h4 id="orga2cb085">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga2cb085"> -<p> -D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org42d90c1"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org42d90c1"> -<p> -<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf (C)= 0</b><br /> -</p> - - -<p> -<b>∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2</b><br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-orgc6452f9" class="outline-4"> -<h4 id="orgc6452f9">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc6452f9"> -<p> -E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org8696739"></a>Majoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8696739"> -<p> -p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org479db70" class="outline-3"> -<h3 id="org479db70">Exo 3 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org479db70"> -<p> -U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-org9f28f97" class="outline-4"> -<h4 id="org9f28f97">Question 1 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9f28f97"> -<p> -Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> -</p> - - -<p> -<b>(Un - 1)² ≥ 0 <i>Parce que c’est un carré</i></b><br /> -</p> - - -<p> -<b>(Un - 1)² + 1 > 1</b> ; <b>U(n+1) ≥ 1</b><br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="orgf620b41"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf620b41"> -<p> -P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br /> -</p> - - -<p> -P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2<br /> -</p> - - -<p> -On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br /> -</p> - - -<p> -1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; <b>1 < U(n+1) < 2</b> Donc elle est correcte<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-orgb2a312c" class="outline-4"> -<h4 id="orgb2a312c">Question 2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb2a312c"> -<p> -Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br /> -</p> - - -<p> -<b>U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2</b><br /> -</p> - - -<p> -On étudie <b>Un² - 3Un + 2</b> sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, <b>Δ = 1</b> , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2<br /> -</p> - - -<p> -On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc <b>∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un</b> Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante<br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgbd1bb1e" class="outline-2"> -<h2 id="orgbd1bb1e">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgbd1bb1e"> -</div> -<div id="outline-container-org9b40096" class="outline-3"> -<h3 id="org9b40096">Les suites convergentes</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org9b40096"> -<p> -Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-org6a22c62" class="outline-4"> -<h4 id="org6a22c62">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org6a22c62"> -<ol class="org-ol"> -<li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li> -<li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li> -<li>Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge<br /></li> -<li>Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge<br /></li> -<li>Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors<br /> -<ol class="org-ol"> -<li>Un + Vn est convergente<br /></li> -<li>Un * Vn est convergente<br /></li> -<li>∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge<br /></li> -</ol></li> -<li>Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0<br /></li> -</ol> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orga3baa03" class="outline-3"> -<h3 id="orga3baa03">Theoreme d’encadrement</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orga3baa03"> -<p> -Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgbbda563" class="outline-3"> -<h3 id="orgbbda563">Suites arithmetiques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbbda563"> -<p> -Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-orgb4756c6" class="outline-4"> -<h4 id="orgb4756c6">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb4756c6"> -<p> -<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orga6494e4" class="outline-4"> -<h4 id="orga6494e4">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga6494e4"> -<p> -Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br /> -</p> - - -<p> -Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie<br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org10d88d9" class="outline-3"> -<h3 id="org10d88d9">Suites géométriques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org10d88d9"> -</div> -<div id="outline-container-orgfe286ce" class="outline-4"> -<h4 id="orgfe286ce">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfe286ce"> -<p> -<b>Un = U0 x r^n</b><br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgaa6b262" class="outline-4"> -<h4 id="orgaa6b262">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgaa6b262"> -<p> -n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgeeb4832" class="outline-2"> -<h2 id="orgeeb4832">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgeeb4832"> -</div> -<div id="outline-container-orge9160fd" class="outline-3"> -<h3 id="orge9160fd">Suites adjacentes:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orge9160fd"> -<p> -Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> -</p> -<ol class="org-ol"> -<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante<br /></li> -<li>Un ≤ Vn<br /></li> -<li>lim (Un - Vn) n->+∞ = 0<br /></li> -</ol> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgaedf3ea" class="outline-3"> -<h3 id="orgaedf3ea">Suites extraites (sous-suites):</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgaedf3ea"> -<p> -Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-org586e8c4" class="outline-4"> -<h4 id="org586e8c4">Remarques:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org586e8c4"> -<ol class="org-ol"> -<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li> -<li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li> -<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l<br /></li> -</ol> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org1ce447c" class="outline-3"> -<h3 id="org1ce447c">Suites de Cauchy:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1ce447c"> -<p> -(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-orgd06f7ae" class="outline-4"> -<h4 id="orgd06f7ae">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd06f7ae"> -<ol class="org-ol"> -<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li> -</ol> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org392a346" class="outline-3"> -<h3 id="org392a346">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org392a346"> -<p> -On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org91a748f" class="outline-2"> -<h2 id="org91a748f">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org91a748f"> -</div> -<div id="outline-container-orgde4196b" class="outline-3"> -<h3 id="orgde4196b">Fonction réelle à variable réelle :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgde4196b"> -<p> -Soit f : I –> ℝ , I ⊂= ℝ<br /> - x –> f (x)<br /> -</p> -</div> -<div id="outline-container-orgd68331d" class="outline-4"> -<h4 id="orgd68331d">L’ensemble de départ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd68331d"> -<p> -L’ensemble de définition (Df)<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org5899912"></a>Propriétés:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org5899912"> -<p> -Soit f et g deux fonctions :<br /> -f : I –> ℝ<br /> - x –> f (x)<br /> -</p> - -<p> -g : I –> ℝ<br /> - x –> g(x)<br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="orge1e9b5a"></a>1) f+g<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orge1e9b5a"> -<p> -(g+f): I –> ℝ<br /> - x –> (f+g)(x) = f (x) + g(x)<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org9580e4d"></a>2) λf<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org9580e4d"> -<p> -∀λ ∈ ℝ : λf : I –> ℝ<br /> - x –> (λf)(x) = λf (x)<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="orgc657e9e"></a>3) f*g<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgc657e9e"> -<p> -(f*g): I –> ℝ<br /> - x –> (f*g)(x) = f (x) x g(x)<br /> -</p> -</div> -</li> -<li><a id="org8718fe3"></a>4) f/g<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org8718fe3"> -<p> -f/g : I –> ℝ<br /> - x –> f (x)/g(x) , g(x) ≠ 0<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-org3151412" class="outline-4"> -<h4 id="org3151412">Les Limites :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3151412"> -<p> -f : I –> ℝ<br /> - x –> f (x)<br /> - x<sub>0</sub> ∈ I ; x<sub>0</sub> extrémité de l’intervalle.<br /> -</p> - -<p> -Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f (x) est a Limite de f (x) quand x tend vers x<sub>0</sub><br /> -</p> -</div> -<ul class="org-ul"> -<li><a id="org378d0db"></a>Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f (x) = l<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org378d0db"> -<p> -=> |x - x<sub>0</sub>| < ẟ , |f (x) - l| < ε<br /> -</p> -</div> -</li> -</ul> -</div> -<div id="outline-container-org287d826" class="outline-4"> -<h4 id="org287d826">La continuité :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org287d826"> -<p> -Soit f : I –> ℝ I = Df<br /> - x –> f (x) x<sub>0</sub> ∈ I<br /> -f est continue en x<sub>0</sub> ⇔ Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f (x) = f (x<sub>0</sub>)<br /> -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x<sub>0</sub>| < ẟ ⇒ |f (x) - f (x<sub>0</sub>)| < ε<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgc77ab14" class="outline-4"> -<h4 id="orgc77ab14">Prolongement par continuité :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc77ab14"> -<p> -Soit f : I/ {x<sub>0</sub>} –> ℝ<br /> - x –> f (x)<br /> -</p> - -<p> -Si lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f (x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x<sub>0</sub><br /> -</p> - -<p> -On défini :<br /> -f~ = f (x) si x ≠ x<sub>0</sub><br /> -ET<br /> -l si x = x<sub>0</sub><br /> - f~ : I –> ℝ<br /> - x –> f (x)<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org8edfe47" class="outline-4"> -<h4 id="org8edfe47">Théorème des valeurs intermédiaires :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8edfe47"> -<p> -f : [a,b] –> ℝ<br /> -Si f est continue sur [a,b]<br /> -Alors ∀y ∈ f ([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f (x)<br /> -</p> - -<ol class="org-ol"> -<li>Si f est continue sur [a,b]<br /></li> -<li>Si f (a) * f (b) < 0<br /></li> -</ol> -<p> -Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f (c) = 0<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgea41b1c" class="outline-4"> -<h4 id="orgea41b1c">Fonction croissante :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgea41b1c"> -<p> -f : I –> J<br /> - f est croissante si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I<br /> - x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f (x<sub>1</sub>) ≤ f (x<sub>2</sub>)<br /> -</p> - -<p> -f est strictement croissante si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I<br /> - x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f (x<sub>1</sub>) < f (x<sub>2</sub>)<br /> -</p> - -<p> -Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-orgd45a9b4" class="outline-4"> -<h4 id="orgd45a9b4">Injection = Strictement monotonne :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd45a9b4"> -<p> -f : I –> J<br /> -f est injective si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I , f (x<sub>1</sub>) = f (x<sub>2</sub>) ⇒ x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub><br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org189c903" class="outline-4"> -<h4 id="org189c903">Surjection = Continuité :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org189c903"> -<p> -f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f (x)<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org07713a2" class="outline-4"> -<h4 id="org07713a2">Bijection :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org07713a2"> -<p> -Si f est injective et surjective, alors f est bijective<br /> -f est bijective donc elle admet une bijection réciproque<br /> -</p> -</div> -</div> -<div id="outline-container-org7512d26" class="outline-4"> -<h4 id="org7512d26">Théorème de bijection :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7512d26"> -<p> -Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.<br /> -f admet une bijection réciproque f{-1}.<br /> -f{-1} a le même sens de variation que f.<br /> -</p> -</div> -</div> -</div> -</div> -</div> -<div id="postamble" class="status"> -<p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-11-14 Tue 23:06</p> -</div> -</body> -</html> \ No newline at end of file |