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<title>Analyse 1</title>
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<h1 class="title">Analyse 1</h1>
<div id="table-of-contents" role="doc-toc">
<h2>Table of Contents</h2>
<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc">
<ul>
<li><a href="#orgbbf695d">Contenu de la Matiére</a>
<ul>
<li><a href="#orgfb1fb3c">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li>
<li><a href="#org0ead48d">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li>
<li><a href="#orgcf68cd8">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li>
<li><a href="#org977c86a">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li>
<li><a href="#org5338719">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org7b52577">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a>
<ul>
<li><a href="#org03a96e2">La loi de composition interne dans E :</a>
<ul>
<li><a href="#org31d808e"><b>Example : Addition</b></a></li>
<li><a href="#orge9c2b76"><b>Example : soustraction</b></a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org1300309">La loi de composition externe dans E :</a></li>
<li><a href="#org1e58f4a">Groupes :</a>
<ul>
<li><a href="#org48addf8">Il contiens un élement neutre</a></li>
<li><a href="#org992635c">Il contiens un élément symétrique</a></li>
<li><a href="#org5785863">@ est cummutative :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org4e02115">Anneaux :</a>
<ul>
<li><a href="#org7b49b18">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li>
<li><a href="#org9233885">! est une loi associative :</a></li>
<li><a href="#orgcd9cf0e">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li>
<li><a href="#org23fc487">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li>
<li><a href="#orge37cd6b">! est cummutative :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org02e686e">Corps :</a>
<ul>
<li><a href="#org83ed39f">La symétrie :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org9ad193d">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a>
<ul>
<li><a href="#org782386d">Est-ce un Anneau ?</a></li>
<li><a href="#org6a25e48">Est-ce un corps ?</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org35d42a7">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a>
<ul>
<li><a href="#org2bb031b">L’ordre dans ℝ</a>
<ul>
<li><a href="#org3a56f16">Exemples :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org3f6e272">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a>
<ul>
<li><a href="#orgd342339">Majorant:</a></li>
<li><a href="#orgd881ae1">Minorant:</a></li>
<li><a href="#orgc83a99b">Borne supérieure:</a></li>
<li><a href="#orgbcc0d6a">Borne inférieure:</a></li>
<li><a href="#org2a83472">Maximum :</a></li>
<li><a href="#orge89d5ca">Minimum :</a></li>
<li><a href="#orgfde2451">Remarques :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org765f929">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a>
<ul>
<li>
<ul>
<li><a href="#org68fffe8">Définition :</a></li>
<li><a href="#org47655c4">Définition N°2 :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org4866a4e">Opérations sur les suites :</a>
<ul>
<li><a href="#org71fa659">La somme :</a></li>
<li><a href="#orgb650686">Le produit :</a></li>
<li><a href="#org95147d2">Inverse d’une suite :</a></li>
<li><a href="#org47c3d7b">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org6f19e22">Suite bornée :</a></li>
<li><a href="#org2d45f23">Suite majorée :</a></li>
<li><a href="#org238c341">Suite minorée :</a></li>
<li><a href="#org161b254">Suites monotones :</a>
<ul>
<li><a href="#org6ea1478">Les suites croissantes :</a></li>
<li><a href="#org4d4a6c4">Les suites décroissantes :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgf49f5ce">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a>
<ul>
<li><a href="#org9041b8f">Exo 1 :</a>
<ul>
<li><a href="#orgd05f78f">Ensemble A :</a></li>
<li><a href="#orga53cc3b">Ensemble B :</a></li>
<li><a href="#org3953e45">Ensemble C :</a></li>
<li><a href="#org5bd662a">Ensemble D :</a></li>
<li><a href="#org71f85cb">Ensemble E :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org5e55c46">Exo 2 :</a>
<ul>
<li><a href="#orgc6ae1c9">Ensemble A :</a></li>
<li><a href="#orgf7eccb2">Ensemble B :</a></li>
<li><a href="#orgbeddb63">Ensemble C :</a></li>
<li><a href="#org05e5cc7">Ensemble D :</a></li>
<li><a href="#org011ad53">Ensemble E :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org9c6a60f">Exo 3 :</a>
<ul>
<li><a href="#org687519a">Question 1 :</a></li>
<li><a href="#orge87653b">Question 2 :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org45e02ab">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a>
<ul>
<li><a href="#org13b3871">Les suites convergentes</a>
<ul>
<li><a href="#orgf27c188">Remarque :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org0901f91">Theoreme d’encadrement</a></li>
<li><a href="#org60b983d">Suites arithmetiques</a>
<ul>
<li><a href="#org34e4fd2">Forme general</a></li>
<li><a href="#org2635231">Somme des n premiers termes</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgb0193c4">Suites géométriques</a>
<ul>
<li><a href="#org25b609d">Forme general</a></li>
<li><a href="#orgd6e52f8">Somme des n premiers termes</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org6be44bf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a>
<ul>
<li><a href="#orgb8e4b97">Suites adjacentes:</a></li>
<li><a href="#org113db27">Suites extraites (sous-suites):</a>
<ul>
<li><a href="#org498c349">Remarques:</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgbac81d6">Suites de Cauchy:</a>
<ul>
<li><a href="#org9e7596a">Remarque :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgf3c9f3b">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbbf695d" class="outline-2">
<h2 id="orgbbf695d">Contenu de la Matiére</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgbbf695d">
</div>
<div id="outline-container-orgfb1fb3c" class="outline-3">
<h3 id="orgfb1fb3c">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgfb1fb3c">
<ul class="org-ul">
<li>Structure algébrique de ℝ<br /></li>
<li>L’ordre dans ℝ<br /></li>
<li>Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org0ead48d" class="outline-3">
<h3 id="org0ead48d">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org0ead48d">
<ul class="org-ul">
<li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li>
<li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li>
<li>Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgcf68cd8" class="outline-3">
<h3 id="orgcf68cd8">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgcf68cd8">
<ul class="org-ul">
<li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li>
<li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li>
<li>La continuité informe les fonctions Lepchitziennes<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org977c86a" class="outline-3">
<h3 id="org977c86a">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org977c86a">
<ul class="org-ul">
<li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org5338719" class="outline-3">
<h3 id="org5338719">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org5338719">
<ul class="org-ul">
<li>Comparaison asymptotique<br /></li>
<li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li>
<li>Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L<br /></li>
<li>Généralisations des D.L<br /></li>
<li>Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org7b52577" class="outline-2">
<h2 id="org7b52577">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org7b52577">
</div>
<div id="outline-container-org03a96e2" class="outline-3">
<h3 id="org03a96e2">La loi de composition interne dans E :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org03a96e2">
<p>
@ : E x E —> E<br />
(x,y) —> x @ y<br />
</p>
<p>
@ est une lois de composition interne seulement si :<br />
</p>
<p>
<b>∀ x,y ε E</b><br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org31d808e" class="outline-4">
<h4 id="org31d808e"><b>Example : Addition</b></h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org31d808e">
<p>
Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br />
</p>
<p>
ℕ x ℕ —> ℕ<br />
</p>
<p>
(x,y) —> x + y ? <i>En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne <b>n’importe quel</b> chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ</i><br />
</p>
<p>
∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ <i>En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ</i><br />
</p>
<p>
Donc : + est L.C.I dans ℕ<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge9c2b76" class="outline-4">
<h4 id="orge9c2b76"><b>Example : soustraction</b></h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge9c2b76">
<p>
Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br />
</p>
<p>
ℕ x ℕ —> ℕ<br />
</p>
<p>
(x,y) —> x - y ?<br />
</p>
<p>
∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ <i>En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est <b>PAS</b> dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ</i><br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1300309" class="outline-3">
<h3 id="org1300309">La loi de composition externe dans E :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org1300309">
<p>
@ est L.C.E dans E, K est un corps<br />
</p>
<p>
K x E —> E<br />
</p>
<p>
(a,x) —> a @ x<br />
</p>
<p>
∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1e58f4a" class="outline-3">
<h3 id="org1e58f4a">Groupes :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org1e58f4a">
<p>
<i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br />
</p>
<p>
(E, @) est un groupe Si :<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org48addf8" class="outline-4">
<h4 id="org48addf8">Il contiens un élement neutre</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org48addf8">
<p>
∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br />
</p>
<p>
x @ e = e @ x = x<br />
</p>
<p>
On appelle <b>e</b> élement neutre<br />
</p>
<p>
<i>Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition</i><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org992635c" class="outline-4">
<h4 id="org992635c">Il contiens un élément symétrique</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org992635c">
<p>
∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br />
</p>
<p>
On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br />
</p>
<p>
<i>Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:</i><br />
</p>
<p>
<i>x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’</i><br />
</p>
<p>
<b>Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs</b><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org5785863" class="outline-4">
<h4 id="org5785863">@ est cummutative :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org5785863">
<p>
∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br />
</p>
<p>
<i>L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents</i><br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org4e02115" class="outline-3">
<h3 id="org4e02115">Anneaux :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org4e02115">
<p>
Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org7b49b18" class="outline-4">
<h4 id="org7b49b18">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4>
</div>
<div id="outline-container-org9233885" class="outline-4">
<h4 id="org9233885">! est une loi associative :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org9233885">
<p>
∀ x , y , z ∈ E<br />
</p>
<p>
(x ! y) ! z = x ! (y ! z)<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgcd9cf0e" class="outline-4">
<h4 id="orgcd9cf0e">Distribution de ! par rapport à @ :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgcd9cf0e">
<p>
∀ x , y , z ∈ E<br />
</p>
<p>
(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org23fc487" class="outline-4">
<h4 id="org23fc487">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org23fc487">
<p>
∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge37cd6b" class="outline-4">
<h4 id="orge37cd6b">! est cummutative :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge37cd6b">
<p>
∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org02e686e" class="outline-3">
<h3 id="org02e686e">Corps :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org02e686e">
<p>
(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org83ed39f" class="outline-4">
<h4 id="org83ed39f">La symétrie :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org83ed39f">
<p>
∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br />
</p>
<p>
x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br />
(sauf élément neutre première lois )<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9ad193d" class="outline-3">
<h3 id="org9ad193d">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org9ad193d">
</div>
<div id="outline-container-org782386d" class="outline-4">
<h4 id="org782386d">Est-ce un Anneau ?</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org782386d">
<ul class="org-ul">
<li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li>
<li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li>
<li>On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)<br /></li>
<li>Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a<br /></li>
<li>La multiplication est commutative : a x b = b x a<br /></li>
</ul>
<p>
Oui c’est un anneau<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org6a25e48" class="outline-4">
<h4 id="org6a25e48">Est-ce un corps ?</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org6a25e48">
<ul class="org-ul">
<li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org35d42a7" class="outline-2">
<h2 id="org35d42a7">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org35d42a7">
</div>
<div id="outline-container-org2bb031b" class="outline-3">
<h3 id="org2bb031b">L’ordre dans ℝ</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org2bb031b">
<p>
(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li><p>
R est antisymétrique :<br />
</p>
<p>
∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)<br />
</p></li>
<li><p>
R est reflexive :<br />
</p>
<p>
∀ x ∈ ℝ ; x R x<br />
</p></li>
<li>R est transitive :<br />
∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li>
</ol>
</div>
<div id="outline-container-org3a56f16" class="outline-4">
<h4 id="org3a56f16">Exemples :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org3a56f16">
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org9012b34"></a>Exemple numéro 1:<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org9012b34">
<p>
(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br />
</p>
<p>
Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b><b>is obviously false</b></b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org1804403"></a>Exemple numéro 2:<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org1804403">
<p>
(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true<br /></li>
<li>(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true<br /></li>
<li>(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true<br /></li>
</ol>
</div>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org3f6e272" class="outline-3">
<h3 id="org3f6e272">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org3f6e272">
</div>
<div id="outline-container-orgd342339" class="outline-4">
<h4 id="orgd342339">Majorant:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgd342339">
<p>
Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br />
</p>
<p>
Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgd881ae1" class="outline-4">
<h4 id="orgd881ae1">Minorant:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgd881ae1">
<p>
Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br />
</p>
<p>
Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgc83a99b" class="outline-4">
<h4 id="orgc83a99b">Borne supérieure:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgc83a99b">
<p>
La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbcc0d6a" class="outline-4">
<h4 id="orgbcc0d6a">Borne inférieure:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgbcc0d6a">
<p>
La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2a83472" class="outline-4">
<h4 id="org2a83472">Maximum :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2a83472">
<p>
E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge89d5ca" class="outline-4">
<h4 id="orge89d5ca">Minimum :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge89d5ca">
<p>
E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgfde2451" class="outline-4">
<h4 id="orgfde2451">Remarques :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgfde2451">
<p>
A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>A ∪ B est borné<br /></li>
<li>A ∩ B est borné<br /></li>
<li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)<br /></li>
<li>Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)<br /></li>
<li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i><br /></li>
<li>Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i><br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org765f929" class="outline-2">
<h2 id="org765f929">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org765f929">
</div>
<div id="outline-container-org68fffe8" class="outline-4">
<h4 id="org68fffe8">Définition :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org68fffe8">
<p>
Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br />
</p>
<p>
ℕ -—> ℝ<br />
</p>
<p>
n -—> U(n) = Un<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite<br /></li>
<li>Un : terme général<br /></li>
</ol>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org9224e2b"></a>Exemple :<br />
<div class="outline-text-6" id="text-org9224e2b">
<p>
U : ℕ* -—> ℝ<br />
</p>
<p>
n -—> 1/n<br />
</p>
<p>
(Un) est une suite définit par Un = 1/n<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org47655c4" class="outline-4">
<h4 id="org47655c4">Définition N°2 :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org47655c4">
<p>
On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgf7302b5"></a>Exemple :<br />
<div class="outline-text-6" id="text-orgf7302b5">
<p>
U(n+1) = Un /2<br />
</p>
<p>
U(1)= 1<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org4866a4e" class="outline-3">
<h3 id="org4866a4e">Opérations sur les suites :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org4866a4e">
</div>
<div id="outline-container-org71fa659" class="outline-4">
<h4 id="org71fa659">La somme :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org71fa659">
<p>
Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgb650686" class="outline-4">
<h4 id="orgb650686">Le produit :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgb650686">
<p>
Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org95147d2" class="outline-4">
<h4 id="org95147d2">Inverse d’une suite :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org95147d2">
<p>
Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org47c3d7b" class="outline-4">
<h4 id="org47c3d7b">Produit d’une suite par un scalaire :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org47c3d7b">
<p>
Soit (Un) une suite de T.G Un<br />
</p>
<p>
∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org6f19e22" class="outline-3">
<h3 id="org6f19e22">Suite bornée :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org6f19e22">
<p>
Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2d45f23" class="outline-3">
<h3 id="org2d45f23">Suite majorée :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org2d45f23">
<p>
Soit (Un) une suite<br />
</p>
<p>
U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org238c341" class="outline-3">
<h3 id="org238c341">Suite minorée :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org238c341">
<p>
Soit (Un) une suite<br />
</p>
<p>
U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org161b254" class="outline-3">
<h3 id="org161b254">Suites monotones :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org161b254">
</div>
<div id="outline-container-org6ea1478" class="outline-4">
<h4 id="org6ea1478">Les suites croissantes :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org6ea1478">
<p>
Soit (Un)n est une suite<br />
</p>
<p>
(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org4d4a6c4" class="outline-4">
<h4 id="org4d4a6c4">Les suites décroissantes :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org4d4a6c4">
<p>
Soit (Un)n est une suite<br />
</p>
<p>
(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgf49f5ce" class="outline-2">
<h2 id="orgf49f5ce">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgf49f5ce">
</div>
<div id="outline-container-org9041b8f" class="outline-3">
<h3 id="org9041b8f">Exo 1 :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org9041b8f">
</div>
<div id="outline-container-orgd05f78f" class="outline-4">
<h4 id="orgd05f78f">Ensemble A :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgd05f78f">
<p>
A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org05ec3df"></a>Borne inférieure<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org05ec3df">
<p>
∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgae8cbac"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgae8cbac">
<p>
∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orga840fb9"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orga840fb9">
<p>
∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org314e7af"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org314e7af">
<p>
L’ensemble A n’as pas de maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orga53cc3b" class="outline-4">
<h4 id="orga53cc3b">Ensemble B :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orga53cc3b">
<p>
B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org5a17877"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org5a17877">
<p>
Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))<br />
</p>
<p>
Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est <b>-∞</b>,<br />
</p>
<p>
<b>Inf(B) = -1</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org334a74a"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org334a74a">
<p>
Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br />
</p>
<p>
Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est <b>+∞</b>,<br />
</p>
<p>
<b>Sup(B) = 3</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org06ffe94"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org06ffe94">
<p>
<b>Min(B) = -1</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org52c9233"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org52c9233">
<p>
L’ensemble B n’as pas de Maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org3953e45" class="outline-4">
<h4 id="org3953e45">Ensemble C :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org3953e45">
<p>
C = {3n ,n ∈ ℕ}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org61ee644"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org61ee644">
<p>
Inf(C) = 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgc54b253"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgc54b253">
<p>
Sup(C) = +∞<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org94ac2bd"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org94ac2bd">
<p>
Min(C) = 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org753fbce"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org753fbce">
<p>
L’ensemble C n’as pas de Maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org5bd662a" class="outline-4">
<h4 id="org5bd662a">Ensemble D :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org5bd662a">
<p>
D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgeda7d30"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgeda7d30">
<p>
Inf(D)= 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org24fd992"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org24fd992">
<p>
Sup(D)= 1<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org4e2f953"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org4e2f953">
<p>
Min(D)= 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org284f936"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org284f936">
<p>
L’ensemble D n’as pas de Maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org71f85cb" class="outline-4">
<h4 id="org71f85cb">Ensemble E :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org71f85cb">
<p>
E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br />
</p>
<p>
<b>Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair</b><br />
</p>
<p>
<b>On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}</b><br />
</p>
<p>
<b>Donc E = F ∪ G</b><br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgcd9e1fa"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgcd9e1fa">
<p>
Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))<br />
</p>
<p>
Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1<br />
</p>
<p>
<b>Inf(E)= -1</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgcd2d59d"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgcd2d59d">
<p>
Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br />
</p>
<p>
sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br />
</p>
<p>
<b>Sup(E)= +∞</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgc05d4fe"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgc05d4fe">
<p>
Min(E)= -1<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgc819f92"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgc819f92">
<p>
E n’as pas de maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org5e55c46" class="outline-3">
<h3 id="org5e55c46">Exo 2 :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org5e55c46">
</div>
<div id="outline-container-orgc6ae1c9" class="outline-4">
<h4 id="orgc6ae1c9">Ensemble A :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgc6ae1c9">
<p>
A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org3b04e5b"></a>Borné<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org3b04e5b">
<p>
<b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgf7eccb2" class="outline-4">
<h4 id="orgf7eccb2">Ensemble B :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgf7eccb2">
<p>
B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgf895b3f"></a>Borné<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgf895b3f">
<p>
<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b><br />
</p>
<p>
<b>∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgbeddb63" class="outline-4">
<h4 id="orgbeddb63">Ensemble C :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgbeddb63">
<p>
C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orga2d87af"></a>Minoré<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orga2d87af">
<p>
<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org05e5cc7" class="outline-4">
<h4 id="org05e5cc7">Ensemble D :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org05e5cc7">
<p>
D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgf3bd221"></a>Borné<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgf3bd221">
<p>
<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b><br />
</p>
<p>
<b>∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org011ad53" class="outline-4">
<h4 id="org011ad53">Ensemble E :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org011ad53">
<p>
E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org9d823e4"></a>Majoré<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org9d823e4">
<p>
p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9c6a60f" class="outline-3">
<h3 id="org9c6a60f">Exo 3 :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org9c6a60f">
<p>
U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org687519a" class="outline-4">
<h4 id="org687519a">Question 1 :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org687519a">
<p>
Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br />
</p>
<p>
<b>(Un - 1)² ≥ 0 <i>Parce que c’est un carré</i></b><br />
</p>
<p>
<b>(Un - 1)² + 1 > 1</b> ; <b>U(n+1) ≥ 1</b><br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org7a21400"></a>Raisonnement par récurrence :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org7a21400">
<p>
P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br />
</p>
<p>
P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2<br />
</p>
<p>
On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br />
</p>
<p>
1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; <b>1 < U(n+1) < 2</b> Donc elle est correcte<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orge87653b" class="outline-4">
<h4 id="orge87653b">Question 2 :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge87653b">
<p>
Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br />
</p>
<p>
<b>U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2</b><br />
</p>
<p>
On étudie <b>Un² - 3Un + 2</b> sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, <b>Δ = 1</b> , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2<br />
</p>
<p>
On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc <b>∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un</b> Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org45e02ab" class="outline-2">
<h2 id="org45e02ab">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org45e02ab">
</div>
<div id="outline-container-org13b3871" class="outline-3">
<h3 id="org13b3871">Les suites convergentes</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org13b3871">
<p>
Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-orgf27c188" class="outline-4">
<h4 id="orgf27c188">Remarque :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgf27c188">
<ol class="org-ol">
<li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li>
<li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li>
<li>Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge<br /></li>
<li>Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge<br /></li>
<li>Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors<br />
<ol class="org-ol">
<li>Un + Vn est convergente<br /></li>
<li>Un * Vn est convergente<br /></li>
<li>∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge<br /></li>
</ol></li>
<li>Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org0901f91" class="outline-3">
<h3 id="org0901f91">Theoreme d’encadrement</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org0901f91">
<p>
Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org60b983d" class="outline-3">
<h3 id="org60b983d">Suites arithmetiques</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org60b983d">
<p>
Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org34e4fd2" class="outline-4">
<h4 id="org34e4fd2">Forme general</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org34e4fd2">
<p>
<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2635231" class="outline-4">
<h4 id="org2635231">Somme des n premiers termes</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2635231">
<p>
Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br />
</p>
<p>
Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgb0193c4" class="outline-3">
<h3 id="orgb0193c4">Suites géométriques</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgb0193c4">
</div>
<div id="outline-container-org25b609d" class="outline-4">
<h4 id="org25b609d">Forme general</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org25b609d">
<p>
<b>Un = U0 x r^n</b><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgd6e52f8" class="outline-4">
<h4 id="orgd6e52f8">Somme des n premiers termes</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgd6e52f8">
<p>
n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org6be44bf" class="outline-2">
<h2 id="org6be44bf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org6be44bf">
</div>
<div id="outline-container-orgb8e4b97" class="outline-3">
<h3 id="orgb8e4b97">Suites adjacentes:</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgb8e4b97">
<p>
Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante<br /></li>
<li>Un ≤ Vn<br /></li>
<li>lim (Un - Vn) n->+∞ = 0<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org113db27" class="outline-3">
<h3 id="org113db27">Suites extraites (sous-suites):</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org113db27">
<p>
Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org498c349" class="outline-4">
<h4 id="org498c349">Remarques:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org498c349">
<ol class="org-ol">
<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li>
<li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li>
<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbac81d6" class="outline-3">
<h3 id="orgbac81d6">Suites de Cauchy:</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgbac81d6">
<p>
(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org9e7596a" class="outline-4">
<h4 id="org9e7596a">Remarque :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org9e7596a">
<ol class="org-ol">
<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgf3c9f3b" class="outline-3">
<h3 id="orgf3c9f3b">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgf3c9f3b">
<p>
On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="postamble" class="status">
<p class="author">Author: Crystal</p>
<p class="date">Created: 2023-10-20 Fri 14:43</p>
</div>
</body>
</html>
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