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author: Crystal <crystal@wizard.tower> 2023-10-18 20:20:45 +0100
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index e511781..2a49a05 100755
--- a/src/org/uni_notes/analyse1.org
+++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org
@@ -470,8 +470,38 @@ Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2
 
 
 Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie
-** Suites geometriques
+** Suites géométriques
 *** Forme general
 *Un = U0 x r^n*
 *** Somme des n premiers termes
 n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r
+* 5th cours (suite) : /Oct 12/
+** Suites adjacentes:
+Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:
+1. (Un) est croissante et (Vn) est décroissante
+2. Un ≤ Vn
+3. lim (Un - Vn) n->+∞ = 0
+** Suites extraites (sous-suites):
+Soit (Un) une suite:
+//
+U: ℕ ----> ℝ
+//
+   n ----> Un
+//
+ϕ: ℕ ----> ℕ
+//
+   n ----> ϕn
+//
+(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.
+*** Remarques:
+a. Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.
+b. Mais le contraire n'es pas toujours vrais.
+c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l
+** Suites de Cauchy:
+(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ;
+//
+∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε
+*** Remarque :
+1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente
+** Théorème de Bolzano Weirstrass:
+On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée
diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html
index 20d8972..158fb05 100755
--- a/uni_notes/analyse.html
+++ b/uni_notes/analyse.html
@@ -3,7 +3,7 @@
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 <head>
-<!-- 2023-10-11 Wed 19:18 -->
+<!-- 2023-10-18 Wed 20:20 -->
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 <title>Analyse 1</title>
@@ -15,13 +15,13 @@
 <body>
 <div id="content" class="content">
 <h1 class="title">Analyse 1</h1>
-<div id="outline-container-org32ad572" class="outline-2">
-<h2 id="org32ad572">Contenu de la Matiére</h2>
-<div class="outline-text-2" id="text-org32ad572">
+<div id="outline-container-orge183e28" class="outline-2">
+<h2 id="orge183e28">Contenu de la Matiére</h2>
+<div class="outline-text-2" id="text-orge183e28">
 </div>
-<div id="outline-container-org156647d" class="outline-3">
-<h3 id="org156647d">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org156647d">
+<div id="outline-container-org75fdd62" class="outline-3">
+<h3 id="org75fdd62">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org75fdd62">
 <ul class="org-ul">
 <li>Structure algébrique de ℝ</li>
 <li>L&rsquo;ordre dans ℝ</li>
@@ -29,9 +29,9 @@
 </ul>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org2064013" class="outline-3">
-<h3 id="org2064013">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org2064013">
+<div id="outline-container-orgcf244f5" class="outline-3">
+<h3 id="orgcf244f5">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orgcf244f5">
 <ul class="org-ul">
 <li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes</li>
 <li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies</li>
@@ -39,9 +39,9 @@
 </ul>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org74215b0" class="outline-3">
-<h3 id="org74215b0">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d&rsquo;une variable réelle</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org74215b0">
+<div id="outline-container-org3a6e95a" class="outline-3">
+<h3 id="org3a6e95a">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d&rsquo;une variable réelle</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org3a6e95a">
 <ul class="org-ul">
 <li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées</li>
 <li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux</li>
@@ -49,17 +49,17 @@
 </ul>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgfad0512" class="outline-3">
-<h3 id="orgfad0512">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-orgfad0512">
+<div id="outline-container-org62905ef" class="outline-3">
+<h3 id="org62905ef">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org62905ef">
 <ul class="org-ul">
 <li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L&rsquo;Hopital et formule de Taylor</li>
 </ul>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org2c42f3a" class="outline-3">
-<h3 id="org2c42f3a">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org2c42f3a">
+<div id="outline-container-org179b9bd" class="outline-3">
+<h3 id="org179b9bd">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org179b9bd">
 <ul class="org-ul">
 <li>Comparaison asymptotique</li>
 <li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes</li>
@@ -70,13 +70,13 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org4aeab0e" class="outline-2">
-<h2 id="org4aeab0e">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2>
-<div class="outline-text-2" id="text-org4aeab0e">
+<div id="outline-container-org06afb93" class="outline-2">
+<h2 id="org06afb93">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2>
+<div class="outline-text-2" id="text-org06afb93">
 </div>
-<div id="outline-container-org1c15646" class="outline-3">
-<h3 id="org1c15646">La loi de composition interne dans E :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org1c15646">
+<div id="outline-container-org83efa3f" class="outline-3">
+<h3 id="org83efa3f">La loi de composition interne dans E :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org83efa3f">
 <p>
 @ : E x E &#x2014;&gt; E
     (x,y) &#x2014;&gt; x @ y
@@ -90,9 +90,9 @@
 <b>∀ x,y ε E</b>
 </p>
 </div>
-<div id="outline-container-orge4f4285" class="outline-4">
-<h4 id="orge4f4285"><b>Example : Addition</b></h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orge4f4285">
+<div id="outline-container-org34e1589" class="outline-4">
+<h4 id="org34e1589"><b>Example : Addition</b></h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org34e1589">
 <p>
 Est ce que l&rsquo;addition (+) est L.C.I dans ℕ  ?
 </p>
@@ -114,9 +114,9 @@ Donc : + est L.C.I dans ℕ
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgf679b38" class="outline-4">
-<h4 id="orgf679b38"><b>Example : soustraction</b></h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgf679b38">
+<div id="outline-container-orga5170c1" class="outline-4">
+<h4 id="orga5170c1"><b>Example : soustraction</b></h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orga5170c1">
 <p>
 Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?
 </p>
@@ -136,9 +136,9 @@ Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org5bd802e" class="outline-3">
-<h3 id="org5bd802e">La loi de composition externe dans E :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org5bd802e">
+<div id="outline-container-orgbb8eb3a" class="outline-3">
+<h3 id="orgbb8eb3a">La loi de composition externe dans E :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orgbb8eb3a">
 <p>
 @ est L.C.E dans E, K est un corps
 </p>
@@ -156,9 +156,9 @@ K x E &#x2014;&gt; E
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgbd9ed54" class="outline-3">
-<h3 id="orgbd9ed54">Groupes :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-orgbd9ed54">
+<div id="outline-container-org5272600" class="outline-3">
+<h3 id="org5272600">Groupes :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org5272600">
 <p>
 <i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i>
 </p>
@@ -167,9 +167,9 @@ K x E &#x2014;&gt; E
 (E, @) est un groupe Si :
 </p>
 </div>
-<div id="outline-container-org8a61f65" class="outline-4">
-<h4 id="org8a61f65">Il contiens un élement neutre</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org8a61f65">
+<div id="outline-container-org60264f8" class="outline-4">
+<h4 id="org60264f8">Il contiens un élement neutre</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org60264f8">
 <p>
 ∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E
 </p>
@@ -187,9 +187,9 @@ On appelle <b>e</b> élement neutre
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgd7a2bc2" class="outline-4">
-<h4 id="orgd7a2bc2">Il contiens un élément symétrique</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgd7a2bc2">
+<div id="outline-container-orgfc7c944" class="outline-4">
+<h4 id="orgfc7c944">Il contiens un élément symétrique</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgfc7c944">
 <p>
 ∀ x ∈ E ; ∃ x&rsquo; ∈ E ; x @ x&rsquo; = x&rsquo; @ x = e
 </p>
@@ -211,9 +211,9 @@ On appelle <b>x&rsquo;</b> élèment symétrique
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org942f964" class="outline-4">
-<h4 id="org942f964">@ est cummutative :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org942f964">
+<div id="outline-container-org295b0ad" class="outline-4">
+<h4 id="org295b0ad">@ est cummutative :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org295b0ad">
 <p>
 ∀ (x , x&rsquo;) ∈ E x E ; x @ x&rsquo; = x&rsquo; @ x
 </p>
@@ -224,19 +224,19 @@ On appelle <b>x&rsquo;</b> élèment symétrique
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgfd870b2" class="outline-3">
-<h3 id="orgfd870b2">Anneaux :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-orgfd870b2">
+<div id="outline-container-org16e85f4" class="outline-3">
+<h3 id="org16e85f4">Anneaux :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org16e85f4">
 <p>
 Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :
 </p>
 </div>
-<div id="outline-container-orgb630ae9" class="outline-4">
-<h4 id="orgb630ae9">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4>
+<div id="outline-container-org4f41a3e" class="outline-4">
+<h4 id="org4f41a3e">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4>
 </div>
-<div id="outline-container-org83da3f3" class="outline-4">
-<h4 id="org83da3f3">! est une loi associative :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org83da3f3">
+<div id="outline-container-orgcd878d3" class="outline-4">
+<h4 id="orgcd878d3">! est une loi associative :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgcd878d3">
 <p>
 ∀ x , y , z ∈ E
 </p>
@@ -246,9 +246,9 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org228d644" class="outline-4">
-<h4 id="org228d644">Distribution de ! par rapport à @ :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org228d644">
+<div id="outline-container-orgfdc3283" class="outline-4">
+<h4 id="orgfdc3283">Distribution de ! par rapport à @ :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgfdc3283">
 <p>
 ∀ x , y , z ∈ E
 </p>
@@ -258,33 +258,33 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org188625a" class="outline-4">
-<h4 id="org188625a">L&rsquo;existance d&rsquo;un élèment neutre de ! :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org188625a">
+<div id="outline-container-org81e790a" class="outline-4">
+<h4 id="org81e790a">L&rsquo;existance d&rsquo;un élèment neutre de ! :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org81e790a">
 <p>
 ∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orge450b40" class="outline-4">
-<h4 id="orge450b40">! est cummutative :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orge450b40">
+<div id="outline-container-orgc47d01f" class="outline-4">
+<h4 id="orgc47d01f">! est cummutative :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgc47d01f">
 <p>
 ∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x
 </p>
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgb215ac1" class="outline-3">
-<h3 id="orgb215ac1">Corps :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-orgb215ac1">
+<div id="outline-container-orgcb42d27" class="outline-3">
+<h3 id="orgcb42d27">Corps :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orgcb42d27">
 <p>
 (E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :
 </p>
 </div>
-<div id="outline-container-org51d906d" class="outline-4">
-<h4 id="org51d906d">La symétrie :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org51d906d">
+<div id="outline-container-orgda38e92" class="outline-4">
+<h4 id="orgda38e92">La symétrie :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgda38e92">
 <p>
 ∀ x ∈ E ; ∃ x&rsquo; ∈ E , x ! x&rsquo; = x&rsquo; ! x = e
 </p>
@@ -296,13 +296,13 @@ x&rsquo; est l&rsquo;élément symétrique de x par rapport à !
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgea20262" class="outline-3">
-<h3 id="orgea20262">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-orgea20262">
+<div id="outline-container-orgaaaeb75" class="outline-3">
+<h3 id="orgaaaeb75">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orgaaaeb75">
 </div>
-<div id="outline-container-org63b1ea5" class="outline-4">
-<h4 id="org63b1ea5">Est-ce un Anneau ?</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org63b1ea5">
+<div id="outline-container-org7b08192" class="outline-4">
+<h4 id="org7b08192">Est-ce un Anneau ?</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org7b08192">
 <ul class="org-ul">
 <li>(ℝ, +) est un groupe commutatif</li>
 <li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)</li>
@@ -316,9 +316,9 @@ Oui c&rsquo;est un anneau
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org1c18b97" class="outline-4">
-<h4 id="org1c18b97">Est-ce un corps ?</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org1c18b97">
+<div id="outline-container-org48407c7" class="outline-4">
+<h4 id="org48407c7">Est-ce un corps ?</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org48407c7">
 <ul class="org-ul">
 <li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x&rsquo; = 1</li>
 </ul>
@@ -326,13 +326,13 @@ Oui c&rsquo;est un anneau
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org86b97eb" class="outline-2">
-<h2 id="org86b97eb">2nd cours :L&rsquo;ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2>
-<div class="outline-text-2" id="text-org86b97eb">
+<div id="outline-container-orgda25d9d" class="outline-2">
+<h2 id="orgda25d9d">2nd cours :L&rsquo;ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2>
+<div class="outline-text-2" id="text-orgda25d9d">
 </div>
-<div id="outline-container-org1f1c4d8" class="outline-3">
-<h3 id="org1f1c4d8">L&rsquo;ordre dans ℝ</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org1f1c4d8">
+<div id="outline-container-org4e80ec3" class="outline-3">
+<h3 id="org4e80ec3">L&rsquo;ordre dans ℝ</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org4e80ec3">
 <p>
 (ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d&rsquo;ordre dans ℝ si :
 </p>
@@ -358,13 +358,13 @@ R est reflexive :
 ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z</li>
 </ol>
 </div>
-<div id="outline-container-orgc178857" class="outline-4">
-<h4 id="orgc178857">Exemples :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgc178857">
+<div id="outline-container-org093cc99" class="outline-4">
+<h4 id="org093cc99">Exemples :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org093cc99">
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org7b5f181"></a>Exemple numéro 1:<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org7b5f181">
+<li><a id="orgaae6cc3"></a>Exemple numéro 1:<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-orgaae6cc3">
 <p>
 (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation &lt; est une relation d&rsquo;ordre dans ℝ ?
 </p>
@@ -375,8 +375,8 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x &lt; x <b><
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org7f902ab"></a>Exemple numéro 2:<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org7f902ab">
+<li><a id="org5abd4e2"></a>Exemple numéro 2:<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org5abd4e2">
 <p>
 (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d&rsquo;ordre dans ℝ ?
 </p>
@@ -391,13 +391,13 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x &lt; x <b><
 </ul>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org446671f" class="outline-3">
-<h3 id="org446671f">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org446671f">
+<div id="outline-container-orgd51e0fe" class="outline-3">
+<h3 id="orgd51e0fe">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orgd51e0fe">
 </div>
-<div id="outline-container-org86c077d" class="outline-4">
-<h4 id="org86c077d">Majorant:</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org86c077d">
+<div id="outline-container-orgd3a8a46" class="outline-4">
+<h4 id="orgd3a8a46">Majorant:</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgd3a8a46">
 <p>
 Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)
 </p>
@@ -408,9 +408,9 @@ Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org200a2c3" class="outline-4">
-<h4 id="org200a2c3">Minorant:</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org200a2c3">
+<div id="outline-container-org2f70f76" class="outline-4">
+<h4 id="org2f70f76">Minorant:</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org2f70f76">
 <p>
 Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)
 </p>
@@ -421,41 +421,41 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org46cb24b" class="outline-4">
-<h4 id="org46cb24b">Borne supérieure:</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org46cb24b">
+<div id="outline-container-orgec5932c" class="outline-4">
+<h4 id="orgec5932c">Borne supérieure:</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgec5932c">
 <p>
 La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i>
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgbb1980a" class="outline-4">
-<h4 id="orgbb1980a">Borne inférieure:</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgbb1980a">
+<div id="outline-container-org557a049" class="outline-4">
+<h4 id="org557a049">Borne inférieure:</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org557a049">
 <p>
 La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i>
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org3159ba9" class="outline-4">
-<h4 id="org3159ba9">Maximum :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org3159ba9">
+<div id="outline-container-org44a1e6f" class="outline-4">
+<h4 id="org44a1e6f">Maximum :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org44a1e6f">
 <p>
 E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgf43e25a" class="outline-4">
-<h4 id="orgf43e25a">Minimum :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgf43e25a">
+<div id="outline-container-org8212c6f" class="outline-4">
+<h4 id="org8212c6f">Minimum :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org8212c6f">
 <p>
 E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orga08da55" class="outline-4">
-<h4 id="orga08da55">Remarques :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orga08da55">
+<div id="outline-container-orgc1f190f" class="outline-4">
+<h4 id="orgc1f190f">Remarques :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgc1f190f">
 <p>
 A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :
 </p>
@@ -471,13 +471,13 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org05e73a3" class="outline-2">
-<h2 id="org05e73a3">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2>
-<div class="outline-text-2" id="text-org05e73a3">
+<div id="outline-container-org5e6bac0" class="outline-2">
+<h2 id="org5e6bac0">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2>
+<div class="outline-text-2" id="text-org5e6bac0">
 </div>
-<div id="outline-container-orgcd4347a" class="outline-4">
-<h4 id="orgcd4347a">Définition :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgcd4347a">
+<div id="outline-container-org4576609" class="outline-4">
+<h4 id="org4576609">Définition :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org4576609">
 <p>
 Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:
 </p>
@@ -498,8 +498,8 @@ n -&#x2014;&gt; U(n) = Un
 </ol>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org495644f"></a>Exemple :<br />
-<div class="outline-text-6" id="text-org495644f">
+<li><a id="org2974480"></a>Exemple :<br />
+<div class="outline-text-6" id="text-org2974480">
 <p>
 U : ℕ* -&#x2014;&gt; ℝ
 </p>
@@ -517,16 +517,16 @@ n  -&#x2014;&gt; 1/n
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-orgdf8ea2e" class="outline-4">
-<h4 id="orgdf8ea2e">Définition N°2 :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgdf8ea2e">
+<div id="outline-container-org1b2bc25" class="outline-4">
+<h4 id="org1b2bc25">Définition N°2 :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org1b2bc25">
 <p>
 On peut définir une suite â partir d&rsquo;une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org0c7274e"></a>Exemple :<br />
-<div class="outline-text-6" id="text-org0c7274e">
+<li><a id="org3df976a"></a>Exemple :<br />
+<div class="outline-text-6" id="text-org3df976a">
 <p>
 U(n+1) = Un /2
 </p>
@@ -539,37 +539,37 @@ U(1)= 1
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-orgecfb02c" class="outline-3">
-<h3 id="orgecfb02c">Opérations sur les suites :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-orgecfb02c">
+<div id="outline-container-org3a7a057" class="outline-3">
+<h3 id="org3a7a057">Opérations sur les suites :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org3a7a057">
 </div>
-<div id="outline-container-orgc56ccde" class="outline-4">
-<h4 id="orgc56ccde">La somme :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgc56ccde">
+<div id="outline-container-orgb2c866b" class="outline-4">
+<h4 id="orgb2c866b">La somme :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgb2c866b">
 <p>
 Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgfe0c8af" class="outline-4">
-<h4 id="orgfe0c8af">Le produit :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgfe0c8af">
+<div id="outline-container-orgea9f4ff" class="outline-4">
+<h4 id="orgea9f4ff">Le produit :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgea9f4ff">
 <p>
 Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgfa9fe65" class="outline-4">
-<h4 id="orgfa9fe65">Inverse d&rsquo;une suite :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgfa9fe65">
+<div id="outline-container-org3d885f7" class="outline-4">
+<h4 id="org3d885f7">Inverse d&rsquo;une suite :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org3d885f7">
 <p>
 Soit Un une suite de terme général Un alors l&rsquo;inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org09108ca" class="outline-4">
-<h4 id="org09108ca">Produit d&rsquo;une suite par un scalaire :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org09108ca">
+<div id="outline-container-orgb08b6d3" class="outline-4">
+<h4 id="orgb08b6d3">Produit d&rsquo;une suite par un scalaire :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgb08b6d3">
 <p>
 Soit (Un) une suite de T.G Un
 </p>
@@ -581,17 +581,17 @@ Soit (Un) une suite de T.G Un
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org0d16671" class="outline-3">
-<h3 id="org0d16671">Suite bornée :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org0d16671">
+<div id="outline-container-org1263651" class="outline-3">
+<h3 id="org1263651">Suite bornée :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org1263651">
 <p>
 Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org1819f18" class="outline-3">
-<h3 id="org1819f18">Suite majorée :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org1819f18">
+<div id="outline-container-org1675132" class="outline-3">
+<h3 id="org1675132">Suite majorée :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org1675132">
 <p>
 Soit (Un) une suite
 </p>
@@ -602,9 +602,9 @@ U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org3c0fbec" class="outline-3">
-<h3 id="org3c0fbec">Suite minorée :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org3c0fbec">
+<div id="outline-container-org87968e2" class="outline-3">
+<h3 id="org87968e2">Suite minorée :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org87968e2">
 <p>
 Soit (Un) une suite
 </p>
@@ -615,13 +615,13 @@ U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgebf3d3b" class="outline-3">
-<h3 id="orgebf3d3b">Suites monotones :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-orgebf3d3b">
+<div id="outline-container-orgc488475" class="outline-3">
+<h3 id="orgc488475">Suites monotones :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orgc488475">
 </div>
-<div id="outline-container-org193a450" class="outline-4">
-<h4 id="org193a450">Les suites croissantes :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org193a450">
+<div id="outline-container-org2cc0b18" class="outline-4">
+<h4 id="org2cc0b18">Les suites croissantes :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org2cc0b18">
 <p>
 Soit (Un)n est une suite
 </p>
@@ -632,9 +632,9 @@ Soit (Un)n est une suite
 </p>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgff47924" class="outline-4">
-<h4 id="orgff47924">Les suites décroissantes :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgff47924">
+<div id="outline-container-org18bee3a" class="outline-4">
+<h4 id="org18bee3a">Les suites décroissantes :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org18bee3a">
 <p>
 Soit (Un)n est une suite
 </p>
@@ -647,45 +647,45 @@ Soit (Un)n est une suite
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgf08c70b" class="outline-2">
-<h2 id="orgf08c70b">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2>
-<div class="outline-text-2" id="text-orgf08c70b">
+<div id="outline-container-org4db9108" class="outline-2">
+<h2 id="org4db9108">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2>
+<div class="outline-text-2" id="text-org4db9108">
 </div>
-<div id="outline-container-org24ad469" class="outline-3">
-<h3 id="org24ad469">Exo 1 :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org24ad469">
+<div id="outline-container-org287eb0f" class="outline-3">
+<h3 id="org287eb0f">Exo 1 :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org287eb0f">
 </div>
-<div id="outline-container-org542ddd3" class="outline-4">
-<h4 id="org542ddd3">Ensemble A :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org542ddd3">
+<div id="outline-container-orge2a122f" class="outline-4">
+<h4 id="orge2a122f">Ensemble A :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orge2a122f">
 <p>
 A = {-1/n , n ∈ ℕ *}
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org8b8384f"></a>Borne inférieure<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org8b8384f">
+<li><a id="org8380185"></a>Borne inférieure<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org8380185">
 <p>
 ∀ n ∈  ℕ*  , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l&rsquo;ensemble A
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="orgd7452d9"></a>Minimum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-orgd7452d9">
+<li><a id="org3306faf"></a>Minimum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org3306faf">
 <p>
 ∀ n ∈  ℕ*  , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l&rsquo;ensemble A
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org60371ac"></a>Borne supérieure :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org60371ac">
+<li><a id="orgb6214c1"></a>Borne supérieure :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-orgb6214c1">
 <p>
 ∀ n ∈  ℕ*  , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l&rsquo;ensemble A
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="orge3e4c79"></a>Maximum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-orge3e4c79">
+<li><a id="org1181aa7"></a>Maximum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org1181aa7">
 <p>
 L&rsquo;ensemble A n&rsquo;as pas de maximum
 </p>
@@ -693,16 +693,16 @@ L&rsquo;ensemble A n&rsquo;as pas de maximum
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-org71dc196" class="outline-4">
-<h4 id="org71dc196">Ensemble B :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org71dc196">
+<div id="outline-container-orgbb9e801" class="outline-4">
+<h4 id="orgbb9e801">Ensemble B :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgbb9e801">
 <p>
 B = [-1 , 3[ ∩ ℚ
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="orgb1a63f2"></a>Borne inférieure :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-orgb1a63f2">
+<li><a id="org0cd302c"></a>Borne inférieure :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org0cd302c">
 <p>
 Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))
 </p>
@@ -718,8 +718,8 @@ Puisse que ℚ n&rsquo;as pas de Borne inférieure, donc par convention c&rsquo;
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org777951c"></a>Borne supérieure :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org777951c">
+<li><a id="org7ae05e0"></a>Borne supérieure :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org7ae05e0">
 <p>
 Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))
 </p>
@@ -735,15 +735,15 @@ Puisse que ℚ n&rsquo;as pas de Borne supérieure, donc par convention c&rsquo;
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org8f243eb"></a>Minimum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org8f243eb">
+<li><a id="org9cd2734"></a>Minimum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org9cd2734">
 <p>
 <b>Min(B) = -1</b>
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org7e50683"></a>Maximum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org7e50683">
+<li><a id="org03c30da"></a>Maximum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org03c30da">
 <p>
 L&rsquo;ensemble B n&rsquo;as pas de Maximum
 </p>
@@ -751,37 +751,37 @@ L&rsquo;ensemble B n&rsquo;as pas de Maximum
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-org22ac863" class="outline-4">
-<h4 id="org22ac863">Ensemble C :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org22ac863">
+<div id="outline-container-org802547c" class="outline-4">
+<h4 id="org802547c">Ensemble C :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org802547c">
 <p>
 C = {3n ,n ∈ ℕ}
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org21834f8"></a>Borne inférieure :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org21834f8">
+<li><a id="org9ce5bec"></a>Borne inférieure :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org9ce5bec">
 <p>
 Inf(C) = 0
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org9559808"></a>Borne supérieure :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org9559808">
+<li><a id="org9141711"></a>Borne supérieure :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org9141711">
 <p>
 Sup(C) = +∞
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org4a57e53"></a>Minimum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org4a57e53">
+<li><a id="org9caa8ca"></a>Minimum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org9caa8ca">
 <p>
 Min(C) = 0
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org621b5ba"></a>Maximum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org621b5ba">
+<li><a id="org0ad948c"></a>Maximum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org0ad948c">
 <p>
 L&rsquo;ensemble C n&rsquo;as pas de Maximum
 </p>
@@ -789,37 +789,37 @@ L&rsquo;ensemble C n&rsquo;as pas de Maximum
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-orgfbcec21" class="outline-4">
-<h4 id="orgfbcec21">Ensemble D :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgfbcec21">
+<div id="outline-container-org1be7f79" class="outline-4">
+<h4 id="org1be7f79">Ensemble D :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org1be7f79">
 <p>
 D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="orga8dbb3d"></a>Borne inférieure :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-orga8dbb3d">
+<li><a id="org906a6df"></a>Borne inférieure :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org906a6df">
 <p>
 Inf(D)= 0
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org17babcd"></a>Borne supérieure :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org17babcd">
+<li><a id="orga274a2c"></a>Borne supérieure :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-orga274a2c">
 <p>
 Sup(D)= 1
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="orgbd6de63"></a>Minimum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-orgbd6de63">
+<li><a id="org320ea71"></a>Minimum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org320ea71">
 <p>
 Min(D)= 0
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org8c6ce24"></a>Maximum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org8c6ce24">
+<li><a id="org2a6a7cd"></a>Maximum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org2a6a7cd">
 <p>
 L&rsquo;ensemble D n&rsquo;as pas de Maximum
 </p>
@@ -827,9 +827,9 @@ L&rsquo;ensemble D n&rsquo;as pas de Maximum
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-orgffb8405" class="outline-4">
-<h4 id="orgffb8405">Ensemble E :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgffb8405">
+<div id="outline-container-orge726053" class="outline-4">
+<h4 id="orge726053">Ensemble E :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orge726053">
 <p>
 E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }
 </p>
@@ -850,8 +850,8 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org600d86b"></a>Borne inférieure :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org600d86b">
+<li><a id="orgd28a45e"></a>Borne inférieure :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-orgd28a45e">
 <p>
 Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))
 </p>
@@ -867,8 +867,8 @@ Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="orgba6c1f0"></a>Borne supérieure :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-orgba6c1f0">
+<li><a id="org68dffbe"></a>Borne supérieure :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org68dffbe">
 <p>
 Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))
 </p>
@@ -884,15 +884,15 @@ sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="orgc3c7881"></a>Minimum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-orgc3c7881">
+<li><a id="org9d1e747"></a>Minimum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org9d1e747">
 <p>
 Min(E)= -1
 </p>
 </div>
 </li>
-<li><a id="org8d1ee35"></a>Maximum :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org8d1ee35">
+<li><a id="org0245cc4"></a>Maximum :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org0245cc4">
 <p>
 E n&rsquo;as pas de maximum
 </p>
@@ -901,20 +901,20 @@ E n&rsquo;as pas de maximum
 </ul>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org738c8ed" class="outline-3">
-<h3 id="org738c8ed">Exo 2 :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org738c8ed">
+<div id="outline-container-orgdf3195e" class="outline-3">
+<h3 id="orgdf3195e">Exo 2 :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orgdf3195e">
 </div>
-<div id="outline-container-org3384f69" class="outline-4">
-<h4 id="org3384f69">Ensemble A :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org3384f69">
+<div id="outline-container-org66f216f" class="outline-4">
+<h4 id="org66f216f">Ensemble A :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org66f216f">
 <p>
 A = {x ∈ ℝ , 0 &lt; x &lt;√3}
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="orge3c7b72"></a>Borné<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-orge3c7b72">
+<li><a id="orgbef5758"></a>Borné<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-orgbef5758">
 <p>
 <b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3
 </p>
@@ -922,16 +922,16 @@ A = {x ∈ ℝ , 0 &lt; x &lt;√3}
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-orgbbecb74" class="outline-4">
-<h4 id="orgbbecb74">Ensemble B :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgbbecb74">
+<div id="outline-container-orga1b96b2" class="outline-4">
+<h4 id="orga1b96b2">Ensemble B :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orga1b96b2">
 <p>
 B = { x ∈ ℝ , 1/2 &lt; sin x &lt;√3/2} ;
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org563c4c7"></a>Borné<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org563c4c7">
+<li><a id="org1de892f"></a>Borné<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org1de892f">
 <p>
 <b>∀ x ∈ B, sin x &gt; 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b>
 </p>
@@ -944,16 +944,16 @@ B = { x ∈ ℝ , 1/2 &lt; sin x &lt;√3/2} ;
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-org9718c4a" class="outline-4">
-<h4 id="org9718c4a">Ensemble C :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org9718c4a">
+<div id="outline-container-org225674e" class="outline-4">
+<h4 id="org225674e">Ensemble C :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org225674e">
 <p>
 C = {x ∈  ℝ , x³ &gt; 3}
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org7b5f08b"></a>Minoré<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org7b5f08b">
+<li><a id="org69cad7e"></a>Minoré<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org69cad7e">
 <p>
 <b>∀ x ∈ C, x³ &gt; 3 ∴ Inf(C)= 3</b>
 </p>
@@ -961,16 +961,16 @@ C = {x ∈  ℝ , x³ &gt; 3}
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-org43e1433" class="outline-4">
-<h4 id="org43e1433">Ensemble D :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org43e1433">
+<div id="outline-container-org06c1813" class="outline-4">
+<h4 id="org06c1813">Ensemble D :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org06c1813">
 <p>
 D = {x ∈ ℝ , e^x &lt; 1/2}
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="orga33ed32"></a>Borné<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-orga33ed32">
+<li><a id="org00b7ccd"></a>Borné<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org00b7ccd">
 <p>
 <b>∀ x ∈ C, e^x &gt; 0 ∴ Inf(C)= 0</b>
 </p>
@@ -983,16 +983,16 @@ D = {x ∈ ℝ , e^x &lt; 1/2}
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-org968305a" class="outline-4">
-<h4 id="org968305a">Ensemble E :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org968305a">
+<div id="outline-container-org2b2fc87" class="outline-4">
+<h4 id="org2b2fc87">Ensemble E :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org2b2fc87">
 <p>
 E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org43c7a7b"></a>Majoré<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org43c7a7b">
+<li><a id="orgb4ae1f9"></a>Majoré<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-orgb4ae1f9">
 <p>
 p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b>
 </p>
@@ -1001,16 +1001,16 @@ p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b>
 </ul>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org034d6b3" class="outline-3">
-<h3 id="org034d6b3">Exo 3 :</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org034d6b3">
+<div id="outline-container-orgcbe32ea" class="outline-3">
+<h3 id="orgcbe32ea">Exo 3 :</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orgcbe32ea">
 <p>
 U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1
 </p>
 </div>
-<div id="outline-container-org0e55fe7" class="outline-4">
-<h4 id="org0e55fe7">Question 1 :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org0e55fe7">
+<div id="outline-container-org67ea433" class="outline-4">
+<h4 id="org67ea433">Question 1 :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org67ea433">
 <p>
 Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 &lt; Un &lt; 2 .
 </p>
@@ -1026,8 +1026,8 @@ Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 &lt; Un &lt; 2 .
 </p>
 </div>
 <ul class="org-ul">
-<li><a id="org354cb33"></a>Raisonnement par récurrence :<br />
-<div class="outline-text-5" id="text-org354cb33">
+<li><a id="org59f4b30"></a>Raisonnement par récurrence :<br />
+<div class="outline-text-5" id="text-org59f4b30">
 <p>
 P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 &lt; Un &lt; 2
 </p>
@@ -1050,9 +1050,9 @@ On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction
 </li>
 </ul>
 </div>
-<div id="outline-container-orgce11f0b" class="outline-4">
-<h4 id="orgce11f0b">Question 2 :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-orgce11f0b">
+<div id="outline-container-org8de82ec" class="outline-4">
+<h4 id="org8de82ec">Question 2 :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org8de82ec">
 <p>
 Montrer que (Un)n est strictement monotone :
 </p>
@@ -1075,20 +1075,20 @@ On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en deho
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-org0b95370" class="outline-2">
-<h2 id="org0b95370">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2>
-<div class="outline-text-2" id="text-org0b95370">
+<div id="outline-container-orgf4235b5" class="outline-2">
+<h2 id="orgf4235b5">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2>
+<div class="outline-text-2" id="text-orgf4235b5">
 </div>
-<div id="outline-container-org37a71e2" class="outline-3">
-<h3 id="org37a71e2">Les suites convergentes</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-org37a71e2">
+<div id="outline-container-org45ddd99" class="outline-3">
+<h3 id="org45ddd99">Les suites convergentes</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org45ddd99">
 <p>
 Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n&#x2013;&gt; +∞ = l
 </p>
 </div>
-<div id="outline-container-org4a6d045" class="outline-4">
-<h4 id="org4a6d045">Remarque :</h4>
-<div class="outline-text-4" id="text-org4a6d045">
+<div id="outline-container-org254e7d5" class="outline-4">
+<h4 id="org254e7d5">Remarque :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org254e7d5">
 <ol class="org-ol">
 <li>Un est une suite convergente alors Un est bornee</li>
 <li>Un est une suite convergente  lim Un n&#x2014;&gt; +∞ = l ⇔ lim |Un| n&#x2014;&gt; +∞ = |l|</li>
@@ -1105,19 +1105,141 @@ Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n&#x2013;&gt; +∞ = l
 </div>
 </div>
 </div>
-<div id="outline-container-orgcd9ef0a" class="outline-3">
-<h3 id="orgcd9ef0a">Theoreme d&rsquo;encadrement</h3>
-<div class="outline-text-3" id="text-orgcd9ef0a">
+<div id="outline-container-orga5ad20c" class="outline-3">
+<h3 id="orga5ad20c">Theoreme d&rsquo;encadrement</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orga5ad20c">
 <p>
 Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n-&gt;∞ = lim Wn n-&gt; +∞  = l ⇒ lim Vn n-&gt; +∞ = l
 </p>
 </div>
 </div>
+<div id="outline-container-org4c3bc49" class="outline-3">
+<h3 id="org4c3bc49">Suites arithmetiques</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org4c3bc49">
+<p>
+Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite
+</p>
+</div>
+<div id="outline-container-org804714b" class="outline-4">
+<h4 id="org804714b">Forme general</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org804714b">
+<p>
+<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b>
+</p>
+</div>
+</div>
+<div id="outline-container-orgc7b0019" class="outline-4">
+<h4 id="orgc7b0019">Somme des n premiers termes</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgc7b0019">
+<p>
+Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2
+</p>
+
+
+<p>
+Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n-&gt;+∞ = k≥0ΣUk est une serie
+</p>
+</div>
+</div>
+</div>
+<div id="outline-container-org6cf3cdb" class="outline-3">
+<h3 id="org6cf3cdb">Suites géométriques</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org6cf3cdb">
+</div>
+<div id="outline-container-orgae97eae" class="outline-4">
+<h4 id="orgae97eae">Forme general</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgae97eae">
+<p>
+<b>Un = U0 x r^n</b>
+</p>
+</div>
+</div>
+<div id="outline-container-org0771ee4" class="outline-4">
+<h4 id="org0771ee4">Somme des n premiers termes</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org0771ee4">
+<p>
+n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r
+</p>
+</div>
+</div>
+</div>
+</div>
+<div id="outline-container-org3edcca2" class="outline-2">
+<h2 id="org3edcca2">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2>
+<div class="outline-text-2" id="text-org3edcca2">
+</div>
+<div id="outline-container-org3722e54" class="outline-3">
+<h3 id="org3722e54">Suites adjacentes:</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org3722e54">
+<p>
+Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:
+</p>
+<ol class="org-ol">
+<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante</li>
+<li>Un ≤ Vn</li>
+<li>lim (Un - Vn) n-&gt;+∞ = 0</li>
+</ol>
+</div>
+</div>
+<div id="outline-container-org2f21a9f" class="outline-3">
+<h3 id="org2f21a9f">Suites extraites (sous-suites):</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-org2f21a9f">
+<p>
+Soit (Un) une suite:
+<i>/
+U: ℕ -&#x2014;&gt; ℝ
+/</i>
+   n -&#x2014;&gt; Un
+<i>/
+ϕ: ℕ -&#x2014;&gt; ℕ
+/</i>
+   n -&#x2014;&gt; ϕn
+//
+(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.
+</p>
+</div>
+<div id="outline-container-orgf667d53" class="outline-4">
+<h4 id="orgf667d53">Remarques:</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-orgf667d53">
+<ol class="org-ol">
+<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.</li>
+<li>Mais le contraire n&rsquo;es pas toujours vrais.</li>
+<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l</li>
+</ol>
+</div>
+</div>
+</div>
+<div id="outline-container-orgcf99e48" class="outline-3">
+<h3 id="orgcf99e48">Suites de Cauchy:</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orgcf99e48">
+<p>
+(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ;
+//
+∀ ε &gt; 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n &gt; m &gt; N ; |Un - Um| &lt; ε
+</p>
+</div>
+<div id="outline-container-org2ee12ec" class="outline-4">
+<h4 id="org2ee12ec">Remarque :</h4>
+<div class="outline-text-4" id="text-org2ee12ec">
+<ol class="org-ol">
+<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente</li>
+</ol>
+</div>
+</div>
+</div>
+<div id="outline-container-orga83a358" class="outline-3">
+<h3 id="orga83a358">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3>
+<div class="outline-text-3" id="text-orga83a358">
+<p>
+On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée
+</p>
+</div>
+</div>
 </div>
 </div>
 <div id="postamble" class="status">
 <p class="author">Author: Crystal</p>
-<p class="date">Created: 2023-10-11 Wed 19:18</p>
+<p class="date">Created: 2023-10-18 Wed 20:20</p>
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author	Crystal <crystal@wizard.tower>	2023-10-18 20:20:45 +0100
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