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| author | Crystal <crystal@wizard.tower> | 2023-10-11 22:49:01 +0100 |
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| committer | Crystal <crystal@wizard.tower> | 2023-10-11 22:49:01 +0100 |
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diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html new file mode 100755 index 0000000..20d8972 --- /dev/null +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -0,0 +1,1123 @@ +<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?> +<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN" +"http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> +<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> +<head> +<!-- 2023-10-11 Wed 19:18 --> +<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> +<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> +<title>Analyse 1</title> +<meta name="author" content="Crystal" /> +<meta name="generator" content="Org Mode" /> +<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/colors.css"/> +<link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> +</head> +<body> +<div id="content" class="content"> +<h1 class="title">Analyse 1</h1> +<div id="outline-container-org32ad572" class="outline-2"> +<h2 id="org32ad572">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org32ad572"> +</div> +<div id="outline-container-org156647d" class="outline-3"> +<h3 id="org156647d">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org156647d"> +<ul class="org-ul"> +<li>Structure algébrique de ℝ</li> +<li>L’ordre dans ℝ</li> +<li>Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org2064013" class="outline-3"> +<h3 id="org2064013">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2064013"> +<ul class="org-ul"> +<li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes</li> +<li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies</li> +<li>Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org74215b0" class="outline-3"> +<h3 id="org74215b0">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org74215b0"> +<ul class="org-ul"> +<li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées</li> +<li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux</li> +<li>La continuité informe les fonctions Lepchitziennes</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgfad0512" class="outline-3"> +<h3 id="orgfad0512">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgfad0512"> +<ul class="org-ul"> +<li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org2c42f3a" class="outline-3"> +<h3 id="org2c42f3a">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2c42f3a"> +<ul class="org-ul"> +<li>Comparaison asymptotique</li> +<li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes</li> +<li>Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L</li> +<li>Généralisations des D.L</li> +<li>Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies</li> +</ul> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org4aeab0e" class="outline-2"> +<h2 id="org4aeab0e">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org4aeab0e"> +</div> +<div id="outline-container-org1c15646" class="outline-3"> +<h3 id="org1c15646">La loi de composition interne dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1c15646"> +<p> +@ : E x E —> E + (x,y) —> x @ y +</p> + +<p> +@ est une lois de composition interne seulement si : +</p> + +<p> +<b>∀ x,y ε E</b> +</p> +</div> +<div id="outline-container-orge4f4285" class="outline-4"> +<h4 id="orge4f4285"><b>Example : Addition</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge4f4285"> +<p> +Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ? +</p> + +<p> +ℕ x ℕ —> ℕ +</p> + +<p> +(x,y) —> x + y ? <i>En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne <b>n’importe quel</b> chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ</i> +</p> + +<p> +∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ <i>En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ</i> +</p> + +<p> +Donc : + est L.C.I dans ℕ +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgf679b38" class="outline-4"> +<h4 id="orgf679b38"><b>Example : soustraction</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf679b38"> +<p> +Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ? +</p> + +<p> +ℕ x ℕ —> ℕ +</p> + +<p> +(x,y) —> x - y ? +</p> + + +<p> +∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ <i>En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est <b>PAS</b> dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ</i> +</p> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org5bd802e" class="outline-3"> +<h3 id="org5bd802e">La loi de composition externe dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5bd802e"> +<p> +@ est L.C.E dans E, K est un corps +</p> + +<p> +K x E —> E +</p> + +<p> +(a,x) —> a @ x +</p> + +<p> +∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgbd9ed54" class="outline-3"> +<h3 id="orgbd9ed54">Groupes :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgbd9ed54"> +<p> +<i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i> +</p> + +<p> +(E, @) est un groupe Si : +</p> +</div> +<div id="outline-container-org8a61f65" class="outline-4"> +<h4 id="org8a61f65">Il contiens un élement neutre</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8a61f65"> +<p> +∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E +</p> + +<p> +x @ e = e @ x = x +</p> + +<p> +On appelle <b>e</b> élement neutre +</p> + +<p> +<i>Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition</i> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgd7a2bc2" class="outline-4"> +<h4 id="orgd7a2bc2">Il contiens un élément symétrique</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd7a2bc2"> +<p> +∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e +</p> + +<p> +On appelle <b>x’</b> élèment symétrique +</p> + +<p> +<i>Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:</i> +</p> + +<p> +<i>x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’</i> +</p> + +<p> +<b>Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs</b> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org942f964" class="outline-4"> +<h4 id="org942f964">@ est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org942f964"> +<p> +∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x +</p> + +<p> +<i>L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents</i> +</p> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgfd870b2" class="outline-3"> +<h3 id="orgfd870b2">Anneaux :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgfd870b2"> +<p> +Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si : +</p> +</div> +<div id="outline-container-orgb630ae9" class="outline-4"> +<h4 id="orgb630ae9">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> +</div> +<div id="outline-container-org83da3f3" class="outline-4"> +<h4 id="org83da3f3">! est une loi associative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org83da3f3"> +<p> +∀ x , y , z ∈ E +</p> + +<p> +(x ! y) ! z = x ! (y ! z) +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org228d644" class="outline-4"> +<h4 id="org228d644">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org228d644"> +<p> +∀ x , y , z ∈ E +</p> + +<p> +(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z ) +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org188625a" class="outline-4"> +<h4 id="org188625a">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org188625a"> +<p> +∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orge450b40" class="outline-4"> +<h4 id="orge450b40">! est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge450b40"> +<p> +∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x +</p> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgb215ac1" class="outline-3"> +<h3 id="orgb215ac1">Corps :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb215ac1"> +<p> +(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition : +</p> +</div> +<div id="outline-container-org51d906d" class="outline-4"> +<h4 id="org51d906d">La symétrie :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org51d906d"> +<p> +∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e +</p> + +<p> +x’ est l’élément symétrique de x par rapport à ! +(sauf élément neutre première lois ) +</p> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgea20262" class="outline-3"> +<h3 id="orgea20262">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgea20262"> +</div> +<div id="outline-container-org63b1ea5" class="outline-4"> +<h4 id="org63b1ea5">Est-ce un Anneau ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org63b1ea5"> +<ul class="org-ul"> +<li>(ℝ, +) est un groupe commutatif</li> +<li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)</li> +<li>On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)</li> +<li>Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a</li> +<li>La multiplication est commutative : a x b = b x a</li> +</ul> + +<p> +Oui c’est un anneau +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org1c18b97" class="outline-4"> +<h4 id="org1c18b97">Est-ce un corps ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org1c18b97"> +<ul class="org-ul"> +<li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1</li> +</ul> +</div> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org86b97eb" class="outline-2"> +<h2 id="org86b97eb">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org86b97eb"> +</div> +<div id="outline-container-org1f1c4d8" class="outline-3"> +<h3 id="org1f1c4d8">L’ordre dans ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1f1c4d8"> +<p> +(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si : +</p> + +<ol class="org-ol"> +<li><p> +R est antisymétrique : +</p> + +<p> +∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y) +</p></li> + +<li><p> +R est reflexive : +</p> + +<p> +∀ x ∈ ℝ ; x R x +</p></li> + +<li>R est transitive : +∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z</li> +</ol> +</div> +<div id="outline-container-orgc178857" class="outline-4"> +<h4 id="orgc178857">Exemples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc178857"> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org7b5f181"></a>Exemple numéro 1:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7b5f181"> +<p> +(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ? +</p> + + +<p> +Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b><b>is obviously false</b></b> +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org7f902ab"></a>Exemple numéro 2:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7f902ab"> +<p> +(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ? +</p> + +<ol class="org-ol"> +<li>(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true</li> +<li>(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true</li> +<li>(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true</li> +</ol> +</div> +</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org446671f" class="outline-3"> +<h3 id="org446671f">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org446671f"> +</div> +<div id="outline-container-org86c077d" class="outline-4"> +<h4 id="org86c077d">Majorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org86c077d"> +<p> +Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) +</p> + + +<p> +Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org200a2c3" class="outline-4"> +<h4 id="org200a2c3">Minorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org200a2c3"> +<p> +Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) +</p> + + +<p> +Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org46cb24b" class="outline-4"> +<h4 id="org46cb24b">Borne supérieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org46cb24b"> +<p> +La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgbb1980a" class="outline-4"> +<h4 id="orgbb1980a">Borne inférieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbb1980a"> +<p> +La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org3159ba9" class="outline-4"> +<h4 id="org3159ba9">Maximum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3159ba9"> +<p> +E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a. +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgf43e25a" class="outline-4"> +<h4 id="orgf43e25a">Minimum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf43e25a"> +<p> +E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b. +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orga08da55" class="outline-4"> +<h4 id="orga08da55">Remarques :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga08da55"> +<p> +A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : +</p> +<ol class="org-ol"> +<li>A ∪ B est borné</li> +<li>A ∩ B est borné</li> +<li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)</li> +<li>Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)</li> +<li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i></li> +<li>Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i></li> +</ol> +</div> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org05e73a3" class="outline-2"> +<h2 id="org05e73a3">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org05e73a3"> +</div> +<div id="outline-container-orgcd4347a" class="outline-4"> +<h4 id="orgcd4347a">Définition :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgcd4347a"> +<p> +Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ: +</p> + + +<p> +ℕ -—> ℝ +</p> + + +<p> +n -—> U(n) = Un +</p> + +<ol class="org-ol"> +<li>(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite</li> +<li>Un : terme général</li> +</ol> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org495644f"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org495644f"> +<p> +U : ℕ* -—> ℝ +</p> + + +<p> +n -—> 1/n +</p> + + +<p> +(Un) est une suite définit par Un = 1/n +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-orgdf8ea2e" class="outline-4"> +<h4 id="orgdf8ea2e">Définition N°2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgdf8ea2e"> +<p> +On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme. +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org0c7274e"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org0c7274e"> +<p> +U(n+1) = Un /2 +</p> + + +<p> +U(1)= 1 +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-orgecfb02c" class="outline-3"> +<h3 id="orgecfb02c">Opérations sur les suites :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgecfb02c"> +</div> +<div id="outline-container-orgc56ccde" class="outline-4"> +<h4 id="orgc56ccde">La somme :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc56ccde"> +<p> +Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgfe0c8af" class="outline-4"> +<h4 id="orgfe0c8af">Le produit :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfe0c8af"> +<p> +Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgfa9fe65" class="outline-4"> +<h4 id="orgfa9fe65">Inverse d’une suite :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfa9fe65"> +<p> +Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org09108ca" class="outline-4"> +<h4 id="org09108ca">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org09108ca"> +<p> +Soit (Un) une suite de T.G Un +</p> + + +<p> +∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn +</p> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org0d16671" class="outline-3"> +<h3 id="org0d16671">Suite bornée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org0d16671"> +<p> +Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org1819f18" class="outline-3"> +<h3 id="org1819f18">Suite majorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1819f18"> +<p> +Soit (Un) une suite +</p> + + +<p> +U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org3c0fbec" class="outline-3"> +<h3 id="org3c0fbec">Suite minorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3c0fbec"> +<p> +Soit (Un) une suite +</p> + + +<p> +U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgebf3d3b" class="outline-3"> +<h3 id="orgebf3d3b">Suites monotones :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgebf3d3b"> +</div> +<div id="outline-container-org193a450" class="outline-4"> +<h4 id="org193a450">Les suites croissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org193a450"> +<p> +Soit (Un)n est une suite +</p> + + +<p> +(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgff47924" class="outline-4"> +<h4 id="orgff47924">Les suites décroissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgff47924"> +<p> +Soit (Un)n est une suite +</p> + + +<p> +(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un +</p> +</div> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgf08c70b" class="outline-2"> +<h2 id="orgf08c70b">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgf08c70b"> +</div> +<div id="outline-container-org24ad469" class="outline-3"> +<h3 id="org24ad469">Exo 1 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org24ad469"> +</div> +<div id="outline-container-org542ddd3" class="outline-4"> +<h4 id="org542ddd3">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org542ddd3"> +<p> +A = {-1/n , n ∈ ℕ *} +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org8b8384f"></a>Borne inférieure<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8b8384f"> +<p> +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A +</p> +</div> +</li> +<li><a id="orgd7452d9"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgd7452d9"> +<p> +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org60371ac"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org60371ac"> +<p> +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A +</p> +</div> +</li> +<li><a id="orge3e4c79"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orge3e4c79"> +<p> +L’ensemble A n’as pas de maximum +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-org71dc196" class="outline-4"> +<h4 id="org71dc196">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org71dc196"> +<p> +B = [-1 , 3[ ∩ ℚ +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="orgb1a63f2"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgb1a63f2"> +<p> +Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ)) +</p> + + +<p> +Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est <b>-∞</b>, +</p> + + +<p> +<b>Inf(B) = -1</b> +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org777951c"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org777951c"> +<p> +Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ)) +</p> + + +<p> +Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est <b>+∞</b>, +</p> + + +<p> +<b>Sup(B) = 3</b> +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org8f243eb"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8f243eb"> +<p> +<b>Min(B) = -1</b> +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org7e50683"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7e50683"> +<p> +L’ensemble B n’as pas de Maximum +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-org22ac863" class="outline-4"> +<h4 id="org22ac863">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org22ac863"> +<p> +C = {3n ,n ∈ ℕ} +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org21834f8"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org21834f8"> +<p> +Inf(C) = 0 +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org9559808"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9559808"> +<p> +Sup(C) = +∞ +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org4a57e53"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org4a57e53"> +<p> +Min(C) = 0 +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org621b5ba"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org621b5ba"> +<p> +L’ensemble C n’as pas de Maximum +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-orgfbcec21" class="outline-4"> +<h4 id="orgfbcec21">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfbcec21"> +<p> +D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*} +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="orga8dbb3d"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga8dbb3d"> +<p> +Inf(D)= 0 +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org17babcd"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org17babcd"> +<p> +Sup(D)= 1 +</p> +</div> +</li> +<li><a id="orgbd6de63"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgbd6de63"> +<p> +Min(D)= 0 +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org8c6ce24"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8c6ce24"> +<p> +L’ensemble D n’as pas de Maximum +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-orgffb8405" class="outline-4"> +<h4 id="orgffb8405">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgffb8405"> +<p> +E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ } +</p> + + +<p> +<b>Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair</b> +</p> + + +<p> +<b>On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}</b> +</p> + + +<p> +<b>Donc E = F ∪ G</b> +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org600d86b"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org600d86b"> +<p> +Inf(E) = Min(inf(F), inf(G)) +</p> + + +<p> +Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1 +</p> + + +<p> +<b>Inf(E)= -1</b> +</p> +</div> +</li> +<li><a id="orgba6c1f0"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgba6c1f0"> +<p> +Sup(E) = Max(sup(F), sup(G)) +</p> + + +<p> +sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞ +</p> + + +<p> +<b>Sup(E)= +∞</b> +</p> +</div> +</li> +<li><a id="orgc3c7881"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc3c7881"> +<p> +Min(E)= -1 +</p> +</div> +</li> +<li><a id="org8d1ee35"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8d1ee35"> +<p> +E n’as pas de maximum +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org738c8ed" class="outline-3"> +<h3 id="org738c8ed">Exo 2 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org738c8ed"> +</div> +<div id="outline-container-org3384f69" class="outline-4"> +<h4 id="org3384f69">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3384f69"> +<p> +A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3} +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="orge3c7b72"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orge3c7b72"> +<p> +<b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3 +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-orgbbecb74" class="outline-4"> +<h4 id="orgbbecb74">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbbecb74"> +<p> +B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ; +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org563c4c7"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org563c4c7"> +<p> +<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b> +</p> + + +<p> +<b>∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2</b> +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-org9718c4a" class="outline-4"> +<h4 id="org9718c4a">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9718c4a"> +<p> +C = {x ∈ ℝ , x³ > 3} +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org7b5f08b"></a>Minoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7b5f08b"> +<p> +<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b> +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-org43e1433" class="outline-4"> +<h4 id="org43e1433">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org43e1433"> +<p> +D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2} +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="orga33ed32"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga33ed32"> +<p> +<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b> +</p> + + +<p> +<b>∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2</b> +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-org968305a" class="outline-4"> +<h4 id="org968305a">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org968305a"> +<p> +E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p} +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org43c7a7b"></a>Majoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org43c7a7b"> +<p> +p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b> +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org034d6b3" class="outline-3"> +<h3 id="org034d6b3">Exo 3 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org034d6b3"> +<p> +U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1 +</p> +</div> +<div id="outline-container-org0e55fe7" class="outline-4"> +<h4 id="org0e55fe7">Question 1 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0e55fe7"> +<p> +Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 . +</p> + + +<p> +<b>(Un - 1)² ≥ 0 <i>Parce que c’est un carré</i></b> +</p> + + +<p> +<b>(Un - 1)² + 1 > 1</b> ; <b>U(n+1) ≥ 1</b> +</p> +</div> +<ul class="org-ul"> +<li><a id="org354cb33"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org354cb33"> +<p> +P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2 +</p> + + +<p> +P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2 +</p> + + +<p> +On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction +</p> + + +<p> +1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; <b>1 < U(n+1) < 2</b> Donc elle est correcte +</p> +</div> +</li> +</ul> +</div> +<div id="outline-container-orgce11f0b" class="outline-4"> +<h4 id="orgce11f0b">Question 2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgce11f0b"> +<p> +Montrer que (Un)n est strictement monotone : +</p> + + +<p> +<b>U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2</b> +</p> + + +<p> +On étudie <b>Un² - 3Un + 2</b> sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, <b>Δ = 1</b> , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2 +</p> + + +<p> +On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc <b>∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un</b> Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante +</p> +</div> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org0b95370" class="outline-2"> +<h2 id="org0b95370">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org0b95370"> +</div> +<div id="outline-container-org37a71e2" class="outline-3"> +<h3 id="org37a71e2">Les suites convergentes</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org37a71e2"> +<p> +Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l +</p> +</div> +<div id="outline-container-org4a6d045" class="outline-4"> +<h4 id="org4a6d045">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4a6d045"> +<ol class="org-ol"> +<li>Un est une suite convergente alors Un est bornee</li> +<li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|</li> +<li>Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge</li> +<li>Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge</li> +<li>Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors +<ol class="org-ol"> +<li>Un + Vn est convergente</li> +<li>Un * Vn est convergente</li> +<li>∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge</li> +</ol></li> +<li>Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0</li> +</ol> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgcd9ef0a" class="outline-3"> +<h3 id="orgcd9ef0a">Theoreme d’encadrement</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcd9ef0a"> +<p> +Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l +</p> +</div> +</div> +</div> +</div> +<div id="postamble" class="status"> +<p class="author">Author: Crystal</p> +<p class="date">Created: 2023-10-11 Wed 19:18</p> +</div> +</body> +</html> \ No newline at end of file |