diff options
| -rwxr-xr-x | src/org/uni_notes/analyse1.org | 25 | ||||
| -rwxr-xr-x | uni_notes/analyse.html | 943 |
2 files changed, 489 insertions, 479 deletions
diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index e98909a..88d06b1 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -497,6 +497,7 @@ c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge ** Théorème de Bolzano Weirstrass: On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée * Chapitre 3 : Les limites et la continuité /Nov 14/ +#+BEGIN_VERSE ** Fonction réelle à variable réelle : Soit f: I --> ℝ , I ⊂= ℝ x --> f(x) @@ -528,22 +529,23 @@ f: I --> ℝ Lim_{x --> x_{0}} f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x_{0} **** Lim_{x --> x_{0}} f(x) = l -\|x - x_{0}\| < ẟ , \|f(x) - l| < ε +=> |x - x_{0}| < ẟ , |f(x) - l| < ε *** La continuité : Soit f: I --> ℝ I = Df x --> f(x) x_{0} ∈ I f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f(x) = f(x_{0}) -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , \|x - x_{0}\| < ẟ ⇒ \|f(x) - f(x_{0})\| < ε +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x_{0}| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x_{0})| < ε *** Prolongement par continuité : -Soit f: I/\{x_{0}\} --> ℝ +Soit f: I/ {x_{0}} --> ℝ x --> f(x) Si lim_{x --> x_{0}} f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} -On défini : ⎡f(x) si x ≠ x_{0} - f~ = | - ⎣l si x = x_{0} +On défini : +f~ = f(x) si x ≠ x_{0} +ET +l si x = x_{0} f~ : I --> ℝ x --> f(x) *** Théorème des valeurs intermédiaires : @@ -551,9 +553,9 @@ f : [a,b] --> ℝ Si f est continue sur [a,b] Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x) -1. Si f est continue sur [a,b] ⎫ - ⎬ ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 -2. Si f(a) * f(b) < 0 ⎭ +1. Si f est continue sur [a,b] +2. Si f(a) * f(b) < 0 +Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 *** Fonction croissante : f: I --> J f est croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I @@ -573,5 +575,6 @@ Si f est injective et surjective, alors f est bijective f est bijective donc elle admet une bijection réciproque *** Théorème de bijection : Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective. -f admet une bijection réciproque f_{-1}. -f_{-1} a le même sens de variation que f. +f admet une bijection réciproque f{-1}. +f{-1} a le même sens de variation que f. +#+END_VERSE diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index 1a59ed8..e0f025f 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-11-14 Tue 22:45 --> +<!-- 2023-11-14 Tue 22:52 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>Analyse 1</title> @@ -24,180 +24,180 @@ <h2>Table of Contents</h2> <div id="text-table-of-contents" role="doc-toc"> <ul> -<li><a href="#orgeaf8afd">Contenu de la Matiére</a> +<li><a href="#orgc91377c">Contenu de la Matiére</a> <ul> -<li><a href="#org60493c9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> -<li><a href="#org9298c05">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> -<li><a href="#org84ae664">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> -<li><a href="#org1133d4d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> -<li><a href="#org451fa96">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> +<li><a href="#org10d7fe9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> +<li><a href="#org3ac3cd3">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> +<li><a href="#orge87a367">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> +<li><a href="#orgc8f9cf9">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> +<li><a href="#org843459d">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgc1416af">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> +<li><a href="#org8498992">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> <ul> -<li><a href="#org1e861f2">La loi de composition interne dans E :</a> +<li><a href="#orgcb3c957">La loi de composition interne dans E :</a> <ul> -<li><a href="#org5dd86eb"><b>Example : Addition</b></a></li> -<li><a href="#org9c87146"><b>Example : soustraction</b></a></li> +<li><a href="#orga26ee64"><b>Example : Addition</b></a></li> +<li><a href="#org3b7979e"><b>Example : soustraction</b></a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org14c9dad">La loi de composition externe dans E :</a></li> -<li><a href="#org97b9be1">Groupes :</a> +<li><a href="#orgf5ed752">La loi de composition externe dans E :</a></li> +<li><a href="#org543e576">Groupes :</a> <ul> -<li><a href="#org7a89d6e">Il contiens un élement neutre</a></li> -<li><a href="#org8d9b425">Il contiens un élément symétrique</a></li> -<li><a href="#orgee13975">@ est cummutative :</a></li> +<li><a href="#org21dc534">Il contiens un élement neutre</a></li> +<li><a href="#org334cfe1">Il contiens un élément symétrique</a></li> +<li><a href="#org9674822">@ est cummutative :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org9f8ce52">Anneaux :</a> +<li><a href="#orgb3ff039">Anneaux :</a> <ul> -<li><a href="#org9ba4ed7">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> -<li><a href="#org01c0cac">! est une loi associative :</a></li> -<li><a href="#org128b9ba">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> -<li><a href="#orgbb22207">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> -<li><a href="#org35e765f">! est cummutative :</a></li> +<li><a href="#org3f78a3c">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> +<li><a href="#org5847aa9">! est une loi associative :</a></li> +<li><a href="#orgfaff409">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> +<li><a href="#orgefb9297">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> +<li><a href="#orge4ed4c7">! est cummutative :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org4c3e23d">Corps :</a> +<li><a href="#org37ce198">Corps :</a> <ul> -<li><a href="#org287426e">La symétrie :</a></li> +<li><a href="#orgcb84506">La symétrie :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org3e4111f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> +<li><a href="#org2fee6ee">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> <ul> -<li><a href="#org510dbc3">Est-ce un Anneau ?</a></li> -<li><a href="#orgea9e72f">Est-ce un corps ?</a></li> +<li><a href="#org3f4c92b">Est-ce un Anneau ?</a></li> +<li><a href="#org7e6f298">Est-ce un corps ?</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org348c9dc">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> +<li><a href="#org72436ae">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> <ul> -<li><a href="#orgb495a3f">L’ordre dans ℝ</a> +<li><a href="#org63d2748">L’ordre dans ℝ</a> <ul> -<li><a href="#orgb30fa8b">Exemples :</a></li> +<li><a href="#orgcf0e467">Exemples :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org9797df4">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> +<li><a href="#orgb5fe01c">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> <ul> -<li><a href="#org945d778">Majorant:</a></li> -<li><a href="#org8be15b0">Minorant:</a></li> -<li><a href="#org8dce575">Borne supérieure:</a></li> -<li><a href="#org1e6b0d9">Borne inférieure:</a></li> -<li><a href="#org009fa9a">Maximum :</a></li> -<li><a href="#org52198cb">Minimum :</a></li> -<li><a href="#orgccc12e8">Remarques :</a></li> +<li><a href="#org3e58f18">Majorant:</a></li> +<li><a href="#org0d1c1cc">Minorant:</a></li> +<li><a href="#org9001702">Borne supérieure:</a></li> +<li><a href="#orgde5e8a1">Borne inférieure:</a></li> +<li><a href="#org806ae22">Maximum :</a></li> +<li><a href="#orgf6603d1">Minimum :</a></li> +<li><a href="#org43233fb">Remarques :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org59cb914">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> +<li><a href="#org3e3d152">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> <ul> <li> <ul> -<li><a href="#orgb0dc89c">Définition :</a></li> -<li><a href="#org9475529">Définition N°2 :</a></li> +<li><a href="#orgd085500">Définition :</a></li> +<li><a href="#orgdca4e96">Définition N°2 :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org8a8d1d3">Opérations sur les suites :</a> +<li><a href="#org571706b">Opérations sur les suites :</a> <ul> -<li><a href="#orgf4e0a6d">La somme :</a></li> -<li><a href="#org3a5f183">Le produit :</a></li> -<li><a href="#orgb278785">Inverse d’une suite :</a></li> -<li><a href="#org14eeccd">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> +<li><a href="#orgee7f5af">La somme :</a></li> +<li><a href="#org9a57bb6">Le produit :</a></li> +<li><a href="#orgee1c76a">Inverse d’une suite :</a></li> +<li><a href="#orgb017bda">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org1cf9196">Suite bornée :</a></li> -<li><a href="#orgc2da8da">Suite majorée :</a></li> -<li><a href="#orga0d43ce">Suite minorée :</a></li> -<li><a href="#org40d1f38">Suites monotones :</a> +<li><a href="#orgbe324c7">Suite bornée :</a></li> +<li><a href="#orgafd1c58">Suite majorée :</a></li> +<li><a href="#orga3cd1fc">Suite minorée :</a></li> +<li><a href="#org2dda13a">Suites monotones :</a> <ul> -<li><a href="#orgf7df4a9">Les suites croissantes :</a></li> -<li><a href="#orgd895f98">Les suites décroissantes :</a></li> +<li><a href="#orge735964">Les suites croissantes :</a></li> +<li><a href="#org952a155">Les suites décroissantes :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org1aa6640">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> +<li><a href="#org748dee7">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> <ul> -<li><a href="#orgd87b22d">Exo 1 :</a> +<li><a href="#org78fe8e6">Exo 1 :</a> <ul> -<li><a href="#org5f6303c">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#org90b78ba">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#orgab077c5">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#orga05bed3">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#orgab9a959">Ensemble E :</a></li> +<li><a href="#orgaa73b03">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#orga87d503">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#orgd668ed3">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#org8fc1e08">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#org502cfdf">Ensemble E :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org2cefd43">Exo 2 :</a> +<li><a href="#orgc52dcfe">Exo 2 :</a> <ul> -<li><a href="#orgbaa1183">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#org03e8649">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#org8cc31a5">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#org4b422ef">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#org0031576">Ensemble E :</a></li> +<li><a href="#org2084ec6">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#org1436912">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#orgd6b657c">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#orgbfc4c5a">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#orgd1c7ba2">Ensemble E :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org23d3aa9">Exo 3 :</a> +<li><a href="#org492c7d5">Exo 3 :</a> <ul> -<li><a href="#org8f4db0d">Question 1 :</a></li> -<li><a href="#org88560e9">Question 2 :</a></li> +<li><a href="#org3e8c5a7">Question 1 :</a></li> +<li><a href="#org6a5a1cd">Question 2 :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org4970134">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> +<li><a href="#org347495d">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> <ul> -<li><a href="#org5c60eae">Les suites convergentes</a> +<li><a href="#org148af66">Les suites convergentes</a> <ul> -<li><a href="#orga236792">Remarque :</a></li> +<li><a href="#org1d4d349">Remarque :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org3d47a4f">Theoreme d’encadrement</a></li> -<li><a href="#org77a6269">Suites arithmetiques</a> +<li><a href="#org290bc6b">Theoreme d’encadrement</a></li> +<li><a href="#org5ba33df">Suites arithmetiques</a> <ul> -<li><a href="#org41f14af">Forme general</a></li> -<li><a href="#orge969e67">Somme des n premiers termes</a></li> +<li><a href="#orge9cff08">Forme general</a></li> +<li><a href="#orgc4d530a">Somme des n premiers termes</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org20c5c6c">Suites géométriques</a> +<li><a href="#orgfc701cc">Suites géométriques</a> <ul> -<li><a href="#orga1b0a76">Forme general</a></li> -<li><a href="#org2cf893f">Somme des n premiers termes</a></li> +<li><a href="#org328ef4d">Forme general</a></li> +<li><a href="#org4210450">Somme des n premiers termes</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#orge46a49e">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> +<li><a href="#org9dcdb5b">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> <ul> -<li><a href="#org43d5be5">Suites adjacentes:</a></li> -<li><a href="#org71762d4">Suites extraites (sous-suites):</a> +<li><a href="#org5582998">Suites adjacentes:</a></li> +<li><a href="#orgc7dc719">Suites extraites (sous-suites):</a> <ul> -<li><a href="#orgc5524fb">Remarques:</a></li> +<li><a href="#org19aaf93">Remarques:</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org43ca2f6">Suites de Cauchy:</a> +<li><a href="#orge98dbc2">Suites de Cauchy:</a> <ul> -<li><a href="#org452a0a9">Remarque :</a></li> +<li><a href="#org07f3dd9">Remarque :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org6164449">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> +<li><a href="#orgf1fce8d">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgde4cc4a">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></a> +<li><a href="#org2d666d3">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></a> <ul> -<li><a href="#orgcf38f4d">Fonction réelle à variable réelle :</a> +<li><a href="#org4b64f75">Fonction réelle à variable réelle :</a> <ul> -<li><a href="#org7714aa5">L’ensemble de départ :</a></li> -<li><a href="#orgace65ab">Les Limites :</a></li> -<li><a href="#orgb435746">La continuité :</a></li> -<li><a href="#org8f8345e">Prolongement par continuité :</a></li> -<li><a href="#orge3fed44">Théorème des valeurs intermédiaires :</a></li> -<li><a href="#orgc40e618">Fonction croissante :</a></li> -<li><a href="#org2be852d">Injection = Strictement monotonne :</a></li> -<li><a href="#org22072c4">Surjection = Continuité :</a></li> -<li><a href="#orgebeba8b">Bijection :</a></li> -<li><a href="#orge61507c">Théorème de bijection :</a></li> +<li><a href="#org36bff9b">L’ensemble de départ :</a></li> +<li><a href="#org2cc1eca">Les Limites :</a></li> +<li><a href="#org64c9169">La continuité :</a></li> +<li><a href="#orga180a5f">Prolongement par continuité :</a></li> +<li><a href="#orga0b20fd">Théorème des valeurs intermédiaires :</a></li> +<li><a href="#org9c72228">Fonction croissante :</a></li> +<li><a href="#org4225cf9">Injection = Strictement monotonne :</a></li> +<li><a href="#org0a083e3">Surjection = Continuité :</a></li> +<li><a href="#org64ecf75">Bijection :</a></li> +<li><a href="#org020cce1">Théorème de bijection :</a></li> </ul> </li> </ul> @@ -205,13 +205,13 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgeaf8afd" class="outline-2"> -<h2 id="orgeaf8afd">Contenu de la Matiére</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgeaf8afd"> +<div id="outline-container-orgc91377c" class="outline-2"> +<h2 id="orgc91377c">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgc91377c"> </div> -<div id="outline-container-org60493c9" class="outline-3"> -<h3 id="org60493c9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org60493c9"> +<div id="outline-container-org10d7fe9" class="outline-3"> +<h3 id="org10d7fe9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org10d7fe9"> <ul class="org-ul"> <li>Structure algébrique de ℝ<br /></li> <li>L’ordre dans ℝ<br /></li> @@ -219,9 +219,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org9298c05" class="outline-3"> -<h3 id="org9298c05">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org9298c05"> +<div id="outline-container-org3ac3cd3" class="outline-3"> +<h3 id="org3ac3cd3">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3ac3cd3"> <ul class="org-ul"> <li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li> <li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li> @@ -229,9 +229,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org84ae664" class="outline-3"> -<h3 id="org84ae664">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org84ae664"> +<div id="outline-container-orge87a367" class="outline-3"> +<h3 id="orge87a367">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orge87a367"> <ul class="org-ul"> <li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li> <li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li> @@ -239,17 +239,17 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org1133d4d" class="outline-3"> -<h3 id="org1133d4d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1133d4d"> +<div id="outline-container-orgc8f9cf9" class="outline-3"> +<h3 id="orgc8f9cf9">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgc8f9cf9"> <ul class="org-ul"> <li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org451fa96" class="outline-3"> -<h3 id="org451fa96">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org451fa96"> +<div id="outline-container-org843459d" class="outline-3"> +<h3 id="org843459d">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org843459d"> <ul class="org-ul"> <li>Comparaison asymptotique<br /></li> <li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li> @@ -260,13 +260,13 @@ </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc1416af" class="outline-2"> -<h2 id="orgc1416af">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgc1416af"> +<div id="outline-container-org8498992" class="outline-2"> +<h2 id="org8498992">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org8498992"> </div> -<div id="outline-container-org1e861f2" class="outline-3"> -<h3 id="org1e861f2">La loi de composition interne dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1e861f2"> +<div id="outline-container-orgcb3c957" class="outline-3"> +<h3 id="orgcb3c957">La loi de composition interne dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcb3c957"> <p> @ : E x E —> E<br /> (x,y) —> x @ y<br /> @@ -280,9 +280,9 @@ <b>∀ x,y ε E</b><br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org5dd86eb" class="outline-4"> -<h4 id="org5dd86eb"><b>Example : Addition</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org5dd86eb"> +<div id="outline-container-orga26ee64" class="outline-4"> +<h4 id="orga26ee64"><b>Example : Addition</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga26ee64"> <p> Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br /> </p> @@ -304,9 +304,9 @@ Donc : + est L.C.I dans ℕ<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org9c87146" class="outline-4"> -<h4 id="org9c87146"><b>Example : soustraction</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9c87146"> +<div id="outline-container-org3b7979e" class="outline-4"> +<h4 id="org3b7979e"><b>Example : soustraction</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3b7979e"> <p> Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </p> @@ -326,9 +326,9 @@ Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org14c9dad" class="outline-3"> -<h3 id="org14c9dad">La loi de composition externe dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org14c9dad"> +<div id="outline-container-orgf5ed752" class="outline-3"> +<h3 id="orgf5ed752">La loi de composition externe dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgf5ed752"> <p> @ est L.C.E dans E, K est un corps<br /> </p> @@ -346,9 +346,9 @@ K x E —> E<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org97b9be1" class="outline-3"> -<h3 id="org97b9be1">Groupes :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org97b9be1"> +<div id="outline-container-org543e576" class="outline-3"> +<h3 id="org543e576">Groupes :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org543e576"> <p> <i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br /> </p> @@ -357,9 +357,9 @@ K x E —> E<br /> (E, @) est un groupe Si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org7a89d6e" class="outline-4"> -<h4 id="org7a89d6e">Il contiens un élement neutre</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7a89d6e"> +<div id="outline-container-org21dc534" class="outline-4"> +<h4 id="org21dc534">Il contiens un élement neutre</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org21dc534"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br /> </p> @@ -377,9 +377,9 @@ On appelle <b>e</b> élement neutre<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org8d9b425" class="outline-4"> -<h4 id="org8d9b425">Il contiens un élément symétrique</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8d9b425"> +<div id="outline-container-org334cfe1" class="outline-4"> +<h4 id="org334cfe1">Il contiens un élément symétrique</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org334cfe1"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br /> </p> @@ -401,9 +401,9 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgee13975" class="outline-4"> -<h4 id="orgee13975">@ est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgee13975"> +<div id="outline-container-org9674822" class="outline-4"> +<h4 id="org9674822">@ est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9674822"> <p> ∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br /> </p> @@ -414,19 +414,19 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org9f8ce52" class="outline-3"> -<h3 id="org9f8ce52">Anneaux :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org9f8ce52"> +<div id="outline-container-orgb3ff039" class="outline-3"> +<h3 id="orgb3ff039">Anneaux :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb3ff039"> <p> Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org9ba4ed7" class="outline-4"> -<h4 id="org9ba4ed7">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> +<div id="outline-container-org3f78a3c" class="outline-4"> +<h4 id="org3f78a3c">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> </div> -<div id="outline-container-org01c0cac" class="outline-4"> -<h4 id="org01c0cac">! est une loi associative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org01c0cac"> +<div id="outline-container-org5847aa9" class="outline-4"> +<h4 id="org5847aa9">! est une loi associative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org5847aa9"> <p> ∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> @@ -436,9 +436,9 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org128b9ba" class="outline-4"> -<h4 id="org128b9ba">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org128b9ba"> +<div id="outline-container-orgfaff409" class="outline-4"> +<h4 id="orgfaff409">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfaff409"> <p> ∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> @@ -448,33 +448,33 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbb22207" class="outline-4"> -<h4 id="orgbb22207">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbb22207"> +<div id="outline-container-orgefb9297" class="outline-4"> +<h4 id="orgefb9297">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgefb9297"> <p> ∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org35e765f" class="outline-4"> -<h4 id="org35e765f">! est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org35e765f"> +<div id="outline-container-orge4ed4c7" class="outline-4"> +<h4 id="orge4ed4c7">! est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge4ed4c7"> <p> ∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org4c3e23d" class="outline-3"> -<h3 id="org4c3e23d">Corps :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4c3e23d"> +<div id="outline-container-org37ce198" class="outline-3"> +<h3 id="org37ce198">Corps :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org37ce198"> <p> (E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org287426e" class="outline-4"> -<h4 id="org287426e">La symétrie :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org287426e"> +<div id="outline-container-orgcb84506" class="outline-4"> +<h4 id="orgcb84506">La symétrie :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgcb84506"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br /> </p> @@ -486,13 +486,13 @@ x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org3e4111f" class="outline-3"> -<h3 id="org3e4111f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3e4111f"> +<div id="outline-container-org2fee6ee" class="outline-3"> +<h3 id="org2fee6ee">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2fee6ee"> </div> -<div id="outline-container-org510dbc3" class="outline-4"> -<h4 id="org510dbc3">Est-ce un Anneau ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org510dbc3"> +<div id="outline-container-org3f4c92b" class="outline-4"> +<h4 id="org3f4c92b">Est-ce un Anneau ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3f4c92b"> <ul class="org-ul"> <li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li> <li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li> @@ -506,9 +506,9 @@ Oui c’est un anneau<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgea9e72f" class="outline-4"> -<h4 id="orgea9e72f">Est-ce un corps ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgea9e72f"> +<div id="outline-container-org7e6f298" class="outline-4"> +<h4 id="org7e6f298">Est-ce un corps ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org7e6f298"> <ul class="org-ul"> <li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li> </ul> @@ -516,13 +516,13 @@ Oui c’est un anneau<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org348c9dc" class="outline-2"> -<h2 id="org348c9dc">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org348c9dc"> +<div id="outline-container-org72436ae" class="outline-2"> +<h2 id="org72436ae">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org72436ae"> </div> -<div id="outline-container-orgb495a3f" class="outline-3"> -<h3 id="orgb495a3f">L’ordre dans ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb495a3f"> +<div id="outline-container-org63d2748" class="outline-3"> +<h3 id="org63d2748">L’ordre dans ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org63d2748"> <p> (ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br /> </p> @@ -548,13 +548,13 @@ R est reflexive :<br /> ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li> </ol> </div> -<div id="outline-container-orgb30fa8b" class="outline-4"> -<h4 id="orgb30fa8b">Exemples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb30fa8b"> +<div id="outline-container-orgcf0e467" class="outline-4"> +<h4 id="orgcf0e467">Exemples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgcf0e467"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org0024cf5"></a>Exemple numéro 1:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0024cf5"> +<li><a id="org2cbf75c"></a>Exemple numéro 1:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2cbf75c"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> @@ -565,8 +565,8 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </p> </div> </li> -<li><a id="orgec13690"></a>Exemple numéro 2:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgec13690"> +<li><a id="org0005732"></a>Exemple numéro 2:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org0005732"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> @@ -581,13 +581,13 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org9797df4" class="outline-3"> -<h3 id="org9797df4">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org9797df4"> +<div id="outline-container-orgb5fe01c" class="outline-3"> +<h3 id="orgb5fe01c">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb5fe01c"> </div> -<div id="outline-container-org945d778" class="outline-4"> -<h4 id="org945d778">Majorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org945d778"> +<div id="outline-container-org3e58f18" class="outline-4"> +<h4 id="org3e58f18">Majorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3e58f18"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> @@ -598,9 +598,9 @@ Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org8be15b0" class="outline-4"> -<h4 id="org8be15b0">Minorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8be15b0"> +<div id="outline-container-org0d1c1cc" class="outline-4"> +<h4 id="org0d1c1cc">Minorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0d1c1cc"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> @@ -611,41 +611,41 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org8dce575" class="outline-4"> -<h4 id="org8dce575">Borne supérieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8dce575"> +<div id="outline-container-org9001702" class="outline-4"> +<h4 id="org9001702">Borne supérieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9001702"> <p> La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1e6b0d9" class="outline-4"> -<h4 id="org1e6b0d9">Borne inférieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1e6b0d9"> +<div id="outline-container-orgde5e8a1" class="outline-4"> +<h4 id="orgde5e8a1">Borne inférieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgde5e8a1"> <p> La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org009fa9a" class="outline-4"> -<h4 id="org009fa9a">Maximum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org009fa9a"> +<div id="outline-container-org806ae22" class="outline-4"> +<h4 id="org806ae22">Maximum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org806ae22"> <p> E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org52198cb" class="outline-4"> -<h4 id="org52198cb">Minimum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org52198cb"> +<div id="outline-container-orgf6603d1" class="outline-4"> +<h4 id="orgf6603d1">Minimum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf6603d1"> <p> E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgccc12e8" class="outline-4"> -<h4 id="orgccc12e8">Remarques :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgccc12e8"> +<div id="outline-container-org43233fb" class="outline-4"> +<h4 id="org43233fb">Remarques :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org43233fb"> <p> A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> </p> @@ -661,13 +661,13 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org59cb914" class="outline-2"> -<h2 id="org59cb914">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org59cb914"> +<div id="outline-container-org3e3d152" class="outline-2"> +<h2 id="org3e3d152">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org3e3d152"> </div> -<div id="outline-container-orgb0dc89c" class="outline-4"> -<h4 id="orgb0dc89c">Définition :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb0dc89c"> +<div id="outline-container-orgd085500" class="outline-4"> +<h4 id="orgd085500">Définition :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd085500"> <p> Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br /> </p> @@ -688,8 +688,8 @@ n -—> U(n) = Un<br /> </ol> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgc7177a3"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgc7177a3"> +<li><a id="orge9da56d"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orge9da56d"> <p> U : ℕ* -—> ℝ<br /> </p> @@ -707,16 +707,16 @@ n -—> 1/n<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org9475529" class="outline-4"> -<h4 id="org9475529">Définition N°2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9475529"> +<div id="outline-container-orgdca4e96" class="outline-4"> +<h4 id="orgdca4e96">Définition N°2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgdca4e96"> <p> On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org7aca821"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org7aca821"> +<li><a id="org7fcfb28"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org7fcfb28"> <p> U(n+1) = Un /2<br /> </p> @@ -729,37 +729,37 @@ U(1)= 1<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org8a8d1d3" class="outline-3"> -<h3 id="org8a8d1d3">Opérations sur les suites :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org8a8d1d3"> +<div id="outline-container-org571706b" class="outline-3"> +<h3 id="org571706b">Opérations sur les suites :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org571706b"> </div> -<div id="outline-container-orgf4e0a6d" class="outline-4"> -<h4 id="orgf4e0a6d">La somme :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf4e0a6d"> +<div id="outline-container-orgee7f5af" class="outline-4"> +<h4 id="orgee7f5af">La somme :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgee7f5af"> <p> Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org3a5f183" class="outline-4"> -<h4 id="org3a5f183">Le produit :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3a5f183"> +<div id="outline-container-org9a57bb6" class="outline-4"> +<h4 id="org9a57bb6">Le produit :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9a57bb6"> <p> Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb278785" class="outline-4"> -<h4 id="orgb278785">Inverse d’une suite :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb278785"> +<div id="outline-container-orgee1c76a" class="outline-4"> +<h4 id="orgee1c76a">Inverse d’une suite :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgee1c76a"> <p> Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org14eeccd" class="outline-4"> -<h4 id="org14eeccd">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org14eeccd"> +<div id="outline-container-orgb017bda" class="outline-4"> +<h4 id="orgb017bda">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb017bda"> <p> Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </p> @@ -771,17 +771,17 @@ Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org1cf9196" class="outline-3"> -<h3 id="org1cf9196">Suite bornée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1cf9196"> +<div id="outline-container-orgbe324c7" class="outline-3"> +<h3 id="orgbe324c7">Suite bornée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgbe324c7"> <p> Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc2da8da" class="outline-3"> -<h3 id="orgc2da8da">Suite majorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgc2da8da"> +<div id="outline-container-orgafd1c58" class="outline-3"> +<h3 id="orgafd1c58">Suite majorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgafd1c58"> <p> Soit (Un) une suite<br /> </p> @@ -792,9 +792,9 @@ U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<b </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orga0d43ce" class="outline-3"> -<h3 id="orga0d43ce">Suite minorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orga0d43ce"> +<div id="outline-container-orga3cd1fc" class="outline-3"> +<h3 id="orga3cd1fc">Suite minorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orga3cd1fc"> <p> Soit (Un) une suite<br /> </p> @@ -805,13 +805,13 @@ U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<b </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org40d1f38" class="outline-3"> -<h3 id="org40d1f38">Suites monotones :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org40d1f38"> +<div id="outline-container-org2dda13a" class="outline-3"> +<h3 id="org2dda13a">Suites monotones :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2dda13a"> </div> -<div id="outline-container-orgf7df4a9" class="outline-4"> -<h4 id="orgf7df4a9">Les suites croissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf7df4a9"> +<div id="outline-container-orge735964" class="outline-4"> +<h4 id="orge735964">Les suites croissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge735964"> <p> Soit (Un)n est une suite<br /> </p> @@ -822,9 +822,9 @@ Soit (Un)n est une suite<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd895f98" class="outline-4"> -<h4 id="orgd895f98">Les suites décroissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd895f98"> +<div id="outline-container-org952a155" class="outline-4"> +<h4 id="org952a155">Les suites décroissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org952a155"> <p> Soit (Un)n est une suite<br /> </p> @@ -837,45 +837,45 @@ Soit (Un)n est une suite<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org1aa6640" class="outline-2"> -<h2 id="org1aa6640">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org1aa6640"> +<div id="outline-container-org748dee7" class="outline-2"> +<h2 id="org748dee7">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org748dee7"> </div> -<div id="outline-container-orgd87b22d" class="outline-3"> -<h3 id="orgd87b22d">Exo 1 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgd87b22d"> +<div id="outline-container-org78fe8e6" class="outline-3"> +<h3 id="org78fe8e6">Exo 1 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org78fe8e6"> </div> -<div id="outline-container-org5f6303c" class="outline-4"> -<h4 id="org5f6303c">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org5f6303c"> +<div id="outline-container-orgaa73b03" class="outline-4"> +<h4 id="orgaa73b03">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgaa73b03"> <p> A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgf6ed584"></a>Borne inférieure<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf6ed584"> +<li><a id="orgc26c017"></a>Borne inférieure<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc26c017"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org4167b5f"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org4167b5f"> +<li><a id="orgf51726a"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf51726a"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org7070119"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7070119"> +<li><a id="org77261f1"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org77261f1"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org682d2b5"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org682d2b5"> +<li><a id="orgcd88cef"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgcd88cef"> <p> L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </p> @@ -883,16 +883,16 @@ L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org90b78ba" class="outline-4"> -<h4 id="org90b78ba">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org90b78ba"> +<div id="outline-container-orga87d503" class="outline-4"> +<h4 id="orga87d503">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga87d503"> <p> B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orge1736f7"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orge1736f7"> +<li><a id="orgf4cbebc"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf4cbebc"> <p> Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))<br /> </p> @@ -908,8 +908,8 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’ </p> </div> </li> -<li><a id="org7e945cc"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7e945cc"> +<li><a id="org74aa2f3"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org74aa2f3"> <p> Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br /> </p> @@ -925,15 +925,15 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’ </p> </div> </li> -<li><a id="org2cb0b85"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org2cb0b85"> +<li><a id="orgdef3654"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgdef3654"> <p> <b>Min(B) = -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org7ba6e83"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7ba6e83"> +<li><a id="org6f1828c"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org6f1828c"> <p> L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -941,37 +941,37 @@ L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgab077c5" class="outline-4"> -<h4 id="orgab077c5">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgab077c5"> +<div id="outline-container-orgd668ed3" class="outline-4"> +<h4 id="orgd668ed3">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd668ed3"> <p> C = {3n ,n ∈ ℕ}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org39da55d"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org39da55d"> +<li><a id="orgfca1443"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgfca1443"> <p> Inf(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgfdfb07e"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgfdfb07e"> +<li><a id="org7ff9de2"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7ff9de2"> <p> Sup(C) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgf972835"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf972835"> +<li><a id="org5303e08"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org5303e08"> <p> Min(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org4c30360"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org4c30360"> +<li><a id="orgf9a2a27"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf9a2a27"> <p> L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -979,37 +979,37 @@ L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orga05bed3" class="outline-4"> -<h4 id="orga05bed3">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga05bed3"> +<div id="outline-container-org8fc1e08" class="outline-4"> +<h4 id="org8fc1e08">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8fc1e08"> <p> D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org352bc4d"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org352bc4d"> +<li><a id="orgdadeee4"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgdadeee4"> <p> Inf(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org54cba2c"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org54cba2c"> +<li><a id="org56b3603"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org56b3603"> <p> Sup(D)= 1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org83ebf6c"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org83ebf6c"> +<li><a id="org330b88d"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org330b88d"> <p> Min(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org2400862"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org2400862"> +<li><a id="org44900b9"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org44900b9"> <p> L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -1017,9 +1017,9 @@ L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgab9a959" class="outline-4"> -<h4 id="orgab9a959">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgab9a959"> +<div id="outline-container-org502cfdf" class="outline-4"> +<h4 id="org502cfdf">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org502cfdf"> <p> E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> @@ -1040,8 +1040,8 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org06c91a3"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org06c91a3"> +<li><a id="org8fb1c4a"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8fb1c4a"> <p> Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))<br /> </p> @@ -1057,8 +1057,8 @@ Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgb7b6f4c"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgb7b6f4c"> +<li><a id="orgf1894f2"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf1894f2"> <p> Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br /> </p> @@ -1074,15 +1074,15 @@ sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org8727a13"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8727a13"> +<li><a id="orgc4e7917"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc4e7917"> <p> Min(E)= -1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgb3e2612"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgb3e2612"> +<li><a id="org0367d14"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org0367d14"> <p> E n’as pas de maximum<br /> </p> @@ -1091,20 +1091,20 @@ E n’as pas de maximum<br /> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org2cefd43" class="outline-3"> -<h3 id="org2cefd43">Exo 2 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2cefd43"> +<div id="outline-container-orgc52dcfe" class="outline-3"> +<h3 id="orgc52dcfe">Exo 2 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgc52dcfe"> </div> -<div id="outline-container-orgbaa1183" class="outline-4"> -<h4 id="orgbaa1183">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbaa1183"> +<div id="outline-container-org2084ec6" class="outline-4"> +<h4 id="org2084ec6">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2084ec6"> <p> A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgc824f04"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc824f04"> +<li><a id="org0a1218e"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org0a1218e"> <p> <b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3<br /> </p> @@ -1112,16 +1112,16 @@ A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org03e8649" class="outline-4"> -<h4 id="org03e8649">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org03e8649"> +<div id="outline-container-org1436912" class="outline-4"> +<h4 id="org1436912">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org1436912"> <p> B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org92c43ca"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org92c43ca"> +<li><a id="orgc7f9385"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc7f9385"> <p> <b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b><br /> </p> @@ -1134,16 +1134,16 @@ B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org8cc31a5" class="outline-4"> -<h4 id="org8cc31a5">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8cc31a5"> +<div id="outline-container-orgd6b657c" class="outline-4"> +<h4 id="orgd6b657c">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd6b657c"> <p> C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgfd47ee2"></a>Minoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgfd47ee2"> +<li><a id="org08b9d28"></a>Minoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org08b9d28"> <p> <b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b><br /> </p> @@ -1151,16 +1151,16 @@ C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org4b422ef" class="outline-4"> -<h4 id="org4b422ef">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4b422ef"> +<div id="outline-container-orgbfc4c5a" class="outline-4"> +<h4 id="orgbfc4c5a">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbfc4c5a"> <p> D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgdb47cb3"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgdb47cb3"> +<li><a id="org68a1dd6"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org68a1dd6"> <p> <b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b><br /> </p> @@ -1173,16 +1173,16 @@ D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org0031576" class="outline-4"> -<h4 id="org0031576">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0031576"> +<div id="outline-container-orgd1c7ba2" class="outline-4"> +<h4 id="orgd1c7ba2">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd1c7ba2"> <p> E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org48b2db0"></a>Majoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org48b2db0"> +<li><a id="org400f4bf"></a>Majoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org400f4bf"> <p> p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </p> @@ -1191,16 +1191,16 @@ p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org23d3aa9" class="outline-3"> -<h3 id="org23d3aa9">Exo 3 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org23d3aa9"> +<div id="outline-container-org492c7d5" class="outline-3"> +<h3 id="org492c7d5">Exo 3 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org492c7d5"> <p> U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org8f4db0d" class="outline-4"> -<h4 id="org8f4db0d">Question 1 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8f4db0d"> +<div id="outline-container-org3e8c5a7" class="outline-4"> +<h4 id="org3e8c5a7">Question 1 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3e8c5a7"> <p> Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> @@ -1216,8 +1216,8 @@ Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgf5b4a1b"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf5b4a1b"> +<li><a id="org8e438b7"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8e438b7"> <p> P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br /> </p> @@ -1240,9 +1240,9 @@ On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org88560e9" class="outline-4"> -<h4 id="org88560e9">Question 2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org88560e9"> +<div id="outline-container-org6a5a1cd" class="outline-4"> +<h4 id="org6a5a1cd">Question 2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6a5a1cd"> <p> Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br /> </p> @@ -1265,20 +1265,20 @@ On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en deho </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org4970134" class="outline-2"> -<h2 id="org4970134">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org4970134"> +<div id="outline-container-org347495d" class="outline-2"> +<h2 id="org347495d">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org347495d"> </div> -<div id="outline-container-org5c60eae" class="outline-3"> -<h3 id="org5c60eae">Les suites convergentes</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5c60eae"> +<div id="outline-container-org148af66" class="outline-3"> +<h3 id="org148af66">Les suites convergentes</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org148af66"> <p> Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orga236792" class="outline-4"> -<h4 id="orga236792">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga236792"> +<div id="outline-container-org1d4d349" class="outline-4"> +<h4 id="org1d4d349">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org1d4d349"> <ol class="org-ol"> <li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li> <li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li> @@ -1295,32 +1295,32 @@ Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org3d47a4f" class="outline-3"> -<h3 id="org3d47a4f">Theoreme d’encadrement</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3d47a4f"> +<div id="outline-container-org290bc6b" class="outline-3"> +<h3 id="org290bc6b">Theoreme d’encadrement</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org290bc6b"> <p> Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org77a6269" class="outline-3"> -<h3 id="org77a6269">Suites arithmetiques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org77a6269"> +<div id="outline-container-org5ba33df" class="outline-3"> +<h3 id="org5ba33df">Suites arithmetiques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5ba33df"> <p> Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org41f14af" class="outline-4"> -<h4 id="org41f14af">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org41f14af"> +<div id="outline-container-orge9cff08" class="outline-4"> +<h4 id="orge9cff08">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge9cff08"> <p> <b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge969e67" class="outline-4"> -<h4 id="orge969e67">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge969e67"> +<div id="outline-container-orgc4d530a" class="outline-4"> +<h4 id="orgc4d530a">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc4d530a"> <p> Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br /> </p> @@ -1332,21 +1332,21 @@ Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org20c5c6c" class="outline-3"> -<h3 id="org20c5c6c">Suites géométriques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org20c5c6c"> +<div id="outline-container-orgfc701cc" class="outline-3"> +<h3 id="orgfc701cc">Suites géométriques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgfc701cc"> </div> -<div id="outline-container-orga1b0a76" class="outline-4"> -<h4 id="orga1b0a76">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga1b0a76"> +<div id="outline-container-org328ef4d" class="outline-4"> +<h4 id="org328ef4d">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org328ef4d"> <p> <b>Un = U0 x r^n</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org2cf893f" class="outline-4"> -<h4 id="org2cf893f">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2cf893f"> +<div id="outline-container-org4210450" class="outline-4"> +<h4 id="org4210450">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4210450"> <p> n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </p> @@ -1354,13 +1354,13 @@ n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orge46a49e" class="outline-2"> -<h2 id="orge46a49e">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orge46a49e"> +<div id="outline-container-org9dcdb5b" class="outline-2"> +<h2 id="org9dcdb5b">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org9dcdb5b"> </div> -<div id="outline-container-org43d5be5" class="outline-3"> -<h3 id="org43d5be5">Suites adjacentes:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org43d5be5"> +<div id="outline-container-org5582998" class="outline-3"> +<h3 id="org5582998">Suites adjacentes:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5582998"> <p> Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </p> @@ -1371,16 +1371,16 @@ Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </ol> </div> </div> -<div id="outline-container-org71762d4" class="outline-3"> -<h3 id="org71762d4">Suites extraites (sous-suites):</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org71762d4"> +<div id="outline-container-orgc7dc719" class="outline-3"> +<h3 id="orgc7dc719">Suites extraites (sous-suites):</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgc7dc719"> <p> Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgc5524fb" class="outline-4"> -<h4 id="orgc5524fb">Remarques:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc5524fb"> +<div id="outline-container-org19aaf93" class="outline-4"> +<h4 id="org19aaf93">Remarques:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org19aaf93"> <ol class="org-ol"> <li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li> <li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li> @@ -1389,53 +1389,56 @@ Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ - </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org43ca2f6" class="outline-3"> -<h3 id="org43ca2f6">Suites de Cauchy:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org43ca2f6"> +<div id="outline-container-orge98dbc2" class="outline-3"> +<h3 id="orge98dbc2">Suites de Cauchy:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orge98dbc2"> <p> (Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org452a0a9" class="outline-4"> -<h4 id="org452a0a9">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org452a0a9"> +<div id="outline-container-org07f3dd9" class="outline-4"> +<h4 id="org07f3dd9">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org07f3dd9"> <ol class="org-ol"> <li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org6164449" class="outline-3"> -<h3 id="org6164449">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org6164449"> +<div id="outline-container-orgf1fce8d" class="outline-3"> +<h3 id="orgf1fce8d">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgf1fce8d"> <p> On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgde4cc4a" class="outline-2"> -<h2 id="orgde4cc4a">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgde4cc4a"> +<div id="outline-container-org2d666d3" class="outline-2"> +<h2 id="org2d666d3">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org2d666d3"> +<p> +#+BEGIN_VERSE<br /> +</p> </div> -<div id="outline-container-orgcf38f4d" class="outline-3"> -<h3 id="orgcf38f4d">Fonction réelle à variable réelle :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcf38f4d"> +<div id="outline-container-org4b64f75" class="outline-3"> +<h3 id="org4b64f75">Fonction réelle à variable réelle :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4b64f75"> <p> Soit f: I –> ℝ , I ⊂= ℝ<br /> x –> f(x)<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org7714aa5" class="outline-4"> -<h4 id="org7714aa5">L’ensemble de départ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7714aa5"> +<div id="outline-container-org36bff9b" class="outline-4"> +<h4 id="org36bff9b">L’ensemble de départ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org36bff9b"> <p> L’ensemble de définition (Df)<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orga4111dd"></a>Propriétés:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga4111dd"> +<li><a id="org5f3b41b"></a>Propriétés:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org5f3b41b"> <p> Soit f et g deux fonctions :<br /> f : I –> ℝ<br /> @@ -1448,32 +1451,32 @@ g : I –> ℝ<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgd750242"></a>1) f+g<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgd750242"> +<li><a id="orgd377eb6"></a>1) f+g<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgd377eb6"> <p> (g+f): I –> ℝ<br /> x –> (f+g)(x) = f(x) + g(x)<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgec6b0ef"></a>2) λf<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgec6b0ef"> +<li><a id="orgdde56d7"></a>2) λf<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgdde56d7"> <p> ∀λ ∈ ℝ : λf : I –> ℝ<br /> x –> (λf)(x) = λf(x)<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org2597b94"></a>3) f*g<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org2597b94"> +<li><a id="org13ef890"></a>3) f*g<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org13ef890"> <p> (f*g): I –> ℝ<br /> x –> (f*g)(x) = f(x) x g(x)<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgdfe3e5d"></a>4) f/g<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgdfe3e5d"> +<li><a id="orgf397428"></a>4) f/g<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgf397428"> <p> f/g : I –> ℝ<br /> x –> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0<br /> @@ -1484,9 +1487,9 @@ f/g : I –> ℝ<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgace65ab" class="outline-4"> -<h4 id="orgace65ab">Les Limites :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgace65ab"> +<div id="outline-container-org2cc1eca" class="outline-4"> +<h4 id="org2cc1eca">Les Limites :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2cc1eca"> <p> f: I –> ℝ<br /> x –> f(x)<br /> @@ -1498,31 +1501,31 @@ Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) est a Limite de f(x) quand x ten </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org96f1c0b"></a>Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = l<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org96f1c0b"> +<li><a id="orgf901971"></a>Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = l<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf901971"> <p> -\|x - x<sub>0</sub>\| < ẟ , \|f(x) - l| < ε<br /> +=> |x - x<sub>0</sub>| < ẟ , |f(x) - l| < ε<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgb435746" class="outline-4"> -<h4 id="orgb435746">La continuité :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb435746"> +<div id="outline-container-org64c9169" class="outline-4"> +<h4 id="org64c9169">La continuité :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org64c9169"> <p> Soit f: I –> ℝ I = Df<br /> x –> f(x) x<sub>0</sub> ∈ I<br /> f est continue en x<sub>0</sub> ⇔ Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = f(x<sub>0</sub>)<br /> -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , \|x - x<sub>0</sub>\| < ẟ ⇒ \|f(x) - f(x<sub>0</sub>)\| < ε<br /> +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x<sub>0</sub>| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x<sub>0</sub>)| < ε<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org8f8345e" class="outline-4"> -<h4 id="org8f8345e">Prolongement par continuité :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8f8345e"> +<div id="outline-container-orga180a5f" class="outline-4"> +<h4 id="orga180a5f">Prolongement par continuité :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga180a5f"> <p> -Soit f: I/\{x<sub>0</sub>\} –> ℝ<br /> +Soit f: I/ {x<sub>0</sub>} –> ℝ<br /> x –> f(x)<br /> </p> @@ -1531,17 +1534,18 @@ Si lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = l Alors f est prolongéable </p> <p> -On défini : ⎡f(x) si x ≠ x<sub>0</sub><br /> - f~ = |<br /> - ⎣l si x = x<sub>0</sub><br /> +On défini :<br /> +f~ = f(x) si x ≠ x<sub>0</sub><br /> +ET<br /> +l si x = x<sub>0</sub><br /> f~ : I –> ℝ<br /> x –> f(x)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge3fed44" class="outline-4"> -<h4 id="orge3fed44">Théorème des valeurs intermédiaires :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge3fed44"> +<div id="outline-container-orga0b20fd" class="outline-4"> +<h4 id="orga0b20fd">Théorème des valeurs intermédiaires :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga0b20fd"> <p> f : [a,b] –> ℝ<br /> Si f est continue sur [a,b]<br /> @@ -1549,15 +1553,17 @@ Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x)<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>Si f est continue sur [a,b] ⎫<br /> -⎬ ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0<br /></li> -<li>Si f(a) * f(b) < 0 ⎭<br /></li> +<li>Si f est continue sur [a,b]<br /></li> +<li>Si f(a) * f(b) < 0<br /></li> </ol> +<p> +Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0<br /> +</p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc40e618" class="outline-4"> -<h4 id="orgc40e618">Fonction croissante :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc40e618"> +<div id="outline-container-org9c72228" class="outline-4"> +<h4 id="org9c72228">Fonction croissante :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9c72228"> <p> f: I –> J<br /> f est croissante si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I<br /> @@ -1574,39 +1580,40 @@ Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org2be852d" class="outline-4"> -<h4 id="org2be852d">Injection = Strictement monotonne :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2be852d"> +<div id="outline-container-org4225cf9" class="outline-4"> +<h4 id="org4225cf9">Injection = Strictement monotonne :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4225cf9"> <p> f: I –> J<br /> f est injective si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I , f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>) ⇒ x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org22072c4" class="outline-4"> -<h4 id="org22072c4">Surjection = Continuité :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org22072c4"> +<div id="outline-container-org0a083e3" class="outline-4"> +<h4 id="org0a083e3">Surjection = Continuité :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0a083e3"> <p> f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgebeba8b" class="outline-4"> -<h4 id="orgebeba8b">Bijection :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgebeba8b"> +<div id="outline-container-org64ecf75" class="outline-4"> +<h4 id="org64ecf75">Bijection :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org64ecf75"> <p> Si f est injective et surjective, alors f est bijective<br /> f est bijective donc elle admet une bijection réciproque<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge61507c" class="outline-4"> -<h4 id="orge61507c">Théorème de bijection :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge61507c"> +<div id="outline-container-org020cce1" class="outline-4"> +<h4 id="org020cce1">Théorème de bijection :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org020cce1"> <p> Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.<br /> -f admet une bijection réciproque f<sub>-1</sub>.<br /> -f<sub>-1</sub> a le même sens de variation que f.<br /> +f admet une bijection réciproque f{-1}.<br /> +f{-1} a le même sens de variation que f.<br /> +#+END_VERSE<br /> </p> </div> </div> @@ -1615,7 +1622,7 @@ f<sub>-1</sub> a le même sens de variation que f.<br /> </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-11-14 Tue 22:45</p> +<p class="date">Created: 2023-11-14 Tue 22:52</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file |