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diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index e511781..2a49a05 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -470,8 +470,38 @@ Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2 Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie -** Suites geometriques +** Suites géométriques *** Forme general *Un = U0 x r^n* *** Somme des n premiers termes n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r +* 5th cours (suite) : /Oct 12/ +** Suites adjacentes: +Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si: +1. (Un) est croissante et (Vn) est décroissante +2. Un ≤ Vn +3. lim (Un - Vn) n->+∞ = 0 +** Suites extraites (sous-suites): +Soit (Un) une suite: +// +U: ℕ ----> ℝ +// + n ----> Un +// +ϕ: ℕ ----> ℕ +// + n ----> ϕn +// +(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite. +*** Remarques: +a. Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi. +b. Mais le contraire n'es pas toujours vrais. +c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l +** Suites de Cauchy: +(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; +// +∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε +*** Remarque : +1. Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente +** Théorème de Bolzano Weirstrass: +On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index 20d8972..158fb05 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-10-11 Wed 19:18 --> +<!-- 2023-10-18 Wed 20:20 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>Analyse 1</title> @@ -15,13 +15,13 @@ <body> <div id="content" class="content"> <h1 class="title">Analyse 1</h1> -<div id="outline-container-org32ad572" class="outline-2"> -<h2 id="org32ad572">Contenu de la Matiére</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org32ad572"> +<div id="outline-container-orge183e28" class="outline-2"> +<h2 id="orge183e28">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orge183e28"> </div> -<div id="outline-container-org156647d" class="outline-3"> -<h3 id="org156647d">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org156647d"> +<div id="outline-container-org75fdd62" class="outline-3"> +<h3 id="org75fdd62">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org75fdd62"> <ul class="org-ul"> <li>Structure algébrique de ℝ</li> <li>L’ordre dans ℝ</li> @@ -29,9 +29,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org2064013" class="outline-3"> -<h3 id="org2064013">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2064013"> +<div id="outline-container-orgcf244f5" class="outline-3"> +<h3 id="orgcf244f5">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcf244f5"> <ul class="org-ul"> <li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes</li> <li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies</li> @@ -39,9 +39,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org74215b0" class="outline-3"> -<h3 id="org74215b0">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org74215b0"> +<div id="outline-container-org3a6e95a" class="outline-3"> +<h3 id="org3a6e95a">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3a6e95a"> <ul class="org-ul"> <li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées</li> <li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux</li> @@ -49,17 +49,17 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfad0512" class="outline-3"> -<h3 id="orgfad0512">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgfad0512"> +<div id="outline-container-org62905ef" class="outline-3"> +<h3 id="org62905ef">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org62905ef"> <ul class="org-ul"> <li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor</li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org2c42f3a" class="outline-3"> -<h3 id="org2c42f3a">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2c42f3a"> +<div id="outline-container-org179b9bd" class="outline-3"> +<h3 id="org179b9bd">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org179b9bd"> <ul class="org-ul"> <li>Comparaison asymptotique</li> <li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes</li> @@ -70,13 +70,13 @@ </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org4aeab0e" class="outline-2"> -<h2 id="org4aeab0e">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org4aeab0e"> +<div id="outline-container-org06afb93" class="outline-2"> +<h2 id="org06afb93">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org06afb93"> </div> -<div id="outline-container-org1c15646" class="outline-3"> -<h3 id="org1c15646">La loi de composition interne dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1c15646"> +<div id="outline-container-org83efa3f" class="outline-3"> +<h3 id="org83efa3f">La loi de composition interne dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org83efa3f"> <p> @ : E x E —> E (x,y) —> x @ y @@ -90,9 +90,9 @@ <b>∀ x,y ε E</b> </p> </div> -<div id="outline-container-orge4f4285" class="outline-4"> -<h4 id="orge4f4285"><b>Example : Addition</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge4f4285"> +<div id="outline-container-org34e1589" class="outline-4"> +<h4 id="org34e1589"><b>Example : Addition</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org34e1589"> <p> Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ? </p> @@ -114,9 +114,9 @@ Donc : + est L.C.I dans ℕ </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf679b38" class="outline-4"> -<h4 id="orgf679b38"><b>Example : soustraction</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf679b38"> +<div id="outline-container-orga5170c1" class="outline-4"> +<h4 id="orga5170c1"><b>Example : soustraction</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga5170c1"> <p> Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ? </p> @@ -136,9 +136,9 @@ Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ? </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org5bd802e" class="outline-3"> -<h3 id="org5bd802e">La loi de composition externe dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5bd802e"> +<div id="outline-container-orgbb8eb3a" class="outline-3"> +<h3 id="orgbb8eb3a">La loi de composition externe dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgbb8eb3a"> <p> @ est L.C.E dans E, K est un corps </p> @@ -156,9 +156,9 @@ K x E —> E </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbd9ed54" class="outline-3"> -<h3 id="orgbd9ed54">Groupes :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbd9ed54"> +<div id="outline-container-org5272600" class="outline-3"> +<h3 id="org5272600">Groupes :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5272600"> <p> <i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i> </p> @@ -167,9 +167,9 @@ K x E —> E (E, @) est un groupe Si : </p> </div> -<div id="outline-container-org8a61f65" class="outline-4"> -<h4 id="org8a61f65">Il contiens un élement neutre</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8a61f65"> +<div id="outline-container-org60264f8" class="outline-4"> +<h4 id="org60264f8">Il contiens un élement neutre</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org60264f8"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E </p> @@ -187,9 +187,9 @@ On appelle <b>e</b> élement neutre </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd7a2bc2" class="outline-4"> -<h4 id="orgd7a2bc2">Il contiens un élément symétrique</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd7a2bc2"> +<div id="outline-container-orgfc7c944" class="outline-4"> +<h4 id="orgfc7c944">Il contiens un élément symétrique</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfc7c944"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e </p> @@ -211,9 +211,9 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org942f964" class="outline-4"> -<h4 id="org942f964">@ est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org942f964"> +<div id="outline-container-org295b0ad" class="outline-4"> +<h4 id="org295b0ad">@ est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org295b0ad"> <p> ∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x </p> @@ -224,19 +224,19 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfd870b2" class="outline-3"> -<h3 id="orgfd870b2">Anneaux :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgfd870b2"> +<div id="outline-container-org16e85f4" class="outline-3"> +<h3 id="org16e85f4">Anneaux :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org16e85f4"> <p> Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si : </p> </div> -<div id="outline-container-orgb630ae9" class="outline-4"> -<h4 id="orgb630ae9">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> +<div id="outline-container-org4f41a3e" class="outline-4"> +<h4 id="org4f41a3e">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> </div> -<div id="outline-container-org83da3f3" class="outline-4"> -<h4 id="org83da3f3">! est une loi associative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org83da3f3"> +<div id="outline-container-orgcd878d3" class="outline-4"> +<h4 id="orgcd878d3">! est une loi associative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgcd878d3"> <p> ∀ x , y , z ∈ E </p> @@ -246,9 +246,9 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si : </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org228d644" class="outline-4"> -<h4 id="org228d644">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org228d644"> +<div id="outline-container-orgfdc3283" class="outline-4"> +<h4 id="orgfdc3283">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfdc3283"> <p> ∀ x , y , z ∈ E </p> @@ -258,33 +258,33 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si : </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org188625a" class="outline-4"> -<h4 id="org188625a">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org188625a"> +<div id="outline-container-org81e790a" class="outline-4"> +<h4 id="org81e790a">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org81e790a"> <p> ∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge450b40" class="outline-4"> -<h4 id="orge450b40">! est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge450b40"> +<div id="outline-container-orgc47d01f" class="outline-4"> +<h4 id="orgc47d01f">! est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc47d01f"> <p> ∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb215ac1" class="outline-3"> -<h3 id="orgb215ac1">Corps :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb215ac1"> +<div id="outline-container-orgcb42d27" class="outline-3"> +<h3 id="orgcb42d27">Corps :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcb42d27"> <p> (E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition : </p> </div> -<div id="outline-container-org51d906d" class="outline-4"> -<h4 id="org51d906d">La symétrie :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org51d906d"> +<div id="outline-container-orgda38e92" class="outline-4"> +<h4 id="orgda38e92">La symétrie :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgda38e92"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e </p> @@ -296,13 +296,13 @@ x’ est l’élément symétrique de x par rapport à ! </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgea20262" class="outline-3"> -<h3 id="orgea20262">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgea20262"> +<div id="outline-container-orgaaaeb75" class="outline-3"> +<h3 id="orgaaaeb75">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgaaaeb75"> </div> -<div id="outline-container-org63b1ea5" class="outline-4"> -<h4 id="org63b1ea5">Est-ce un Anneau ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org63b1ea5"> +<div id="outline-container-org7b08192" class="outline-4"> +<h4 id="org7b08192">Est-ce un Anneau ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org7b08192"> <ul class="org-ul"> <li>(ℝ, +) est un groupe commutatif</li> <li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)</li> @@ -316,9 +316,9 @@ Oui c’est un anneau </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1c18b97" class="outline-4"> -<h4 id="org1c18b97">Est-ce un corps ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1c18b97"> +<div id="outline-container-org48407c7" class="outline-4"> +<h4 id="org48407c7">Est-ce un corps ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org48407c7"> <ul class="org-ul"> <li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1</li> </ul> @@ -326,13 +326,13 @@ Oui c’est un anneau </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org86b97eb" class="outline-2"> -<h2 id="org86b97eb">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org86b97eb"> +<div id="outline-container-orgda25d9d" class="outline-2"> +<h2 id="orgda25d9d">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgda25d9d"> </div> -<div id="outline-container-org1f1c4d8" class="outline-3"> -<h3 id="org1f1c4d8">L’ordre dans ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1f1c4d8"> +<div id="outline-container-org4e80ec3" class="outline-3"> +<h3 id="org4e80ec3">L’ordre dans ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4e80ec3"> <p> (ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si : </p> @@ -358,13 +358,13 @@ R est reflexive : ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z</li> </ol> </div> -<div id="outline-container-orgc178857" class="outline-4"> -<h4 id="orgc178857">Exemples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc178857"> +<div id="outline-container-org093cc99" class="outline-4"> +<h4 id="org093cc99">Exemples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org093cc99"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org7b5f181"></a>Exemple numéro 1:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7b5f181"> +<li><a id="orgaae6cc3"></a>Exemple numéro 1:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgaae6cc3"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ? </p> @@ -375,8 +375,8 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </p> </div> </li> -<li><a id="org7f902ab"></a>Exemple numéro 2:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7f902ab"> +<li><a id="org5abd4e2"></a>Exemple numéro 2:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org5abd4e2"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ? </p> @@ -391,13 +391,13 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org446671f" class="outline-3"> -<h3 id="org446671f">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org446671f"> +<div id="outline-container-orgd51e0fe" class="outline-3"> +<h3 id="orgd51e0fe">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgd51e0fe"> </div> -<div id="outline-container-org86c077d" class="outline-4"> -<h4 id="org86c077d">Majorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org86c077d"> +<div id="outline-container-orgd3a8a46" class="outline-4"> +<h4 id="orgd3a8a46">Majorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd3a8a46"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) </p> @@ -408,9 +408,9 @@ Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org200a2c3" class="outline-4"> -<h4 id="org200a2c3">Minorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org200a2c3"> +<div id="outline-container-org2f70f76" class="outline-4"> +<h4 id="org2f70f76">Minorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2f70f76"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) </p> @@ -421,41 +421,41 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org46cb24b" class="outline-4"> -<h4 id="org46cb24b">Borne supérieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org46cb24b"> +<div id="outline-container-orgec5932c" class="outline-4"> +<h4 id="orgec5932c">Borne supérieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgec5932c"> <p> La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbb1980a" class="outline-4"> -<h4 id="orgbb1980a">Borne inférieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbb1980a"> +<div id="outline-container-org557a049" class="outline-4"> +<h4 id="org557a049">Borne inférieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org557a049"> <p> La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org3159ba9" class="outline-4"> -<h4 id="org3159ba9">Maximum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3159ba9"> +<div id="outline-container-org44a1e6f" class="outline-4"> +<h4 id="org44a1e6f">Maximum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org44a1e6f"> <p> E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a. </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf43e25a" class="outline-4"> -<h4 id="orgf43e25a">Minimum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf43e25a"> +<div id="outline-container-org8212c6f" class="outline-4"> +<h4 id="org8212c6f">Minimum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8212c6f"> <p> E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b. </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orga08da55" class="outline-4"> -<h4 id="orga08da55">Remarques :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga08da55"> +<div id="outline-container-orgc1f190f" class="outline-4"> +<h4 id="orgc1f190f">Remarques :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc1f190f"> <p> A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : </p> @@ -471,13 +471,13 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org05e73a3" class="outline-2"> -<h2 id="org05e73a3">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org05e73a3"> +<div id="outline-container-org5e6bac0" class="outline-2"> +<h2 id="org5e6bac0">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org5e6bac0"> </div> -<div id="outline-container-orgcd4347a" class="outline-4"> -<h4 id="orgcd4347a">Définition :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgcd4347a"> +<div id="outline-container-org4576609" class="outline-4"> +<h4 id="org4576609">Définition :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4576609"> <p> Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ: </p> @@ -498,8 +498,8 @@ n -—> U(n) = Un </ol> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org495644f"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org495644f"> +<li><a id="org2974480"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org2974480"> <p> U : ℕ* -—> ℝ </p> @@ -517,16 +517,16 @@ n -—> 1/n </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgdf8ea2e" class="outline-4"> -<h4 id="orgdf8ea2e">Définition N°2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgdf8ea2e"> +<div id="outline-container-org1b2bc25" class="outline-4"> +<h4 id="org1b2bc25">Définition N°2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org1b2bc25"> <p> On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme. </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org0c7274e"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org0c7274e"> +<li><a id="org3df976a"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org3df976a"> <p> U(n+1) = Un /2 </p> @@ -539,37 +539,37 @@ U(1)= 1 </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgecfb02c" class="outline-3"> -<h3 id="orgecfb02c">Opérations sur les suites :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgecfb02c"> +<div id="outline-container-org3a7a057" class="outline-3"> +<h3 id="org3a7a057">Opérations sur les suites :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3a7a057"> </div> -<div id="outline-container-orgc56ccde" class="outline-4"> -<h4 id="orgc56ccde">La somme :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc56ccde"> +<div id="outline-container-orgb2c866b" class="outline-4"> +<h4 id="orgb2c866b">La somme :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb2c866b"> <p> Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfe0c8af" class="outline-4"> -<h4 id="orgfe0c8af">Le produit :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfe0c8af"> +<div id="outline-container-orgea9f4ff" class="outline-4"> +<h4 id="orgea9f4ff">Le produit :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgea9f4ff"> <p> Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfa9fe65" class="outline-4"> -<h4 id="orgfa9fe65">Inverse d’une suite :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfa9fe65"> +<div id="outline-container-org3d885f7" class="outline-4"> +<h4 id="org3d885f7">Inverse d’une suite :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3d885f7"> <p> Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org09108ca" class="outline-4"> -<h4 id="org09108ca">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org09108ca"> +<div id="outline-container-orgb08b6d3" class="outline-4"> +<h4 id="orgb08b6d3">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb08b6d3"> <p> Soit (Un) une suite de T.G Un </p> @@ -581,17 +581,17 @@ Soit (Un) une suite de T.G Un </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org0d16671" class="outline-3"> -<h3 id="org0d16671">Suite bornée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org0d16671"> +<div id="outline-container-org1263651" class="outline-3"> +<h3 id="org1263651">Suite bornée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1263651"> <p> Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1819f18" class="outline-3"> -<h3 id="org1819f18">Suite majorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1819f18"> +<div id="outline-container-org1675132" class="outline-3"> +<h3 id="org1675132">Suite majorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1675132"> <p> Soit (Un) une suite </p> @@ -602,9 +602,9 @@ U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org3c0fbec" class="outline-3"> -<h3 id="org3c0fbec">Suite minorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3c0fbec"> +<div id="outline-container-org87968e2" class="outline-3"> +<h3 id="org87968e2">Suite minorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org87968e2"> <p> Soit (Un) une suite </p> @@ -615,13 +615,13 @@ U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgebf3d3b" class="outline-3"> -<h3 id="orgebf3d3b">Suites monotones :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgebf3d3b"> +<div id="outline-container-orgc488475" class="outline-3"> +<h3 id="orgc488475">Suites monotones :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgc488475"> </div> -<div id="outline-container-org193a450" class="outline-4"> -<h4 id="org193a450">Les suites croissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org193a450"> +<div id="outline-container-org2cc0b18" class="outline-4"> +<h4 id="org2cc0b18">Les suites croissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2cc0b18"> <p> Soit (Un)n est une suite </p> @@ -632,9 +632,9 @@ Soit (Un)n est une suite </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgff47924" class="outline-4"> -<h4 id="orgff47924">Les suites décroissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgff47924"> +<div id="outline-container-org18bee3a" class="outline-4"> +<h4 id="org18bee3a">Les suites décroissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org18bee3a"> <p> Soit (Un)n est une suite </p> @@ -647,45 +647,45 @@ Soit (Un)n est une suite </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf08c70b" class="outline-2"> -<h2 id="orgf08c70b">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgf08c70b"> +<div id="outline-container-org4db9108" class="outline-2"> +<h2 id="org4db9108">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org4db9108"> </div> -<div id="outline-container-org24ad469" class="outline-3"> -<h3 id="org24ad469">Exo 1 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org24ad469"> +<div id="outline-container-org287eb0f" class="outline-3"> +<h3 id="org287eb0f">Exo 1 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org287eb0f"> </div> -<div id="outline-container-org542ddd3" class="outline-4"> -<h4 id="org542ddd3">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org542ddd3"> +<div id="outline-container-orge2a122f" class="outline-4"> +<h4 id="orge2a122f">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge2a122f"> <p> A = {-1/n , n ∈ ℕ *} </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org8b8384f"></a>Borne inférieure<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8b8384f"> +<li><a id="org8380185"></a>Borne inférieure<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8380185"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A </p> </div> </li> -<li><a id="orgd7452d9"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd7452d9"> +<li><a id="org3306faf"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org3306faf"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A </p> </div> </li> -<li><a id="org60371ac"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org60371ac"> +<li><a id="orgb6214c1"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgb6214c1"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A </p> </div> </li> -<li><a id="orge3e4c79"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orge3e4c79"> +<li><a id="org1181aa7"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org1181aa7"> <p> L’ensemble A n’as pas de maximum </p> @@ -693,16 +693,16 @@ L’ensemble A n’as pas de maximum </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org71dc196" class="outline-4"> -<h4 id="org71dc196">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org71dc196"> +<div id="outline-container-orgbb9e801" class="outline-4"> +<h4 id="orgbb9e801">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbb9e801"> <p> B = [-1 , 3[ ∩ ℚ </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgb1a63f2"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgb1a63f2"> +<li><a id="org0cd302c"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org0cd302c"> <p> Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ)) </p> @@ -718,8 +718,8 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’ </p> </div> </li> -<li><a id="org777951c"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org777951c"> +<li><a id="org7ae05e0"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7ae05e0"> <p> Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ)) </p> @@ -735,15 +735,15 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’ </p> </div> </li> -<li><a id="org8f243eb"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8f243eb"> +<li><a id="org9cd2734"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9cd2734"> <p> <b>Min(B) = -1</b> </p> </div> </li> -<li><a id="org7e50683"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7e50683"> +<li><a id="org03c30da"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org03c30da"> <p> L’ensemble B n’as pas de Maximum </p> @@ -751,37 +751,37 @@ L’ensemble B n’as pas de Maximum </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org22ac863" class="outline-4"> -<h4 id="org22ac863">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org22ac863"> +<div id="outline-container-org802547c" class="outline-4"> +<h4 id="org802547c">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org802547c"> <p> C = {3n ,n ∈ ℕ} </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org21834f8"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org21834f8"> +<li><a id="org9ce5bec"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9ce5bec"> <p> Inf(C) = 0 </p> </div> </li> -<li><a id="org9559808"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9559808"> +<li><a id="org9141711"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9141711"> <p> Sup(C) = +∞ </p> </div> </li> -<li><a id="org4a57e53"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org4a57e53"> +<li><a id="org9caa8ca"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9caa8ca"> <p> Min(C) = 0 </p> </div> </li> -<li><a id="org621b5ba"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org621b5ba"> +<li><a id="org0ad948c"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org0ad948c"> <p> L’ensemble C n’as pas de Maximum </p> @@ -789,37 +789,37 @@ L’ensemble C n’as pas de Maximum </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgfbcec21" class="outline-4"> -<h4 id="orgfbcec21">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfbcec21"> +<div id="outline-container-org1be7f79" class="outline-4"> +<h4 id="org1be7f79">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org1be7f79"> <p> D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*} </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orga8dbb3d"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga8dbb3d"> +<li><a id="org906a6df"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org906a6df"> <p> Inf(D)= 0 </p> </div> </li> -<li><a id="org17babcd"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org17babcd"> +<li><a id="orga274a2c"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga274a2c"> <p> Sup(D)= 1 </p> </div> </li> -<li><a id="orgbd6de63"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgbd6de63"> +<li><a id="org320ea71"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org320ea71"> <p> Min(D)= 0 </p> </div> </li> -<li><a id="org8c6ce24"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8c6ce24"> +<li><a id="org2a6a7cd"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2a6a7cd"> <p> L’ensemble D n’as pas de Maximum </p> @@ -827,9 +827,9 @@ L’ensemble D n’as pas de Maximum </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgffb8405" class="outline-4"> -<h4 id="orgffb8405">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgffb8405"> +<div id="outline-container-orge726053" class="outline-4"> +<h4 id="orge726053">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge726053"> <p> E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ } </p> @@ -850,8 +850,8 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ } </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org600d86b"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org600d86b"> +<li><a id="orgd28a45e"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgd28a45e"> <p> Inf(E) = Min(inf(F), inf(G)) </p> @@ -867,8 +867,8 @@ Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1 </p> </div> </li> -<li><a id="orgba6c1f0"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgba6c1f0"> +<li><a id="org68dffbe"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org68dffbe"> <p> Sup(E) = Max(sup(F), sup(G)) </p> @@ -884,15 +884,15 @@ sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞ </p> </div> </li> -<li><a id="orgc3c7881"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc3c7881"> +<li><a id="org9d1e747"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9d1e747"> <p> Min(E)= -1 </p> </div> </li> -<li><a id="org8d1ee35"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8d1ee35"> +<li><a id="org0245cc4"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org0245cc4"> <p> E n’as pas de maximum </p> @@ -901,20 +901,20 @@ E n’as pas de maximum </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org738c8ed" class="outline-3"> -<h3 id="org738c8ed">Exo 2 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org738c8ed"> +<div id="outline-container-orgdf3195e" class="outline-3"> +<h3 id="orgdf3195e">Exo 2 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgdf3195e"> </div> -<div id="outline-container-org3384f69" class="outline-4"> -<h4 id="org3384f69">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3384f69"> +<div id="outline-container-org66f216f" class="outline-4"> +<h4 id="org66f216f">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org66f216f"> <p> A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3} </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orge3c7b72"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orge3c7b72"> +<li><a id="orgbef5758"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgbef5758"> <p> <b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3 </p> @@ -922,16 +922,16 @@ A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3} </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgbbecb74" class="outline-4"> -<h4 id="orgbbecb74">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbbecb74"> +<div id="outline-container-orga1b96b2" class="outline-4"> +<h4 id="orga1b96b2">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga1b96b2"> <p> B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ; </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org563c4c7"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org563c4c7"> +<li><a id="org1de892f"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org1de892f"> <p> <b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b> </p> @@ -944,16 +944,16 @@ B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ; </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org9718c4a" class="outline-4"> -<h4 id="org9718c4a">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9718c4a"> +<div id="outline-container-org225674e" class="outline-4"> +<h4 id="org225674e">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org225674e"> <p> C = {x ∈ ℝ , x³ > 3} </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org7b5f08b"></a>Minoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7b5f08b"> +<li><a id="org69cad7e"></a>Minoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org69cad7e"> <p> <b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b> </p> @@ -961,16 +961,16 @@ C = {x ∈ ℝ , x³ > 3} </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org43e1433" class="outline-4"> -<h4 id="org43e1433">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org43e1433"> +<div id="outline-container-org06c1813" class="outline-4"> +<h4 id="org06c1813">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org06c1813"> <p> D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2} </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orga33ed32"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga33ed32"> +<li><a id="org00b7ccd"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org00b7ccd"> <p> <b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b> </p> @@ -983,16 +983,16 @@ D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2} </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org968305a" class="outline-4"> -<h4 id="org968305a">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org968305a"> +<div id="outline-container-org2b2fc87" class="outline-4"> +<h4 id="org2b2fc87">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2b2fc87"> <p> E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p} </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org43c7a7b"></a>Majoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org43c7a7b"> +<li><a id="orgb4ae1f9"></a>Majoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgb4ae1f9"> <p> p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b> </p> @@ -1001,16 +1001,16 @@ p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org034d6b3" class="outline-3"> -<h3 id="org034d6b3">Exo 3 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org034d6b3"> +<div id="outline-container-orgcbe32ea" class="outline-3"> +<h3 id="orgcbe32ea">Exo 3 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcbe32ea"> <p> U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1 </p> </div> -<div id="outline-container-org0e55fe7" class="outline-4"> -<h4 id="org0e55fe7">Question 1 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0e55fe7"> +<div id="outline-container-org67ea433" class="outline-4"> +<h4 id="org67ea433">Question 1 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org67ea433"> <p> Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 . </p> @@ -1026,8 +1026,8 @@ Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 . </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org354cb33"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org354cb33"> +<li><a id="org59f4b30"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org59f4b30"> <p> P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2 </p> @@ -1050,9 +1050,9 @@ On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgce11f0b" class="outline-4"> -<h4 id="orgce11f0b">Question 2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgce11f0b"> +<div id="outline-container-org8de82ec" class="outline-4"> +<h4 id="org8de82ec">Question 2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8de82ec"> <p> Montrer que (Un)n est strictement monotone : </p> @@ -1075,20 +1075,20 @@ On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en deho </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org0b95370" class="outline-2"> -<h2 id="org0b95370">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org0b95370"> +<div id="outline-container-orgf4235b5" class="outline-2"> +<h2 id="orgf4235b5">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgf4235b5"> </div> -<div id="outline-container-org37a71e2" class="outline-3"> -<h3 id="org37a71e2">Les suites convergentes</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org37a71e2"> +<div id="outline-container-org45ddd99" class="outline-3"> +<h3 id="org45ddd99">Les suites convergentes</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org45ddd99"> <p> Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l </p> </div> -<div id="outline-container-org4a6d045" class="outline-4"> -<h4 id="org4a6d045">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4a6d045"> +<div id="outline-container-org254e7d5" class="outline-4"> +<h4 id="org254e7d5">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org254e7d5"> <ol class="org-ol"> <li>Un est une suite convergente alors Un est bornee</li> <li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|</li> @@ -1105,19 +1105,141 @@ Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcd9ef0a" class="outline-3"> -<h3 id="orgcd9ef0a">Theoreme d’encadrement</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcd9ef0a"> +<div id="outline-container-orga5ad20c" class="outline-3"> +<h3 id="orga5ad20c">Theoreme d’encadrement</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orga5ad20c"> <p> Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l </p> </div> </div> +<div id="outline-container-org4c3bc49" class="outline-3"> +<h3 id="org4c3bc49">Suites arithmetiques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4c3bc49"> +<p> +Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite +</p> +</div> +<div id="outline-container-org804714b" class="outline-4"> +<h4 id="org804714b">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org804714b"> +<p> +<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgc7b0019" class="outline-4"> +<h4 id="orgc7b0019">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc7b0019"> +<p> +Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2 +</p> + + +<p> +Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie +</p> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org6cf3cdb" class="outline-3"> +<h3 id="org6cf3cdb">Suites géométriques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org6cf3cdb"> +</div> +<div id="outline-container-orgae97eae" class="outline-4"> +<h4 id="orgae97eae">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgae97eae"> +<p> +<b>Un = U0 x r^n</b> +</p> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org0771ee4" class="outline-4"> +<h4 id="org0771ee4">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0771ee4"> +<p> +n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r +</p> +</div> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org3edcca2" class="outline-2"> +<h2 id="org3edcca2">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org3edcca2"> +</div> +<div id="outline-container-org3722e54" class="outline-3"> +<h3 id="org3722e54">Suites adjacentes:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3722e54"> +<p> +Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si: +</p> +<ol class="org-ol"> +<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante</li> +<li>Un ≤ Vn</li> +<li>lim (Un - Vn) n->+∞ = 0</li> +</ol> +</div> +</div> +<div id="outline-container-org2f21a9f" class="outline-3"> +<h3 id="org2f21a9f">Suites extraites (sous-suites):</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2f21a9f"> +<p> +Soit (Un) une suite: +<i>/ +U: ℕ -—> ℝ +/</i> + n -—> Un +<i>/ +ϕ: ℕ -—> ℕ +/</i> + n -—> ϕn +// +(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite. +</p> +</div> +<div id="outline-container-orgf667d53" class="outline-4"> +<h4 id="orgf667d53">Remarques:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf667d53"> +<ol class="org-ol"> +<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.</li> +<li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.</li> +<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l</li> +</ol> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgcf99e48" class="outline-3"> +<h3 id="orgcf99e48">Suites de Cauchy:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcf99e48"> +<p> +(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; +// +∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε +</p> +</div> +<div id="outline-container-org2ee12ec" class="outline-4"> +<h4 id="org2ee12ec">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2ee12ec"> +<ol class="org-ol"> +<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente</li> +</ol> +</div> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orga83a358" class="outline-3"> +<h3 id="orga83a358">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orga83a358"> +<p> +On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée +</p> +</div> +</div> </div> </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-10-11 Wed 19:18</p> +<p class="date">Created: 2023-10-18 Wed 20:20</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file |