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diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index 88d06b1..c2c0a60 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -202,7 +202,7 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b La borne supérieure est le plus petit des majorants /Sup(E) = Borne supérieure/ *** Borne inférieure: -La borne inférieure est le plus grand des minorant /Inf(E) = Borne inférieure/ +La borne inférieure est le plus grand des minorant /Inf (E) = Borne inférieure/ *** Maximum : E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a. @@ -214,9 +214,9 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : 1. A ∪ B est borné 2. A ∩ B est borné 3. Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B) -4. Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B) +4. Inf (A ∩ B)= Min(inf A, inf B) 5. Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) /Le plus petit des Supérieur de A et B/ -6. Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) /Le plus grand des inférieur de A et B/ +6. Inf (A ∩ B)= Max(inf A, inf B) /Le plus grand des inférieur de A et B/ * 3rd cours :Les suites numériques /Oct 5/ : *** Définition : @@ -307,13 +307,13 @@ L'ensemble A n'as pas de maximum *** Ensemble B : B = [-1 , 3[ ∩ ℚ **** Borne inférieure : -Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ)) +Inf (B) = Max(inf ([-1 , 3[) , inf (ℚ)) Puisse que ℚ n'as pas de Borne inférieure, donc par convention c'est *-∞*, -*Inf(B) = -1* +*Inf (B) = -1* **** Borne supérieure : Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ)) @@ -333,7 +333,7 @@ L'ensemble B n'as pas de Maximum C = {3n ,n ∈ ℕ} **** Borne inférieure : -Inf(C) = 0 +Inf (C) = 0 **** Borne supérieure : Sup(C) = +∞ @@ -345,7 +345,7 @@ L'ensemble C n'as pas de Maximum *** Ensemble D : D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*} **** Borne inférieure : -Inf(D)= 0 +Inf (D)= 0 **** Borne supérieure : Sup(D)= 1 **** Minimum : @@ -366,13 +366,13 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ } *Donc E = F ∪ G* **** Borne inférieure : -Inf(E) = Min(inf(F), inf(G)) +Inf (E) = Min(inf (F), inf (G)) -Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1 +Inf (F) = 1 ; Inf (G) = -1 -*Inf(E)= -1* +*Inf (E)= -1* **** Borne supérieure : Sup(E) = Max(sup(F), sup(G)) @@ -391,22 +391,22 @@ E n'as pas de maximum A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3} **** Borné -*Oui*, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3 +*Oui*, Inf (A)= 0 ; Sup(A)=√3 *** Ensemble B : B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ; **** Borné -*∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2* +*∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf (B)= 1/2* *∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2* *** Ensemble C : C = {x ∈ ℝ , x³ > 3} **** Minoré -*∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3* +*∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf (C)= 3* *** Ensemble D : D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2} **** Borné -*∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0* +*∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf (C)= 0* *∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2* @@ -497,79 +497,78 @@ c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge ** Théorème de Bolzano Weirstrass: On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée * Chapitre 3 : Les limites et la continuité /Nov 14/ -#+BEGIN_VERSE ** Fonction réelle à variable réelle : -Soit f: I --> ℝ , I ⊂= ℝ - x --> f(x) +Soit f : I --> ℝ , I ⊂= ℝ + x --> f (x) *** L'ensemble de départ : L'ensemble de définition (Df) **** Propriétés: Soit f et g deux fonctions : f : I --> ℝ - x --> f(x) + x --> f (x) g : I --> ℝ x --> g(x) ***** 1) f+g (g+f): I --> ℝ - x --> (f+g)(x) = f(x) + g(x) + x --> (f+g)(x) = f (x) + g(x) ***** 2) λf ∀λ ∈ ℝ : λf : I --> ℝ - x --> (λf)(x) = λf(x) + x --> (λf)(x) = λf (x) ***** 3) f*g (f*g): I --> ℝ - x --> (f*g)(x) = f(x) x g(x) + x --> (f*g)(x) = f (x) x g(x) ***** 4) f/g f/g : I --> ℝ - x --> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0 + x --> f (x)/g(x) , g(x) ≠ 0 *** Les Limites : -f: I --> ℝ - x --> f(x) +f : I --> ℝ + x --> f (x) x_{0} ∈ I ; x_{0} extrémité de l'intervalle. - Lim_{x --> x_{0}} f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x_{0} -**** Lim_{x --> x_{0}} f(x) = l -=> |x - x_{0}| < ẟ , |f(x) - l| < ε + Lim_{x --> x_{0}} f (x) est a Limite de f (x) quand x tend vers x_{0} +**** Lim_{x --> x_{0}} f (x) = l +=> |x - x_{0}| < ẟ , |f (x) - l| < ε *** La continuité : -Soit f: I --> ℝ I = Df - x --> f(x) x_{0} ∈ I -f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f(x) = f(x_{0}) -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x_{0}| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x_{0})| < ε +Soit f : I --> ℝ I = Df + x --> f (x) x_{0} ∈ I +f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f (x) = f (x_{0}) +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x_{0}| < ẟ ⇒ |f (x) - f (x_{0})| < ε *** Prolongement par continuité : -Soit f: I/ {x_{0}} --> ℝ - x --> f(x) +Soit f : I/ {x_{0}} --> ℝ + x --> f (x) -Si lim_{x --> x_{0}} f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} +Si lim_{x --> x_{0}} f (x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} On défini : -f~ = f(x) si x ≠ x_{0} +f~ = f (x) si x ≠ x_{0} ET l si x = x_{0} f~ : I --> ℝ - x --> f(x) + x --> f (x) *** Théorème des valeurs intermédiaires : f : [a,b] --> ℝ Si f est continue sur [a,b] -Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x) +Alors ∀y ∈ f ([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f (x) 1. Si f est continue sur [a,b] -2. Si f(a) * f(b) < 0 -Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 +2. Si f (a) * f (b) < 0 +Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f (c) = 0 *** Fonction croissante : -f: I --> J +f : I --> J f est croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I - x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) ≤ f(x_{2}) + x_{1} < x_{2} ⇒ f (x_{1}) ≤ f (x_{2}) f est strictement croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I - x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) < f(x_{2}) + x_{1} < x_{2} ⇒ f (x_{1}) < f (x_{2}) Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée. *** Injection = Strictement monotonne : -f: I --> J -f est injective si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I , f(x_{1}) = f(x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} +f : I --> J +f est injective si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I , f (x_{1}) = f (x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} *** Surjection = Continuité : -f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x) +f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f (x) *** Bijection : Si f est injective et surjective, alors f est bijective f est bijective donc elle admet une bijection réciproque @@ -577,4 +576,4 @@ f est bijective donc elle admet une bijection réciproque Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective. f admet une bijection réciproque f{-1}. f{-1} a le même sens de variation que f. -#+END_VERSE + |