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diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index bed1c53..a6b130e 100644 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -194,6 +194,7 @@ Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b + *** Borne supérieure: La borne supérieure est le plus petit des majorants /Sup(E) = Borne supérieure/ @@ -204,3 +205,81 @@ La borne inférieure est le plus grand des minorants /Inf(E) = Borne inférieure E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a. *** Minimum : E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b. + +*** Remarques : +A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : +1. A ∪ B est borné +2. A ∩ B est borné +3. Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B) +4. Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B) +5. Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) /Le plus petit des Superieur de A et B/ +6. Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) /Le plus grand des inférieur de A et B/ + +* 3rd cours :Les suites numériques /Oct 5/ : +*** Définition : +Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ: + + +ℕ ----> ℝ + + +n ----> U(n) = Un + +1. (Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite +2. Un : terme général + +***** Exemple : +U : ℕ* ----> ℝ + + + n ----> 1/n + + + (Un) est une suite définée par Un = 1/n + +*** Définition N°2 : +On peut définir une suite â partir d'une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme. +***** Exemple : +U(n+1) = Un /2 + + +U(1)= 1 +** Opérations sur les suites : +*** La somme : +Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn +*** Le produit : +Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn +*** Inverse d'une suite : +Soit Un une suite de terme général Un alors l'inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un +*** Produit d'une suite par un scalaire : +Soit (Un) une suite de T.G Un + + +∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn + +** Suite bornée : +Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée +** Suite majorée : +Soit (Un) une suite + + +U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M + +** Suite minorée : +Soit (Un) une suite + + +U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M + +** Suites monotones : +*** Les suites croissantes : +Soit (Un)n est une suite + + +(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un + +*** Les suites décroissantes : +Soit (Un)n est une suite + + +(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un |