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diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index 6ee822b..1986e02 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-10-20 Fri 14:43 --> +<!-- 2023-11-01 Wed 20:10 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>Analyse 1</title> @@ -11,6 +11,7 @@ <meta name="generator" content="Org Mode" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/colors.css"/> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> +<link rel="icon" type="image/x-icon" href="https://crystal.tilde.institute/favicon.ico"> </head> <body> <div id="org-div-home-and-up"> @@ -23,176 +24,176 @@ <h2>Table of Contents</h2> <div id="text-table-of-contents" role="doc-toc"> <ul> -<li><a href="#orgbbf695d">Contenu de la Matiére</a> +<li><a href="#org69b61eb">Contenu de la Matiére</a> <ul> -<li><a href="#orgfb1fb3c">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> -<li><a href="#org0ead48d">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> -<li><a href="#orgcf68cd8">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> -<li><a href="#org977c86a">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> -<li><a href="#org5338719">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> +<li><a href="#org0a8600d">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> +<li><a href="#org85fd1b6">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> +<li><a href="#org0f00d84">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> +<li><a href="#org65466d0">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> +<li><a href="#org12481b8">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org7b52577">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> +<li><a href="#org3fc2976">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> <ul> -<li><a href="#org03a96e2">La loi de composition interne dans E :</a> +<li><a href="#org4e71cb9">La loi de composition interne dans E :</a> <ul> -<li><a href="#org31d808e"><b>Example : Addition</b></a></li> -<li><a href="#orge9c2b76"><b>Example : soustraction</b></a></li> +<li><a href="#orgbc38c17"><b>Example : Addition</b></a></li> +<li><a href="#org32a22fa"><b>Example : soustraction</b></a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org1300309">La loi de composition externe dans E :</a></li> -<li><a href="#org1e58f4a">Groupes :</a> +<li><a href="#org19f1c04">La loi de composition externe dans E :</a></li> +<li><a href="#org24ed87c">Groupes :</a> <ul> -<li><a href="#org48addf8">Il contiens un élement neutre</a></li> -<li><a href="#org992635c">Il contiens un élément symétrique</a></li> -<li><a href="#org5785863">@ est cummutative :</a></li> +<li><a href="#org8f69286">Il contiens un élement neutre</a></li> +<li><a href="#org6747a03">Il contiens un élément symétrique</a></li> +<li><a href="#org4bf37c2">@ est cummutative :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org4e02115">Anneaux :</a> +<li><a href="#orgd89b7dc">Anneaux :</a> <ul> -<li><a href="#org7b49b18">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> -<li><a href="#org9233885">! est une loi associative :</a></li> -<li><a href="#orgcd9cf0e">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> -<li><a href="#org23fc487">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> -<li><a href="#orge37cd6b">! est cummutative :</a></li> +<li><a href="#org0974b29">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> +<li><a href="#org9b00b5e">! est une loi associative :</a></li> +<li><a href="#org248e491">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> +<li><a href="#org6cbe38c">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> +<li><a href="#orgd1b5bee">! est cummutative :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org02e686e">Corps :</a> +<li><a href="#org7fdacd4">Corps :</a> <ul> -<li><a href="#org83ed39f">La symétrie :</a></li> +<li><a href="#org3853ce7">La symétrie :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org9ad193d">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> +<li><a href="#org3922e65">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> <ul> -<li><a href="#org782386d">Est-ce un Anneau ?</a></li> -<li><a href="#org6a25e48">Est-ce un corps ?</a></li> +<li><a href="#org13f7b7e">Est-ce un Anneau ?</a></li> +<li><a href="#org90e2795">Est-ce un corps ?</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org35d42a7">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> +<li><a href="#org76e7ef3">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> <ul> -<li><a href="#org2bb031b">L’ordre dans ℝ</a> +<li><a href="#org94449fa">L’ordre dans ℝ</a> <ul> -<li><a href="#org3a56f16">Exemples :</a></li> +<li><a href="#org17e010d">Exemples :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org3f6e272">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> +<li><a href="#orga26a211">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> <ul> -<li><a href="#orgd342339">Majorant:</a></li> -<li><a href="#orgd881ae1">Minorant:</a></li> -<li><a href="#orgc83a99b">Borne supérieure:</a></li> -<li><a href="#orgbcc0d6a">Borne inférieure:</a></li> -<li><a href="#org2a83472">Maximum :</a></li> -<li><a href="#orge89d5ca">Minimum :</a></li> -<li><a href="#orgfde2451">Remarques :</a></li> +<li><a href="#org3a04f81">Majorant:</a></li> +<li><a href="#org84bdb2d">Minorant:</a></li> +<li><a href="#orgcba58a3">Borne supérieure:</a></li> +<li><a href="#org38b79f1">Borne inférieure:</a></li> +<li><a href="#orgb36c17b">Maximum :</a></li> +<li><a href="#orgfe7719f">Minimum :</a></li> +<li><a href="#org15af67d">Remarques :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org765f929">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> +<li><a href="#org49b0544">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> <ul> <li> <ul> -<li><a href="#org68fffe8">Définition :</a></li> -<li><a href="#org47655c4">Définition N°2 :</a></li> +<li><a href="#org73b66a2">Définition :</a></li> +<li><a href="#org865ba25">Définition N°2 :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org4866a4e">Opérations sur les suites :</a> +<li><a href="#org67fae0d">Opérations sur les suites :</a> <ul> -<li><a href="#org71fa659">La somme :</a></li> -<li><a href="#orgb650686">Le produit :</a></li> -<li><a href="#org95147d2">Inverse d’une suite :</a></li> -<li><a href="#org47c3d7b">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> +<li><a href="#org6de1660">La somme :</a></li> +<li><a href="#orgda301a2">Le produit :</a></li> +<li><a href="#org92603b8">Inverse d’une suite :</a></li> +<li><a href="#org0e9a26c">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org6f19e22">Suite bornée :</a></li> -<li><a href="#org2d45f23">Suite majorée :</a></li> -<li><a href="#org238c341">Suite minorée :</a></li> -<li><a href="#org161b254">Suites monotones :</a> +<li><a href="#org5f93512">Suite bornée :</a></li> +<li><a href="#org940ba0d">Suite majorée :</a></li> +<li><a href="#org9f967d2">Suite minorée :</a></li> +<li><a href="#org8ff5480">Suites monotones :</a> <ul> -<li><a href="#org6ea1478">Les suites croissantes :</a></li> -<li><a href="#org4d4a6c4">Les suites décroissantes :</a></li> +<li><a href="#orgce608f3">Les suites croissantes :</a></li> +<li><a href="#orgb6caa62">Les suites décroissantes :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#orgf49f5ce">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> +<li><a href="#org5b5bade">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> <ul> -<li><a href="#org9041b8f">Exo 1 :</a> +<li><a href="#org16a2d89">Exo 1 :</a> <ul> -<li><a href="#orgd05f78f">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#orga53cc3b">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#org3953e45">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#org5bd662a">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#org71f85cb">Ensemble E :</a></li> +<li><a href="#org145fce2">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#org539689f">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#orgced67f0">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#orgedfa37a">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#org13b9ce0">Ensemble E :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org5e55c46">Exo 2 :</a> +<li><a href="#org227cd11">Exo 2 :</a> <ul> -<li><a href="#orgc6ae1c9">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#orgf7eccb2">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#orgbeddb63">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#org05e5cc7">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#org011ad53">Ensemble E :</a></li> +<li><a href="#org1c6a24b">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#org51c6bfc">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#org7accf6a">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#org4f20a91">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#org9a20270">Ensemble E :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org9c6a60f">Exo 3 :</a> +<li><a href="#orgae3b875">Exo 3 :</a> <ul> -<li><a href="#org687519a">Question 1 :</a></li> -<li><a href="#orge87653b">Question 2 :</a></li> +<li><a href="#org261f974">Question 1 :</a></li> +<li><a href="#orge6e1ce3">Question 2 :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org45e02ab">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> +<li><a href="#orge45c9b7">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> <ul> -<li><a href="#org13b3871">Les suites convergentes</a> +<li><a href="#org58b09d5">Les suites convergentes</a> <ul> -<li><a href="#orgf27c188">Remarque :</a></li> +<li><a href="#org820f474">Remarque :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org0901f91">Theoreme d’encadrement</a></li> -<li><a href="#org60b983d">Suites arithmetiques</a> +<li><a href="#orge043bff">Theoreme d’encadrement</a></li> +<li><a href="#org8460bc2">Suites arithmetiques</a> <ul> -<li><a href="#org34e4fd2">Forme general</a></li> -<li><a href="#org2635231">Somme des n premiers termes</a></li> +<li><a href="#org51b313a">Forme general</a></li> +<li><a href="#org63ac12f">Somme des n premiers termes</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgb0193c4">Suites géométriques</a> +<li><a href="#org24bc205">Suites géométriques</a> <ul> -<li><a href="#org25b609d">Forme general</a></li> -<li><a href="#orgd6e52f8">Somme des n premiers termes</a></li> +<li><a href="#orgc70d4f0">Forme general</a></li> +<li><a href="#org276a52e">Somme des n premiers termes</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org6be44bf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> +<li><a href="#orgb4ceb77">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> <ul> -<li><a href="#orgb8e4b97">Suites adjacentes:</a></li> -<li><a href="#org113db27">Suites extraites (sous-suites):</a> +<li><a href="#org5f6fa60">Suites adjacentes:</a></li> +<li><a href="#orgea8a031">Suites extraites (sous-suites):</a> <ul> -<li><a href="#org498c349">Remarques:</a></li> +<li><a href="#org0a4213f">Remarques:</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgbac81d6">Suites de Cauchy:</a> +<li><a href="#orgec23ceb">Suites de Cauchy:</a> <ul> -<li><a href="#org9e7596a">Remarque :</a></li> +<li><a href="#org04bdc9a">Remarque :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgf3c9f3b">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> +<li><a href="#orgc639b18">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> </ul> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbbf695d" class="outline-2"> -<h2 id="orgbbf695d">Contenu de la Matiére</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgbbf695d"> +<div id="outline-container-org69b61eb" class="outline-2"> +<h2 id="org69b61eb">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org69b61eb"> </div> -<div id="outline-container-orgfb1fb3c" class="outline-3"> -<h3 id="orgfb1fb3c">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgfb1fb3c"> +<div id="outline-container-org0a8600d" class="outline-3"> +<h3 id="org0a8600d">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org0a8600d"> <ul class="org-ul"> <li>Structure algébrique de ℝ<br /></li> <li>L’ordre dans ℝ<br /></li> @@ -200,9 +201,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org0ead48d" class="outline-3"> -<h3 id="org0ead48d">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org0ead48d"> +<div id="outline-container-org85fd1b6" class="outline-3"> +<h3 id="org85fd1b6">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org85fd1b6"> <ul class="org-ul"> <li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li> <li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li> @@ -210,9 +211,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcf68cd8" class="outline-3"> -<h3 id="orgcf68cd8">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcf68cd8"> +<div id="outline-container-org0f00d84" class="outline-3"> +<h3 id="org0f00d84">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org0f00d84"> <ul class="org-ul"> <li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li> <li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li> @@ -220,17 +221,17 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org977c86a" class="outline-3"> -<h3 id="org977c86a">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org977c86a"> +<div id="outline-container-org65466d0" class="outline-3"> +<h3 id="org65466d0">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org65466d0"> <ul class="org-ul"> <li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org5338719" class="outline-3"> -<h3 id="org5338719">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5338719"> +<div id="outline-container-org12481b8" class="outline-3"> +<h3 id="org12481b8">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org12481b8"> <ul class="org-ul"> <li>Comparaison asymptotique<br /></li> <li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li> @@ -241,13 +242,13 @@ </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org7b52577" class="outline-2"> -<h2 id="org7b52577">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org7b52577"> +<div id="outline-container-org3fc2976" class="outline-2"> +<h2 id="org3fc2976">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org3fc2976"> </div> -<div id="outline-container-org03a96e2" class="outline-3"> -<h3 id="org03a96e2">La loi de composition interne dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org03a96e2"> +<div id="outline-container-org4e71cb9" class="outline-3"> +<h3 id="org4e71cb9">La loi de composition interne dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4e71cb9"> <p> @ : E x E —> E<br /> (x,y) —> x @ y<br /> @@ -261,9 +262,9 @@ <b>∀ x,y ε E</b><br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org31d808e" class="outline-4"> -<h4 id="org31d808e"><b>Example : Addition</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org31d808e"> +<div id="outline-container-orgbc38c17" class="outline-4"> +<h4 id="orgbc38c17"><b>Example : Addition</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbc38c17"> <p> Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br /> </p> @@ -285,9 +286,9 @@ Donc : + est L.C.I dans ℕ<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge9c2b76" class="outline-4"> -<h4 id="orge9c2b76"><b>Example : soustraction</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge9c2b76"> +<div id="outline-container-org32a22fa" class="outline-4"> +<h4 id="org32a22fa"><b>Example : soustraction</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org32a22fa"> <p> Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </p> @@ -307,9 +308,9 @@ Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org1300309" class="outline-3"> -<h3 id="org1300309">La loi de composition externe dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1300309"> +<div id="outline-container-org19f1c04" class="outline-3"> +<h3 id="org19f1c04">La loi de composition externe dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org19f1c04"> <p> @ est L.C.E dans E, K est un corps<br /> </p> @@ -327,9 +328,9 @@ K x E —> E<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1e58f4a" class="outline-3"> -<h3 id="org1e58f4a">Groupes :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1e58f4a"> +<div id="outline-container-org24ed87c" class="outline-3"> +<h3 id="org24ed87c">Groupes :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org24ed87c"> <p> <i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br /> </p> @@ -338,9 +339,9 @@ K x E —> E<br /> (E, @) est un groupe Si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org48addf8" class="outline-4"> -<h4 id="org48addf8">Il contiens un élement neutre</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org48addf8"> +<div id="outline-container-org8f69286" class="outline-4"> +<h4 id="org8f69286">Il contiens un élement neutre</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8f69286"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br /> </p> @@ -358,9 +359,9 @@ On appelle <b>e</b> élement neutre<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org992635c" class="outline-4"> -<h4 id="org992635c">Il contiens un élément symétrique</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org992635c"> +<div id="outline-container-org6747a03" class="outline-4"> +<h4 id="org6747a03">Il contiens un élément symétrique</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6747a03"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br /> </p> @@ -382,9 +383,9 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org5785863" class="outline-4"> -<h4 id="org5785863">@ est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org5785863"> +<div id="outline-container-org4bf37c2" class="outline-4"> +<h4 id="org4bf37c2">@ est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4bf37c2"> <p> ∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br /> </p> @@ -395,19 +396,19 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org4e02115" class="outline-3"> -<h3 id="org4e02115">Anneaux :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4e02115"> +<div id="outline-container-orgd89b7dc" class="outline-3"> +<h3 id="orgd89b7dc">Anneaux :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgd89b7dc"> <p> Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org7b49b18" class="outline-4"> -<h4 id="org7b49b18">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> +<div id="outline-container-org0974b29" class="outline-4"> +<h4 id="org0974b29">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> </div> -<div id="outline-container-org9233885" class="outline-4"> -<h4 id="org9233885">! est une loi associative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9233885"> +<div id="outline-container-org9b00b5e" class="outline-4"> +<h4 id="org9b00b5e">! est une loi associative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9b00b5e"> <p> ∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> @@ -417,9 +418,9 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcd9cf0e" class="outline-4"> -<h4 id="orgcd9cf0e">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgcd9cf0e"> +<div id="outline-container-org248e491" class="outline-4"> +<h4 id="org248e491">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org248e491"> <p> ∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> @@ -429,33 +430,33 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org23fc487" class="outline-4"> -<h4 id="org23fc487">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org23fc487"> +<div id="outline-container-org6cbe38c" class="outline-4"> +<h4 id="org6cbe38c">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6cbe38c"> <p> ∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge37cd6b" class="outline-4"> -<h4 id="orge37cd6b">! est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge37cd6b"> +<div id="outline-container-orgd1b5bee" class="outline-4"> +<h4 id="orgd1b5bee">! est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd1b5bee"> <p> ∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org02e686e" class="outline-3"> -<h3 id="org02e686e">Corps :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org02e686e"> +<div id="outline-container-org7fdacd4" class="outline-3"> +<h3 id="org7fdacd4">Corps :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org7fdacd4"> <p> (E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org83ed39f" class="outline-4"> -<h4 id="org83ed39f">La symétrie :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org83ed39f"> +<div id="outline-container-org3853ce7" class="outline-4"> +<h4 id="org3853ce7">La symétrie :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3853ce7"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br /> </p> @@ -467,13 +468,13 @@ x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org9ad193d" class="outline-3"> -<h3 id="org9ad193d">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org9ad193d"> +<div id="outline-container-org3922e65" class="outline-3"> +<h3 id="org3922e65">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3922e65"> </div> -<div id="outline-container-org782386d" class="outline-4"> -<h4 id="org782386d">Est-ce un Anneau ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org782386d"> +<div id="outline-container-org13f7b7e" class="outline-4"> +<h4 id="org13f7b7e">Est-ce un Anneau ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org13f7b7e"> <ul class="org-ul"> <li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li> <li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li> @@ -487,9 +488,9 @@ Oui c’est un anneau<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org6a25e48" class="outline-4"> -<h4 id="org6a25e48">Est-ce un corps ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org6a25e48"> +<div id="outline-container-org90e2795" class="outline-4"> +<h4 id="org90e2795">Est-ce un corps ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org90e2795"> <ul class="org-ul"> <li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li> </ul> @@ -497,13 +498,13 @@ Oui c’est un anneau<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org35d42a7" class="outline-2"> -<h2 id="org35d42a7">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org35d42a7"> +<div id="outline-container-org76e7ef3" class="outline-2"> +<h2 id="org76e7ef3">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org76e7ef3"> </div> -<div id="outline-container-org2bb031b" class="outline-3"> -<h3 id="org2bb031b">L’ordre dans ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2bb031b"> +<div id="outline-container-org94449fa" class="outline-3"> +<h3 id="org94449fa">L’ordre dans ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org94449fa"> <p> (ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br /> </p> @@ -529,13 +530,13 @@ R est reflexive :<br /> ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li> </ol> </div> -<div id="outline-container-org3a56f16" class="outline-4"> -<h4 id="org3a56f16">Exemples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3a56f16"> +<div id="outline-container-org17e010d" class="outline-4"> +<h4 id="org17e010d">Exemples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org17e010d"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org9012b34"></a>Exemple numéro 1:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9012b34"> +<li><a id="org7ca8c24"></a>Exemple numéro 1:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7ca8c24"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> @@ -546,8 +547,8 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </p> </div> </li> -<li><a id="org1804403"></a>Exemple numéro 2:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org1804403"> +<li><a id="org2160b00"></a>Exemple numéro 2:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2160b00"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> @@ -562,13 +563,13 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org3f6e272" class="outline-3"> -<h3 id="org3f6e272">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3f6e272"> +<div id="outline-container-orga26a211" class="outline-3"> +<h3 id="orga26a211">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orga26a211"> </div> -<div id="outline-container-orgd342339" class="outline-4"> -<h4 id="orgd342339">Majorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd342339"> +<div id="outline-container-org3a04f81" class="outline-4"> +<h4 id="org3a04f81">Majorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3a04f81"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> @@ -579,9 +580,9 @@ Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd881ae1" class="outline-4"> -<h4 id="orgd881ae1">Minorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd881ae1"> +<div id="outline-container-org84bdb2d" class="outline-4"> +<h4 id="org84bdb2d">Minorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org84bdb2d"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> @@ -592,41 +593,41 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc83a99b" class="outline-4"> -<h4 id="orgc83a99b">Borne supérieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc83a99b"> +<div id="outline-container-orgcba58a3" class="outline-4"> +<h4 id="orgcba58a3">Borne supérieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgcba58a3"> <p> La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbcc0d6a" class="outline-4"> -<h4 id="orgbcc0d6a">Borne inférieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbcc0d6a"> +<div id="outline-container-org38b79f1" class="outline-4"> +<h4 id="org38b79f1">Borne inférieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org38b79f1"> <p> La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org2a83472" class="outline-4"> -<h4 id="org2a83472">Maximum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2a83472"> +<div id="outline-container-orgb36c17b" class="outline-4"> +<h4 id="orgb36c17b">Maximum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb36c17b"> <p> E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge89d5ca" class="outline-4"> -<h4 id="orge89d5ca">Minimum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge89d5ca"> +<div id="outline-container-orgfe7719f" class="outline-4"> +<h4 id="orgfe7719f">Minimum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfe7719f"> <p> E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfde2451" class="outline-4"> -<h4 id="orgfde2451">Remarques :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfde2451"> +<div id="outline-container-org15af67d" class="outline-4"> +<h4 id="org15af67d">Remarques :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org15af67d"> <p> A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> </p> @@ -642,13 +643,13 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org765f929" class="outline-2"> -<h2 id="org765f929">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org765f929"> +<div id="outline-container-org49b0544" class="outline-2"> +<h2 id="org49b0544">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org49b0544"> </div> -<div id="outline-container-org68fffe8" class="outline-4"> -<h4 id="org68fffe8">Définition :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org68fffe8"> +<div id="outline-container-org73b66a2" class="outline-4"> +<h4 id="org73b66a2">Définition :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org73b66a2"> <p> Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br /> </p> @@ -669,8 +670,8 @@ n -—> U(n) = Un<br /> </ol> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org9224e2b"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org9224e2b"> +<li><a id="orgba0d8c3"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgba0d8c3"> <p> U : ℕ* -—> ℝ<br /> </p> @@ -688,16 +689,16 @@ n -—> 1/n<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org47655c4" class="outline-4"> -<h4 id="org47655c4">Définition N°2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org47655c4"> +<div id="outline-container-org865ba25" class="outline-4"> +<h4 id="org865ba25">Définition N°2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org865ba25"> <p> On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgf7302b5"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgf7302b5"> +<li><a id="org0758a65"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org0758a65"> <p> U(n+1) = Un /2<br /> </p> @@ -710,37 +711,37 @@ U(1)= 1<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org4866a4e" class="outline-3"> -<h3 id="org4866a4e">Opérations sur les suites :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4866a4e"> +<div id="outline-container-org67fae0d" class="outline-3"> +<h3 id="org67fae0d">Opérations sur les suites :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org67fae0d"> </div> -<div id="outline-container-org71fa659" class="outline-4"> -<h4 id="org71fa659">La somme :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org71fa659"> +<div id="outline-container-org6de1660" class="outline-4"> +<h4 id="org6de1660">La somme :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6de1660"> <p> Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb650686" class="outline-4"> -<h4 id="orgb650686">Le produit :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb650686"> +<div id="outline-container-orgda301a2" class="outline-4"> +<h4 id="orgda301a2">Le produit :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgda301a2"> <p> Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org95147d2" class="outline-4"> -<h4 id="org95147d2">Inverse d’une suite :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org95147d2"> +<div id="outline-container-org92603b8" class="outline-4"> +<h4 id="org92603b8">Inverse d’une suite :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org92603b8"> <p> Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org47c3d7b" class="outline-4"> -<h4 id="org47c3d7b">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org47c3d7b"> +<div id="outline-container-org0e9a26c" class="outline-4"> +<h4 id="org0e9a26c">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0e9a26c"> <p> Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </p> @@ -752,17 +753,17 @@ Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org6f19e22" class="outline-3"> -<h3 id="org6f19e22">Suite bornée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org6f19e22"> +<div id="outline-container-org5f93512" class="outline-3"> +<h3 id="org5f93512">Suite bornée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5f93512"> <p> Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org2d45f23" class="outline-3"> -<h3 id="org2d45f23">Suite majorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2d45f23"> +<div id="outline-container-org940ba0d" class="outline-3"> +<h3 id="org940ba0d">Suite majorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org940ba0d"> <p> Soit (Un) une suite<br /> </p> @@ -773,9 +774,9 @@ U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<b </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org238c341" class="outline-3"> -<h3 id="org238c341">Suite minorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org238c341"> +<div id="outline-container-org9f967d2" class="outline-3"> +<h3 id="org9f967d2">Suite minorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9f967d2"> <p> Soit (Un) une suite<br /> </p> @@ -786,13 +787,13 @@ U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<b </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org161b254" class="outline-3"> -<h3 id="org161b254">Suites monotones :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org161b254"> +<div id="outline-container-org8ff5480" class="outline-3"> +<h3 id="org8ff5480">Suites monotones :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org8ff5480"> </div> -<div id="outline-container-org6ea1478" class="outline-4"> -<h4 id="org6ea1478">Les suites croissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org6ea1478"> +<div id="outline-container-orgce608f3" class="outline-4"> +<h4 id="orgce608f3">Les suites croissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgce608f3"> <p> Soit (Un)n est une suite<br /> </p> @@ -803,9 +804,9 @@ Soit (Un)n est une suite<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4d4a6c4" class="outline-4"> -<h4 id="org4d4a6c4">Les suites décroissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4d4a6c4"> +<div id="outline-container-orgb6caa62" class="outline-4"> +<h4 id="orgb6caa62">Les suites décroissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb6caa62"> <p> Soit (Un)n est une suite<br /> </p> @@ -818,45 +819,45 @@ Soit (Un)n est une suite<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf49f5ce" class="outline-2"> -<h2 id="orgf49f5ce">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgf49f5ce"> +<div id="outline-container-org5b5bade" class="outline-2"> +<h2 id="org5b5bade">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org5b5bade"> </div> -<div id="outline-container-org9041b8f" class="outline-3"> -<h3 id="org9041b8f">Exo 1 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org9041b8f"> +<div id="outline-container-org16a2d89" class="outline-3"> +<h3 id="org16a2d89">Exo 1 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org16a2d89"> </div> -<div id="outline-container-orgd05f78f" class="outline-4"> -<h4 id="orgd05f78f">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd05f78f"> +<div id="outline-container-org145fce2" class="outline-4"> +<h4 id="org145fce2">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org145fce2"> <p> A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org05ec3df"></a>Borne inférieure<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org05ec3df"> +<li><a id="orgf6179c5"></a>Borne inférieure<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf6179c5"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgae8cbac"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgae8cbac"> +<li><a id="orgae45bd6"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgae45bd6"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orga840fb9"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga840fb9"> +<li><a id="orgc7c3433"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc7c3433"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org314e7af"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org314e7af"> +<li><a id="orgab09e1c"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgab09e1c"> <p> L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </p> @@ -864,16 +865,16 @@ L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orga53cc3b" class="outline-4"> -<h4 id="orga53cc3b">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga53cc3b"> +<div id="outline-container-org539689f" class="outline-4"> +<h4 id="org539689f">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org539689f"> <p> B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org5a17877"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org5a17877"> +<li><a id="org3a27e85"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org3a27e85"> <p> Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))<br /> </p> @@ -889,8 +890,8 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’ </p> </div> </li> -<li><a id="org334a74a"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org334a74a"> +<li><a id="org1097baa"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org1097baa"> <p> Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br /> </p> @@ -906,15 +907,15 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’ </p> </div> </li> -<li><a id="org06ffe94"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org06ffe94"> +<li><a id="org7a5b8da"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7a5b8da"> <p> <b>Min(B) = -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org52c9233"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org52c9233"> +<li><a id="orgc128e50"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc128e50"> <p> L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -922,37 +923,37 @@ L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org3953e45" class="outline-4"> -<h4 id="org3953e45">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3953e45"> +<div id="outline-container-orgced67f0" class="outline-4"> +<h4 id="orgced67f0">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgced67f0"> <p> C = {3n ,n ∈ ℕ}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org61ee644"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org61ee644"> +<li><a id="org6f16567"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org6f16567"> <p> Inf(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgc54b253"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc54b253"> +<li><a id="org6dbd187"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org6dbd187"> <p> Sup(C) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org94ac2bd"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org94ac2bd"> +<li><a id="org70a65e5"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org70a65e5"> <p> Min(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org753fbce"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org753fbce"> +<li><a id="org74ee981"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org74ee981"> <p> L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -960,37 +961,37 @@ L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org5bd662a" class="outline-4"> -<h4 id="org5bd662a">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org5bd662a"> +<div id="outline-container-orgedfa37a" class="outline-4"> +<h4 id="orgedfa37a">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgedfa37a"> <p> D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgeda7d30"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgeda7d30"> +<li><a id="org31ef9ff"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org31ef9ff"> <p> Inf(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org24fd992"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org24fd992"> +<li><a id="orga51cdcd"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga51cdcd"> <p> Sup(D)= 1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org4e2f953"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org4e2f953"> +<li><a id="org4a49ba3"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org4a49ba3"> <p> Min(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org284f936"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org284f936"> +<li><a id="org840590a"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org840590a"> <p> L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -998,9 +999,9 @@ L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org71f85cb" class="outline-4"> -<h4 id="org71f85cb">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org71f85cb"> +<div id="outline-container-org13b9ce0" class="outline-4"> +<h4 id="org13b9ce0">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org13b9ce0"> <p> E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> @@ -1021,8 +1022,8 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgcd9e1fa"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgcd9e1fa"> +<li><a id="org526aea5"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org526aea5"> <p> Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))<br /> </p> @@ -1038,8 +1039,8 @@ Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgcd2d59d"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgcd2d59d"> +<li><a id="org64c7de8"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org64c7de8"> <p> Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br /> </p> @@ -1055,15 +1056,15 @@ sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgc05d4fe"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc05d4fe"> +<li><a id="org2fc9819"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2fc9819"> <p> Min(E)= -1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgc819f92"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc819f92"> +<li><a id="org34b0670"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org34b0670"> <p> E n’as pas de maximum<br /> </p> @@ -1072,20 +1073,20 @@ E n’as pas de maximum<br /> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org5e55c46" class="outline-3"> -<h3 id="org5e55c46">Exo 2 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5e55c46"> +<div id="outline-container-org227cd11" class="outline-3"> +<h3 id="org227cd11">Exo 2 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org227cd11"> </div> -<div id="outline-container-orgc6ae1c9" class="outline-4"> -<h4 id="orgc6ae1c9">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc6ae1c9"> +<div id="outline-container-org1c6a24b" class="outline-4"> +<h4 id="org1c6a24b">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org1c6a24b"> <p> A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org3b04e5b"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org3b04e5b"> +<li><a id="orga3775a6"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga3775a6"> <p> <b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3<br /> </p> @@ -1093,16 +1094,16 @@ A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgf7eccb2" class="outline-4"> -<h4 id="orgf7eccb2">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf7eccb2"> +<div id="outline-container-org51c6bfc" class="outline-4"> +<h4 id="org51c6bfc">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org51c6bfc"> <p> B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgf895b3f"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf895b3f"> +<li><a id="orgba6c8c3"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgba6c8c3"> <p> <b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b><br /> </p> @@ -1115,16 +1116,16 @@ B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgbeddb63" class="outline-4"> -<h4 id="orgbeddb63">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbeddb63"> +<div id="outline-container-org7accf6a" class="outline-4"> +<h4 id="org7accf6a">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org7accf6a"> <p> C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orga2d87af"></a>Minoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga2d87af"> +<li><a id="orgf7f441a"></a>Minoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf7f441a"> <p> <b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b><br /> </p> @@ -1132,16 +1133,16 @@ C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org05e5cc7" class="outline-4"> -<h4 id="org05e5cc7">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org05e5cc7"> +<div id="outline-container-org4f20a91" class="outline-4"> +<h4 id="org4f20a91">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4f20a91"> <p> D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgf3bd221"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf3bd221"> +<li><a id="orgf68d2c2"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf68d2c2"> <p> <b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b><br /> </p> @@ -1154,16 +1155,16 @@ D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org011ad53" class="outline-4"> -<h4 id="org011ad53">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org011ad53"> +<div id="outline-container-org9a20270" class="outline-4"> +<h4 id="org9a20270">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9a20270"> <p> E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org9d823e4"></a>Majoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9d823e4"> +<li><a id="org1e6a8bc"></a>Majoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org1e6a8bc"> <p> p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </p> @@ -1172,16 +1173,16 @@ p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org9c6a60f" class="outline-3"> -<h3 id="org9c6a60f">Exo 3 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org9c6a60f"> +<div id="outline-container-orgae3b875" class="outline-3"> +<h3 id="orgae3b875">Exo 3 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgae3b875"> <p> U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org687519a" class="outline-4"> -<h4 id="org687519a">Question 1 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org687519a"> +<div id="outline-container-org261f974" class="outline-4"> +<h4 id="org261f974">Question 1 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org261f974"> <p> Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> @@ -1197,8 +1198,8 @@ Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org7a21400"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7a21400"> +<li><a id="org59c26c1"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org59c26c1"> <p> P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br /> </p> @@ -1221,9 +1222,9 @@ On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orge87653b" class="outline-4"> -<h4 id="orge87653b">Question 2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge87653b"> +<div id="outline-container-orge6e1ce3" class="outline-4"> +<h4 id="orge6e1ce3">Question 2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge6e1ce3"> <p> Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br /> </p> @@ -1246,20 +1247,20 @@ On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en deho </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org45e02ab" class="outline-2"> -<h2 id="org45e02ab">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org45e02ab"> +<div id="outline-container-orge45c9b7" class="outline-2"> +<h2 id="orge45c9b7">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orge45c9b7"> </div> -<div id="outline-container-org13b3871" class="outline-3"> -<h3 id="org13b3871">Les suites convergentes</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org13b3871"> +<div id="outline-container-org58b09d5" class="outline-3"> +<h3 id="org58b09d5">Les suites convergentes</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org58b09d5"> <p> Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgf27c188" class="outline-4"> -<h4 id="orgf27c188">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf27c188"> +<div id="outline-container-org820f474" class="outline-4"> +<h4 id="org820f474">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org820f474"> <ol class="org-ol"> <li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li> <li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li> @@ -1276,32 +1277,32 @@ Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org0901f91" class="outline-3"> -<h3 id="org0901f91">Theoreme d’encadrement</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org0901f91"> +<div id="outline-container-orge043bff" class="outline-3"> +<h3 id="orge043bff">Theoreme d’encadrement</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orge043bff"> <p> Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org60b983d" class="outline-3"> -<h3 id="org60b983d">Suites arithmetiques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org60b983d"> +<div id="outline-container-org8460bc2" class="outline-3"> +<h3 id="org8460bc2">Suites arithmetiques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org8460bc2"> <p> Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org34e4fd2" class="outline-4"> -<h4 id="org34e4fd2">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org34e4fd2"> +<div id="outline-container-org51b313a" class="outline-4"> +<h4 id="org51b313a">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org51b313a"> <p> <b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org2635231" class="outline-4"> -<h4 id="org2635231">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2635231"> +<div id="outline-container-org63ac12f" class="outline-4"> +<h4 id="org63ac12f">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org63ac12f"> <p> Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br /> </p> @@ -1313,21 +1314,21 @@ Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb0193c4" class="outline-3"> -<h3 id="orgb0193c4">Suites géométriques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb0193c4"> +<div id="outline-container-org24bc205" class="outline-3"> +<h3 id="org24bc205">Suites géométriques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org24bc205"> </div> -<div id="outline-container-org25b609d" class="outline-4"> -<h4 id="org25b609d">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org25b609d"> +<div id="outline-container-orgc70d4f0" class="outline-4"> +<h4 id="orgc70d4f0">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc70d4f0"> <p> <b>Un = U0 x r^n</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd6e52f8" class="outline-4"> -<h4 id="orgd6e52f8">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd6e52f8"> +<div id="outline-container-org276a52e" class="outline-4"> +<h4 id="org276a52e">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org276a52e"> <p> n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </p> @@ -1335,13 +1336,13 @@ n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org6be44bf" class="outline-2"> -<h2 id="org6be44bf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org6be44bf"> +<div id="outline-container-orgb4ceb77" class="outline-2"> +<h2 id="orgb4ceb77">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgb4ceb77"> </div> -<div id="outline-container-orgb8e4b97" class="outline-3"> -<h3 id="orgb8e4b97">Suites adjacentes:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb8e4b97"> +<div id="outline-container-org5f6fa60" class="outline-3"> +<h3 id="org5f6fa60">Suites adjacentes:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5f6fa60"> <p> Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </p> @@ -1352,16 +1353,16 @@ Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </ol> </div> </div> -<div id="outline-container-org113db27" class="outline-3"> -<h3 id="org113db27">Suites extraites (sous-suites):</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org113db27"> +<div id="outline-container-orgea8a031" class="outline-3"> +<h3 id="orgea8a031">Suites extraites (sous-suites):</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgea8a031"> <p> Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org498c349" class="outline-4"> -<h4 id="org498c349">Remarques:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org498c349"> +<div id="outline-container-org0a4213f" class="outline-4"> +<h4 id="org0a4213f">Remarques:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org0a4213f"> <ol class="org-ol"> <li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li> <li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li> @@ -1370,25 +1371,25 @@ Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ - </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbac81d6" class="outline-3"> -<h3 id="orgbac81d6">Suites de Cauchy:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbac81d6"> +<div id="outline-container-orgec23ceb" class="outline-3"> +<h3 id="orgec23ceb">Suites de Cauchy:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgec23ceb"> <p> (Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org9e7596a" class="outline-4"> -<h4 id="org9e7596a">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9e7596a"> +<div id="outline-container-org04bdc9a" class="outline-4"> +<h4 id="org04bdc9a">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org04bdc9a"> <ol class="org-ol"> <li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf3c9f3b" class="outline-3"> -<h3 id="orgf3c9f3b">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgf3c9f3b"> +<div id="outline-container-orgc639b18" class="outline-3"> +<h3 id="orgc639b18">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgc639b18"> <p> On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br /> </p> @@ -1398,7 +1399,7 @@ On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br /> </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-10-20 Fri 14:43</p> +<p class="date">Created: 2023-11-01 Wed 20:10</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file |