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diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index 158fb05..6ee822b 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-10-18 Wed 20:20 --> +<!-- 2023-10-20 Fri 14:43 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>Analyse 1</title> @@ -13,1225 +13,1384 @@ <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../src/css/style.css"/> </head> <body> -<div id="content" class="content"> +<div id="org-div-home-and-up"> + <a accesskey="h" href="../../../uni_notes/"> UP </a> + | + <a accesskey="H" href="https://crystal.tilde.institute/"> HOME </a> +</div><div id="content" class="content"> <h1 class="title">Analyse 1</h1> -<div id="outline-container-orge183e28" class="outline-2"> -<h2 id="orge183e28">Contenu de la Matiére</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orge183e28"> +<div id="table-of-contents" role="doc-toc"> +<h2>Table of Contents</h2> +<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc"> +<ul> +<li><a href="#orgbbf695d">Contenu de la Matiére</a> +<ul> +<li><a href="#orgfb1fb3c">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> +<li><a href="#org0ead48d">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> +<li><a href="#orgcf68cd8">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> +<li><a href="#org977c86a">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> +<li><a href="#org5338719">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org7b52577">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> +<ul> +<li><a href="#org03a96e2">La loi de composition interne dans E :</a> +<ul> +<li><a href="#org31d808e"><b>Example : Addition</b></a></li> +<li><a href="#orge9c2b76"><b>Example : soustraction</b></a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org1300309">La loi de composition externe dans E :</a></li> +<li><a href="#org1e58f4a">Groupes :</a> +<ul> +<li><a href="#org48addf8">Il contiens un élement neutre</a></li> +<li><a href="#org992635c">Il contiens un élément symétrique</a></li> +<li><a href="#org5785863">@ est cummutative :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org4e02115">Anneaux :</a> +<ul> +<li><a href="#org7b49b18">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> +<li><a href="#org9233885">! est une loi associative :</a></li> +<li><a href="#orgcd9cf0e">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> +<li><a href="#org23fc487">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> +<li><a href="#orge37cd6b">! est cummutative :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org02e686e">Corps :</a> +<ul> +<li><a href="#org83ed39f">La symétrie :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org9ad193d">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> +<ul> +<li><a href="#org782386d">Est-ce un Anneau ?</a></li> +<li><a href="#org6a25e48">Est-ce un corps ?</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org35d42a7">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> +<ul> +<li><a href="#org2bb031b">L’ordre dans ℝ</a> +<ul> +<li><a href="#org3a56f16">Exemples :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org3f6e272">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> +<ul> +<li><a href="#orgd342339">Majorant:</a></li> +<li><a href="#orgd881ae1">Minorant:</a></li> +<li><a href="#orgc83a99b">Borne supérieure:</a></li> +<li><a href="#orgbcc0d6a">Borne inférieure:</a></li> +<li><a href="#org2a83472">Maximum :</a></li> +<li><a href="#orge89d5ca">Minimum :</a></li> +<li><a href="#orgfde2451">Remarques :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org765f929">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> +<ul> +<li> +<ul> +<li><a href="#org68fffe8">Définition :</a></li> +<li><a href="#org47655c4">Définition N°2 :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org4866a4e">Opérations sur les suites :</a> +<ul> +<li><a href="#org71fa659">La somme :</a></li> +<li><a href="#orgb650686">Le produit :</a></li> +<li><a href="#org95147d2">Inverse d’une suite :</a></li> +<li><a href="#org47c3d7b">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org6f19e22">Suite bornée :</a></li> +<li><a href="#org2d45f23">Suite majorée :</a></li> +<li><a href="#org238c341">Suite minorée :</a></li> +<li><a href="#org161b254">Suites monotones :</a> +<ul> +<li><a href="#org6ea1478">Les suites croissantes :</a></li> +<li><a href="#org4d4a6c4">Les suites décroissantes :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgf49f5ce">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> +<ul> +<li><a href="#org9041b8f">Exo 1 :</a> +<ul> +<li><a href="#orgd05f78f">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#orga53cc3b">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#org3953e45">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#org5bd662a">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#org71f85cb">Ensemble E :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org5e55c46">Exo 2 :</a> +<ul> +<li><a href="#orgc6ae1c9">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#orgf7eccb2">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#orgbeddb63">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#org05e5cc7">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#org011ad53">Ensemble E :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org9c6a60f">Exo 3 :</a> +<ul> +<li><a href="#org687519a">Question 1 :</a></li> +<li><a href="#orge87653b">Question 2 :</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org45e02ab">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> +<ul> +<li><a href="#org13b3871">Les suites convergentes</a> +<ul> +<li><a href="#orgf27c188">Remarque :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org0901f91">Theoreme d’encadrement</a></li> +<li><a href="#org60b983d">Suites arithmetiques</a> +<ul> +<li><a href="#org34e4fd2">Forme general</a></li> +<li><a href="#org2635231">Somme des n premiers termes</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgb0193c4">Suites géométriques</a> +<ul> +<li><a href="#org25b609d">Forme general</a></li> +<li><a href="#orgd6e52f8">Somme des n premiers termes</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</li> +<li><a href="#org6be44bf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> +<ul> +<li><a href="#orgb8e4b97">Suites adjacentes:</a></li> +<li><a href="#org113db27">Suites extraites (sous-suites):</a> +<ul> +<li><a href="#org498c349">Remarques:</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgbac81d6">Suites de Cauchy:</a> +<ul> +<li><a href="#org9e7596a">Remarque :</a></li> +</ul> +</li> +<li><a href="#orgf3c9f3b">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> +</ul> +</li> +</ul> +</div> +</div> +<div id="outline-container-orgbbf695d" class="outline-2"> +<h2 id="orgbbf695d">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgbbf695d"> </div> -<div id="outline-container-org75fdd62" class="outline-3"> -<h3 id="org75fdd62">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org75fdd62"> +<div id="outline-container-orgfb1fb3c" class="outline-3"> +<h3 id="orgfb1fb3c">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgfb1fb3c"> <ul class="org-ul"> -<li>Structure algébrique de ℝ</li> -<li>L’ordre dans ℝ</li> -<li>Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure</li> +<li>Structure algébrique de ℝ<br /></li> +<li>L’ordre dans ℝ<br /></li> +<li>Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcf244f5" class="outline-3"> -<h3 id="orgcf244f5">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcf244f5"> +<div id="outline-container-org0ead48d" class="outline-3"> +<h3 id="org0ead48d">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org0ead48d"> <ul class="org-ul"> -<li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes</li> -<li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies</li> -<li>Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes</li> +<li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li> +<li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li> +<li>Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org3a6e95a" class="outline-3"> -<h3 id="org3a6e95a">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3a6e95a"> +<div id="outline-container-orgcf68cd8" class="outline-3"> +<h3 id="orgcf68cd8">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcf68cd8"> <ul class="org-ul"> -<li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées</li> -<li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux</li> -<li>La continuité informe les fonctions Lepchitziennes</li> +<li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li> +<li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li> +<li>La continuité informe les fonctions Lepchitziennes<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org62905ef" class="outline-3"> -<h3 id="org62905ef">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org62905ef"> +<div id="outline-container-org977c86a" class="outline-3"> +<h3 id="org977c86a">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org977c86a"> <ul class="org-ul"> -<li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor</li> +<li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org179b9bd" class="outline-3"> -<h3 id="org179b9bd">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org179b9bd"> +<div id="outline-container-org5338719" class="outline-3"> +<h3 id="org5338719">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5338719"> <ul class="org-ul"> -<li>Comparaison asymptotique</li> -<li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes</li> -<li>Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L</li> -<li>Généralisations des D.L</li> -<li>Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies</li> +<li>Comparaison asymptotique<br /></li> +<li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li> +<li>Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L<br /></li> +<li>Généralisations des D.L<br /></li> +<li>Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies<br /></li> </ul> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org06afb93" class="outline-2"> -<h2 id="org06afb93">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org06afb93"> +<div id="outline-container-org7b52577" class="outline-2"> +<h2 id="org7b52577">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org7b52577"> </div> -<div id="outline-container-org83efa3f" class="outline-3"> -<h3 id="org83efa3f">La loi de composition interne dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org83efa3f"> +<div id="outline-container-org03a96e2" class="outline-3"> +<h3 id="org03a96e2">La loi de composition interne dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org03a96e2"> <p> -@ : E x E —> E - (x,y) —> x @ y +@ : E x E —> E<br /> + (x,y) —> x @ y<br /> </p> <p> -@ est une lois de composition interne seulement si : +@ est une lois de composition interne seulement si :<br /> </p> <p> -<b>∀ x,y ε E</b> +<b>∀ x,y ε E</b><br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org34e1589" class="outline-4"> -<h4 id="org34e1589"><b>Example : Addition</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org34e1589"> +<div id="outline-container-org31d808e" class="outline-4"> +<h4 id="org31d808e"><b>Example : Addition</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org31d808e"> <p> -Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ? +Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br /> </p> <p> -ℕ x ℕ —> ℕ +ℕ x ℕ —> ℕ<br /> </p> <p> -(x,y) —> x + y ? <i>En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne <b>n’importe quel</b> chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ</i> +(x,y) —> x + y ? <i>En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne <b>n’importe quel</b> chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ</i><br /> </p> <p> -∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ <i>En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ</i> +∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ <i>En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ</i><br /> </p> <p> -Donc : + est L.C.I dans ℕ +Donc : + est L.C.I dans ℕ<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orga5170c1" class="outline-4"> -<h4 id="orga5170c1"><b>Example : soustraction</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga5170c1"> +<div id="outline-container-orge9c2b76" class="outline-4"> +<h4 id="orge9c2b76"><b>Example : soustraction</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge9c2b76"> <p> -Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ? +Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </p> <p> -ℕ x ℕ —> ℕ +ℕ x ℕ —> ℕ<br /> </p> <p> -(x,y) —> x - y ? +(x,y) —> x - y ?<br /> </p> <p> -∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ <i>En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est <b>PAS</b> dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ</i> +∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ <i>En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est <b>PAS</b> dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ</i><br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbb8eb3a" class="outline-3"> -<h3 id="orgbb8eb3a">La loi de composition externe dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbb8eb3a"> +<div id="outline-container-org1300309" class="outline-3"> +<h3 id="org1300309">La loi de composition externe dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1300309"> <p> -@ est L.C.E dans E, K est un corps +@ est L.C.E dans E, K est un corps<br /> </p> <p> -K x E —> E +K x E —> E<br /> </p> <p> -(a,x) —> a @ x +(a,x) —> a @ x<br /> </p> <p> -∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E +∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org5272600" class="outline-3"> -<h3 id="org5272600">Groupes :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5272600"> +<div id="outline-container-org1e58f4a" class="outline-3"> +<h3 id="org1e58f4a">Groupes :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1e58f4a"> <p> -<i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i> +<i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br /> </p> <p> -(E, @) est un groupe Si : +(E, @) est un groupe Si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org60264f8" class="outline-4"> -<h4 id="org60264f8">Il contiens un élement neutre</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org60264f8"> +<div id="outline-container-org48addf8" class="outline-4"> +<h4 id="org48addf8">Il contiens un élement neutre</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org48addf8"> <p> -∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E +∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br /> </p> <p> -x @ e = e @ x = x +x @ e = e @ x = x<br /> </p> <p> -On appelle <b>e</b> élement neutre +On appelle <b>e</b> élement neutre<br /> </p> <p> -<i>Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition</i> +<i>Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfc7c944" class="outline-4"> -<h4 id="orgfc7c944">Il contiens un élément symétrique</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfc7c944"> +<div id="outline-container-org992635c" class="outline-4"> +<h4 id="org992635c">Il contiens un élément symétrique</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org992635c"> <p> -∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e +∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br /> </p> <p> -On appelle <b>x’</b> élèment symétrique +On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </p> <p> -<i>Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:</i> +<i>Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:</i><br /> </p> <p> -<i>x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’</i> +<i>x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’</i><br /> </p> <p> -<b>Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs</b> +<b>Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org295b0ad" class="outline-4"> -<h4 id="org295b0ad">@ est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org295b0ad"> +<div id="outline-container-org5785863" class="outline-4"> +<h4 id="org5785863">@ est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org5785863"> <p> -∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x +∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br /> </p> <p> -<i>L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents</i> +<i>L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents</i><br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org16e85f4" class="outline-3"> -<h3 id="org16e85f4">Anneaux :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org16e85f4"> +<div id="outline-container-org4e02115" class="outline-3"> +<h3 id="org4e02115">Anneaux :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4e02115"> <p> -Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si : +Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org4f41a3e" class="outline-4"> -<h4 id="org4f41a3e">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> +<div id="outline-container-org7b49b18" class="outline-4"> +<h4 id="org7b49b18">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> </div> -<div id="outline-container-orgcd878d3" class="outline-4"> -<h4 id="orgcd878d3">! est une loi associative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgcd878d3"> +<div id="outline-container-org9233885" class="outline-4"> +<h4 id="org9233885">! est une loi associative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9233885"> <p> -∀ x , y , z ∈ E +∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> <p> -(x ! y) ! z = x ! (y ! z) +(x ! y) ! z = x ! (y ! z)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfdc3283" class="outline-4"> -<h4 id="orgfdc3283">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfdc3283"> +<div id="outline-container-orgcd9cf0e" class="outline-4"> +<h4 id="orgcd9cf0e">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgcd9cf0e"> <p> -∀ x , y , z ∈ E +∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> <p> -(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z ) +(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org81e790a" class="outline-4"> -<h4 id="org81e790a">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org81e790a"> +<div id="outline-container-org23fc487" class="outline-4"> +<h4 id="org23fc487">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org23fc487"> <p> -∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x +∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc47d01f" class="outline-4"> -<h4 id="orgc47d01f">! est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc47d01f"> +<div id="outline-container-orge37cd6b" class="outline-4"> +<h4 id="orge37cd6b">! est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge37cd6b"> <p> -∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x +∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcb42d27" class="outline-3"> -<h3 id="orgcb42d27">Corps :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcb42d27"> +<div id="outline-container-org02e686e" class="outline-3"> +<h3 id="org02e686e">Corps :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org02e686e"> <p> -(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition : +(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgda38e92" class="outline-4"> -<h4 id="orgda38e92">La symétrie :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgda38e92"> +<div id="outline-container-org83ed39f" class="outline-4"> +<h4 id="org83ed39f">La symétrie :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org83ed39f"> <p> -∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e +∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br /> </p> <p> -x’ est l’élément symétrique de x par rapport à ! -(sauf élément neutre première lois ) +x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br /> +(sauf élément neutre première lois )<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgaaaeb75" class="outline-3"> -<h3 id="orgaaaeb75">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgaaaeb75"> +<div id="outline-container-org9ad193d" class="outline-3"> +<h3 id="org9ad193d">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9ad193d"> </div> -<div id="outline-container-org7b08192" class="outline-4"> -<h4 id="org7b08192">Est-ce un Anneau ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7b08192"> +<div id="outline-container-org782386d" class="outline-4"> +<h4 id="org782386d">Est-ce un Anneau ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org782386d"> <ul class="org-ul"> -<li>(ℝ, +) est un groupe commutatif</li> -<li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)</li> -<li>On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)</li> -<li>Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a</li> -<li>La multiplication est commutative : a x b = b x a</li> +<li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li> +<li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li> +<li>On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)<br /></li> +<li>Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a<br /></li> +<li>La multiplication est commutative : a x b = b x a<br /></li> </ul> <p> -Oui c’est un anneau +Oui c’est un anneau<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org48407c7" class="outline-4"> -<h4 id="org48407c7">Est-ce un corps ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org48407c7"> +<div id="outline-container-org6a25e48" class="outline-4"> +<h4 id="org6a25e48">Est-ce un corps ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6a25e48"> <ul class="org-ul"> -<li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1</li> +<li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li> </ul> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgda25d9d" class="outline-2"> -<h2 id="orgda25d9d">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgda25d9d"> +<div id="outline-container-org35d42a7" class="outline-2"> +<h2 id="org35d42a7">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org35d42a7"> </div> -<div id="outline-container-org4e80ec3" class="outline-3"> -<h3 id="org4e80ec3">L’ordre dans ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4e80ec3"> +<div id="outline-container-org2bb031b" class="outline-3"> +<h3 id="org2bb031b">L’ordre dans ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2bb031b"> <p> -(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si : +(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br /> </p> <ol class="org-ol"> <li><p> -R est antisymétrique : +R est antisymétrique :<br /> </p> <p> -∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y) +∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)<br /> </p></li> <li><p> -R est reflexive : +R est reflexive :<br /> </p> <p> -∀ x ∈ ℝ ; x R x +∀ x ∈ ℝ ; x R x<br /> </p></li> -<li>R est transitive : -∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z</li> +<li>R est transitive :<br /> +∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li> </ol> </div> -<div id="outline-container-org093cc99" class="outline-4"> -<h4 id="org093cc99">Exemples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org093cc99"> +<div id="outline-container-org3a56f16" class="outline-4"> +<h4 id="org3a56f16">Exemples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3a56f16"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgaae6cc3"></a>Exemple numéro 1:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgaae6cc3"> +<li><a id="org9012b34"></a>Exemple numéro 1:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9012b34"> <p> -(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ? +(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> <p> -Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b><b>is obviously false</b></b> +Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b><b>is obviously false</b></b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org5abd4e2"></a>Exemple numéro 2:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org5abd4e2"> +<li><a id="org1804403"></a>Exemple numéro 2:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org1804403"> <p> -(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ? +(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true</li> -<li>(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true</li> -<li>(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true</li> +<li>(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true<br /></li> +<li>(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true<br /></li> +<li>(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true<br /></li> </ol> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgd51e0fe" class="outline-3"> -<h3 id="orgd51e0fe">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgd51e0fe"> +<div id="outline-container-org3f6e272" class="outline-3"> +<h3 id="org3f6e272">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org3f6e272"> </div> -<div id="outline-container-orgd3a8a46" class="outline-4"> -<h4 id="orgd3a8a46">Majorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd3a8a46"> +<div id="outline-container-orgd342339" class="outline-4"> +<h4 id="orgd342339">Majorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd342339"> <p> -Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) +Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> <p> -Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a +Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org2f70f76" class="outline-4"> -<h4 id="org2f70f76">Minorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2f70f76"> +<div id="outline-container-orgd881ae1" class="outline-4"> +<h4 id="orgd881ae1">Minorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd881ae1"> <p> -Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ) +Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> <p> -Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b +Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgec5932c" class="outline-4"> -<h4 id="orgec5932c">Borne supérieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgec5932c"> +<div id="outline-container-orgc83a99b" class="outline-4"> +<h4 id="orgc83a99b">Borne supérieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc83a99b"> <p> -La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i> +La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org557a049" class="outline-4"> -<h4 id="org557a049">Borne inférieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org557a049"> +<div id="outline-container-orgbcc0d6a" class="outline-4"> +<h4 id="orgbcc0d6a">Borne inférieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbcc0d6a"> <p> -La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i> +La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org44a1e6f" class="outline-4"> -<h4 id="org44a1e6f">Maximum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org44a1e6f"> +<div id="outline-container-org2a83472" class="outline-4"> +<h4 id="org2a83472">Maximum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2a83472"> <p> -E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a. +E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org8212c6f" class="outline-4"> -<h4 id="org8212c6f">Minimum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8212c6f"> +<div id="outline-container-orge89d5ca" class="outline-4"> +<h4 id="orge89d5ca">Minimum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge89d5ca"> <p> -E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b. +E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc1f190f" class="outline-4"> -<h4 id="orgc1f190f">Remarques :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc1f190f"> +<div id="outline-container-orgfde2451" class="outline-4"> +<h4 id="orgfde2451">Remarques :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfde2451"> <p> -A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : +A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>A ∪ B est borné</li> -<li>A ∩ B est borné</li> -<li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)</li> -<li>Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)</li> -<li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i></li> -<li>Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i></li> +<li>A ∪ B est borné<br /></li> +<li>A ∩ B est borné<br /></li> +<li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)<br /></li> +<li>Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)<br /></li> +<li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i><br /></li> +<li>Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i><br /></li> </ol> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org5e6bac0" class="outline-2"> -<h2 id="org5e6bac0">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org5e6bac0"> +<div id="outline-container-org765f929" class="outline-2"> +<h2 id="org765f929">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org765f929"> </div> -<div id="outline-container-org4576609" class="outline-4"> -<h4 id="org4576609">Définition :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4576609"> +<div id="outline-container-org68fffe8" class="outline-4"> +<h4 id="org68fffe8">Définition :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org68fffe8"> <p> -Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ: +Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br /> </p> <p> -ℕ -—> ℝ +ℕ -—> ℝ<br /> </p> <p> -n -—> U(n) = Un +n -—> U(n) = Un<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite</li> -<li>Un : terme général</li> +<li>(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite<br /></li> +<li>Un : terme général<br /></li> </ol> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org2974480"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org2974480"> +<li><a id="org9224e2b"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org9224e2b"> <p> -U : ℕ* -—> ℝ +U : ℕ* -—> ℝ<br /> </p> <p> -n -—> 1/n +n -—> 1/n<br /> </p> <p> -(Un) est une suite définit par Un = 1/n +(Un) est une suite définit par Un = 1/n<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org1b2bc25" class="outline-4"> -<h4 id="org1b2bc25">Définition N°2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1b2bc25"> +<div id="outline-container-org47655c4" class="outline-4"> +<h4 id="org47655c4">Définition N°2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org47655c4"> <p> -On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme. +On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org3df976a"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org3df976a"> +<li><a id="orgf7302b5"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgf7302b5"> <p> -U(n+1) = Un /2 +U(n+1) = Un /2<br /> </p> <p> -U(1)= 1 +U(1)= 1<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org3a7a057" class="outline-3"> -<h3 id="org3a7a057">Opérations sur les suites :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3a7a057"> +<div id="outline-container-org4866a4e" class="outline-3"> +<h3 id="org4866a4e">Opérations sur les suites :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4866a4e"> </div> -<div id="outline-container-orgb2c866b" class="outline-4"> -<h4 id="orgb2c866b">La somme :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb2c866b"> +<div id="outline-container-org71fa659" class="outline-4"> +<h4 id="org71fa659">La somme :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org71fa659"> <p> -Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn +Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgea9f4ff" class="outline-4"> -<h4 id="orgea9f4ff">Le produit :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgea9f4ff"> +<div id="outline-container-orgb650686" class="outline-4"> +<h4 id="orgb650686">Le produit :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb650686"> <p> -Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn +Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org3d885f7" class="outline-4"> -<h4 id="org3d885f7">Inverse d’une suite :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3d885f7"> +<div id="outline-container-org95147d2" class="outline-4"> +<h4 id="org95147d2">Inverse d’une suite :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org95147d2"> <p> -Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un +Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb08b6d3" class="outline-4"> -<h4 id="orgb08b6d3">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb08b6d3"> +<div id="outline-container-org47c3d7b" class="outline-4"> +<h4 id="org47c3d7b">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org47c3d7b"> <p> -Soit (Un) une suite de T.G Un +Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </p> <p> -∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn +∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org1263651" class="outline-3"> -<h3 id="org1263651">Suite bornée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1263651"> +<div id="outline-container-org6f19e22" class="outline-3"> +<h3 id="org6f19e22">Suite bornée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org6f19e22"> <p> -Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée +Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org1675132" class="outline-3"> -<h3 id="org1675132">Suite majorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org1675132"> +<div id="outline-container-org2d45f23" class="outline-3"> +<h3 id="org2d45f23">Suite majorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2d45f23"> <p> -Soit (Un) une suite +Soit (Un) une suite<br /> </p> <p> -U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M +U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org87968e2" class="outline-3"> -<h3 id="org87968e2">Suite minorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org87968e2"> +<div id="outline-container-org238c341" class="outline-3"> +<h3 id="org238c341">Suite minorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org238c341"> <p> -Soit (Un) une suite +Soit (Un) une suite<br /> </p> <p> -U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M +U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc488475" class="outline-3"> -<h3 id="orgc488475">Suites monotones :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgc488475"> +<div id="outline-container-org161b254" class="outline-3"> +<h3 id="org161b254">Suites monotones :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org161b254"> </div> -<div id="outline-container-org2cc0b18" class="outline-4"> -<h4 id="org2cc0b18">Les suites croissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2cc0b18"> +<div id="outline-container-org6ea1478" class="outline-4"> +<h4 id="org6ea1478">Les suites croissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6ea1478"> <p> -Soit (Un)n est une suite +Soit (Un)n est une suite<br /> </p> <p> -(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un +(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org18bee3a" class="outline-4"> -<h4 id="org18bee3a">Les suites décroissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org18bee3a"> +<div id="outline-container-org4d4a6c4" class="outline-4"> +<h4 id="org4d4a6c4">Les suites décroissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4d4a6c4"> <p> -Soit (Un)n est une suite +Soit (Un)n est une suite<br /> </p> <p> -(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un +(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org4db9108" class="outline-2"> -<h2 id="org4db9108">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org4db9108"> +<div id="outline-container-orgf49f5ce" class="outline-2"> +<h2 id="orgf49f5ce">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgf49f5ce"> </div> -<div id="outline-container-org287eb0f" class="outline-3"> -<h3 id="org287eb0f">Exo 1 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org287eb0f"> +<div id="outline-container-org9041b8f" class="outline-3"> +<h3 id="org9041b8f">Exo 1 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9041b8f"> </div> -<div id="outline-container-orge2a122f" class="outline-4"> -<h4 id="orge2a122f">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge2a122f"> +<div id="outline-container-orgd05f78f" class="outline-4"> +<h4 id="orgd05f78f">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd05f78f"> <p> -A = {-1/n , n ∈ ℕ *} +A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org8380185"></a>Borne inférieure<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8380185"> +<li><a id="org05ec3df"></a>Borne inférieure<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org05ec3df"> <p> -∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org3306faf"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org3306faf"> +<li><a id="orgae8cbac"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgae8cbac"> <p> -∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgb6214c1"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgb6214c1"> +<li><a id="orga840fb9"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga840fb9"> <p> -∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A +∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org1181aa7"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org1181aa7"> +<li><a id="org314e7af"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org314e7af"> <p> -L’ensemble A n’as pas de maximum +L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgbb9e801" class="outline-4"> -<h4 id="orgbb9e801">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbb9e801"> +<div id="outline-container-orga53cc3b" class="outline-4"> +<h4 id="orga53cc3b">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga53cc3b"> <p> -B = [-1 , 3[ ∩ ℚ +B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org0cd302c"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0cd302c"> +<li><a id="org5a17877"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org5a17877"> <p> -Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ)) +Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))<br /> </p> <p> -Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est <b>-∞</b>, +Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est <b>-∞</b>,<br /> </p> <p> -<b>Inf(B) = -1</b> +<b>Inf(B) = -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org7ae05e0"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7ae05e0"> +<li><a id="org334a74a"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org334a74a"> <p> -Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ)) +Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br /> </p> <p> -Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est <b>+∞</b>, +Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est <b>+∞</b>,<br /> </p> <p> -<b>Sup(B) = 3</b> +<b>Sup(B) = 3</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org9cd2734"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9cd2734"> +<li><a id="org06ffe94"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org06ffe94"> <p> -<b>Min(B) = -1</b> +<b>Min(B) = -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org03c30da"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org03c30da"> +<li><a id="org52c9233"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org52c9233"> <p> -L’ensemble B n’as pas de Maximum +L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org802547c" class="outline-4"> -<h4 id="org802547c">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org802547c"> +<div id="outline-container-org3953e45" class="outline-4"> +<h4 id="org3953e45">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3953e45"> <p> -C = {3n ,n ∈ ℕ} +C = {3n ,n ∈ ℕ}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org9ce5bec"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9ce5bec"> +<li><a id="org61ee644"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org61ee644"> <p> -Inf(C) = 0 +Inf(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org9141711"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9141711"> +<li><a id="orgc54b253"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc54b253"> <p> -Sup(C) = +∞ +Sup(C) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org9caa8ca"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9caa8ca"> +<li><a id="org94ac2bd"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org94ac2bd"> <p> -Min(C) = 0 +Min(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org0ad948c"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0ad948c"> +<li><a id="org753fbce"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org753fbce"> <p> -L’ensemble C n’as pas de Maximum +L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org1be7f79" class="outline-4"> -<h4 id="org1be7f79">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1be7f79"> +<div id="outline-container-org5bd662a" class="outline-4"> +<h4 id="org5bd662a">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org5bd662a"> <p> -D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*} +D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org906a6df"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org906a6df"> +<li><a id="orgeda7d30"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgeda7d30"> <p> -Inf(D)= 0 +Inf(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orga274a2c"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orga274a2c"> +<li><a id="org24fd992"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org24fd992"> <p> -Sup(D)= 1 +Sup(D)= 1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org320ea71"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org320ea71"> +<li><a id="org4e2f953"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org4e2f953"> <p> -Min(D)= 0 +Min(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org2a6a7cd"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org2a6a7cd"> +<li><a id="org284f936"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org284f936"> <p> -L’ensemble D n’as pas de Maximum +L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orge726053" class="outline-4"> -<h4 id="orge726053">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge726053"> +<div id="outline-container-org71f85cb" class="outline-4"> +<h4 id="org71f85cb">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org71f85cb"> <p> -E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ } +E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> <p> -<b>Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair</b> +<b>Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair</b><br /> </p> <p> -<b>On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}</b> +<b>On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}</b><br /> </p> <p> -<b>Donc E = F ∪ G</b> +<b>Donc E = F ∪ G</b><br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgd28a45e"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgd28a45e"> +<li><a id="orgcd9e1fa"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgcd9e1fa"> <p> -Inf(E) = Min(inf(F), inf(G)) +Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))<br /> </p> <p> -Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1 +Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1<br /> </p> <p> -<b>Inf(E)= -1</b> +<b>Inf(E)= -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org68dffbe"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org68dffbe"> +<li><a id="orgcd2d59d"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgcd2d59d"> <p> -Sup(E) = Max(sup(F), sup(G)) +Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br /> </p> <p> -sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞ +sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br /> </p> <p> -<b>Sup(E)= +∞</b> +<b>Sup(E)= +∞</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org9d1e747"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org9d1e747"> +<li><a id="orgc05d4fe"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc05d4fe"> <p> -Min(E)= -1 +Min(E)= -1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org0245cc4"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0245cc4"> +<li><a id="orgc819f92"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgc819f92"> <p> -E n’as pas de maximum +E n’as pas de maximum<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgdf3195e" class="outline-3"> -<h3 id="orgdf3195e">Exo 2 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgdf3195e"> +<div id="outline-container-org5e55c46" class="outline-3"> +<h3 id="org5e55c46">Exo 2 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5e55c46"> </div> -<div id="outline-container-org66f216f" class="outline-4"> -<h4 id="org66f216f">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org66f216f"> +<div id="outline-container-orgc6ae1c9" class="outline-4"> +<h4 id="orgc6ae1c9">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc6ae1c9"> <p> -A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3} +A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgbef5758"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgbef5758"> +<li><a id="org3b04e5b"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org3b04e5b"> <p> -<b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3 +<b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orga1b96b2" class="outline-4"> -<h4 id="orga1b96b2">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga1b96b2"> +<div id="outline-container-orgf7eccb2" class="outline-4"> +<h4 id="orgf7eccb2">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf7eccb2"> <p> -B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ; +B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org1de892f"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org1de892f"> +<li><a id="orgf895b3f"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf895b3f"> <p> -<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b> +<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b><br /> </p> <p> -<b>∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2</b> +<b>∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org225674e" class="outline-4"> -<h4 id="org225674e">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org225674e"> +<div id="outline-container-orgbeddb63" class="outline-4"> +<h4 id="orgbeddb63">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgbeddb63"> <p> -C = {x ∈ ℝ , x³ > 3} +C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org69cad7e"></a>Minoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org69cad7e"> +<li><a id="orga2d87af"></a>Minoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orga2d87af"> <p> -<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b> +<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org06c1813" class="outline-4"> -<h4 id="org06c1813">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org06c1813"> +<div id="outline-container-org05e5cc7" class="outline-4"> +<h4 id="org05e5cc7">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org05e5cc7"> <p> -D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2} +D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org00b7ccd"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org00b7ccd"> +<li><a id="orgf3bd221"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf3bd221"> <p> -<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b> +<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b><br /> </p> <p> -<b>∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2</b> +<b>∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org2b2fc87" class="outline-4"> -<h4 id="org2b2fc87">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2b2fc87"> +<div id="outline-container-org011ad53" class="outline-4"> +<h4 id="org011ad53">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org011ad53"> <p> -E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p} +E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgb4ae1f9"></a>Majoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgb4ae1f9"> +<li><a id="org9d823e4"></a>Majoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9d823e4"> <p> -p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b> +p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcbe32ea" class="outline-3"> -<h3 id="orgcbe32ea">Exo 3 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcbe32ea"> +<div id="outline-container-org9c6a60f" class="outline-3"> +<h3 id="org9c6a60f">Exo 3 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9c6a60f"> <p> -U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1 +U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org67ea433" class="outline-4"> -<h4 id="org67ea433">Question 1 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org67ea433"> +<div id="outline-container-org687519a" class="outline-4"> +<h4 id="org687519a">Question 1 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org687519a"> <p> -Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 . +Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> <p> -<b>(Un - 1)² ≥ 0 <i>Parce que c’est un carré</i></b> +<b>(Un - 1)² ≥ 0 <i>Parce que c’est un carré</i></b><br /> </p> <p> -<b>(Un - 1)² + 1 > 1</b> ; <b>U(n+1) ≥ 1</b> +<b>(Un - 1)² + 1 > 1</b> ; <b>U(n+1) ≥ 1</b><br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org59f4b30"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org59f4b30"> +<li><a id="org7a21400"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org7a21400"> <p> -P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2 +P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br /> </p> <p> -P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2 +P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2<br /> </p> <p> -On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction +On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br /> </p> <p> -1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; <b>1 < U(n+1) < 2</b> Donc elle est correcte +1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; <b>1 < U(n+1) < 2</b> Donc elle est correcte<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org8de82ec" class="outline-4"> -<h4 id="org8de82ec">Question 2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8de82ec"> +<div id="outline-container-orge87653b" class="outline-4"> +<h4 id="orge87653b">Question 2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge87653b"> <p> -Montrer que (Un)n est strictement monotone : +Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br /> </p> <p> -<b>U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2</b> +<b>U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2</b><br /> </p> <p> -On étudie <b>Un² - 3Un + 2</b> sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, <b>Δ = 1</b> , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2 +On étudie <b>Un² - 3Un + 2</b> sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, <b>Δ = 1</b> , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2<br /> </p> <p> -On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc <b>∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un</b> Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante +On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc <b>∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un</b> Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf4235b5" class="outline-2"> -<h2 id="orgf4235b5">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgf4235b5"> +<div id="outline-container-org45e02ab" class="outline-2"> +<h2 id="org45e02ab">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org45e02ab"> </div> -<div id="outline-container-org45ddd99" class="outline-3"> -<h3 id="org45ddd99">Les suites convergentes</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org45ddd99"> +<div id="outline-container-org13b3871" class="outline-3"> +<h3 id="org13b3871">Les suites convergentes</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org13b3871"> <p> -Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l +Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org254e7d5" class="outline-4"> -<h4 id="org254e7d5">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org254e7d5"> +<div id="outline-container-orgf27c188" class="outline-4"> +<h4 id="orgf27c188">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf27c188"> <ol class="org-ol"> -<li>Un est une suite convergente alors Un est bornee</li> -<li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|</li> -<li>Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge</li> -<li>Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge</li> -<li>Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors +<li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li> +<li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li> +<li>Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge<br /></li> +<li>Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge<br /></li> +<li>Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors<br /> <ol class="org-ol"> -<li>Un + Vn est convergente</li> -<li>Un * Vn est convergente</li> -<li>∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge</li> +<li>Un + Vn est convergente<br /></li> +<li>Un * Vn est convergente<br /></li> +<li>∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge<br /></li> </ol></li> -<li>Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0</li> +<li>Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orga5ad20c" class="outline-3"> -<h3 id="orga5ad20c">Theoreme d’encadrement</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orga5ad20c"> +<div id="outline-container-org0901f91" class="outline-3"> +<h3 id="org0901f91">Theoreme d’encadrement</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org0901f91"> <p> -Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l +Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4c3bc49" class="outline-3"> -<h3 id="org4c3bc49">Suites arithmetiques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4c3bc49"> +<div id="outline-container-org60b983d" class="outline-3"> +<h3 id="org60b983d">Suites arithmetiques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org60b983d"> <p> -Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite +Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org804714b" class="outline-4"> -<h4 id="org804714b">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org804714b"> +<div id="outline-container-org34e4fd2" class="outline-4"> +<h4 id="org34e4fd2">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org34e4fd2"> <p> -<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b> +<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc7b0019" class="outline-4"> -<h4 id="orgc7b0019">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc7b0019"> +<div id="outline-container-org2635231" class="outline-4"> +<h4 id="org2635231">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2635231"> <p> -Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2 +Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br /> </p> <p> -Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie +Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org6cf3cdb" class="outline-3"> -<h3 id="org6cf3cdb">Suites géométriques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org6cf3cdb"> +<div id="outline-container-orgb0193c4" class="outline-3"> +<h3 id="orgb0193c4">Suites géométriques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb0193c4"> </div> -<div id="outline-container-orgae97eae" class="outline-4"> -<h4 id="orgae97eae">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgae97eae"> +<div id="outline-container-org25b609d" class="outline-4"> +<h4 id="org25b609d">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org25b609d"> <p> -<b>Un = U0 x r^n</b> +<b>Un = U0 x r^n</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org0771ee4" class="outline-4"> -<h4 id="org0771ee4">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0771ee4"> +<div id="outline-container-orgd6e52f8" class="outline-4"> +<h4 id="orgd6e52f8">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd6e52f8"> <p> -n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r +n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </p> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org3edcca2" class="outline-2"> -<h2 id="org3edcca2">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org3edcca2"> +<div id="outline-container-org6be44bf" class="outline-2"> +<h2 id="org6be44bf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org6be44bf"> </div> -<div id="outline-container-org3722e54" class="outline-3"> -<h3 id="org3722e54">Suites adjacentes:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3722e54"> +<div id="outline-container-orgb8e4b97" class="outline-3"> +<h3 id="orgb8e4b97">Suites adjacentes:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb8e4b97"> <p> -Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si: +Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </p> <ol class="org-ol"> -<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante</li> -<li>Un ≤ Vn</li> -<li>lim (Un - Vn) n->+∞ = 0</li> +<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante<br /></li> +<li>Un ≤ Vn<br /></li> +<li>lim (Un - Vn) n->+∞ = 0<br /></li> </ol> </div> </div> -<div id="outline-container-org2f21a9f" class="outline-3"> -<h3 id="org2f21a9f">Suites extraites (sous-suites):</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2f21a9f"> +<div id="outline-container-org113db27" class="outline-3"> +<h3 id="org113db27">Suites extraites (sous-suites):</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org113db27"> <p> -Soit (Un) une suite: -<i>/ -U: ℕ -—> ℝ -/</i> - n -—> Un -<i>/ -ϕ: ℕ -—> ℕ -/</i> - n -—> ϕn -// -(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite. +Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgf667d53" class="outline-4"> -<h4 id="orgf667d53">Remarques:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf667d53"> +<div id="outline-container-org498c349" class="outline-4"> +<h4 id="org498c349">Remarques:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org498c349"> <ol class="org-ol"> -<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.</li> -<li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.</li> -<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l</li> +<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li> +<li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li> +<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgcf99e48" class="outline-3"> -<h3 id="orgcf99e48">Suites de Cauchy:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcf99e48"> +<div id="outline-container-orgbac81d6" class="outline-3"> +<h3 id="orgbac81d6">Suites de Cauchy:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgbac81d6"> <p> -(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; -// -∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε +(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org2ee12ec" class="outline-4"> -<h4 id="org2ee12ec">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2ee12ec"> +<div id="outline-container-org9e7596a" class="outline-4"> +<h4 id="org9e7596a">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9e7596a"> <ol class="org-ol"> -<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente</li> +<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orga83a358" class="outline-3"> -<h3 id="orga83a358">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orga83a358"> +<div id="outline-container-orgf3c9f3b" class="outline-3"> +<h3 id="orgf3c9f3b">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgf3c9f3b"> <p> -On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée +On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br /> </p> </div> </div> @@ -1239,7 +1398,7 @@ On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-10-18 Wed 20:20</p> +<p class="date">Created: 2023-10-20 Fri 14:43</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file |