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<title>Analyse 1</title>
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<h1 class="title">Analyse 1</h1>
<div id="table-of-contents" role="doc-toc">
<h2>Table of Contents</h2>
<div id="text-table-of-contents" role="doc-toc">
<ul>
<li><a href="#org96a1915">Contenu de la Matiére</a>
<ul>
<li><a href="#org92a5c1e">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li>
<li><a href="#org43abd6f">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li>
<li><a href="#orgb7dbd4d">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li>
<li><a href="#orgb39022d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li>
<li><a href="#orgbfa8dc6">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org0e8210e">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a>
<ul>
<li><a href="#org4b5ef0e">La loi de composition interne dans E :</a>
<ul>
<li><a href="#org26ad93c"><b>Example : Addition</b></a></li>
<li><a href="#org716f99d"><b>Example : soustraction</b></a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgcd239ec">La loi de composition externe dans E :</a></li>
<li><a href="#org6aa8256">Groupes :</a>
<ul>
<li><a href="#org3a88117">Il contiens un élement neutre</a></li>
<li><a href="#orgf17cd87">Il contiens un élément symétrique</a></li>
<li><a href="#org541a8aa">@ est cummutative :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org325ac76">Anneaux :</a>
<ul>
<li><a href="#orgb12d61b">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li>
<li><a href="#org2f6c910">! est une loi associative :</a></li>
<li><a href="#org288714a">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li>
<li><a href="#org92b8438">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li>
<li><a href="#org12cac33">! est cummutative :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgbdac47c">Corps :</a>
<ul>
<li><a href="#orgea3147a">La symétrie :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org012a6fe">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a>
<ul>
<li><a href="#org0934303">Est-ce un Anneau ?</a></li>
<li><a href="#orgb7020c8">Est-ce un corps ?</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgabdfea2">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a>
<ul>
<li><a href="#org30b59ae">L’ordre dans ℝ</a>
<ul>
<li><a href="#org86a0035">Exemples :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org43ad665">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a>
<ul>
<li><a href="#orgb6fd133">Majorant:</a></li>
<li><a href="#org186a70c">Minorant:</a></li>
<li><a href="#org64b766d">Borne supérieure:</a></li>
<li><a href="#org11d4c50">Borne inférieure:</a></li>
<li><a href="#orge205f5a">Maximum :</a></li>
<li><a href="#org1afad1e">Minimum :</a></li>
<li><a href="#orge3a6538">Remarques :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org286c633">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a>
<ul>
<li>
<ul>
<li><a href="#org2a95022">Définition :</a></li>
<li><a href="#org1bec8d7">Définition N°2 :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgf0c88cd">Opérations sur les suites :</a>
<ul>
<li><a href="#org2163510">La somme :</a></li>
<li><a href="#org1ec5af6">Le produit :</a></li>
<li><a href="#orgbdb350d">Inverse d’une suite :</a></li>
<li><a href="#orge5cf6d9">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org2bab5af">Suite bornée :</a></li>
<li><a href="#org8aa293b">Suite majorée :</a></li>
<li><a href="#org83e8a37">Suite minorée :</a></li>
<li><a href="#org4a078cc">Suites monotones :</a>
<ul>
<li><a href="#orgeb783d1">Les suites croissantes :</a></li>
<li><a href="#orgcc61cbf">Les suites décroissantes :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org9be42e0">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a>
<ul>
<li><a href="#orgd3e58b6">Exo 1 :</a>
<ul>
<li><a href="#org0087dc5">Ensemble A :</a></li>
<li><a href="#org4c859a3">Ensemble B :</a></li>
<li><a href="#org2ad9bb3">Ensemble C :</a></li>
<li><a href="#orgde49b00">Ensemble D :</a></li>
<li><a href="#orgb857fc5">Ensemble E :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org3241c28">Exo 2 :</a>
<ul>
<li><a href="#org77ffa3e">Ensemble A :</a></li>
<li><a href="#org151d601">Ensemble B :</a></li>
<li><a href="#orgbc1efd9">Ensemble C :</a></li>
<li><a href="#org0eda8d2">Ensemble D :</a></li>
<li><a href="#org9b9b691">Ensemble E :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org36dc1da">Exo 3 :</a>
<ul>
<li><a href="#org7999092">Question 1 :</a></li>
<li><a href="#orgb9f7a15">Question 2 :</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org3da135e">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a>
<ul>
<li><a href="#org639877a">Les suites convergentes</a>
<ul>
<li><a href="#orgce5e8f7">Remarque :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orga659f1f">Theoreme d’encadrement</a></li>
<li><a href="#org4c1ed41">Suites arithmetiques</a>
<ul>
<li><a href="#org5b887fd">Forme general</a></li>
<li><a href="#orgbd36410">Somme des n premiers termes</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orge060a6b">Suites géométriques</a>
<ul>
<li><a href="#org7eb64b7">Forme general</a></li>
<li><a href="#org4a1c78c">Somme des n premiers termes</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org9ad98cf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a>
<ul>
<li><a href="#org3ef59f2">Suites adjacentes:</a></li>
<li><a href="#org05716a0">Suites extraites (sous-suites):</a>
<ul>
<li><a href="#org312cfda">Remarques:</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#orgbfa31ac">Suites de Cauchy:</a>
<ul>
<li><a href="#org60c9452">Remarque :</a></li>
</ul>
</li>
<li><a href="#org678d2ef">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org96a1915" class="outline-2">
<h2 id="org96a1915">Contenu de la Matiére</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org96a1915">
</div>
<div id="outline-container-org92a5c1e" class="outline-3">
<h3 id="org92a5c1e">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org92a5c1e">
<ul class="org-ul">
<li>Structure algébrique de ℝ<br /></li>
<li>L’ordre dans ℝ<br /></li>
<li>Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org43abd6f" class="outline-3">
<h3 id="org43abd6f">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org43abd6f">
<ul class="org-ul">
<li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li>
<li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li>
<li>Suites de cauchy, suites adjacentes et suites récurentes<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgb7dbd4d" class="outline-3">
<h3 id="orgb7dbd4d">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgb7dbd4d">
<ul class="org-ul">
<li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li>
<li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li>
<li>La continuité informe les fonctions Lepchitziennes<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgb39022d" class="outline-3">
<h3 id="orgb39022d">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgb39022d">
<ul class="org-ul">
<li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbfa8dc6" class="outline-3">
<h3 id="orgbfa8dc6">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgbfa8dc6">
<ul class="org-ul">
<li>Comparaison asymptotique<br /></li>
<li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li>
<li>Développements limites polynominaux (D.L) et opérations sur les D.L<br /></li>
<li>Généralisations des D.L<br /></li>
<li>Application au calcul de limite et l’étude des branches infinies<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org0e8210e" class="outline-2">
<h2 id="org0e8210e">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org0e8210e">
</div>
<div id="outline-container-org4b5ef0e" class="outline-3">
<h3 id="org4b5ef0e">La loi de composition interne dans E :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org4b5ef0e">
<p>
@ : E x E —> E<br />
(x,y) —> x @ y<br />
</p>
<p>
@ est une lois de composition interne seulement si :<br />
</p>
<p>
<b>∀ x,y ε E</b><br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org26ad93c" class="outline-4">
<h4 id="org26ad93c"><b>Example : Addition</b></h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org26ad93c">
<p>
Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br />
</p>
<p>
ℕ x ℕ —> ℕ<br />
</p>
<p>
(x,y) —> x + y ? <i>En gros : Pour que l’addition soit une L.C.I dans ℕ, il faut que: quand on additionne <b>n’importe quel</b> chiffre x et y de N, il faut que le résultat appertiens aussi a ℕ</i><br />
</p>
<p>
∀ x,y ∈ ℕ , x + y ∈ ℕ <i>En gros: Pour TOUTE valeur de x et y appartenant a ℕ, leur somme est toujours dans ℕ</i><br />
</p>
<p>
Donc : + est L.C.I dans ℕ<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org716f99d" class="outline-4">
<h4 id="org716f99d"><b>Example : soustraction</b></h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org716f99d">
<p>
Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br />
</p>
<p>
ℕ x ℕ —> ℕ<br />
</p>
<p>
(x,y) —> x - y ?<br />
</p>
<p>
∃ x , y ∈ ℕ , x - y ∉ ℕ <i>En gros: il existe au moins une valeur de x et y dans ℕ tel que leur différence n’est <b>PAS</b> dans ℕ . tel que : si x est 5, et y c’est 9. Leur différence est -4, qui appartiens pas a ℕ</i><br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgcd239ec" class="outline-3">
<h3 id="orgcd239ec">La loi de composition externe dans E :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgcd239ec">
<p>
@ est L.C.E dans E, K est un corps<br />
</p>
<p>
K x E —> E<br />
</p>
<p>
(a,x) —> a @ x<br />
</p>
<p>
∀ (a , x) ∈ K x E , a @ x ∈ E<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org6aa8256" class="outline-3">
<h3 id="org6aa8256">Groupes :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org6aa8256">
<p>
<i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br />
</p>
<p>
(E, @) est un groupe Si :<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org3a88117" class="outline-4">
<h4 id="org3a88117">Il contiens un élement neutre</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org3a88117">
<p>
∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br />
</p>
<p>
x @ e = e @ x = x<br />
</p>
<p>
On appelle <b>e</b> élement neutre<br />
</p>
<p>
<i>Ex: (ℕ,+) accepte un élement neutre, qui est 0, parceque x + 0 = 0 + x = x….cependent (ℕ,+) n’est pas un groupe. La raison est dans la prochaine condition</i><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgf17cd87" class="outline-4">
<h4 id="orgf17cd87">Il contiens un élément symétrique</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgf17cd87">
<p>
∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br />
</p>
<p>
On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br />
</p>
<p>
<i>Dans l’example en haut, on remarque qu’il n’y ya pas de chiffre x’ pour chaque chiffre x, qui est, l’hors de leur addition est egal a e (0), tout simplement car:</i><br />
</p>
<p>
<i>x + x’ = e ; x + x’ = 0 ; x = -x’</i><br />
</p>
<p>
<b>Or, Dans ℕ, on a pas de nombres négatifs</b><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org541a8aa" class="outline-4">
<h4 id="org541a8aa">@ est cummutative :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org541a8aa">
<p>
∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br />
</p>
<p>
<i>L’addition est cummutative, la soustraction ne l’es pas. 5 + 3 ou 3 + 5 est pareil, mais 5 - 3 et 3 - 5 sont différents</i><br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org325ac76" class="outline-3">
<h3 id="org325ac76">Anneaux :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org325ac76">
<p>
Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-orgb12d61b" class="outline-4">
<h4 id="orgb12d61b">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4>
</div>
<div id="outline-container-org2f6c910" class="outline-4">
<h4 id="org2f6c910">! est une loi associative :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2f6c910">
<p>
∀ x , y , z ∈ E<br />
</p>
<p>
(x ! y) ! z = x ! (y ! z)<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org288714a" class="outline-4">
<h4 id="org288714a">Distribution de ! par rapport à @ :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org288714a">
<p>
∀ x , y , z ∈ E<br />
</p>
<p>
(x @ y) ! z = ( x ! z ) @ ( y ! z )<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org92b8438" class="outline-4">
<h4 id="org92b8438">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org92b8438">
<p>
∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org12cac33" class="outline-4">
<h4 id="org12cac33">! est cummutative :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org12cac33">
<p>
∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbdac47c" class="outline-3">
<h3 id="orgbdac47c">Corps :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgbdac47c">
<p>
(E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-orgea3147a" class="outline-4">
<h4 id="orgea3147a">La symétrie :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgea3147a">
<p>
∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br />
</p>
<p>
x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br />
(sauf élément neutre première lois )<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org012a6fe" class="outline-3">
<h3 id="org012a6fe">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org012a6fe">
</div>
<div id="outline-container-org0934303" class="outline-4">
<h4 id="org0934303">Est-ce un Anneau ?</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org0934303">
<ul class="org-ul">
<li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li>
<li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li>
<li>On peut distribuer x par rapport a + : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)<br /></li>
<li>Il existe un élément neutre de x which is 1 : a x 1 = 1 x a = a<br /></li>
<li>La multiplication est commutative : a x b = b x a<br /></li>
</ul>
<p>
Oui c’est un anneau<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgb7020c8" class="outline-4">
<h4 id="orgb7020c8">Est-ce un corps ?</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgb7020c8">
<ul class="org-ul">
<li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li>
</ul>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgabdfea2" class="outline-2">
<h2 id="orgabdfea2">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-orgabdfea2">
</div>
<div id="outline-container-org30b59ae" class="outline-3">
<h3 id="org30b59ae">L’ordre dans ℝ</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org30b59ae">
<p>
(ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li><p>
R est antisymétrique :<br />
</p>
<p>
∀ x, y ℝ ; (x R y et y R x) ⇒ (x = y)<br />
</p></li>
<li><p>
R est reflexive :<br />
</p>
<p>
∀ x ∈ ℝ ; x R x<br />
</p></li>
<li>R est transitive :<br />
∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li>
</ol>
</div>
<div id="outline-container-org86a0035" class="outline-4">
<h4 id="org86a0035">Exemples :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org86a0035">
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgeaa24ca"></a>Exemple numéro 1:<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgeaa24ca">
<p>
(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br />
</p>
<p>
Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b><b>is obviously false</b></b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org13e92d7"></a>Exemple numéro 2:<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org13e92d7">
<p>
(ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>(Antisymétrique) ∀ x, y ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ x) ⇒ x = y is true<br /></li>
<li>(Réflexive) ∀ x, y ℝ ; x ≥ x is true<br /></li>
<li>(Transitive) ∀ x, y, z ℝ ; (x ≥ y AND y ≥ z) ⇒ x ≥ z is also true<br /></li>
</ol>
</div>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org43ad665" class="outline-3">
<h3 id="org43ad665">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org43ad665">
</div>
<div id="outline-container-orgb6fd133" class="outline-4">
<h4 id="orgb6fd133">Majorant:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgb6fd133">
<p>
Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br />
</p>
<p>
Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org186a70c" class="outline-4">
<h4 id="org186a70c">Minorant:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org186a70c">
<p>
Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br />
</p>
<p>
Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org64b766d" class="outline-4">
<h4 id="org64b766d">Borne supérieure:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org64b766d">
<p>
La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org11d4c50" class="outline-4">
<h4 id="org11d4c50">Borne inférieure:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org11d4c50">
<p>
La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge205f5a" class="outline-4">
<h4 id="orge205f5a">Maximum :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge205f5a">
<p>
E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1afad1e" class="outline-4">
<h4 id="org1afad1e">Minimum :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org1afad1e">
<p>
E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge3a6538" class="outline-4">
<h4 id="orge3a6538">Remarques :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge3a6538">
<p>
A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>A ∪ B est borné<br /></li>
<li>A ∩ B est borné<br /></li>
<li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)<br /></li>
<li>Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)<br /></li>
<li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i><br /></li>
<li>Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i><br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org286c633" class="outline-2">
<h2 id="org286c633">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org286c633">
</div>
<div id="outline-container-org2a95022" class="outline-4">
<h4 id="org2a95022">Définition :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2a95022">
<p>
Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br />
</p>
<p>
ℕ -—> ℝ<br />
</p>
<p>
n -—> U(n) = Un<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>(Un) ou (Un)n ∈ ℝ : une suite<br /></li>
<li>Un : terme général<br /></li>
</ol>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org4364064"></a>Exemple :<br />
<div class="outline-text-6" id="text-org4364064">
<p>
U : ℕ* -—> ℝ<br />
</p>
<p>
n -—> 1/n<br />
</p>
<p>
(Un) est une suite définit par Un = 1/n<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org1bec8d7" class="outline-4">
<h4 id="org1bec8d7">Définition N°2 :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org1bec8d7">
<p>
On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org0fd87c4"></a>Exemple :<br />
<div class="outline-text-6" id="text-org0fd87c4">
<p>
U(n+1) = Un /2<br />
</p>
<p>
U(1)= 1<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgf0c88cd" class="outline-3">
<h3 id="orgf0c88cd">Opérations sur les suites :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgf0c88cd">
</div>
<div id="outline-container-org2163510" class="outline-4">
<h4 id="org2163510">La somme :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2163510">
<p>
Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org1ec5af6" class="outline-4">
<h4 id="org1ec5af6">Le produit :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org1ec5af6">
<p>
Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbdb350d" class="outline-4">
<h4 id="orgbdb350d">Inverse d’une suite :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgbdb350d">
<p>
Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge5cf6d9" class="outline-4">
<h4 id="orge5cf6d9">Produit d’une suite par un scalaire :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orge5cf6d9">
<p>
Soit (Un) une suite de T.G Un<br />
</p>
<p>
∀ λ ∈ ℝ , λ(Un) n ∈ ℕ est une suite de T.G Vn= λUn<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org2bab5af" class="outline-3">
<h3 id="org2bab5af">Suite bornée :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org2bab5af">
<p>
Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org8aa293b" class="outline-3">
<h3 id="org8aa293b">Suite majorée :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org8aa293b">
<p>
Soit (Un) une suite<br />
</p>
<p>
U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org83e8a37" class="outline-3">
<h3 id="org83e8a37">Suite minorée :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org83e8a37">
<p>
Soit (Un) une suite<br />
</p>
<p>
U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org4a078cc" class="outline-3">
<h3 id="org4a078cc">Suites monotones :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org4a078cc">
</div>
<div id="outline-container-orgeb783d1" class="outline-4">
<h4 id="orgeb783d1">Les suites croissantes :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgeb783d1">
<p>
Soit (Un)n est une suite<br />
</p>
<p>
(Un) est croissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≥ 0 ⇔ Un+1 ≥ Un<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgcc61cbf" class="outline-4">
<h4 id="orgcc61cbf">Les suites décroissantes :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgcc61cbf">
<p>
Soit (Un)n est une suite<br />
</p>
<p>
(Un) est décroissante si : ∀ n ∈ ℕ ; U(n+1) - Un ≤ 0 ⇔ Un+1 ≤ Un<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9be42e0" class="outline-2">
<h2 id="org9be42e0">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org9be42e0">
</div>
<div id="outline-container-orgd3e58b6" class="outline-3">
<h3 id="orgd3e58b6">Exo 1 :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgd3e58b6">
</div>
<div id="outline-container-org0087dc5" class="outline-4">
<h4 id="org0087dc5">Ensemble A :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org0087dc5">
<p>
A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org0b6fb26"></a>Borne inférieure<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org0b6fb26">
<p>
∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org62dc78e"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org62dc78e">
<p>
∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgf29cc66"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgf29cc66">
<p>
∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org754a088"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org754a088">
<p>
L’ensemble A n’as pas de maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org4c859a3" class="outline-4">
<h4 id="org4c859a3">Ensemble B :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org4c859a3">
<p>
B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org5b309e4"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org5b309e4">
<p>
Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))<br />
</p>
<p>
Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’est <b>-∞</b>,<br />
</p>
<p>
<b>Inf(B) = -1</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org1f4610f"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org1f4610f">
<p>
Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br />
</p>
<p>
Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’est <b>+∞</b>,<br />
</p>
<p>
<b>Sup(B) = 3</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orge42ed6f"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orge42ed6f">
<p>
<b>Min(B) = -1</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org6b202d0"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org6b202d0">
<p>
L’ensemble B n’as pas de Maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org2ad9bb3" class="outline-4">
<h4 id="org2ad9bb3">Ensemble C :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org2ad9bb3">
<p>
C = {3n ,n ∈ ℕ}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org78a462a"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org78a462a">
<p>
Inf(C) = 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgd97c0b2"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgd97c0b2">
<p>
Sup(C) = +∞<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org86f58f9"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org86f58f9">
<p>
Min(C) = 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgae16d77"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgae16d77">
<p>
L’ensemble C n’as pas de Maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgde49b00" class="outline-4">
<h4 id="orgde49b00">Ensemble D :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgde49b00">
<p>
D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org820340a"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org820340a">
<p>
Inf(D)= 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org975f3e7"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org975f3e7">
<p>
Sup(D)= 1<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org88d468a"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org88d468a">
<p>
Min(D)= 0<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org3aa5bd8"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org3aa5bd8">
<p>
L’ensemble D n’as pas de Maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgb857fc5" class="outline-4">
<h4 id="orgb857fc5">Ensemble E :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgb857fc5">
<p>
E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br />
</p>
<p>
<b>Les valeurs que E peut prendre sont : “(2n + 1)/(n+1)” Si n est pair, et “(2n - 1)/(n+1)” si n est impair</b><br />
</p>
<p>
<b>On définit un ensemble F et G : F = { (2n + 1)/ (n+1) , n ∈ 2k}, G = { (2n - 1)/(n+1), n ∈ 2k+1}</b><br />
</p>
<p>
<b>Donc E = F ∪ G</b><br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org751c430"></a>Borne inférieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org751c430">
<p>
Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))<br />
</p>
<p>
Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1<br />
</p>
<p>
<b>Inf(E)= -1</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orgc22974d"></a>Borne supérieure :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgc22974d">
<p>
Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br />
</p>
<p>
sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br />
</p>
<p>
<b>Sup(E)= +∞</b><br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="orga73b811"></a>Minimum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orga73b811">
<p>
Min(E)= -1<br />
</p>
</div>
</li>
<li><a id="org1685ba6"></a>Maximum :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org1685ba6">
<p>
E n’as pas de maximum<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org3241c28" class="outline-3">
<h3 id="org3241c28">Exo 2 :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org3241c28">
</div>
<div id="outline-container-org77ffa3e" class="outline-4">
<h4 id="org77ffa3e">Ensemble A :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org77ffa3e">
<p>
A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org3bdaec9"></a>Borné<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org3bdaec9">
<p>
<b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org151d601" class="outline-4">
<h4 id="org151d601">Ensemble B :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org151d601">
<p>
B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgf630bc2"></a>Borné<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgf630bc2">
<p>
<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b><br />
</p>
<p>
<b>∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgbc1efd9" class="outline-4">
<h4 id="orgbc1efd9">Ensemble C :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgbc1efd9">
<p>
C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orga289bfe"></a>Minoré<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orga289bfe">
<p>
<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org0eda8d2" class="outline-4">
<h4 id="org0eda8d2">Ensemble D :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org0eda8d2">
<p>
D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgeb91bff"></a>Borné<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgeb91bff">
<p>
<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b><br />
</p>
<p>
<b>∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-org9b9b691" class="outline-4">
<h4 id="org9b9b691">Ensemble E :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org9b9b691">
<p>
E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="org5f1feca"></a>Majoré<br />
<div class="outline-text-5" id="text-org5f1feca">
<p>
p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org36dc1da" class="outline-3">
<h3 id="org36dc1da">Exo 3 :</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org36dc1da">
<p>
U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org7999092" class="outline-4">
<h4 id="org7999092">Question 1 :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org7999092">
<p>
Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br />
</p>
<p>
<b>(Un - 1)² ≥ 0 <i>Parce que c’est un carré</i></b><br />
</p>
<p>
<b>(Un - 1)² + 1 > 1</b> ; <b>U(n+1) ≥ 1</b><br />
</p>
</div>
<ul class="org-ul">
<li><a id="orgd5b9f21"></a>Raisonnement par récurrence :<br />
<div class="outline-text-5" id="text-orgd5b9f21">
<p>
P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br />
</p>
<p>
P(0) est vraie : 1 < 3/2 < 2<br />
</p>
<p>
On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br />
</p>
<p>
1< Un < 2 ; 0 < Un - 1 < 1 ; 0 < (Un - 1)² < 1 ; 1 < (Un - 1)² + 1< 2 ; <b>1 < U(n+1) < 2</b> Donc elle est correcte<br />
</p>
</div>
</li>
</ul>
</div>
<div id="outline-container-orgb9f7a15" class="outline-4">
<h4 id="orgb9f7a15">Question 2 :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgb9f7a15">
<p>
Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br />
</p>
<p>
<b>U(n+1) - Un = (Un - 1)² + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² + 1 - 2Un + 1 - Un</b> ; <b>U(n+1) - Un = Un² - 3Un + 2</b><br />
</p>
<p>
On étudie <b>Un² - 3Un + 2</b> sur l’intervalle ]1, 2[ : Un² - 3Un + 2 = 0 est une équation du 2nd ordre, <b>Δ = 1</b> , elle accepte deux solutions : Un = 1 et Un = 2<br />
</p>
<p>
On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en dehors, donc <b>∀ 1 < Un < 2 , Un² - 3Un + 2 < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) - Un < 0</b> ; <b>∀ 1 < Un < 2 , U(n+1) < Un</b> Donc (Un)n est une suite strictement monotonne décroissante<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org3da135e" class="outline-2">
<h2 id="org3da135e">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org3da135e">
</div>
<div id="outline-container-org639877a" class="outline-3">
<h3 id="org639877a">Les suites convergentes</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org639877a">
<p>
Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-orgce5e8f7" class="outline-4">
<h4 id="orgce5e8f7">Remarque :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgce5e8f7">
<ol class="org-ol">
<li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li>
<li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li>
<li>Un est une suite majoree et croissante ⇒ Un converge<br /></li>
<li>Un est une suite minoree et decroissante ⇒ Un converge<br /></li>
<li>Soient (Un) et (Vn) deux suites convergentes, alors<br />
<ol class="org-ol">
<li>Un + Vn est convergente<br /></li>
<li>Un * Vn est convergente<br /></li>
<li>∀λ ∈ ℝ , (λUn) converge<br /></li>
</ol></li>
<li>Soit Un est une suite bornee et soit Vn une suite. lim Vn n->+∞ = 0 Alors lim Vn * Un n-> +∞ = 0<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orga659f1f" class="outline-3">
<h3 id="orga659f1f">Theoreme d’encadrement</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orga659f1f">
<p>
Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org4c1ed41" class="outline-3">
<h3 id="org4c1ed41">Suites arithmetiques</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org4c1ed41">
<p>
Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org5b887fd" class="outline-4">
<h4 id="org5b887fd">Forme general</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org5b887fd">
<p>
<b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbd36410" class="outline-4">
<h4 id="orgbd36410">Somme des n premiers termes</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-orgbd36410">
<p>
Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br />
</p>
<p>
Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est une serie<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orge060a6b" class="outline-3">
<h3 id="orge060a6b">Suites géométriques</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orge060a6b">
</div>
<div id="outline-container-org7eb64b7" class="outline-4">
<h4 id="org7eb64b7">Forme general</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org7eb64b7">
<p>
<b>Un = U0 x r^n</b><br />
</p>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org4a1c78c" class="outline-4">
<h4 id="org4a1c78c">Somme des n premiers termes</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org4a1c78c">
<p>
n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org9ad98cf" class="outline-2">
<h2 id="org9ad98cf">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2>
<div class="outline-text-2" id="text-org9ad98cf">
</div>
<div id="outline-container-org3ef59f2" class="outline-3">
<h3 id="org3ef59f2">Suites adjacentes:</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org3ef59f2">
<p>
Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br />
</p>
<ol class="org-ol">
<li>(Un) est croissante et (Vn) est décroissante<br /></li>
<li>Un ≤ Vn<br /></li>
<li>lim (Un - Vn) n->+∞ = 0<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org05716a0" class="outline-3">
<h3 id="org05716a0">Suites extraites (sous-suites):</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org05716a0">
<p>
Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org312cfda" class="outline-4">
<h4 id="org312cfda">Remarques:</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org312cfda">
<ol class="org-ol">
<li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li>
<li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li>
<li>U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge vers l<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-orgbfa31ac" class="outline-3">
<h3 id="orgbfa31ac">Suites de Cauchy:</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-orgbfa31ac">
<p>
(Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br />
</p>
</div>
<div id="outline-container-org60c9452" class="outline-4">
<h4 id="org60c9452">Remarque :</h4>
<div class="outline-text-4" id="text-org60c9452">
<ol class="org-ol">
<li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li>
</ol>
</div>
</div>
</div>
<div id="outline-container-org678d2ef" class="outline-3">
<h3 id="org678d2ef">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3>
<div class="outline-text-3" id="text-org678d2ef">
<p>
On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br />
</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="postamble" class="status">
<p class="author">Author: Crystal</p>
<p class="date">Created: 2023-11-01 Wed 20:16</p>
</div>
</body>
</html>
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