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| author | Crystal <crystal@wizard.tower> | 2023-11-14 23:07:08 +0100 |
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diff --git a/src/org/uni_notes/analyse1.org b/src/org/uni_notes/analyse1.org index 88d06b1..c2c0a60 100755 --- a/src/org/uni_notes/analyse1.org +++ b/src/org/uni_notes/analyse1.org @@ -202,7 +202,7 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b La borne supérieure est le plus petit des majorants /Sup(E) = Borne supérieure/ *** Borne inférieure: -La borne inférieure est le plus grand des minorant /Inf(E) = Borne inférieure/ +La borne inférieure est le plus grand des minorant /Inf (E) = Borne inférieure/ *** Maximum : E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a. @@ -214,9 +214,9 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) : 1. A ∪ B est borné 2. A ∩ B est borné 3. Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B) -4. Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B) +4. Inf (A ∩ B)= Min(inf A, inf B) 5. Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) /Le plus petit des Supérieur de A et B/ -6. Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) /Le plus grand des inférieur de A et B/ +6. Inf (A ∩ B)= Max(inf A, inf B) /Le plus grand des inférieur de A et B/ * 3rd cours :Les suites numériques /Oct 5/ : *** Définition : @@ -307,13 +307,13 @@ L'ensemble A n'as pas de maximum *** Ensemble B : B = [-1 , 3[ ∩ ℚ **** Borne inférieure : -Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ)) +Inf (B) = Max(inf ([-1 , 3[) , inf (ℚ)) Puisse que ℚ n'as pas de Borne inférieure, donc par convention c'est *-∞*, -*Inf(B) = -1* +*Inf (B) = -1* **** Borne supérieure : Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ)) @@ -333,7 +333,7 @@ L'ensemble B n'as pas de Maximum C = {3n ,n ∈ ℕ} **** Borne inférieure : -Inf(C) = 0 +Inf (C) = 0 **** Borne supérieure : Sup(C) = +∞ @@ -345,7 +345,7 @@ L'ensemble C n'as pas de Maximum *** Ensemble D : D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*} **** Borne inférieure : -Inf(D)= 0 +Inf (D)= 0 **** Borne supérieure : Sup(D)= 1 **** Minimum : @@ -366,13 +366,13 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ } *Donc E = F ∪ G* **** Borne inférieure : -Inf(E) = Min(inf(F), inf(G)) +Inf (E) = Min(inf (F), inf (G)) -Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1 +Inf (F) = 1 ; Inf (G) = -1 -*Inf(E)= -1* +*Inf (E)= -1* **** Borne supérieure : Sup(E) = Max(sup(F), sup(G)) @@ -391,22 +391,22 @@ E n'as pas de maximum A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3} **** Borné -*Oui*, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3 +*Oui*, Inf (A)= 0 ; Sup(A)=√3 *** Ensemble B : B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ; **** Borné -*∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2* +*∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf (B)= 1/2* *∀ x ∈ B, sin x < √3/2 ∴ Sup(B)= √3/2* *** Ensemble C : C = {x ∈ ℝ , x³ > 3} **** Minoré -*∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3* +*∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf (C)= 3* *** Ensemble D : D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2} **** Borné -*∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0* +*∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf (C)= 0* *∀ x ∈ C, e^x < 1/2 ∴ Sup(C)= 1/2* @@ -497,79 +497,78 @@ c. U(2n) et U(2n+1) convergent vers la même limite (l), alors Un aussi converge ** Théorème de Bolzano Weirstrass: On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée * Chapitre 3 : Les limites et la continuité /Nov 14/ -#+BEGIN_VERSE ** Fonction réelle à variable réelle : -Soit f: I --> ℝ , I ⊂= ℝ - x --> f(x) +Soit f : I --> ℝ , I ⊂= ℝ + x --> f (x) *** L'ensemble de départ : L'ensemble de définition (Df) **** Propriétés: Soit f et g deux fonctions : f : I --> ℝ - x --> f(x) + x --> f (x) g : I --> ℝ x --> g(x) ***** 1) f+g (g+f): I --> ℝ - x --> (f+g)(x) = f(x) + g(x) + x --> (f+g)(x) = f (x) + g(x) ***** 2) λf ∀λ ∈ ℝ : λf : I --> ℝ - x --> (λf)(x) = λf(x) + x --> (λf)(x) = λf (x) ***** 3) f*g (f*g): I --> ℝ - x --> (f*g)(x) = f(x) x g(x) + x --> (f*g)(x) = f (x) x g(x) ***** 4) f/g f/g : I --> ℝ - x --> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0 + x --> f (x)/g(x) , g(x) ≠ 0 *** Les Limites : -f: I --> ℝ - x --> f(x) +f : I --> ℝ + x --> f (x) x_{0} ∈ I ; x_{0} extrémité de l'intervalle. - Lim_{x --> x_{0}} f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x_{0} -**** Lim_{x --> x_{0}} f(x) = l -=> |x - x_{0}| < ẟ , |f(x) - l| < ε + Lim_{x --> x_{0}} f (x) est a Limite de f (x) quand x tend vers x_{0} +**** Lim_{x --> x_{0}} f (x) = l +=> |x - x_{0}| < ẟ , |f (x) - l| < ε *** La continuité : -Soit f: I --> ℝ I = Df - x --> f(x) x_{0} ∈ I -f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f(x) = f(x_{0}) -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x_{0}| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x_{0})| < ε +Soit f : I --> ℝ I = Df + x --> f (x) x_{0} ∈ I +f est continue en x_{0} ⇔ Lim_{x --> x_{0}} f (x) = f (x_{0}) +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x_{0}| < ẟ ⇒ |f (x) - f (x_{0})| < ε *** Prolongement par continuité : -Soit f: I/ {x_{0}} --> ℝ - x --> f(x) +Soit f : I/ {x_{0}} --> ℝ + x --> f (x) -Si lim_{x --> x_{0}} f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} +Si lim_{x --> x_{0}} f (x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x_{0} On défini : -f~ = f(x) si x ≠ x_{0} +f~ = f (x) si x ≠ x_{0} ET l si x = x_{0} f~ : I --> ℝ - x --> f(x) + x --> f (x) *** Théorème des valeurs intermédiaires : f : [a,b] --> ℝ Si f est continue sur [a,b] -Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x) +Alors ∀y ∈ f ([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f (x) 1. Si f est continue sur [a,b] -2. Si f(a) * f(b) < 0 -Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0 +2. Si f (a) * f (b) < 0 +Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f (c) = 0 *** Fonction croissante : -f: I --> J +f : I --> J f est croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I - x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) ≤ f(x_{2}) + x_{1} < x_{2} ⇒ f (x_{1}) ≤ f (x_{2}) f est strictement croissante si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I - x_{1} < x_{2} ⇒ f(x_{1}) < f(x_{2}) + x_{1} < x_{2} ⇒ f (x_{1}) < f (x_{2}) Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée. *** Injection = Strictement monotonne : -f: I --> J -f est injective si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I , f(x_{1}) = f(x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} +f : I --> J +f est injective si ∀ x_{1},x_{2} ∈ I , f (x_{1}) = f (x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} *** Surjection = Continuité : -f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x) +f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f (x) *** Bijection : Si f est injective et surjective, alors f est bijective f est bijective donc elle admet une bijection réciproque @@ -577,4 +576,4 @@ f est bijective donc elle admet une bijection réciproque Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective. f admet une bijection réciproque f{-1}. f{-1} a le même sens de variation que f. -#+END_VERSE + diff --git a/uni_notes/analyse.html b/uni_notes/analyse.html index e0f025f..0c2f952 100755 --- a/uni_notes/analyse.html +++ b/uni_notes/analyse.html @@ -3,7 +3,7 @@ "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"> <head> -<!-- 2023-11-14 Tue 22:52 --> +<!-- 2023-11-14 Tue 23:06 --> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html;charset=utf-8" /> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" /> <title>Analyse 1</title> @@ -24,180 +24,180 @@ <h2>Table of Contents</h2> <div id="text-table-of-contents" role="doc-toc"> <ul> -<li><a href="#orgc91377c">Contenu de la Matiére</a> +<li><a href="#org51375f0">Contenu de la Matiére</a> <ul> -<li><a href="#org10d7fe9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> -<li><a href="#org3ac3cd3">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> -<li><a href="#orge87a367">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> -<li><a href="#orgc8f9cf9">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> -<li><a href="#org843459d">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> +<li><a href="#orgd074219">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</a></li> +<li><a href="#orgb5220df">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</a></li> +<li><a href="#orge7b80f9">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</a></li> +<li><a href="#orgcc6964b">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</a></li> +<li><a href="#orgea870f0">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org8498992">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> +<li><a href="#org7dbe2a4">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</a> <ul> -<li><a href="#orgcb3c957">La loi de composition interne dans E :</a> +<li><a href="#org4b25f0c">La loi de composition interne dans E :</a> <ul> -<li><a href="#orga26ee64"><b>Example : Addition</b></a></li> -<li><a href="#org3b7979e"><b>Example : soustraction</b></a></li> +<li><a href="#orgc048164"><b>Example : Addition</b></a></li> +<li><a href="#orgadeeaa1"><b>Example : soustraction</b></a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgf5ed752">La loi de composition externe dans E :</a></li> -<li><a href="#org543e576">Groupes :</a> +<li><a href="#orge686f2a">La loi de composition externe dans E :</a></li> +<li><a href="#org96fc192">Groupes :</a> <ul> -<li><a href="#org21dc534">Il contiens un élement neutre</a></li> -<li><a href="#org334cfe1">Il contiens un élément symétrique</a></li> -<li><a href="#org9674822">@ est cummutative :</a></li> +<li><a href="#org9cae959">Il contiens un élement neutre</a></li> +<li><a href="#orgfc1fc7b">Il contiens un élément symétrique</a></li> +<li><a href="#orge76674f">@ est cummutative :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgb3ff039">Anneaux :</a> +<li><a href="#orgde40808">Anneaux :</a> <ul> -<li><a href="#org3f78a3c">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> -<li><a href="#org5847aa9">! est une loi associative :</a></li> -<li><a href="#orgfaff409">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> -<li><a href="#orgefb9297">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> -<li><a href="#orge4ed4c7">! est cummutative :</a></li> +<li><a href="#org6960733">(E ; @) est un groupe cummutatif</a></li> +<li><a href="#org3dd13c2">! est une loi associative :</a></li> +<li><a href="#org96e7790">Distribution de ! par rapport à @ :</a></li> +<li><a href="#orgaaceb67">L’existance d’un élèment neutre de ! :</a></li> +<li><a href="#org07575e5">! est cummutative :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org37ce198">Corps :</a> +<li><a href="#org4dde6a2">Corps :</a> <ul> -<li><a href="#orgcb84506">La symétrie :</a></li> +<li><a href="#orga3ea966">La symétrie :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org2fee6ee">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> +<li><a href="#org316172f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</a> <ul> -<li><a href="#org3f4c92b">Est-ce un Anneau ?</a></li> -<li><a href="#org7e6f298">Est-ce un corps ?</a></li> +<li><a href="#org4ed9aef">Est-ce un Anneau ?</a></li> +<li><a href="#org248a5ea">Est-ce un corps ?</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org72436ae">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> +<li><a href="#org0b3fce2">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</a> <ul> -<li><a href="#org63d2748">L’ordre dans ℝ</a> +<li><a href="#orga3c4b3c">L’ordre dans ℝ</a> <ul> -<li><a href="#orgcf0e467">Exemples :</a></li> +<li><a href="#org9b04907">Exemples :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgb5fe01c">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> +<li><a href="#org824efff">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</a> <ul> -<li><a href="#org3e58f18">Majorant:</a></li> -<li><a href="#org0d1c1cc">Minorant:</a></li> -<li><a href="#org9001702">Borne supérieure:</a></li> -<li><a href="#orgde5e8a1">Borne inférieure:</a></li> -<li><a href="#org806ae22">Maximum :</a></li> -<li><a href="#orgf6603d1">Minimum :</a></li> -<li><a href="#org43233fb">Remarques :</a></li> +<li><a href="#org34c228b">Majorant:</a></li> +<li><a href="#orgc832fb0">Minorant:</a></li> +<li><a href="#org3cb02e2">Borne supérieure:</a></li> +<li><a href="#orgef4458e">Borne inférieure:</a></li> +<li><a href="#org2b2908f">Maximum :</a></li> +<li><a href="#org1410a06">Minimum :</a></li> +<li><a href="#orgd1fcd4e">Remarques :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org3e3d152">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> +<li><a href="#orgc939931">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</a> <ul> <li> <ul> -<li><a href="#orgd085500">Définition :</a></li> -<li><a href="#orgdca4e96">Définition N°2 :</a></li> +<li><a href="#org8607984">Définition :</a></li> +<li><a href="#orgcc2100f">Définition N°2 :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org571706b">Opérations sur les suites :</a> +<li><a href="#org69f8c52">Opérations sur les suites :</a> <ul> -<li><a href="#orgee7f5af">La somme :</a></li> -<li><a href="#org9a57bb6">Le produit :</a></li> -<li><a href="#orgee1c76a">Inverse d’une suite :</a></li> -<li><a href="#orgb017bda">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> +<li><a href="#orgf01d039">La somme :</a></li> +<li><a href="#org770eaba">Le produit :</a></li> +<li><a href="#org7a41073">Inverse d’une suite :</a></li> +<li><a href="#orgd245f39">Produit d’une suite par un scalaire :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgbe324c7">Suite bornée :</a></li> -<li><a href="#orgafd1c58">Suite majorée :</a></li> -<li><a href="#orga3cd1fc">Suite minorée :</a></li> -<li><a href="#org2dda13a">Suites monotones :</a> +<li><a href="#orgd7a311f">Suite bornée :</a></li> +<li><a href="#org2b180d2">Suite majorée :</a></li> +<li><a href="#org7b2e23f">Suite minorée :</a></li> +<li><a href="#orgb167fb6">Suites monotones :</a> <ul> -<li><a href="#orge735964">Les suites croissantes :</a></li> -<li><a href="#org952a155">Les suites décroissantes :</a></li> +<li><a href="#org28ff308">Les suites croissantes :</a></li> +<li><a href="#org89d3d3b">Les suites décroissantes :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org748dee7">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> +<li><a href="#org65657c4">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></a> <ul> -<li><a href="#org78fe8e6">Exo 1 :</a> +<li><a href="#orgac13612">Exo 1 :</a> <ul> -<li><a href="#orgaa73b03">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#orga87d503">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#orgd668ed3">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#org8fc1e08">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#org502cfdf">Ensemble E :</a></li> +<li><a href="#orgcb1b828">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#org886db21">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#org8444304">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#org655bbdc">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#orgf122a29">Ensemble E :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgc52dcfe">Exo 2 :</a> +<li><a href="#org5e26290">Exo 2 :</a> <ul> -<li><a href="#org2084ec6">Ensemble A :</a></li> -<li><a href="#org1436912">Ensemble B :</a></li> -<li><a href="#orgd6b657c">Ensemble C :</a></li> -<li><a href="#orgbfc4c5a">Ensemble D :</a></li> -<li><a href="#orgd1c7ba2">Ensemble E :</a></li> +<li><a href="#org62a0c2c">Ensemble A :</a></li> +<li><a href="#orgdde4c67">Ensemble B :</a></li> +<li><a href="#org2abc744">Ensemble C :</a></li> +<li><a href="#orga2cb085">Ensemble D :</a></li> +<li><a href="#orgc6452f9">Ensemble E :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org492c7d5">Exo 3 :</a> +<li><a href="#org479db70">Exo 3 :</a> <ul> -<li><a href="#org3e8c5a7">Question 1 :</a></li> -<li><a href="#org6a5a1cd">Question 2 :</a></li> +<li><a href="#org9f28f97">Question 1 :</a></li> +<li><a href="#orgb2a312c">Question 2 :</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org347495d">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> +<li><a href="#orgbd1bb1e">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></a> <ul> -<li><a href="#org148af66">Les suites convergentes</a> +<li><a href="#org9b40096">Les suites convergentes</a> <ul> -<li><a href="#org1d4d349">Remarque :</a></li> +<li><a href="#org6a22c62">Remarque :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org290bc6b">Theoreme d’encadrement</a></li> -<li><a href="#org5ba33df">Suites arithmetiques</a> +<li><a href="#orga3baa03">Theoreme d’encadrement</a></li> +<li><a href="#orgbbda563">Suites arithmetiques</a> <ul> -<li><a href="#orge9cff08">Forme general</a></li> -<li><a href="#orgc4d530a">Somme des n premiers termes</a></li> +<li><a href="#orgb4756c6">Forme general</a></li> +<li><a href="#orga6494e4">Somme des n premiers termes</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgfc701cc">Suites géométriques</a> +<li><a href="#org10d88d9">Suites géométriques</a> <ul> -<li><a href="#org328ef4d">Forme general</a></li> -<li><a href="#org4210450">Somme des n premiers termes</a></li> +<li><a href="#orgfe286ce">Forme general</a></li> +<li><a href="#orgaa6b262">Somme des n premiers termes</a></li> </ul> </li> </ul> </li> -<li><a href="#org9dcdb5b">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> +<li><a href="#orgeeb4832">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></a> <ul> -<li><a href="#org5582998">Suites adjacentes:</a></li> -<li><a href="#orgc7dc719">Suites extraites (sous-suites):</a> +<li><a href="#orge9160fd">Suites adjacentes:</a></li> +<li><a href="#orgaedf3ea">Suites extraites (sous-suites):</a> <ul> -<li><a href="#org19aaf93">Remarques:</a></li> +<li><a href="#org586e8c4">Remarques:</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orge98dbc2">Suites de Cauchy:</a> +<li><a href="#org1ce447c">Suites de Cauchy:</a> <ul> -<li><a href="#org07f3dd9">Remarque :</a></li> +<li><a href="#orgd06f7ae">Remarque :</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#orgf1fce8d">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> +<li><a href="#org392a346">Théorème de Bolzano Weirstrass:</a></li> </ul> </li> -<li><a href="#org2d666d3">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></a> +<li><a href="#org91a748f">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></a> <ul> -<li><a href="#org4b64f75">Fonction réelle à variable réelle :</a> +<li><a href="#orgde4196b">Fonction réelle à variable réelle :</a> <ul> -<li><a href="#org36bff9b">L’ensemble de départ :</a></li> -<li><a href="#org2cc1eca">Les Limites :</a></li> -<li><a href="#org64c9169">La continuité :</a></li> -<li><a href="#orga180a5f">Prolongement par continuité :</a></li> -<li><a href="#orga0b20fd">Théorème des valeurs intermédiaires :</a></li> -<li><a href="#org9c72228">Fonction croissante :</a></li> -<li><a href="#org4225cf9">Injection = Strictement monotonne :</a></li> -<li><a href="#org0a083e3">Surjection = Continuité :</a></li> -<li><a href="#org64ecf75">Bijection :</a></li> -<li><a href="#org020cce1">Théorème de bijection :</a></li> +<li><a href="#orgd68331d">L’ensemble de départ :</a></li> +<li><a href="#org3151412">Les Limites :</a></li> +<li><a href="#org287d826">La continuité :</a></li> +<li><a href="#orgc77ab14">Prolongement par continuité :</a></li> +<li><a href="#org8edfe47">Théorème des valeurs intermédiaires :</a></li> +<li><a href="#orgea41b1c">Fonction croissante :</a></li> +<li><a href="#orgd45a9b4">Injection = Strictement monotonne :</a></li> +<li><a href="#org189c903">Surjection = Continuité :</a></li> +<li><a href="#org07713a2">Bijection :</a></li> +<li><a href="#org7512d26">Théorème de bijection :</a></li> </ul> </li> </ul> @@ -205,13 +205,13 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc91377c" class="outline-2"> -<h2 id="orgc91377c">Contenu de la Matiére</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-orgc91377c"> +<div id="outline-container-org51375f0" class="outline-2"> +<h2 id="org51375f0">Contenu de la Matiére</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org51375f0"> </div> -<div id="outline-container-org10d7fe9" class="outline-3"> -<h3 id="org10d7fe9">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org10d7fe9"> +<div id="outline-container-orgd074219" class="outline-3"> +<h3 id="orgd074219">Chapitre 1 : Quelque propriétés de ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgd074219"> <ul class="org-ul"> <li>Structure algébrique de ℝ<br /></li> <li>L’ordre dans ℝ<br /></li> @@ -219,9 +219,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org3ac3cd3" class="outline-3"> -<h3 id="org3ac3cd3">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org3ac3cd3"> +<div id="outline-container-orgb5220df" class="outline-3"> +<h3 id="orgb5220df">Chapitre 2 : Les suites numériques réelles</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb5220df"> <ul class="org-ul"> <li>Définition : convergence, opérations sur les suites convergentes<br /></li> <li>Theoréme de convergence, Theoréme de <span class="underline">_</span> suites, sans suites, extension au limites infinies<br /></li> @@ -229,9 +229,9 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orge87a367" class="outline-3"> -<h3 id="orge87a367">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orge87a367"> +<div id="outline-container-orge7b80f9" class="outline-3"> +<h3 id="orge7b80f9">Chapitre 3 : Limites et continuité des fonctions réelles d’une variable réelle</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orge7b80f9"> <ul class="org-ul"> <li>Les limites : définition, opérations sur les limites, les formes inditerminées<br /></li> <li>La continuité : définition, Theorémes fondamentaux<br /></li> @@ -239,17 +239,17 @@ </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc8f9cf9" class="outline-3"> -<h3 id="orgc8f9cf9">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgc8f9cf9"> +<div id="outline-container-orgcc6964b" class="outline-3"> +<h3 id="orgcc6964b">Chapitre 4 : La dérivabilité et son interprétation géometrique</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgcc6964b"> <ul class="org-ul"> <li>Opérations sur les fonctions dérivales, Theoréme de Rolle, Theoréme des accroissements finis, régle de L’Hopital et formule de Taylor<br /></li> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org843459d" class="outline-3"> -<h3 id="org843459d">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org843459d"> +<div id="outline-container-orgea870f0" class="outline-3"> +<h3 id="orgea870f0">Chapitre 5 : Les fonctions trigonométriques réciproques, fonctions hypérboliques réciproques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgea870f0"> <ul class="org-ul"> <li>Comparaison asymptotique<br /></li> <li>Symbole de lamdau (lambda ?), et notions des fonctions équivalentes<br /></li> @@ -260,13 +260,13 @@ </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org8498992" class="outline-2"> -<h2 id="org8498992">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org8498992"> +<div id="outline-container-org7dbe2a4" class="outline-2"> +<h2 id="org7dbe2a4">Premier cours : Quelque propriétés de ℝ <i>Sep 26</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org7dbe2a4"> </div> -<div id="outline-container-orgcb3c957" class="outline-3"> -<h3 id="orgcb3c957">La loi de composition interne dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgcb3c957"> +<div id="outline-container-org4b25f0c" class="outline-3"> +<h3 id="org4b25f0c">La loi de composition interne dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4b25f0c"> <p> @ : E x E —> E<br /> (x,y) —> x @ y<br /> @@ -280,9 +280,9 @@ <b>∀ x,y ε E</b><br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orga26ee64" class="outline-4"> -<h4 id="orga26ee64"><b>Example : Addition</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga26ee64"> +<div id="outline-container-orgc048164" class="outline-4"> +<h4 id="orgc048164"><b>Example : Addition</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc048164"> <p> Est ce que l’addition (+) est L.C.I dans ℕ ?<br /> </p> @@ -304,9 +304,9 @@ Donc : + est L.C.I dans ℕ<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org3b7979e" class="outline-4"> -<h4 id="org3b7979e"><b>Example : soustraction</b></h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3b7979e"> +<div id="outline-container-orgadeeaa1" class="outline-4"> +<h4 id="orgadeeaa1"><b>Example : soustraction</b></h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgadeeaa1"> <p> Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </p> @@ -326,9 +326,9 @@ Est ce que la soustraction (-) est L.C.I dans ℕ?<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf5ed752" class="outline-3"> -<h3 id="orgf5ed752">La loi de composition externe dans E :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgf5ed752"> +<div id="outline-container-orge686f2a" class="outline-3"> +<h3 id="orge686f2a">La loi de composition externe dans E :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orge686f2a"> <p> @ est L.C.E dans E, K est un corps<br /> </p> @@ -346,9 +346,9 @@ K x E —> E<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org543e576" class="outline-3"> -<h3 id="org543e576">Groupes :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org543e576"> +<div id="outline-container-org96fc192" class="outline-3"> +<h3 id="org96fc192">Groupes :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org96fc192"> <p> <i>Soit E un ensemble, soit @ une L.C.I dans E</i><br /> </p> @@ -357,9 +357,9 @@ K x E —> E<br /> (E, @) est un groupe Si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org21dc534" class="outline-4"> -<h4 id="org21dc534">Il contiens un élement neutre</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org21dc534"> +<div id="outline-container-org9cae959" class="outline-4"> +<h4 id="org9cae959">Il contiens un élement neutre</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9cae959"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ e ∈ E<br /> </p> @@ -377,9 +377,9 @@ On appelle <b>e</b> élement neutre<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org334cfe1" class="outline-4"> -<h4 id="org334cfe1">Il contiens un élément symétrique</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org334cfe1"> +<div id="outline-container-orgfc1fc7b" class="outline-4"> +<h4 id="orgfc1fc7b">Il contiens un élément symétrique</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfc1fc7b"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E ; x @ x’ = x’ @ x = e<br /> </p> @@ -401,9 +401,9 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org9674822" class="outline-4"> -<h4 id="org9674822">@ est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9674822"> +<div id="outline-container-orge76674f" class="outline-4"> +<h4 id="orge76674f">@ est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orge76674f"> <p> ∀ (x , x’) ∈ E x E ; x @ x’ = x’ @ x<br /> </p> @@ -414,19 +414,19 @@ On appelle <b>x’</b> élèment symétrique<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb3ff039" class="outline-3"> -<h3 id="orgb3ff039">Anneaux :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb3ff039"> +<div id="outline-container-orgde40808" class="outline-3"> +<h3 id="orgde40808">Anneaux :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgde40808"> <p> Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org3f78a3c" class="outline-4"> -<h4 id="org3f78a3c">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> +<div id="outline-container-org6960733" class="outline-4"> +<h4 id="org6960733">(E ; @) est un groupe cummutatif</h4> </div> -<div id="outline-container-org5847aa9" class="outline-4"> -<h4 id="org5847aa9">! est une loi associative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org5847aa9"> +<div id="outline-container-org3dd13c2" class="outline-4"> +<h4 id="org3dd13c2">! est une loi associative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3dd13c2"> <p> ∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> @@ -436,9 +436,9 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfaff409" class="outline-4"> -<h4 id="orgfaff409">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgfaff409"> +<div id="outline-container-org96e7790" class="outline-4"> +<h4 id="org96e7790">Distribution de ! par rapport à @ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org96e7790"> <p> ∀ x , y , z ∈ E<br /> </p> @@ -448,33 +448,33 @@ Soit E un ensemble, (E , @ , !) est un anneau si :<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgefb9297" class="outline-4"> -<h4 id="orgefb9297">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgefb9297"> +<div id="outline-container-orgaaceb67" class="outline-4"> +<h4 id="orgaaceb67">L’existance d’un élèment neutre de ! :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgaaceb67"> <p> ∀ x ∈ E , ∃ e ∈ E , x ! e = e ! x = x<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orge4ed4c7" class="outline-4"> -<h4 id="orge4ed4c7">! est cummutative :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge4ed4c7"> +<div id="outline-container-org07575e5" class="outline-4"> +<h4 id="org07575e5">! est cummutative :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org07575e5"> <p> ∀ x , y ∈ E , x ! y = y ! x<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org37ce198" class="outline-3"> -<h3 id="org37ce198">Corps :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org37ce198"> +<div id="outline-container-org4dde6a2" class="outline-3"> +<h3 id="org4dde6a2">Corps :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org4dde6a2"> <p> (E , @ , !) est un corps si les 5 conditions en haut sont vérifiées + cette condition :<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orgcb84506" class="outline-4"> -<h4 id="orgcb84506">La symétrie :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgcb84506"> +<div id="outline-container-orga3ea966" class="outline-4"> +<h4 id="orga3ea966">La symétrie :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga3ea966"> <p> ∀ x ∈ E ; ∃ x’ ∈ E , x ! x’ = x’ ! x = e<br /> </p> @@ -486,13 +486,13 @@ x’ est l’élément symétrique de x par rapport à !<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org2fee6ee" class="outline-3"> -<h3 id="org2fee6ee">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2fee6ee"> +<div id="outline-container-org316172f" class="outline-3"> +<h3 id="org316172f">Exercice : (ℝ, +, x) corps ou pas ?</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org316172f"> </div> -<div id="outline-container-org3f4c92b" class="outline-4"> -<h4 id="org3f4c92b">Est-ce un Anneau ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3f4c92b"> +<div id="outline-container-org4ed9aef" class="outline-4"> +<h4 id="org4ed9aef">Est-ce un Anneau ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org4ed9aef"> <ul class="org-ul"> <li>(ℝ, +) est un groupe commutatif<br /></li> <li>x est une loi associative : (a x b) x c = a x (b x c)<br /></li> @@ -506,9 +506,9 @@ Oui c’est un anneau<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org7e6f298" class="outline-4"> -<h4 id="org7e6f298">Est-ce un corps ?</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org7e6f298"> +<div id="outline-container-org248a5ea" class="outline-4"> +<h4 id="org248a5ea">Est-ce un corps ?</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org248a5ea"> <ul class="org-ul"> <li>Oui : ∀ x ∈ ℝ\{e} ; x * x’ = 1<br /></li> </ul> @@ -516,13 +516,13 @@ Oui c’est un anneau<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org72436ae" class="outline-2"> -<h2 id="org72436ae">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org72436ae"> +<div id="outline-container-org0b3fce2" class="outline-2"> +<h2 id="org0b3fce2">2nd cours :L’ordre dans ℝ, Majorant, minorant, borne superieure, borne inférieure <i>Oct 3</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org0b3fce2"> </div> -<div id="outline-container-org63d2748" class="outline-3"> -<h3 id="org63d2748">L’ordre dans ℝ</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org63d2748"> +<div id="outline-container-orga3c4b3c" class="outline-3"> +<h3 id="orga3c4b3c">L’ordre dans ℝ</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orga3c4b3c"> <p> (ℝ, +, x) est un corps, Soit R une relation d’ordre dans ℝ si :<br /> </p> @@ -548,13 +548,13 @@ R est reflexive :<br /> ∀ x, y, z ∈ ℝ , (x R y and y R z) ⇒ x R z<br /></li> </ol> </div> -<div id="outline-container-orgcf0e467" class="outline-4"> -<h4 id="orgcf0e467">Exemples :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgcf0e467"> +<div id="outline-container-org9b04907" class="outline-4"> +<h4 id="org9b04907">Exemples :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9b04907"> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org2cbf75c"></a>Exemple numéro 1:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org2cbf75c"> +<li><a id="org10940af"></a>Exemple numéro 1:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org10940af"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation < est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> @@ -565,8 +565,8 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </p> </div> </li> -<li><a id="org0005732"></a>Exemple numéro 2:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0005732"> +<li><a id="org47b3e4d"></a>Exemple numéro 2:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org47b3e4d"> <p> (ℝ , +, x) est un corps. Est ce la relation ≥ est une relation d’ordre dans ℝ ?<br /> </p> @@ -581,13 +581,13 @@ Non, pourquoi ? parce que elle est pas réflexive : ∀ x ∈ ℝ, x < x <b>< </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb5fe01c" class="outline-3"> -<h3 id="orgb5fe01c">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgb5fe01c"> +<div id="outline-container-org824efff" class="outline-3"> +<h3 id="org824efff">Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org824efff"> </div> -<div id="outline-container-org3e58f18" class="outline-4"> -<h4 id="org3e58f18">Majorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3e58f18"> +<div id="outline-container-org34c228b" class="outline-4"> +<h4 id="org34c228b">Majorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org34c228b"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> @@ -598,9 +598,9 @@ Soit a ∈ ℝ, a est un majorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≤ a<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org0d1c1cc" class="outline-4"> -<h4 id="org0d1c1cc">Minorant:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0d1c1cc"> +<div id="outline-container-orgc832fb0" class="outline-4"> +<h4 id="orgc832fb0">Minorant:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc832fb0"> <p> Soit E un sous-ensemble de ℝ (E ⊆ ℝ)<br /> </p> @@ -611,41 +611,41 @@ Soit b ∈ ℝ, b est un minorant de E Si :∀ x ∈ E , x ≥ b<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org9001702" class="outline-4"> -<h4 id="org9001702">Borne supérieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9001702"> +<div id="outline-container-org3cb02e2" class="outline-4"> +<h4 id="org3cb02e2">Borne supérieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3cb02e2"> <p> La borne supérieure est le plus petit des majorants <i>Sup(E) = Borne supérieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgde5e8a1" class="outline-4"> -<h4 id="orgde5e8a1">Borne inférieure:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgde5e8a1"> +<div id="outline-container-orgef4458e" class="outline-4"> +<h4 id="orgef4458e">Borne inférieure:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgef4458e"> <p> -La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf(E) = Borne inférieure</i><br /> +La borne inférieure est le plus grand des minorant <i>Inf (E) = Borne inférieure</i><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org806ae22" class="outline-4"> -<h4 id="org806ae22">Maximum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org806ae22"> +<div id="outline-container-org2b2908f" class="outline-4"> +<h4 id="org2b2908f">Maximum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2b2908f"> <p> E ⊆ ℝ, a est un maximum de E (Max(E)) Si : a ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≤ a.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf6603d1" class="outline-4"> -<h4 id="orgf6603d1">Minimum :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgf6603d1"> +<div id="outline-container-org1410a06" class="outline-4"> +<h4 id="org1410a06">Minimum :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org1410a06"> <p> E ⊆ ℝ, b est un minimum de E (Min(E)) Si : b ∈ E ; ∀x ∈ E, x ≥ b.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org43233fb" class="outline-4"> -<h4 id="org43233fb">Remarques :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org43233fb"> +<div id="outline-container-orgd1fcd4e" class="outline-4"> +<h4 id="orgd1fcd4e">Remarques :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd1fcd4e"> <p> A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> </p> @@ -653,21 +653,21 @@ A et B deux ensembles bornés (Minoré et Majoré) :<br /> <li>A ∪ B est borné<br /></li> <li>A ∩ B est borné<br /></li> <li>Sup(A ∪ B)= Max(sup A, sup B)<br /></li> -<li>Inf(A ∩ B)= Min(inf A, inf B)<br /></li> +<li>Inf (A ∩ B)= Min(inf A, inf B)<br /></li> <li>Sup(A ∩ B)= Min(sup A, sup B) <i>Le plus petit des Supérieur de A et B</i><br /></li> -<li>Inf(A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i><br /></li> +<li>Inf (A ∩ B)= Max(inf A, inf B) <i>Le plus grand des inférieur de A et B</i><br /></li> </ol> </div> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org3e3d152" class="outline-2"> -<h2 id="org3e3d152">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org3e3d152"> +<div id="outline-container-orgc939931" class="outline-2"> +<h2 id="orgc939931">3rd cours :Les suites numériques <i>Oct 5</i> :</h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgc939931"> </div> -<div id="outline-container-orgd085500" class="outline-4"> -<h4 id="orgd085500">Définition :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd085500"> +<div id="outline-container-org8607984" class="outline-4"> +<h4 id="org8607984">Définition :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8607984"> <p> Soit (Un)n ∈ ℕ une suite numérique , (Un)n est une application de ℕ dans ℝ:<br /> </p> @@ -688,8 +688,8 @@ n -—> U(n) = Un<br /> </ol> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orge9da56d"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orge9da56d"> +<li><a id="org51d3f5d"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org51d3f5d"> <p> U : ℕ* -—> ℝ<br /> </p> @@ -707,16 +707,16 @@ n -—> 1/n<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgdca4e96" class="outline-4"> -<h4 id="orgdca4e96">Définition N°2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgdca4e96"> +<div id="outline-container-orgcc2100f" class="outline-4"> +<h4 id="orgcc2100f">Définition N°2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgcc2100f"> <p> On peut définir une suite â partir d’une relation de récurrence entre deux termes successifs et le premier terme.<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org7fcfb28"></a>Exemple :<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org7fcfb28"> +<li><a id="org6b68ae0"></a>Exemple :<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org6b68ae0"> <p> U(n+1) = Un /2<br /> </p> @@ -729,37 +729,37 @@ U(1)= 1<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org571706b" class="outline-3"> -<h3 id="org571706b">Opérations sur les suites :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org571706b"> +<div id="outline-container-org69f8c52" class="outline-3"> +<h3 id="org69f8c52">Opérations sur les suites :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org69f8c52"> </div> -<div id="outline-container-orgee7f5af" class="outline-4"> -<h4 id="orgee7f5af">La somme :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgee7f5af"> +<div id="outline-container-orgf01d039" class="outline-4"> +<h4 id="orgf01d039">La somme :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf01d039"> <p> Soient (Un) et (Vn) deux suites, la somme de (Un) et (Vn) est une suite de terme général Un + Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org9a57bb6" class="outline-4"> -<h4 id="org9a57bb6">Le produit :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9a57bb6"> +<div id="outline-container-org770eaba" class="outline-4"> +<h4 id="org770eaba">Le produit :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org770eaba"> <p> Soient (Un)n et (Vn)n deux suites alors (Un) x (Vn) est une autre suite de terme général Un x Vn<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgee1c76a" class="outline-4"> -<h4 id="orgee1c76a">Inverse d’une suite :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgee1c76a"> +<div id="outline-container-org7a41073" class="outline-4"> +<h4 id="org7a41073">Inverse d’une suite :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org7a41073"> <p> Soit Un une suite de terme général Un alors l’inverse de (Un) est une autre suite (Vn) = 1/(Un) de terme général de Vn = 1/Un<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgb017bda" class="outline-4"> -<h4 id="orgb017bda">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgb017bda"> +<div id="outline-container-orgd245f39" class="outline-4"> +<h4 id="orgd245f39">Produit d’une suite par un scalaire :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd245f39"> <p> Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </p> @@ -771,17 +771,17 @@ Soit (Un) une suite de T.G Un<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgbe324c7" class="outline-3"> -<h3 id="orgbe324c7">Suite bornée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgbe324c7"> +<div id="outline-container-orgd7a311f" class="outline-3"> +<h3 id="orgd7a311f">Suite bornée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgd7a311f"> <p> Une suite (Un) est bornée si (Un) majorée et minorée<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgafd1c58" class="outline-3"> -<h3 id="orgafd1c58">Suite majorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgafd1c58"> +<div id="outline-container-org2b180d2" class="outline-3"> +<h3 id="org2b180d2">Suite majorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org2b180d2"> <p> Soit (Un) une suite<br /> </p> @@ -792,9 +792,9 @@ U : (Un) est majorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≤ M<b </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orga3cd1fc" class="outline-3"> -<h3 id="orga3cd1fc">Suite minorée :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orga3cd1fc"> +<div id="outline-container-org7b2e23f" class="outline-3"> +<h3 id="org7b2e23f">Suite minorée :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org7b2e23f"> <p> Soit (Un) une suite<br /> </p> @@ -805,13 +805,13 @@ U : (Un) est minorée par M ∈ ℝ ; ∀ n ∈ ℕ ; ∃ M ∈ ℝ , Un ≥ M<b </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org2dda13a" class="outline-3"> -<h3 id="org2dda13a">Suites monotones :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org2dda13a"> +<div id="outline-container-orgb167fb6" class="outline-3"> +<h3 id="orgb167fb6">Suites monotones :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgb167fb6"> </div> -<div id="outline-container-orge735964" class="outline-4"> -<h4 id="orge735964">Les suites croissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge735964"> +<div id="outline-container-org28ff308" class="outline-4"> +<h4 id="org28ff308">Les suites croissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org28ff308"> <p> Soit (Un)n est une suite<br /> </p> @@ -822,9 +822,9 @@ Soit (Un)n est une suite<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org952a155" class="outline-4"> -<h4 id="org952a155">Les suites décroissantes :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org952a155"> +<div id="outline-container-org89d3d3b" class="outline-4"> +<h4 id="org89d3d3b">Les suites décroissantes :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org89d3d3b"> <p> Soit (Un)n est une suite<br /> </p> @@ -837,45 +837,45 @@ Soit (Un)n est une suite<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org748dee7" class="outline-2"> -<h2 id="org748dee7">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org748dee7"> +<div id="outline-container-org65657c4" class="outline-2"> +<h2 id="org65657c4">Série TD N°1 : <i>Oct 6</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org65657c4"> </div> -<div id="outline-container-org78fe8e6" class="outline-3"> -<h3 id="org78fe8e6">Exo 1 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org78fe8e6"> +<div id="outline-container-orgac13612" class="outline-3"> +<h3 id="orgac13612">Exo 1 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgac13612"> </div> -<div id="outline-container-orgaa73b03" class="outline-4"> -<h4 id="orgaa73b03">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgaa73b03"> +<div id="outline-container-orgcb1b828" class="outline-4"> +<h4 id="orgcb1b828">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgcb1b828"> <p> A = {-1/n , n ∈ ℕ *}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgc26c017"></a>Borne inférieure<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc26c017"> +<li><a id="org47ef9df"></a>Borne inférieure<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org47ef9df"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est la borne inférieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgf51726a"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf51726a"> +<li><a id="orgd07d16e"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgd07d16e"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≥ -1 . -1 est le Minimum de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org77261f1"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org77261f1"> +<li><a id="org04fdb17"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org04fdb17"> <p> ∀ n ∈ ℕ* , -1/n ≤ 0 . 0 est la borne supérieure de l’ensemble A<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgcd88cef"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgcd88cef"> +<li><a id="org8029216"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8029216"> <p> L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </p> @@ -883,18 +883,18 @@ L’ensemble A n’as pas de maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orga87d503" class="outline-4"> -<h4 id="orga87d503">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga87d503"> +<div id="outline-container-org886db21" class="outline-4"> +<h4 id="org886db21">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org886db21"> <p> B = [-1 , 3[ ∩ ℚ<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgf4cbebc"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf4cbebc"> +<li><a id="orgcde09bc"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgcde09bc"> <p> -Inf(B) = Max(inf([-1 , 3[) , inf(ℚ))<br /> +Inf (B) = Max(inf ([-1 , 3[) , inf (ℚ))<br /> </p> @@ -904,12 +904,12 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne inférieure, donc par convention c’ <p> -<b>Inf(B) = -1</b><br /> +<b>Inf (B) = -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org74aa2f3"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org74aa2f3"> +<li><a id="orgd0b46a7"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgd0b46a7"> <p> Sup(B) = Min(sup([-1 ,3[) , sup(ℚ))<br /> </p> @@ -925,15 +925,15 @@ Puisse que ℚ n’as pas de Borne supérieure, donc par convention c’ </p> </div> </li> -<li><a id="orgdef3654"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgdef3654"> +<li><a id="orgdd05682"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgdd05682"> <p> <b>Min(B) = -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org6f1828c"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org6f1828c"> +<li><a id="org2f56d5c"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2f56d5c"> <p> L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -941,37 +941,37 @@ L’ensemble B n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgd668ed3" class="outline-4"> -<h4 id="orgd668ed3">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd668ed3"> +<div id="outline-container-org8444304" class="outline-4"> +<h4 id="org8444304">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8444304"> <p> C = {3n ,n ∈ ℕ}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgfca1443"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgfca1443"> +<li><a id="org71172ed"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org71172ed"> <p> -Inf(C) = 0<br /> +Inf (C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org7ff9de2"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org7ff9de2"> +<li><a id="orgd7dc786"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgd7dc786"> <p> Sup(C) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org5303e08"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org5303e08"> +<li><a id="org48d58aa"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org48d58aa"> <p> Min(C) = 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgf9a2a27"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf9a2a27"> +<li><a id="org2f05d94"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2f05d94"> <p> L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -979,37 +979,37 @@ L’ensemble C n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org8fc1e08" class="outline-4"> -<h4 id="org8fc1e08">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org8fc1e08"> +<div id="outline-container-org655bbdc" class="outline-4"> +<h4 id="org655bbdc">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org655bbdc"> <p> D = {1 - 1/n , n ∈ ℕ*}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgdadeee4"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgdadeee4"> +<li><a id="orgcb1e6fa"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgcb1e6fa"> <p> -Inf(D)= 0<br /> +Inf (D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org56b3603"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org56b3603"> +<li><a id="org865b9b0"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org865b9b0"> <p> Sup(D)= 1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org330b88d"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org330b88d"> +<li><a id="org9a1de73"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org9a1de73"> <p> Min(D)= 0<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org44900b9"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org44900b9"> +<li><a id="org1987362"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org1987362"> <p> L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </p> @@ -1017,9 +1017,9 @@ L’ensemble D n’as pas de Maximum<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org502cfdf" class="outline-4"> -<h4 id="org502cfdf">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org502cfdf"> +<div id="outline-container-orgf122a29" class="outline-4"> +<h4 id="orgf122a29">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgf122a29"> <p> E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> @@ -1040,25 +1040,25 @@ E = { [2n + (-1)^n]/ n + 1 , n ∈ ℕ }<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org8fb1c4a"></a>Borne inférieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8fb1c4a"> +<li><a id="org45d0ef4"></a>Borne inférieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org45d0ef4"> <p> -Inf(E) = Min(inf(F), inf(G))<br /> +Inf (E) = Min(inf (F), inf (G))<br /> </p> <p> -Inf(F) = 1 ; Inf(G) = -1<br /> +Inf (F) = 1 ; Inf (G) = -1<br /> </p> <p> -<b>Inf(E)= -1</b><br /> +<b>Inf (E)= -1</b><br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgf1894f2"></a>Borne supérieure :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf1894f2"> +<li><a id="org5ef627a"></a>Borne supérieure :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org5ef627a"> <p> Sup(E) = Max(sup(F), sup(G))<br /> </p> @@ -1074,15 +1074,15 @@ sup(F) = +∞ ; sup(G) = +∞<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgc4e7917"></a>Minimum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc4e7917"> +<li><a id="orgef4c9c4"></a>Minimum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgef4c9c4"> <p> Min(E)= -1<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org0367d14"></a>Maximum :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0367d14"> +<li><a id="org49b27f7"></a>Maximum :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org49b27f7"> <p> E n’as pas de maximum<br /> </p> @@ -1091,39 +1091,39 @@ E n’as pas de maximum<br /> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc52dcfe" class="outline-3"> -<h3 id="orgc52dcfe">Exo 2 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgc52dcfe"> +<div id="outline-container-org5e26290" class="outline-3"> +<h3 id="org5e26290">Exo 2 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org5e26290"> </div> -<div id="outline-container-org2084ec6" class="outline-4"> -<h4 id="org2084ec6">Ensemble A :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2084ec6"> +<div id="outline-container-org62a0c2c" class="outline-4"> +<h4 id="org62a0c2c">Ensemble A :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org62a0c2c"> <p> A = {x ∈ ℝ , 0 < x <√3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org0a1218e"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org0a1218e"> +<li><a id="org89ac7fa"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org89ac7fa"> <p> -<b>Oui</b>, Inf(A)= 0 ; Sup(A)=√3<br /> +<b>Oui</b>, Inf (A)= 0 ; Sup(A)=√3<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org1436912" class="outline-4"> -<h4 id="org1436912">Ensemble B :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1436912"> +<div id="outline-container-orgdde4c67" class="outline-4"> +<h4 id="orgdde4c67">Ensemble B :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgdde4c67"> <p> B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgc7f9385"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgc7f9385"> +<li><a id="org2a13712"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org2a13712"> <p> -<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf(B)= 1/2</b><br /> +<b>∀ x ∈ B, sin x > 1/2 ∴ Inf (B)= 1/2</b><br /> </p> @@ -1134,35 +1134,35 @@ B = { x ∈ ℝ , 1/2 < sin x <√3/2} ;<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgd6b657c" class="outline-4"> -<h4 id="orgd6b657c">Ensemble C :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd6b657c"> +<div id="outline-container-org2abc744" class="outline-4"> +<h4 id="org2abc744">Ensemble C :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org2abc744"> <p> C = {x ∈ ℝ , x³ > 3}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org08b9d28"></a>Minoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org08b9d28"> +<li><a id="org6a12e74"></a>Minoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org6a12e74"> <p> -<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf(C)= 3</b><br /> +<b>∀ x ∈ C, x³ > 3 ∴ Inf (C)= 3</b><br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgbfc4c5a" class="outline-4"> -<h4 id="orgbfc4c5a">Ensemble D :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgbfc4c5a"> +<div id="outline-container-orga2cb085" class="outline-4"> +<h4 id="orga2cb085">Ensemble D :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga2cb085"> <p> D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org68a1dd6"></a>Borné<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org68a1dd6"> +<li><a id="org42d90c1"></a>Borné<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org42d90c1"> <p> -<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf(C)= 0</b><br /> +<b>∀ x ∈ C, e^x > 0 ∴ Inf (C)= 0</b><br /> </p> @@ -1173,16 +1173,16 @@ D = {x ∈ ℝ , e^x < 1/2}<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-orgd1c7ba2" class="outline-4"> -<h4 id="orgd1c7ba2">Ensemble E :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgd1c7ba2"> +<div id="outline-container-orgc6452f9" class="outline-4"> +<h4 id="orgc6452f9">Ensemble E :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc6452f9"> <p> E = {x ∈ ℝ , ∃ p ∈ ℕ* : x = √2/p}<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org400f4bf"></a>Majoré<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org400f4bf"> +<li><a id="org8696739"></a>Majoré<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org8696739"> <p> p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </p> @@ -1191,16 +1191,16 @@ p = √2/x . Donc : <b>Sup(E)=1</b><br /> </ul> </div> </div> -<div id="outline-container-org492c7d5" class="outline-3"> -<h3 id="org492c7d5">Exo 3 :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org492c7d5"> +<div id="outline-container-org479db70" class="outline-3"> +<h3 id="org479db70">Exo 3 :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org479db70"> <p> U0 = 3/2 ; U(n+1) = (Un - 1)² + 1<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org3e8c5a7" class="outline-4"> -<h4 id="org3e8c5a7">Question 1 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org3e8c5a7"> +<div id="outline-container-org9f28f97" class="outline-4"> +<h4 id="org9f28f97">Question 1 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org9f28f97"> <p> Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> @@ -1216,8 +1216,8 @@ Montrer que : ∀ n ∈ ℕ , 1 < Un < 2 .<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org8e438b7"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org8e438b7"> +<li><a id="orgf620b41"></a>Raisonnement par récurrence :<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-orgf620b41"> <p> P(n) : ∀ n ∈ ℕ ; 1 < Un < 2<br /> </p> @@ -1240,9 +1240,9 @@ On suppose que P(n) est vraie et on vérifie P(n+1) pour une contradiction<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org6a5a1cd" class="outline-4"> -<h4 id="org6a5a1cd">Question 2 :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org6a5a1cd"> +<div id="outline-container-orgb2a312c" class="outline-4"> +<h4 id="orgb2a312c">Question 2 :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb2a312c"> <p> Montrer que (Un)n est strictement monotone :<br /> </p> @@ -1265,20 +1265,20 @@ On déduit que <b>Un² - 3Un + 2</b> est négatif sur [1 , 2] et positif en deho </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org347495d" class="outline-2"> -<h2 id="org347495d">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org347495d"> +<div id="outline-container-orgbd1bb1e" class="outline-2"> +<h2 id="orgbd1bb1e">4th cours (Suite) : <i>Oct 10</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgbd1bb1e"> </div> -<div id="outline-container-org148af66" class="outline-3"> -<h3 id="org148af66">Les suites convergentes</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org148af66"> +<div id="outline-container-org9b40096" class="outline-3"> +<h3 id="org9b40096">Les suites convergentes</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org9b40096"> <p> Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org1d4d349" class="outline-4"> -<h4 id="org1d4d349">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org1d4d349"> +<div id="outline-container-org6a22c62" class="outline-4"> +<h4 id="org6a22c62">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org6a22c62"> <ol class="org-ol"> <li>Un est une suite convergente alors Un est bornee<br /></li> <li>Un est une suite convergente lim Un n—> +∞ = l ⇔ lim |Un| n—> +∞ = |l|<br /></li> @@ -1295,32 +1295,32 @@ Soit (Un)n est une suite convergente si lim Un n–> +∞ = l<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org290bc6b" class="outline-3"> -<h3 id="org290bc6b">Theoreme d’encadrement</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org290bc6b"> +<div id="outline-container-orga3baa03" class="outline-3"> +<h3 id="orga3baa03">Theoreme d’encadrement</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orga3baa03"> <p> Soient Un Vn et Wn trois suites ∀n ∈ ℕ, Un ≤ Vn ≤ Wn . et lim Un n->∞ = lim Wn n-> +∞ = l ⇒ lim Vn n-> +∞ = l<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org5ba33df" class="outline-3"> -<h3 id="org5ba33df">Suites arithmetiques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5ba33df"> +<div id="outline-container-orgbbda563" class="outline-3"> +<h3 id="orgbbda563">Suites arithmetiques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgbbda563"> <p> Un est une suite arithmetique si : U(n+1) = Un + r ; r etant la raison de la suite<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-orge9cff08" class="outline-4"> -<h4 id="orge9cff08">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orge9cff08"> +<div id="outline-container-orgb4756c6" class="outline-4"> +<h4 id="orgb4756c6">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgb4756c6"> <p> <b>Un = U0 + nr</b> ; <b>Un = Up + (n - p)r</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc4d530a" class="outline-4"> -<h4 id="orgc4d530a">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orgc4d530a"> +<div id="outline-container-orga6494e4" class="outline-4"> +<h4 id="orga6494e4">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orga6494e4"> <p> Un est une suite arithmetique, Sn = [(U0 + Un)(n + 1)]/2<br /> </p> @@ -1332,21 +1332,21 @@ Sn = (n, k = 0)ΣUk est une somme partielle et lim Sn n->+∞ = k≥0ΣUk est </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgfc701cc" class="outline-3"> -<h3 id="orgfc701cc">Suites géométriques</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgfc701cc"> +<div id="outline-container-org10d88d9" class="outline-3"> +<h3 id="org10d88d9">Suites géométriques</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org10d88d9"> </div> -<div id="outline-container-org328ef4d" class="outline-4"> -<h4 id="org328ef4d">Forme general</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org328ef4d"> +<div id="outline-container-orgfe286ce" class="outline-4"> +<h4 id="orgfe286ce">Forme general</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgfe286ce"> <p> <b>Un = U0 x r^n</b><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4210450" class="outline-4"> -<h4 id="org4210450">Somme des n premiers termes</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4210450"> +<div id="outline-container-orgaa6b262" class="outline-4"> +<h4 id="orgaa6b262">Somme des n premiers termes</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgaa6b262"> <p> n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </p> @@ -1354,13 +1354,13 @@ n ∈ ℕ\{1} Sn = U0 (1 - r^(n+1))/1-r<br /> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org9dcdb5b" class="outline-2"> -<h2 id="org9dcdb5b">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org9dcdb5b"> +<div id="outline-container-orgeeb4832" class="outline-2"> +<h2 id="orgeeb4832">5th cours (suite) : <i>Oct 12</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-orgeeb4832"> </div> -<div id="outline-container-org5582998" class="outline-3"> -<h3 id="org5582998">Suites adjacentes:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org5582998"> +<div id="outline-container-orge9160fd" class="outline-3"> +<h3 id="orge9160fd">Suites adjacentes:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orge9160fd"> <p> Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </p> @@ -1371,16 +1371,16 @@ Soient (Un) et (Vn) deux suites, elles sont adjacentes si:<br /> </ol> </div> </div> -<div id="outline-container-orgc7dc719" class="outline-3"> -<h3 id="orgc7dc719">Suites extraites (sous-suites):</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgc7dc719"> +<div id="outline-container-orgaedf3ea" class="outline-3"> +<h3 id="orgaedf3ea">Suites extraites (sous-suites):</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgaedf3ea"> <p> Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ -—> ℕ ; n -—> ϕn ;(U(ϕ(n))) est appelée une sous suite de (Un) ou bien une suite extraite.<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org19aaf93" class="outline-4"> -<h4 id="org19aaf93">Remarques:</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org19aaf93"> +<div id="outline-container-org586e8c4" class="outline-4"> +<h4 id="org586e8c4">Remarques:</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org586e8c4"> <ol class="org-ol"> <li>Si (Un) converge ⇒ ∀ n ∈ ℕ , U(ϕ(n)) converge aussi.<br /></li> <li>Mais le contraire n’es pas toujours vrais.<br /></li> @@ -1389,60 +1389,57 @@ Soit (Un) une suite: ;U: ℕ -—> ℝ ; n -—> Un ;ϕ: ℕ - </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orge98dbc2" class="outline-3"> -<h3 id="orge98dbc2">Suites de Cauchy:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orge98dbc2"> +<div id="outline-container-org1ce447c" class="outline-3"> +<h3 id="org1ce447c">Suites de Cauchy:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org1ce447c"> <p> (Un) n ∈ ℕ est une suite de Cauchy Si ; ;∀ ε > 0 , ∃ N ∈ ℕ ; ∀ n > m > N ; |Un - Um| < ε<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org07f3dd9" class="outline-4"> -<h4 id="org07f3dd9">Remarque :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org07f3dd9"> +<div id="outline-container-orgd06f7ae" class="outline-4"> +<h4 id="orgd06f7ae">Remarque :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd06f7ae"> <ol class="org-ol"> <li>Toute suite convergente est une suite de Cauchy et toute suite Cauchy est une suite convergente<br /></li> </ol> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-orgf1fce8d" class="outline-3"> -<h3 id="orgf1fce8d">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-orgf1fce8d"> +<div id="outline-container-org392a346" class="outline-3"> +<h3 id="org392a346">Théorème de Bolzano Weirstrass:</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-org392a346"> <p> On peut extraire une sous suite convergente de toute suite bornée<br /> </p> </div> </div> </div> -<div id="outline-container-org2d666d3" class="outline-2"> -<h2 id="org2d666d3">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></h2> -<div class="outline-text-2" id="text-org2d666d3"> -<p> -#+BEGIN_VERSE<br /> -</p> +<div id="outline-container-org91a748f" class="outline-2"> +<h2 id="org91a748f">Chapitre 3 : Les limites et la continuité <i>Nov 14</i></h2> +<div class="outline-text-2" id="text-org91a748f"> </div> -<div id="outline-container-org4b64f75" class="outline-3"> -<h3 id="org4b64f75">Fonction réelle à variable réelle :</h3> -<div class="outline-text-3" id="text-org4b64f75"> +<div id="outline-container-orgde4196b" class="outline-3"> +<h3 id="orgde4196b">Fonction réelle à variable réelle :</h3> +<div class="outline-text-3" id="text-orgde4196b"> <p> -Soit f: I –> ℝ , I ⊂= ℝ<br /> - x –> f(x)<br /> +Soit f : I –> ℝ , I ⊂= ℝ<br /> + x –> f (x)<br /> </p> </div> -<div id="outline-container-org36bff9b" class="outline-4"> -<h4 id="org36bff9b">L’ensemble de départ :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org36bff9b"> +<div id="outline-container-orgd68331d" class="outline-4"> +<h4 id="orgd68331d">L’ensemble de départ :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd68331d"> <p> L’ensemble de définition (Df)<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="org5f3b41b"></a>Propriétés:<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-org5f3b41b"> +<li><a id="org5899912"></a>Propriétés:<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org5899912"> <p> Soit f et g deux fonctions :<br /> f : I –> ℝ<br /> - x –> f(x)<br /> + x –> f (x)<br /> </p> <p> @@ -1451,35 +1448,35 @@ g : I –> ℝ<br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgd377eb6"></a>1) f+g<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgd377eb6"> +<li><a id="orge1e9b5a"></a>1) f+g<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orge1e9b5a"> <p> (g+f): I –> ℝ<br /> - x –> (f+g)(x) = f(x) + g(x)<br /> + x –> (f+g)(x) = f (x) + g(x)<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgdde56d7"></a>2) λf<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgdde56d7"> +<li><a id="org9580e4d"></a>2) λf<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org9580e4d"> <p> ∀λ ∈ ℝ : λf : I –> ℝ<br /> - x –> (λf)(x) = λf(x)<br /> + x –> (λf)(x) = λf (x)<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="org13ef890"></a>3) f*g<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-org13ef890"> +<li><a id="orgc657e9e"></a>3) f*g<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-orgc657e9e"> <p> (f*g): I –> ℝ<br /> - x –> (f*g)(x) = f(x) x g(x)<br /> + x –> (f*g)(x) = f (x) x g(x)<br /> </p> </div> </li> -<li><a id="orgf397428"></a>4) f/g<br /> -<div class="outline-text-6" id="text-orgf397428"> +<li><a id="org8718fe3"></a>4) f/g<br /> +<div class="outline-text-6" id="text-org8718fe3"> <p> f/g : I –> ℝ<br /> - x –> f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0<br /> + x –> f (x)/g(x) , g(x) ≠ 0<br /> </p> </div> </li> @@ -1487,92 +1484,92 @@ f/g : I –> ℝ<br /> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org2cc1eca" class="outline-4"> -<h4 id="org2cc1eca">Les Limites :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org2cc1eca"> +<div id="outline-container-org3151412" class="outline-4"> +<h4 id="org3151412">Les Limites :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org3151412"> <p> -f: I –> ℝ<br /> - x –> f(x)<br /> +f : I –> ℝ<br /> + x –> f (x)<br /> x<sub>0</sub> ∈ I ; x<sub>0</sub> extrémité de l’intervalle.<br /> </p> <p> -Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) est a Limite de f(x) quand x tend vers x<sub>0</sub><br /> +Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f (x) est a Limite de f (x) quand x tend vers x<sub>0</sub><br /> </p> </div> <ul class="org-ul"> -<li><a id="orgf901971"></a>Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = l<br /> -<div class="outline-text-5" id="text-orgf901971"> +<li><a id="org378d0db"></a>Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f (x) = l<br /> +<div class="outline-text-5" id="text-org378d0db"> <p> -=> |x - x<sub>0</sub>| < ẟ , |f(x) - l| < ε<br /> +=> |x - x<sub>0</sub>| < ẟ , |f (x) - l| < ε<br /> </p> </div> </li> </ul> </div> -<div id="outline-container-org64c9169" class="outline-4"> -<h4 id="org64c9169">La continuité :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org64c9169"> +<div id="outline-container-org287d826" class="outline-4"> +<h4 id="org287d826">La continuité :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org287d826"> <p> -Soit f: I –> ℝ I = Df<br /> - x –> f(x) x<sub>0</sub> ∈ I<br /> -f est continue en x<sub>0</sub> ⇔ Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = f(x<sub>0</sub>)<br /> -∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x<sub>0</sub>| < ẟ ⇒ |f(x) - f(x<sub>0</sub>)| < ε<br /> +Soit f : I –> ℝ I = Df<br /> + x –> f (x) x<sub>0</sub> ∈ I<br /> +f est continue en x<sub>0</sub> ⇔ Lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f (x) = f (x<sub>0</sub>)<br /> +∀ε > 0 , ∃ẟ > 0 , |x - x<sub>0</sub>| < ẟ ⇒ |f (x) - f (x<sub>0</sub>)| < ε<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orga180a5f" class="outline-4"> -<h4 id="orga180a5f">Prolongement par continuité :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga180a5f"> +<div id="outline-container-orgc77ab14" class="outline-4"> +<h4 id="orgc77ab14">Prolongement par continuité :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgc77ab14"> <p> -Soit f: I/ {x<sub>0</sub>} –> ℝ<br /> - x –> f(x)<br /> +Soit f : I/ {x<sub>0</sub>} –> ℝ<br /> + x –> f (x)<br /> </p> <p> -Si lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f(x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x<sub>0</sub><br /> +Si lim<sub>x –> x<sub>0</sub></sub> f (x) = l Alors f est prolongéable par continuité en x<sub>0</sub><br /> </p> <p> On défini :<br /> -f~ = f(x) si x ≠ x<sub>0</sub><br /> +f~ = f (x) si x ≠ x<sub>0</sub><br /> ET<br /> l si x = x<sub>0</sub><br /> f~ : I –> ℝ<br /> - x –> f(x)<br /> + x –> f (x)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-orga0b20fd" class="outline-4"> -<h4 id="orga0b20fd">Théorème des valeurs intermédiaires :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-orga0b20fd"> +<div id="outline-container-org8edfe47" class="outline-4"> +<h4 id="org8edfe47">Théorème des valeurs intermédiaires :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org8edfe47"> <p> f : [a,b] –> ℝ<br /> Si f est continue sur [a,b]<br /> -Alors ∀y ∈ f([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f(x)<br /> +Alors ∀y ∈ f ([a,b]) ⇒ ∃x ∈ [a,b] ; y = f (x)<br /> </p> <ol class="org-ol"> <li>Si f est continue sur [a,b]<br /></li> -<li>Si f(a) * f(b) < 0<br /></li> +<li>Si f (a) * f (b) < 0<br /></li> </ol> <p> -Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f(c) = 0<br /> +Donc ∃ c ∈ ]a,b[ , f (c) = 0<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org9c72228" class="outline-4"> -<h4 id="org9c72228">Fonction croissante :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org9c72228"> +<div id="outline-container-orgea41b1c" class="outline-4"> +<h4 id="orgea41b1c">Fonction croissante :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgea41b1c"> <p> -f: I –> J<br /> +f : I –> J<br /> f est croissante si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I<br /> - x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f(x<sub>1</sub>) ≤ f(x<sub>2</sub>)<br /> + x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f (x<sub>1</sub>) ≤ f (x<sub>2</sub>)<br /> </p> <p> f est strictement croissante si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I<br /> - x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f(x<sub>1</sub>) < f(x<sub>2</sub>)<br /> + x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> ⇒ f (x<sub>1</sub>) < f (x<sub>2</sub>)<br /> </p> <p> @@ -1580,40 +1577,39 @@ Si f est croissante ou décroissante, alors elle est bornée.<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org4225cf9" class="outline-4"> -<h4 id="org4225cf9">Injection = Strictement monotonne :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org4225cf9"> +<div id="outline-container-orgd45a9b4" class="outline-4"> +<h4 id="orgd45a9b4">Injection = Strictement monotonne :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-orgd45a9b4"> <p> -f: I –> J<br /> -f est injective si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I , f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>) ⇒ x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub><br /> +f : I –> J<br /> +f est injective si ∀ x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub> ∈ I , f (x<sub>1</sub>) = f (x<sub>2</sub>) ⇒ x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub><br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org0a083e3" class="outline-4"> -<h4 id="org0a083e3">Surjection = Continuité :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org0a083e3"> +<div id="outline-container-org189c903" class="outline-4"> +<h4 id="org189c903">Surjection = Continuité :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org189c903"> <p> -f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f(x)<br /> +f est surjective si ∀ y ∈ J, ∃ x ∈ I , y = f (x)<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org64ecf75" class="outline-4"> -<h4 id="org64ecf75">Bijection :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org64ecf75"> +<div id="outline-container-org07713a2" class="outline-4"> +<h4 id="org07713a2">Bijection :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org07713a2"> <p> Si f est injective et surjective, alors f est bijective<br /> f est bijective donc elle admet une bijection réciproque<br /> </p> </div> </div> -<div id="outline-container-org020cce1" class="outline-4"> -<h4 id="org020cce1">Théorème de bijection :</h4> -<div class="outline-text-4" id="text-org020cce1"> +<div id="outline-container-org7512d26" class="outline-4"> +<h4 id="org7512d26">Théorème de bijection :</h4> +<div class="outline-text-4" id="text-org7512d26"> <p> Si f est continue et strictement monotone alors elle est bijective.<br /> f admet une bijection réciproque f{-1}.<br /> f{-1} a le même sens de variation que f.<br /> -#+END_VERSE<br /> </p> </div> </div> @@ -1622,7 +1618,7 @@ f{-1} a le même sens de variation que f.<br /> </div> <div id="postamble" class="status"> <p class="author">Author: Crystal</p> -<p class="date">Created: 2023-11-14 Tue 22:52</p> +<p class="date">Created: 2023-11-14 Tue 23:06</p> </div> </body> </html> \ No newline at end of file |